Метод Бубнова-Галеркина для решения задач теории упругости

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Институт математики и компьютерных наук

Кафедра математического моделирования

Метод Бубнова-Галеркина для решения задач теории упругости

(выпускная квалификационная работа)



ВВЕДЕНИЕ

Особую важность имеют прикладные вопросы теории упругости. Например, теория пластин и оболочек. Теория оболочек находит применение в различных областях техники: в турбиностроении, котлостроении, в строительстве резервуаров хранения жидкости и газа, в трубопроводах различных назначений. Они испытывают к внутренней поверхности давление: пара, газа или жидкости.

Задачи теории упругости и тонких оболочек сложны и при решении большинства задач не удается получить точное решение. В связи с этим большое значение имеют приближенные методы решения таких задач. В частности, одним из таких методов является метод Бубнова-Галеркина. Актуальным является вопрос о развитии и модификации приближенных методов, в частности, метода Бубнова-Галеркина.

Особенность представленного метода Бубнова-Галеркинав том, что он достаточно прост в реализации.

Целью данной работы является изучение метода Бубнова-Галеркина и научиться применять для решения задач теории упругости, в частности задач теории оболочек. В ходе выполнения данной работы решались следующие задачи:

рассчитаны смещения срединной поверхности, проведен сравнительный анализ полученных результатов с аналитическими решениями.



ГЛАВА 1. ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК

§1. Основные понятия теории тонких оболочек

Оболочкой называется тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с прочими размерами тела.

Тонкая оболочка - это упругое трехмерное тело, которое ограничено двумя криволинейными поверхностями. При этом предполагается, что расстояние h между ними мало в сравнении с характерными радиусами R их кривизны.

Поверхность, равностоящая от наружной ивнутренней поверхностей оболочки, носит название срединной поверхности.

Гипотезы

В основе теории упругих оболочек лежат гипотезы, физический смысл которых показывает общность принципиальной постановки задач для балок, пластинок и оболочек.

Эти гипотезы формулируются следующим образом:

1.Прямолинейный элемент, перпендикулярный срединной поверхности до деформации, остается прямым и перпендикулярным деформированной срединной поверхности и не изменяет своей длины.

2. Нормальные напряжения на площадках, параллельных срединной поверхности, пренебрежимо малы‚ по сравнению с прочими напряжениями.

Эти гипотезы переносят по существу физические принципы, заложенные в теории расчета балок, на двухмерные тела - плиты и оболочки.

Различают моментную и безмоментную теорию.

В моментной теории оболочек учитываются линейные составляющие функций изменения напряжений по толщине оболочки.

Приближенное решение моментной теории оболочек вращения предполагает расчленение напряженно-деформированного состояния на безмоментное и краевой эффект. Краевому эффекту соответствует аналитическое решение моментной теории, справедливое в сравнительно узкой зоне оболочки

Безмоментная теория оболочек представляет собой упрощенный вариант общей теории, в котором пренебрегают влиянием изгибающих и крутящих моментов, а также поперечных сил на напряженно-деформированное состояние.

В безмоментной теории оболочек предполагается, что равнодействующие напряжений действуют в срединной поверхности. При этом оболочка не оказывает сопротивления изгибу и кручению.

§2. Основные уравнения теории оболочек

Основные уравнения теории оболочек.

Уравнения равновесия.

Геометрические уравнения.

Физические уравнения:

Основные уравнения для цилиндрической оболочки в системе координат x, и. A=1, B=R=const

Уравнения равновесия.

Геометрические уравнения.

- угол поворота касательной к поперечному сечению при деформации.

Физические уравнения:

-параметры кривизны.

- коэффициенты искажения.

- кривизны координатных линий.

- радиус кривизны.

- коэффициент Пуассона.

- коэффициент жесткости.

- перемещения.

Е - модуль юнга.



ГЛАВА 2. МЕТОД БУБНОВА-ГАЛЕРКИНА

§1. Общие положения

Метод успешно применялся русским кораблестроителем И.Г. Бубновым при расчете обшивки кораблей, и в дальнейшем получил развитие в трудах Б. Г. Галеркина.

Метод БубноваГалеркина не относится к вариационным, хотя в некоторых вариантах может интерпретироваться как метод возможных перемещений. Но этот метод является одним из наиболее часто используемых методов расчета в инженерной практике, в частности при расчете пластин и оболочек.

В основе метода БубноваГалеркина лежит понятие ортогональности функций.

Две функции f(x) и (х) называются ортогональными в интервале ахb, если выполняется условие

(1.1)

Кроме понятия ортогональности функций введем понятие линейной независимости и полноты системы функций.

Система функций 1(x), 2(x), 3(x),… n(x) называется линейно независимой, если выполняется условие

при любых х только тогда, когда все коэффициенты Аk (k = 1, 2,3...п) равны нулю.

