Аналіз впливу фізичних та геометричних нелінійностей на динаміку дволанкового перевернутого маятника

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка

УДК 531.011

Спеціальність 01.02.01 ?- теоретична механіка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Аналіз впливу фізичних та геометричних нелінійностей на динаміку дволанкового перевернутого маятника

Лобас Владислав Леонідович

Київ 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Мартинюк Анатолій Андрійович, завідувач відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти:

- доктор фізико-математичних наук Онищенко Сергій Михайлович, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України;

- кандидат фізико-математичних наук Крук Леся Анатоліївна, науковий співробітник відділу теорії коливань Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Провідна установа Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", МОН України, кафедра теоретичної механіки.

Захист відбудеться 26 вересня 2006 р. о 10 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057 Київ 57, вул. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Автореферат розіслано 4 серпня 2006 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

Анотація

Лобас В.Л. Аналіз впливу фізичних та геометричних нелінійностей на динаміку дволанкового перевернутого маятника. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 теоретична механіка. Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2006.

Дисертацію присвячено дослідженню впливу параметрів маятника на біфуркації та катастрофи станів рівноваги і граничних циклів. З'ясовано поведінку маятника при жорстких та м'яких характеристиках пружних елементів. Встановлено, що механізмами втрати стійкості станів рівноваги можуть бути зіткнення з іншими станами рівноваги при зміні істотного параметра, а також біфуркація трикратної рівноваги, біфуркація народження стійкого та нестійкого граничних циклів і подальша еволюція нестійкого граничного циклу при збільшенні модуля слідкуючої сили.

Ключові слова: дволанковий перевернутий маятник, жорсткі та м'які пружні характеристики, біфуркації та катастрофи, області притягування.

Аннотация

Лобас В.Л. Анализ влияния физических и геометрических нелинейностей на динамику двухзвенного перевернутого маятника. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 теоретическая механика. Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена исследованию влияния параметров маятника на бифуркации и катастрофы состояния равновесия и предельных циклов. Выяснено поведение маятника при жестких и мягких характеристиках упругих элементов. Установлено, что механизмами потери устойчивости могут быть столкновения с другими состояниями равновесия при изменении углового эксцентриситета следящей силы, а также бифуркации трехкратного равновесия, бифуркации рождения устойчивого и неустойчивого предельных циклов и последующая эволюция неустойчивого предельного цикла при увеличении модуля следящей силы.

Ключевые слова: двухзвенный перевернутый маятник, жесткие и мягкие упругие характеристики, бифуркации и катастрофы, области притяжения.

Summary

Lobas V.L. Influence of physical and geometrical nonlinearities on dynamics of double overturned pendulum. Manuscript.

Thesis for a candidate`s degree in speciality 01.02.01 theoretical mechanics. S.P.Timoshenko of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

The thesis is devoted to the investigation of influence of parameters on bifurcations and catastrophes of equilibrium states and limit cycles of pendulum. The behavior of pendulum for hard and soft characteristics of elastic elements are cleared up. The possible mechanisms of stability loos of equilibrium states are described.

Key words: double overturned pendulum, follower force, hard and soft characteristic, bifurcations and catastrophes, states of equilibrium, limit cycles, attraction domains.

1. Загальна характеристика роботи

В роботі досліджено вплив жорстких та м'яких характеристик пружних елементів шарнірних з'єднань ланок і таких же характеристик пружного закріплення кінця верхньої ланки, а також геометричних нелінійностей на біфуркації, катастрофи та стійкість станів рівноваги і граничних циклів дволанкового перевернутого маятника під дією асиметричної слідкуючої сили. Класифіковано механізми втрати стійкості станів рівноваги.

Актуальність теми і стан досліджень з тематики дисертації. Теорія біфуркацій та стійкості стаціонарних станів динамічних систем посідає вагоме місце в загальній теорії динамічних систем, основи якої заклали Дж. Д. Біркгоф, І. Бендіксон, А. Пуанкаре, О.М. Ляпунов, О.О. Андронов, В.І. Арнольд, Е. Хопф. Серед вітчизняних вчених відмітимо внесок О.Ю. Ішлінського, Ю.О. Митропольського, А.М. Самойленка, П.В. Харламова, А.А. Мартинюка, В.І. Гуляєва, В.О. Стороженка, О.М. Ковальова, Г.В. Горра, В.В. Гайдайчука, С.П. Сосницького, С.М. Онищенка, Д.Г. Коренівського, П.П. Лізунова, О.А. Зєвіна, О.О. Ігнатьєва, Д.Я. Хусаїнова.

