Размещено на http://www.allbest.ru/

Линейные электрические цепи с источниками периодических негармонических воздействий

Содержание

1. Периодические несинусоидальные токи и напряжения

2. Максимальное, среднее, действующее значения несинусоидальной функции

3. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции

4. Активная и полная мощность несинусоидального тока

5. Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных периодических воздействиях

6. Высшие гармоники в трехфазных цепях

1. Периодические несинусоидальные токи и напряжения

Периодическими несинусоидальными токами и напряжениями называют токи и напряжения, изменяющиеся во времени по периодическому несинусоидальному закону. На рис. 2.1 представлена такая кривая, период повторения которой Т. Эта кривая может быть описана функцией

(2.1)

где n=0, 1, 2 и т.д.

Причины появления несинусоидальных сигналов:

Источник тока или источник напряжения генерируют несинусоидальный ток или несинусоидальную ЭДС, а все элементы цепи (R, L, C) линейны, т.е. от величины тока не зависят.

Источник тока или источник напряжения генерируют синусоидальный ток или синусоидальную ЭДС, но один или несколько элементов цепи нелинейны (вентиль, электрическая дуга, катушка со стальным магнитопроводом).

Воздействие периодических помех на синусоидальный сигнал.

Использование генераторов сигналов специальной формы (пилообразной, ступенчатой, прямоугольной) в автоматике, вычислительной технике, в различных устройствах радиосвязи.

Существует два пути расчета линейной электрической цепи при воздействии сигналов такой формы:

1. Применение специальных математических приемов, отражающих состояние цепи в каждый момент времени, что приводит к сложной системе дифференциальных уравнений. Поэтому он не нашел применения в инженерных расчетах.

2. Сведение сложной задачи к совокупности более простых и применение известных методов расчета их с учетом особенностей воздействующего сигнала.

Известно, что любая периодическая несинусоидальная функция f(t) с периодом 2, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. имеющая на всяком конечном интервале времени конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в тригонометрический ряд, т.е. быть представлена в виде суммы гармонических составляющих - ряд Фурье. Все периодические сигналы, используемые в электротехнике, удовлетворяют условиям Дирихле, поэтому проводить проверку на выполнение условия Дирихле нет необходимости.

Гармонический ряд в тригонометрической форме имеет вид:

(2.2)

где - постоянная составляющая или нулевая гармоника, равная среднему значению функции за период;

A_km и B_km - амплитуды косинусоидальных и синусоидальных составляющих.

Как известно из курса математики, коэффициенты ряда Фурье , A_km и B_km определяются с помощью формул:

Сумма косинусоид и синусоид, выражаемая формулой (2.2), может быть представлена в виде суммы только одних синусоид с соответствующими начальными фазами, так называемая амплитудно-фазовая форма:

(2.3)

где F₀ - постоянная составляющая;

f₁ - основная синусоида, или первая гармоника;

f₂, …, f_k - высшие гармоники;

F_km - амплитуда k - ой гармоники;

_k - начальная фаза k - ой гармоники;

₁ - частота повторения первой (основной) гармоники, ;

Т - период несинусоидальной периодической функции.

Гармоники, для которых k - нечетное число, называют нечетными, для которых k - четное число, - четными.

Поскольку

то из сравнения двух форм записи гармонического ряда (2.2) и (2.3) имеем

(2.4)

Соотношения (2.4) позволяют переходить от ряда Фурье в виде (2.3) к виду (2.2). Обратный переход осуществляется по формулам

(2.5)

В общем случае ряд Фурье содержит бесконечное число членов. Однако обычно он быстро сходится и достаточно взять небольшое число гармоник для получения требуемой точности.

Существуют приборы, именуемые гармоническими анализаторами, позволяющие определять коэффициенты A_k и B_k или механически по заданному графику кривой f(t), или электрически путем подачи на зажимы прибора исследуемого несинусоидального напряжения.

Периодические несинусоидальные функции, описывающие изменения токов или напряжений в электрических цепях, обычно обладают каким-либо видом симметрии, и это облегчает разложение их в ряд Фурье.