Пусть имеется бесконечная система линейно независимых функций m(х) и функция f(x). Если функция f(x) в интервале [а,b] может быть представлена в виде ряда

, (1.2)

то говорят, что функция f(x) разложена в ряд Фурье по системе функций m(х), а само разложение - рядом Фурье функции f(x). Если m(х) - система ортогональных функций, то коэффициенты ряда Фурье сn определяются по формуле

. (1.3)

В случае не ортогональной системы функций коэффициенты cn ряда Фурье определяются из бесконечной системы алгебраических уравнений

, n = 1, 2, 3,… (1.4)

где , .

Функцию можно раскладывать в ряды не только по системе тригонометрических функций, но и по любой другой полной системе линейно независимых функций. Для этой цели используются, например, функции Бесселя, или системы классических ортогональных полиномов и т.д.

Линейно независимая система функций m(х) называется полной на данном множестве функций в интервале [а,b], если при разложении любой функции из этого множества функций в ряд Фурье по системе функций m(х) и любой точки х [а,b] для точки x из интервала (х -< х< х+) и как угодно малых и найдется такое N > 0, что будет выполняться условие

.

Иными словами, для любой точки x интервала [а,b] найдется точка x в как угодно малой -окрестности точки x, в которой разложение функции f(x) в ряд Фурье при удержании достаточного числа членов ряда N будет как угодно мало отличаться от значения функции в точке x.

§2. Решение с помощью метода БубноваГалеркина

Пусть дано дифференциальное уравнение

L[f(x)] -g(x) = 0,

где L - некоторый дифференциальный оператор; g(x) - заданная функция.

Функция f(x) удовлетворяет граничным условиям, число которых соответствует порядку дифференциального оператора

f(a) = A, f(b) = В, f'(a) = A1, f'(b) = B1,...

Например, дифференциальное уравнение изгиба балки можно записать в виде:

,

=0, (2.1)

где y(x) - функция прогиба балки; EJz - изгибная жесткость балки (в общем случае переменная); q(x) - распределенная поперечная нагрузка.

Для дифференциального уравнения изгиба балки, порядок которого равен четырем, задается четыре граничных условия. Так, если дана однопролетная шарнирно опертая балка с длиной пролета l, то граничные условия задаются следующим образом:

y(0) = y'(0) = y(l) = y'(l) = 0.(2.2)

Решение дифференциального уравнения (2.1) будем искать в виде ряда

, (2.3)

где fm(х) - произвольно выбранные функции, удовлетворяющие граничным условиям (2.2), но не удовлетворяющие в общем случае дифференциальному уравнению (2.1); Am - произвольные коэффициенты. Тогда, в общем случае, ряд (2.3) не удовлетворяет дифференциальному уравнению (2.1):

(2.4)

где F(x) - невязка полученного решения.

Очевидно, что невязка полученного решения (отличие от нуля) существенно зависит от значений неопределенных коэффициентов Аm. Потребуем выполнения условий ортогональности функции F(x) некоторой полной системе линейно независимых функций n(x)

(2.5)

где , .

n= 1, 2, 3…

Таким образом, получена система алгебраических уравнений

, n=1,2,3,… (2.6)

из решения которой определяются коэффициенты Аm, такие что функция F(x) ортогональна полной системе линейно независимых функций и, следовательно, она тождественно равна нулю:

,

т.е. решение дифференциального уравнения (2.1) в виде ряда (2.4) с коэффициентами, определяемыми из системы уравнений (2.6), удовлетворяет дифференциальному уравнению и граничным условиям и, следовательно, является решением исходной задачи.

Система алгебраических уравнений (2.6) в общем случае является полной бесконечной системой. На практике решение которой в общем виде возможно лишь при определенных соотношениях между коэффициентами системы, поэтому обычно ограничиваются конечным числом членов ряда, получая таким образом приближенное решение.

Более простое решение получается, если системы функций L[fm(x)] иn(х) взаимно ортогональны в интервале интегрирования. Тогда метод БубноваГалеркина приводит к системе независимых алгебраических уравнений для каждого неизвестного коэффициентаАmи, следовательно, можно получить точное решение задачи.

Заметим, что для удовлетворения граничных условий приходится применять системы функций довольной сложной структуры.



ГЛАВА 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

§1. Постановка задачи и аналитическое решение

Рассмотрим резервуар круглой цилиндрической формы, наполненный жидкостью. Введем цилиндрическую систему координат, гидростатическая нагрузка в данной системе координат x, и определиться формулой:

,

где q - удельный вес жидкости в резервуаре,

- высота резервуара,

P - вес жидкости.



