Методы определения фрактальной размерности инженерных поверхностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методы определения фрактальной размерности инженерных поверхностей

М.А. Измеров

удк 530.1

Рассмотрены методы оценки фрактальной размерности инженерных поверхностей. Приведены процедуры определения фрактальной размерности профиля и поверхности.

"Фрактал" в переводе означает "состоящий из фрагментов". Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 г. книги Бенуа Мандельброта [1]. В его работах использованы научные результаты других ученых, работавших в 1875-1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф). Фрактал - это грубая или фрагментированная геометрическая форма, которая может быть разделена на части, каждая из которых (по крайней мере, приблизительно) представляет собой уменьшенную копию всего целого. Можно дать несколько определений фрактала: 1) расходящийся критерий: любая форма, обладающая таким необычным свойством, что когда вы измеряете длину, область, поверхность области или объем в дискретных единицах, то измеряемое значение изменяется по экспоненте на размер дискретной единицы; 2) определение Хаусдорфа: геометрическая фигура или естественный предмет, обладающий следующими характеристиками: а) часть имеет ту же структуру или форму, как и целое, за исключением того, что они при различном масштабе могут немного искажаться; б) форма сильно неправильна и фрагментированна и остается такой независимо от масштаба.

Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и образования реального мира: облака, горы, турбулентные течения, береговые линии, корни, ветки деревьев, легкие животных, - далеко не соответствующие простым геометрическим фигурам. Б. Мандельброт дает математическое описание фрактала как множества, размерность которого D строго превышает топологическую размерность. Так, для фрактальной кривой размерность лежит в диапазоне 1<D<2, а для поверхности - 2< D_S <3.

Точка имеет топологическую размерность 0, линия - 1, поверхность - 2. Строгое определение топологической размерности формулируется так: топологическая размерность множества A равна нулю, если для любой точки множества A найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой не пересекается с A; топологическая размерность A равна n, если для любой точки этого множества найдется сколь угодно малая окрестность, граница которой пересекается с A по множеству размерности n-1, и, кроме того, n есть положительное наименьшее число, для которого это условие выполнено.

Фрактальная размерность является очень информативным параметром, описывающим сложную геометрию поверхности деталей машин и механизмов. Наряду с существующими параметрами и показателями качества поверхности деталей фрактальная размерность является мощным средством при описании геометрии поверхностей с учётом их трёхмерной (пространственной) структуры, а также может широко использоваться при проектировании и создании трёхмерных моделей поверхности, имитационном моделировании течения рабочих сред в пористом слое, контактных задачах и решении многих других технических проблем.

Для определения фрактальной размерности используются различные аналитические и расчётные методы оценки. В данной статье рассмотрены три метода оценки фрактальной размерности применительно к обработке данных на ЭВМ и даны сравнительные оценки этих методов.

Исходными данными для определения фрактальной размерности является информация о поверхности виде совокупности высот вершин в специальном формате. В Московском государственном индустриальном университете под руководством В.В. Порошина была разработана методика оцифровки поверхности с учётом трёхмерной геометрии.

Данные после оцифровки записывались на диск персонального компьютера в формате map.

В процессе исследований была сформирована база данных по некоторым поверхностям с разными видами обработки.

При нахождении фрактальной размерности были использованы карты поверхностей с различными видами обработки. В работе [2] рассмотрен метод "размахов" Хёрста (H.Hurst и др., 1965). Согласно Хёрсту, исходными данными служит ограниченный объём значений какого-либо параметра Х, измеренный через равные промежутки времени. В нашем случае вместо параметра Х используем информацию о профиле поверхности (профилограмму) в виде совокупности Z-координат, замеренных через равные расстояния, а именно через 5 мкм.

Методика определения фрактальной размерности заключается в следующем.

1. Выделяем первую трассу (профилограмму) оцифрованной поверхности.

2. Находим среднее выборочное значение высот профиля (параметра Х) на исследуемой длине L:

3. Накопившееся отклонение высот профиля X(t) от среднего значения будет равно

.

4. Тогда выражение для размаха имеет вид

R(L)=max X(l,L)-min X(l,L).

5. Как показано Хёрстом, для многих рядов нормированный размах (размах, отнесённый к среднему квадратическому отклонению S) хорошо описывается степенной зависимостью

,

где H - показатель (или коразмерность) Хёрста.

6. В работе [2] показано, что размерность фрактальной поверхности связана с коразмерностью следующим простым соотношением:

D = 2-H.

Таким образом, значения размерности профиля фрактальной поверхности лежат в пределах 1<D<2.

7. После определения фрактальной размерности профиля первой трассы повторяем пункты 2 - 6 для других трасс оцифрованной поверхности.

8. Обработав полученные результаты, находим по методу наименьших квадратов значение фрактальной размерности для исследуемой поверхности.

Приведённую методику определения фрактальной размерности можно представить в виде блок-схемы (рис. 1) для реализации этого метода на ЭВМ.

Альтернативным методом определения фрактальной размерности самоподобного профиля поверхности является метод отрезков. Как и в первом методе, исходной информацией является оцифрованная карта поверхности. Метод заключается в определении предела

,

где n - число отрезков длинной r, укладывающихся на реализации профиля.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Блок-схема метода расчёта фрактальной размерности по Хёрсту

Процедура определения фрактальной размерности по методу отрезков выполняется следующим образом.