В ряде случаев целесообразно представить ряд Фурье в комплексной форме:

(2.6)

где

(2.7)

В выражении (2.6) каждой k-й гармонике отвечает сумма двух сопряженных членов (при q = + k и при q = - k), равная удвоенной вещественной части каждого из этих членов:

(2.8)

Обозначив , имеем

(2.9)

где

Таким образом, величина

(2.10)

представляет собой комплексную величину k-ой гармоники

(2.11)

где

Совокупность амплитуд всех гармоник данной функции может рассматриваться как дискретный спектр этой функции. Его можно представить на графике в виде спектра значений амплитуд и спектра значений фаз. По оси абсцисс откладываем значения, равные частотам гармоник. Для каждой частоты гармоник откладываем от оси абсцисс параллельно оси ординат отрезки, длины которых равны амплитудам A_k или начальным фазам _k гармоник. При этом A_k > 0, а _k может быть как положительным, так и отрицательным. Такие характеристики носят название дискретных спектров или дискретных частотных характеристик - соответственно амплитудно-частотной и фазо-частотной характеристик.

При построении спектра периодического сигнала по оси абсцисс откладывают кратные основной частоте значения частот гармонических составляющих. Обратим внимание на то, что чем больше период функции f(t), тем плотнее расположены спектральные линии и соответственно меньше значения амплитуд гармонических составляющих. Разумеется, в конкретных случаях те или иные частотные составляющие спектра сигнала могут отсутствовать, но составляющих, частота которых не кратна основной частоте, спектр содержать не может.

Пример. Определим спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов амплитуды F₀ с длительностью, раной половине периода, T/2 (рис. 2.2, а). Аналитическое выражение временной зависимости рассматриваемого сигнала на периоде имеет вид

Если за начало отсчета выбрать начало координат, то функция обладает четной симметрией и содержит только косинусные составляющие с коэффициентами A_k. Определим амплитуду k-й гармоники

Отсюда

Найденные коэффициенты позволяют записать разложение Фурье:

Спектры амплитуд и фаз принимают следующие значения:

и изображены на диаграммах рис. 2.2,б и 2.2 в.

2. Максимальное, среднее, действующее значения несинусоидальной функции

Максимальное значение несинусоидальной периодической функции - наибольшее по модулю значение функции за период.

Среднее по модулю значение определяется по формуле:

(2.12)

Если кривая f(t) симметрична относительно оси абсцисс и в течение половины периода ни разу не изменила знака, то среднее по модулю значение равно среднему значению за половину периода:

причем начало отсчета времени в этом выражении должно быть выбрано так, чтобы f(0)=0. Если за весь период функция ни разу не изменила знака, то среднее по модулю значение равно постоянной составляющей.

При несинусоидальных периодических воздействиях, как и при синусоидальных, обычно под значением ЭДС, тока или напряжения понимают действующее значение.

Действующее значение несинусоидальной функции - среднеквадратическое за период от мгновенного значения этой функции

(2.13)

Рассмотрим действующее значение на примере напряжения. Пусть

тогда

(2.14)

Рассмотрим интегралы от каждого из слагаемых в отдельности.

это квадрат постоянной составляющей напряжения;

т.к. этот интеграл по определению равен квадрату действующего значения U_k гармонической составляющей напряжения k-й гармоники;

т.к. интеграл от синусоидальной величины за целое число периодов равен нулю;

где p q; подынтегральное выражение является разностью двух косинусоидальных функций, интеграл каждой из которых за целое число периодов равен нулю.

Таким образом, действующее значение периодического несинусоидального напряжения

(2.15)

т.е. действующее значение периодического несинусоидального напряжения равно корню квадратному из суммы квадратов постоянной составляющей и квадратов действующих значений всех гармонических составляющих. Так же определяется действующее значение периодического несинусоидального тока:

(2.16)

Аналогичным образом определяется действующее значение любой другой периодической несинусоидальной величины.

Несинусоидальные токи и напряжения измеряют приборами различных систем. Приборы электромагнитной, электродинамической и тепловой систем реагируют на действующее значение, магнитоэлектрические приборы с выпрямителем - на среднее значение, магнитоэлектрические без выпрямителя - на постоянную составляющую.