Задача вивчення динамічної поведінки дволанкового математичного маятника під дією слідкуючої сили набула актуальності після робіт Х. Ціглера. В свою чергу його дослідження були ініційовані невдалою спробою А. Пфлюгера пояснити небезпечні явища, що спостерігались в першій половині двадцятого століття при транспортуванні нафти трубами (зокрема, в Транс-арабському нафтопроводі). Теоретичні узагальнення Х. Ціглера призвели до появи в теорії стійкості пружних систем двох підходів статичного і динамічного.

Після робіт австрійських механіків (H. Troger, A. Steindl, R. Scheidl) домінуючою стала модель перевернутого маятника з пружнозакріпленим верхнім кінцем. Японські вчені J.-D. Jin, Y. Matsuzaki, S. Futura узагальнили цю постановку задачі, доповнивши її кутовим ексцентриситетом слідкуючої сили. В подальшому теоретичні або практичні проблеми привернули до дволанкового маятника зі слідкуючою силою увагу багатьох дослідників (Я.Г. Пановко, С.В. Сорокін, С.А. Агафонов, P. Hagedorn, І.Г. Борук, Л.Л. Лобас, А.П. Сейранян, В.В. Ковальчук).

В дисертаційних роботах І.Г. Борука та Л.Л. Лобас враховувалась лише лінійна деформівність пружних елементів. Одночасне народження стійкого та нестійкого граничних циклів, їхня подальша еволюція, а також вплив орієнтації слідкуючої сили на біфуркацію трикратної рівноваги не розглядались.

Мета і задача дослідження визначаються необхідністю розробки методики аналітичного описування відомих на цей час нелінійних експериментальних залежностей відновлюючих пружних сил та моментів від переміщень, побудови однопараметричних сімей кривих рівноважних станів і їхнього топологічного аналізу, виявлення біфуркацій граничних циклів. Обраний метод дослідження чотиривимірних систем диференціальних рівнянь, що описують рух маятника, зумовлюється усталеними принципами вивчення динамічних систем, які передбачають дослідження не тільки станів рівноваги, а й граничних циклів, областей притягування тощо. Об'єктом дослідження є дволанковий перевернутий математичний маятник, характеристики пружного закріплення верхнього кінця якого, а також пружних елементів у шарнірних з'єднаннях є фізично нелінійними. В роботі враховано також геометричні нелінійності.

Метою роботи є отримання умов стійкості та побудова областей стійкості на площині істотних параметрів дволанкового перевернутого маятника при різних значеннях параметрів слідкуючої сили, побудова рівноважних кривих маятника, встановлення умов біфуркацій станів рівноваги та граничних циклів.

Предметом дослідження є стійкість та біфуркації станів рівноваги і граничних циклів, області притягування вертикального стану рівноваги маятника.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в тому, що вперше

а) побудовано рівноважні криві дволанкового маятника із врахуванням фізичної нелінійності всіх пружних елементів, котрі можуть мати як жорсткі, так і м'які характеристики;

б) проаналізовано топологічні властивості подвійного маятника як динамічної системи в різних областях простору параметрів;

в) установлено біфуркації народження в області асимптотичної стійкості вертикального стану рівноваги двох граничних циклів - стійкого та нестійкого і відслідковано їхню еволюцію при зміні модуля слідкуючої сили;

г) класифіковано можливі механізми втрати стійкості станів рівноваги подвійного маятника: внаслідок зіткнення з іншим станом рівноваги зі зміною кутового ексцентриситету слідкуючої сили; внаслідок біфуркації трикратної рівноваги (біфуркації виделки); внаслідок стягування нестійкого граничного циклу, який "сідає" на даний стан рівноваги, руйнуючи його стійкість;

д) вказано область притягування стійкого стану рівноваги, котрий відповідає початку координат фазового простору, та описано її еволюцію при зміні модуля слідкуючої сили для фіксованих значень "неістотних" параметрів.