1. Выделяем исходную длину профилограммы L=2r, которую приравниваем к единице.

2. Выбираем отрезок r<L/2, считая, что r = k•L/2, где k = 0,5;0,4; …;0,01.

3. Подсчитываем число окружностей n(r) радиусом r, с помощью которых измерялась длина выделенного участка профиля.

4. Построив график зависимости n(r) от r в логарифмических координатах, находим два кроссовера (переход от номинально гладкой поверхности к шероховатой и от шероховатости к субшероховатости). В этих пределах (между двумя переходами) необходимо определить уравнение линии тренда линейной зависимости. Угловой коэффициент К линии тренда будет иметь отрицательное значение. Связь углового коэффициента с фрактальной размерностью профиля будет иметь вид D = 1 - 2·K, 1 < D < 2.

5. Повторяем пункты 1 - 4 для следующих трасс поверхности. Результатом будет число фрактальной размерности, полученное по методу наименьших квадратов из совокупности результатов, найденных в пунктах 1 - 4.

Процедуры анализа карт поверхности на ЭВМ этим методом усложняются. В простом случае их можно представить блок-схемой (рис. 2).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Блок-схема определения фрактальной размерности по методу отрезков

Метод покрытий основан на тех же процедурах, что и метод отрезков. Существенным отличием метода покрытий является то, что отрезки не пересекают поверхность, а покрывают её, касаясь в возможных точках. Положение первого отрезка рассчитывается с учётом его центра тяжести и профиля изучаемой поверхности. Отрезок ориентируется на поверхности профиля, касаясь их в двух точках, без учёта силы трения. Положение следующих отрезков ориентируется в зависимости от конечной точки предыдущего отрезка и профилограммы поверхности. Таким образом, профиль поверхности покрывается числом n отрезков размера r. С уменьшением размера r отрезков они всё ближе и ближе повторяют контур поверхности. Результатом, как и в предыдущем методе, является зависимость от . По углу наклона линии тренда на построенном графике можно судить о фрактальной размерности профиля поверхности: D = 1 - 2K, 1 < D < 2. Повторив перечисленные процедуры для других трасс оцифрованной поверхности и обработав данные по методу наименьших квадратов, можно сказать, что D = 2 - 2Ks, 1 < D < 2, где Ks - среднее значение угла наклона линии тренда.

По описанным методам была разработана программа, позволяющая выполнить данные расчёты (рис. 3).

Рис. 3. Пример определения фрактальной размерности

С помощью представленной программы был проведен ряд экспериментов на поверхностях из базы данных, сравнительные результаты которых показаны в таблице.

Таблица

Определение фрактальной размерности

Для определения фрактальной размерности поверхности был разработан так называемый метод покрытия "рваной сеткой". Его смысл заключается в следующем.

1. Берём квадратную ячейку площадью е и покрываем ею участок поверхности, ориентируя её строго по координатным осям. Положение первой ячейки определяется довольно сложным алгоритмом с использованием данных о топографии поверхности и расчетом центра тяжести ячейки.

2. Положение следующих ячеек зависит от положения края предыдущей ячейки и данных о топографии поверхности под ними. Таким образом, покрывается участок поверхности длиной L вдоль оси Ox лентой, состоящей из ячеек со стороной .

3. Независимо от первой ленты по приведённому алгоритму строим рядом другую ленту, и так продолжается до покрытия всей поверхности.

4. Рассчитываем площадь поверхности

,

Где

S - истинная площадь поверхности; S₀ - проекция поверхности на плоскость (номинальная плоскость); е - площадь элементарной ячейки, покрывающей поверхность; D_S - фрактальная размерность поверхности (2 < D_S < 3). фрактал геометрия топологический профиль

5. Уменьшаем площадь ячейки до размера стороны в и повторяем пункты 1 - 4. Тогда

.

Откуда

.

Если существует предел

, равный наклону (или угловому коэффициенту) К, то фрактальная размерность поверхности определяется выражением D_s = 2 - 2 · K, 2 < D_s < 3. Здесь угловой коэффициент К тоже имеет отрицательное значение. Его определение связано с нахождением точек в координатах ln S/S₀ - ln е при изменении площади ячеек, покрывающих поверхность. С помощью метода наименьших квадратов определяем угловой коэффициент К. Для оценки фрактальной размерности поверхности было разработано соответствующее программное обеспечение. Процедура метода покрытия поверхности (промежуточная стадия покрытия поверхности) понятна из рис. 4. На нем представлена поверхность (карта поверхности Se - map), покрытая по методу "рваной сетки". На рис. 5 представлено определение углового коэффициента с выводом площадей ячеек и поверхности.

Рис. 4. Покрытие поверхности ячейками

Рис. 5. Определение углового коэффициента и фрактальной размерности

Таким образом, применяя предложенные алгоритмы, можно найти фрактальную размерность поверхности, которая будет характеризовать топографические особенности её структуры (шероховатость) с учётом анизотропии. С помощью фрактальной размерности можно смоделировать шероховатую поверхность и использовать ее при решении инженерных задач.

Список литературы

1. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: [пер. с англ.] / Б. Мандельброт. - М.: Ин-т компьютерных исслед., 2002. - 656 с.

2. Федер, Е. Фракталы: [пер. с англ.] / Е. Федер. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

Материал поступил в редколлегию 03.04.06.

Размещено на Allbest.ru