3. Коэффициенты, характеризующие периодические несинусоидальные функции

В электротехнике при оценке несинусоидальных периодических кривых пользуются коэффициентом формы кривой k_ф, коэффициентом амплитуды k_а и коэффициентом искажения k_и.

Коэффициент формы определяется как отношение действующего значения функции к среднему значению функции, взятой по модулю:

(2.17)

Коэффициент амплитуды определяется как отношение максимального значения функции к ее действующему значению:

(2.18)

Для синусоиды

Коэффициент искажения определяется как отношение действующего значения основной (первой) гармоники к действующему значению всей функции:

 (2.19)

Для синусоиды .

В электронике и радиотехнике для оценки искажений пользуются коэффициентом гармоник, определяемым как отношение действующего значения высших гармоник к действующему значению основной гармоники:

(2.20)

4. Активная и полная мощность несинусоидального тока

Выражение мгновенной мощности

(2.21)

справедливо для токов и напряжений с любой формой кривой.

Под активной мощностью несинусоидального тока понимают, как и в цепях синусоидального тока, среднее значение мгновенной мощности за период первой гармоники:

(2.22)

Если представить напряжения и ток рядами Фурье

несинусоидальный ток электрический цепь



то активная мощность будет представлена суммой интегралов таких же четырех типов, что и при рассмотрении действующего значения периодического несинусоидального тока.

Таким образом,

(2.23)

где

Активная мощность при периодических несинусоидальных токах и напряжениях равна сумме активных мощностей постоянной (мощности постоянного тока) и всех гармонических составляющих тока и напряжения.

Реактивной мощностью периодических несинусоидальных токов можно условно считать величину, равную сумме реактивных мощностей отдельных гармоник:

(2.24)

По аналогии с синусоидальными токами вводят понятие полной мощности, определяемой как произведение действующих значений токов и напряжений:

(2.25)

В отличии от цепи синусоидального тока,

(равенство имеет место при активной нагрузке). Это объясняется тем, что полная мощность содержит все гармоники, в том числе и произведения токов и напряжений разной частоты, поэтому для несинусоидальных токов в квадрат полной мощности обычно больше суммы квадратов активной и реактивной мощностей

Мощность искажения

(2.26)

характеризует степень различия в формах кривых напряжения u и тока i.

По аналогии с синусоидальными функциями отношение активной мощности при несинусоидальных токах к полной мощности условно называют коэффициентом мощности

(2.27)

, если цепь обладает только одним активным сопротивлением, во всех остальных случаях .

Пусть напряжение синусоидально, а ток несинусоидален. В этом случае



Действующее значение тока

Следовательно,

Таким образом, появление высших гармоник в кривых напряжения и тока приводит к снижению коэффициента мощности по сравнению со случаем, когда ток и напряжение при тех же действующих значениях синусоидальны. Следовательно, уже хотя бы в этом отношении появление высших гармоник нежелательно. Поэтому стремятся конструировать генераторы переменного тока так, чтобы кривая ЭДС в них была по возможности близка к синусоиде.

5. Расчет линейной электрической цепи при несинусоидальных периодических воздействиях

Если в линейной электрической цепи действует один или несколько источников несинусоидальных периодических ЭДС и токов, то расчет такой цепи ведется в три этапа.

Разложение ЭДС и токов источников на постоянную и синусоидальные составляющие, т.е. в ряд Фурье. Часто встречающиеся в электротехнике периодические кривые и их разложение в ряд Фурье приведены в учебниках по ТОЭ и математических и электротехнических справочниках.

Применение принципа наложения, согласно которому мгновенное значение тока любой ветви (напряжения на любом участке) равно сумме мгновенных значений токов (напряжений) отдельных гармоник, и расчет токов и напряжений в цепи для каждой гармоники в отдельности.

Совместное рассмотрение решений, полученных для каждой из составляющих.

Рассмотрим подробнее второй этап, представляющий собой основную часть расчета.

Пусть несинусоидальная ЭДС представлена в виде суммы постоянной и синусоидальных составляющих

тогда согласно принципу наложения источник несинусоидальной ЭДС можно рассматривать как последовательное соединение источника постоянной ЭДС и источников синусоидальных ЭДС с различными кратными частотами (рис. 2.3):

.