Обґрунтованість і достовірність одержаних в дисертаційній роботі результатів забезпечується математичною строгістю постановок задач з використанням основних положень, законів і теорем теоретичної механіки та теорії динамічних систем; задовільним узгодженням числових результатів, отриманих різними методами; контролем точності наближеного розв'язання рівнянь рівноваги; практичним співпаданням положень рівноваги, знайдених методом продовження за параметром, з результатами побудови фазових траєкторій, одержаних прямим інтегруванням вихідної системи диференціальних рівнянь руху маятника; відповідністю результатів, отриманих з використанням комп'ютера, фундаментальним положенням теорії біфуркацій та стійкості динамічних систем.

Практичне значення результатів дослідження визначається тим, що їх можна використати при оцінюванні та прогнозуванні динамічної поведінки пружних труб з рідиною, що протікає всередині, зокрема - нафтопроводів, при розрахунках динамічних гасників коливань будівельних споруд і конструкцій, при аналізі та прогнозуванні функціональних можливостей будівельних кранів, в механіці колісних екіпажів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались і обговорювались на двох міжнародних конференціях [5 - 6 ], в повному обсязі - на розширенному засіданні наукового семінару кафедри теоретичної механіки НТУУ „КПІ", на засіданнях наукових семінарів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАНУ за напрямом "Динаміка та стійкість руху механічних систем", семінарів відділу стійкості процесів, відділу динаміки та стійкості суцільних середовищ Інституту механіки НАНУ.

За темою дисертації опубліковано 6 наукових праць, з них 4 статті - у фахових виданнях, затверджених ВАК України [1-4], статті [1, 4] - самостійні.

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації отримані здобувачем особисто. В роботах [2, 3] співавтору І.Г. Боруку [2] та В.В. Ковальчук [3] належать вибір методу дослідження і участь в обговоренні результатів, дисертанту - проведення аналітичних та числових розрахунків. Аналіз результатів проводився усіма співавторами разом з науковим керівником А.А. Мартинюком.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках теми "Розробка якісних методів аналізу стійкості руху систем із сухим тертям та імпульсних систем" відділу стійкості процесів Інституту механіки НАНУ, номер державної реєстрації 0104 U 000297.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, 5 розділів основної частини, висновків і списку використаної літератури із 113 найменувань. Загальний обсяг - 153 с. разом із 2 таблицями, 83 рисунками, розміщеними на 55 с.

Дисертант висловлює щиру подяку науковому керівнику члену-кореспонденту Національної академії наук України, доктору фізико-математичних наук, професору Мартинюку Анатолію Андрійовичу за постановку задачі, обговорення та інтерпретацію результатів, творчу підтримку та незмінний інтерес до роботи на всіх етапах її виконання.

2. Основний зміст роботи

У вступі описано сучасний стан проблеми; обґрунтовано актуальність вибраної теми; сформульовано мету і задачі дослідження; розкрито наукову новизну отриманих результатів та практичне значення результатів дослідження.

У першому розділі "Огляд літератури. Загальна методика дослідження. Формулювання основної задачі" наведено нарис розвитку досліджень з динаміки дволанкових маятників зі слідкуючими силами, а також огляд основних прикладних методів аналізу динамічних систем. Розділ завершено обґрунтуванням проведення подальших досліджень: побудови узагальненої математичної моделі дволанкового перевернутого маятника під дією асиметричної слідкуючої сили та її аналізу як динамічної системи.

Другий розділ "Узагальнена математична модель дволанкового перевернутого маятника" присвячено аналізу відомих експериментальних залежностей відновлюючих сил пружних елементів від їхніх видовжень та аналітичного описування цих залежностей. Досліджуваний маятник схематизовано на рис. 1.