Нижний край оболочки не может свободно перемещаться, так как связан с основанием. На этом крае возникают статически неопределимые осесимметричные краевые усилия Qи изгибающие моменты M. В следствие действия этих сил в оболочке возникают усилия изгибного состояния M1, M2, Q1.Однако, в силу симметрии нагрузки все усилия будут постоянны по окружности и сдвигающие силы, крутящие моменты, перерезывающая сила Q2 - будут равны нулю.

При данных условиях уравнения равновесия примут вид:

(1.1)

(1.2)

(1.3)

Из (1.1) =>N1=const.

Далее примем N1 равными нулю. Эти силы могут возникнуть при действии распределенной, продольной нагрузки и будут равны внешним силам.

Из (3) =>(1.4)

Подставим (1.4) в(1.2):

(1.5)

с учетом равенства нулю перемещений и производныхи из физических уравнений получаем:

, ,(1.6)

Подставим (6) в (5):

=>

(1.7)

Уравнение (1.7) основное уравнение данной задачи.

Пусть решение (1.7) имеет вид: w=w0+w1, где w0 - решение соответствующего однородного уравнения, w1 - частное решение уравнения.

(1.8)

Проверим, что (1.8) является частным решение (1.7):

w0 получим, решая однородное уравнение:

(1.9)

Пусть

Тогда решая данное уравнение

=> =>

=

==

=

D1, D2, D3, D4 -действительные произвольные постоянные.

Общее решение уравнения (1.7):Обозначим (1.10)

Граничные условия:

Для резервуара со стенками, жестко закрепленными у основания и свободными у верхнего края, граничные условия принимают вид:



, , , (1.11)

При достаточно длинной оболочке в общем решении член быстро убывает по мере удаления от края x=l, а член - быстро убывающий по мере удаления от края x=0. При достаточной длиной оболочке оба члена общего решения имеют самостоятельное значение. Первый описывает деформированное напряженное состояние у края x=l, второй у края x=0. В случае высокого резервуара с защемленными у основания стенками выражение для прогиба примет вид:

Нахождение D1, D2, D3, D4 с помощью граничных условий (1.11):

=> (1.12a)

=>

=>

(1.12б)

=>

0

(1.12в)

=>

(1.12г)

Получена система:

(1.13а)

(1.13б)

(1.13в)

(1.13г)

§2. Приближенное решение

Исходное дифференциальное уравнение:



, где (2.1)

,

Данное дифференциальное уравнение удовлетворяет следующим граничным условиям:

, , , (2.2)

Решение уравнения (2.1) будем искать в виде:

, где

(2.3)

Данные функции являются ортогональными и удовлетворяют граничным условия (2.2), однако не удовлетворяют уравнению (2.1) в общем случае.

Составим невязку:

Потребуем выполнения условий ортогональности F(x) и функций (2.3):



По одинаковым индексам выполняется суммирование, где

- функции являются ортогональными, поэтому Bmn=0 при m?n.

Получаем СЛАУ: каждое уравнение которого является независимым => (2.4), где

Найденные коэффициенты An из уравнения (2.4) подставляются в (2.3), что дает приближенное решение уравнения (2.1).

§3. Сравнительный анализ решений

Построим графики полученных решений.

Пусть резервуар стальной:

Высота круглого цилиндра l=10м, радиус R=2м.

Удельный вес жидкости в резервуаре q=10

По оси абсцисс будем откладывать высоту цилиндра, по оси ординат будем откладывать смещение срединной поверхностиW.

Синим цветом построим приближенное решение, полученное по методу Бубнова-Галеркина, ограничившись в разложении 11-ю членами,красным - аналитическое.

Видно, что приближенное решение достаточно хорошо описывает процесс деформирования резервуара.



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Итак, в работе представлено аналитическое и приближенное решения задачи о гидростатическом давлении в резервуаре, проведен их сравнительный анализ.

В ходе выполнения работы разработан программный продукт с использованием системы символьной математики Maple, реализующий метод Бубнова-Галеркина.

По существу, любая задача, для которой можно выписать определяющее уравнение может быть решена с помощью метода Бубнова-Галеркина. Данный метод сравнительно прост в реализации, дает достаточную точность вычислений и может применяться к решению задач механики твердого тела.



СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

задача упругость оболочка

Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. Изд. 2-е, доп. М. Изд-во: «Высшая школа», 1972. 296 с.

Иванов В.Н. Вариационные принципы и методы решения задач теории упругости: Учеб. пособие ? М.: Изд-во РУДН, 2004. ? 176 с

Флетчер К. Численные метода на основе метода Галеркина: Пер. с англ.-М.:Мир, 1988. - 352c.

Новожилов В.В. Теория упругости. СУДПРОМ ГИЗ, 1958. - 370с.

Размещено на Allbest.ru