Если заданы токи несинусоидальных источников, то подход к решению задачи остается таким же. Источники несинусоидального тока можно представить в виде параллельного соединения нескольких источников, синусоидальный ток каждого из которых равен соответствующей составляющей несинусоидального тока (рис. 2.4).

Далее можно определить токи и напряжения, возникающие от действия постоянных составляющих ЭДС и задающих токов источников, после этого - токи и напряжения от действия первых гармоник, затем от вторых гармоник и т.д. Мгновенное значение тока или напряжения в цепи будет равно сумме мгновенных значений составляющих токов или напряжений от действия каждого из источников. Если, например, в какой-либо ветви токи, создаваемые ЭДС E₀, e₁, e₂, соответственно равны I₀, i₁, i₂, то полный ток

Таким образом, расчет линейной цепи с несинусоидальными воздействиями сводится к решению n задач с синусоидальными ЭДС, где n - количество синусоидальных составляющих ЭДС различных частот, и одной задачи с постоянной ЭДС. При этом необходимо помнить, что напряжение на индуктивности от постоянного тока равно нулю (), а постоянный ток через емкость не проходит (). Следует также учитывать, что индуктивное сопротивление растет прямо пропорционально частоте; поэтому для k-ой гармоники

 (2.28)

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты; поэтому для k-ой гармоники X_Ck в k раз меньше, чем для первой гармоники

(2.29)

Поскольку каждая составляющая в (2.3) является либо постоянной, либо синусоидальной функцией времени, то для расчета каждой из них в отдельности могут быть применены все методы расчета цепей: метод контурных токов, метод узловых потенциалов и т.д. При расчете каждой из гармоник можно пользоваться символическим методом и строить векторные диаграммы для каждой из гармоник в отдельности. Однако недопустимы суммирование векторов и сложение комплексных напряжений и токов различных гармоник, поскольку угловые скорости вращения векторов различных частот неодинаковы. Суммировать можно лишь мгновенные значения, выраженные как функции времени. При вычерчивании графиков отдельных гармоник следует помнить, что период гармоники обратно пропорционален ее номеру. Следовательно, если по оси абсцисс отложить t, то, соблюдая один и тот же масштаб, вместо углов _k надо откладывать углы.

Таким образом, алгоритм расчета цепи с несинусоидальными периодическими воздействиями следующий:

Разложение ЭДС и/или задающего тока источника в тригонометрический ряд Фурье.

Расчет токов и напряжений для каждой гармоники.

2.1. Для постоянной составляющей цепь преобразуется с учетом того, что X_L(0) = 0, X_C(0) = , и рассчитывается одним из методов постоянного тока.

2.2. Для основной (первой) гармоники символическим методом (метод контурных токов, метод узловых потенциалов, метод эквивалентного генератора, метод наложения) рассчитываются необходимые токи и напряжения.

2.3. Для высших гармоник определяются параметры цепи по формулам (2.28) и (2.29) и при использовании того же метода расчета, что и в 2.2, рассчитываются токи и напряжения.

Совместное рассмотрение решений для каждой гармоники.

Пример. Определить ток i₁(t) в цепи на рис. 2.5.

Известно, что в цепи действует несинусоидальный периодический источник

и

Для определения тока i₁(t) необходимо независимо рассчитать три схемы (рис. 2.5).

Постоянную составляющую тока i₁(t) находим, используя схему рис. 2.6, а. Поскольку конденсатор не пропускает постоянный ток, а индуктивность представляет нулевое сопротивление постоянному току, то схема становится одноконтурной и постоянная составляющая тока i₁(t)

где первый индекс означает номер ветви, а второй индекс, заключенный в скобки, - номер гармоники.