Він має три пружні елементи: горизонтальну циліндричну пружину жорсткості , яка імітує пружне закріплення верхнього кінця маятника, та дві спіральні пружини жорсткостей і в шарнірах та . Тут - жоркості пружин при нульових значеннях деформацій: при (рис. 2 - 3). Величина є узагальненою координатою, - узагальнена сила. Вони є векторними величинами:

. (1)

За криволінійні (лагранжеві) координати подвійного маятника вибрано кути відхилення від вертикалі нижньої та верхньої ланок маятника (рис. 1). Крім того, - маси матеріальних точок відповідно; - абсциса та ордината точки в інерціальній системі декартових прямокутних координат те ж для точки ; довжини нижньої та верхньої ланок позначено та . Характерною особливістю експериментальних кривих на рис. 2 є та, що вони є графіками монотонних функцій, наприклад таких:

(2)

для кривої 1 ( можливий граничний хід пружного елемента);

(3)

для кривої 2 ( граничне значення відновлюючої сили);

 (4)

маятник дволанковий біфуркація рівновага

для кривої 3. Відповідні характеристики пружних елементів мають, як відомо, назви жорсткої, м'якої та лінійної. Миттєві жорсткості нелінійно деформівних пружин залежать від координати , що відраховується від недеформівного стану (рис. 3). Рівняння Лагранжа другого роду для маятника мають вигляд

(5)

де

(6)

Формули (6) дозволяють аналітично описати ситуації з усіма можливими характеристиками пружних елементів. Величини є "коефіцієнтами впливу"; для конкретної ситуації вони можуть приймати значення або 1, або 0.

Кількість усіх можливих ситуацій дорівнює 27. Відповідно до (1) (4) в (6) позначено

(7)

Тут коефіцієнт в'язкості в нижньому шарнірі , котрим враховується дія зовнішнього тертя; коефіцієнт в'язкості в проміжному шарнірі , котрий відображає вплив зовнішнього тертя в системі.

Введення безрозмірних величин

(8)

дозволяє зменшити на 3 кількість параметрів в динамічній системі (5), яка набуває вигляду

(9)

Де (10)

Тут позначено

(11)

(12)

(13)

Завершується розділ побудовою поліноміальних апроксимацій диференціальних рівнянь руху маятника та дослідженням впливу орієнтації слідкуючої сили на області стійкості вертикального положення рівноваги Конфігурація областей стійкості на площині параметрів та залежить також від співвідношення інерційних параметрів маятника.

У третьому розділі "Втрата стійкості станів рівноваги дволанкового маятника внаслідок зіткнення з іншим станом рівноваги" показано, що характер залежності рівноважних значень кутів від кутового ексцентриситету слідкуючої сили визначається не тільки типом фізичної нелінійності, а і (у випадку жорстких характеристик) значеннями граничних можливих ходів пружних елементів (рис. 4 11) [4]. З (9) (10) випливає, що рівняння рівноваги маятника є такими:

(14)

Область значень параметра наперед невідома і повинна знаходитись одночасно зі значеннями . Згідно [1] розв'язання системи (14) зводиться до задачі Коші

(15)

Тут

Для "несуттєвих" параметрів приймемо: =2, =1, =0,25, =0,75, =0,25. Якщо граничні можливі ходи пружних елементів при жорстких характеристиках "невеликі" (на рис. 4 6 ) функції є взаємнооднозначними. При з'являються точки біфуркацій, і при плавній зміні параметра можливі стрибкоподібні переходи від одного стійкого стану рівноваги до іншого. Це зумовлено тим, що при "невеликих" значеннях параметрів відновлюючі сили та моменти сил зростають "надто стрімко". Точність розв'язання системи (15) контролювалась обчисленням значень функцій та в (14) при всіх значеннях незалежної змінної (дугова координата кривої у просторі величин ): похибка мала порядок 10-9. Достовірність результатів аргументується, крім того, відповідністю станів рівноваги маятника як коренів рівнянь (14) двохвимірним проекціям фазової кривої та фазовими потоками. При м'яких характеристиках пружних елементів точки біфуркацій існують завжди; на рис. 10 прийнято Як і слід було очікувати, крива залежності станів рівноваги від параметра є періодичною.

Четвертий розділ "Втрата стійкості вертикального стану рівноваги внаслідок біфуркацій граничних циклів. Еволюція областей притягування" свідчить про принципово інший механізм втрати стійкості. Візьмемо =1, =0, =10 кг, =5 кг, =0,5 м, =400 Нм, =10 Нмс і, крім того, лінійні характеристики пружних елементів, зберігши геометричні нелінійності. Раніше було показано, що на площині параметрів існує область асимптотичної стійкості верхнього вертикального стану рівноваги маятника (4,0). Нехай =500 Н. Тоді значення на межі області (4,0) становить =1844,4 Н. Дослідження на PC показали, що для в околі стану рівноваги відбуваються наступні зміни топологічної структури фазового простору. Для 1550 Н область притягування необмежена. При відбувається біфуркація народження двох граничних циклів: стійкого та нестійкого . Зі зростанням цикл розширюється. На рис. 12 зображені двовимірні проекції циклу . Цифри 1 4 на рис. 13 стосуються значень , рівних 1620 Н, 1700 Н, 1800 Н та 1844 Н відповідно. Зі збільшенням цикл стягується (рис. 12). При він "сідає" на початок координат, руйнуючи його стійкість як особливої точки фазового простору [2].

У п'ятому розділі "Біфуркація виделки (трикратної рівноваги)" для різних значень параметра орієнтації слідкуючої сили показано, що втрата стійкості стану рівноваги (перехід з області (4,0) в область (3,1)) може відбуватись внаслідок виникнення в області (3,1) двох нових станів рівноваги . Старий стан рівноваги втрачає при цьому стійкість відбувається біфуркація виделки. Для рис. 15 =1,25. Область існування функцій заштриховано.

Висновки

Таким чином, в дисертації:

Розроблено узагальнену математичну модель дволанкового перевернутого маятника, що дозволяє варіюванням так званих коефіцієнтів впливу враховувати усі можливі типи фізичної нелінійності пружних елементів.

Показано, що м'які характеристики пружних елементів завжди породжують біфуркаційні точки на рівноважній кривій для певних значень кутового ексцентриситету слідкуючої сили, тоді як жорсткі характеристики при "невеликих" значеннях граничних можливих ходів пружних елементів призводять до взаємнооднозначної залежності рівноважних значень кутів відхилення ланок маятника від кутового ексцентриситету слідкуючої сили.

Показано, що одним із механізмів втрати стійкості станів рівноваги маятника є зіткнення цього стану з іншим станом рівноваги при зміні кутового ексцентриситету слідкуючої сили.

Показано, що в області асимптотичної стійкості верхнього вертикального стану рівноваги маятника на площині параметрів та існує множина значень параметра , для кожного з яких можна вказати значення модуля слідкуючої сили, при якому область притягування відповідної точки фазового простору як особливої точки диференціальних рівнянь збуреного руху маятника необмежена. Зі збільшенням цього модуля відбувається біфуркація народження стійкого та нестійкого граничних циклів. При подальшому зростанні модуля сили цикли переміщуються у протилежних напрямах.

При певному значенні модуля слідкуючої сили нестійкий граничний цикл "сідає" на особливу точку руйнуючи її стійкість. Це другий механізм втрати стійкості стану рівноваги.

Третій механізм втрати стійкості стану рівноваги при певних значеннях параметра орієнтації слідкуючої сили пов'язаний з біфуркацією трикратної рівноваги (біфуркація виделки).

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Лобас В.Л. Бифуркации круговых движений однозвенных систем с качением // Прикл. механика. 1996. 32, №10. С. 88-94.

2. Борук И.Г., Лобас В.Л. Эволюции предельных циклов в области устойчивости двойного маятника при изменении следящей силы // Прикл. механика. 2004. 40, №3. С. 121-129.

3. Ковальчук В.В., Лобас В.Л. Дивергентные бифуркации двойного маятника под воздействием асимметричной следящей силы // Прикл. механика. 2004. 40, №7. С. 136-144.

4. Лобас В.Л. Влияние нелинейных характеристик упругих элементов на бифуркации состояний равновесия двойного маятника со следящей силой // Прикл. механика. 2005. 41, №2. С. 103-109.

5. Лобас В.Л. Нелінійна динаміка перевернутого подвійного маятника зі слідкуючою силою // Міжнародна наукова конференція „Шості Боголюбовські читання", Чернівці, 26-30 серпня 2003 р. Тези доповідей. Київ, 2003. С. 129.

6. Лобас В.Л. Біфуркації станів рівноваги і граничних циклів перевернутого прдвійного маятника зі слідкуючою силою // International Conference "Dynamical system: modelling and stability investigation", Kyiv, May 27-30, 2003, Thesis of conference reports. Київ, 2003. С. 197.

Размещено на Allbest.ru