Первую гармонику тока находим в соответствии со схемой рис. 2.6, б. Из условия задачи ясно, что на частоте ₁ в цепи наблюдается резонанс напряжений, поэтому

Примечание: если воздействующая ЭДС несинусоидальна, то в электрической цепи могут возникать резонансные режимы (резонансы токов или резонансы напряжений) не только на первой гармонике, но и на высших гармониках. Под резонансом на k-ой гармонике понимают такой режим работы, при котором ток k-ой гармоники на входе цепи по фазе совпадает с k-ой гармоникой действующей на входе ЭДС (но при этом токи остальных гармоник не совпадают по фазе с вызвавшими их ЭДС). Резонанса можно достичь, изменяя частоту, емкость или индуктивность. При возникновении резонансного или близкого к нему режима на какой-либо высшей гармонике токи или напряжения этой гармоники могут оказаться большими, чем токи и напряжения первой гармоники на участках цепи, несмотря на то, что амплитуда соответствующей высшей гармоники ЭДС на входе цепи может быть в несколько раз меньше амплитуды первой гармоники ЭДС.

Вторую гармонику определяем в соответствии со схемой рис. 2.6, в. Определим сопротивления реактивных элементов

Комплексное действующее значение второй гармоники тока i₁

.

Мгновенное значение тока i₁(t) для схемы на рис. 2.5 равно сумме мгновенных значений тока отдельных гармоник:



Действующее значение тока

6. Высшие гармоники в трехфазных цепях

Фазные ЭДС симметричного трехфазного генератора часто содержат высшие гармоники. Каждая ЭДС (e_A, e_B, e_C) повторяет по форме все остальные со сдвигом на одну треть периода и может быть разложена на гармоники. Постоянная составляющая обычно отсутствует.

Пусть k-ая гармоника ЭДС фазы А

(2.30)

Поскольку ЭДС фазы B отстает от ЭДС фазы А на , а ЭДС фазы С опережает ЭДС фазы А на , то k-ая гармоника ЭДС фазах B и C соответственно равны

(2.31)

(2.32)

Сравнивая полученные выражения для различных значений k, можно заметить, что ЭДС гармоник порядка, кратного трем (k = 3n, где n - любое целое число), во всех фазах в любой момент времени имеют одно и то же значение и направление (все три ЭДС проходят через максимум одновременно - нулевая последовательность фаз). При k = 3n+1 гармоники трех фаз образуют симметричную систему ЭДС, последовательность которой совпадает с последовательностью фаз первой гармоники (ЭДС проходят через максимумы в порядке A, B, C - прямая последовательность фаз). При k = 3n+2 гармоники образуют симметричную систему ЭДС с последовательностью, обратной основной (ЭДС проходят через максимумы в порядке A, C, B - обратная последовательность фаз).

Кривые ЭДС, индуктируемые в обмотках трехфазных генераторов, симметричны относительно оси абсцисс и в их разложении отсутствуют постоянные составляющие и четные высшие гармоники. Поэтому в дальнейшем ограничимся исследованием только нечетных гармоник.

Рассмотрим особенности работы трехфазных цепей, вызываемые гармониками, кратными трем.

1. При соединении обмоток трехфазного генератора в треугольник (рис. 2.7, а) по ним будут протекать токи гармоник, кратные трем, даже при отсутствии внешней нагрузки.

Алгебраическая сумма первых гармоник фазных ЭДС и всех высших гармоник, не кратных трем, в контуре треугольника равна нулю. Поэтому от этих гармоник при отсутствии нагрузки по замкнутому треугольнику ток протекать не будет. Гармоники же, порядок которых кратен трем, совпадают по фазе во всех фазных обмотках, поскольку образуют систему нулевой последовательности, и их сумма равна (алгебраическая сумма гармоник, не кратных трем, равна нулю). Тогда ток третьей гармоники в треугольнике равен

(2.33)

где - сопротивление обмотки каждой фазы для третьей гармоники.

Аналогичные выражения можно получить для всех гармоник, кратных трем. Тогда действующее значение тока, протекающего по замкнутому треугольнику

(2.34)

Падения напряжения в обмотках вследствие протекания этого тока компенсируют вызывающие ток ЭДС. Поэтому напряжения между выводами фаз не содержат гармоник, порядок которых кратен трем.

2. Если соединить обмотки трехфазного генератора в открытый треугольник (рис. 2.7, б), то при наличии в фазных ЭДС гармоник, кратных трем, на зажимах В и В' будет напряжение, равное сумме ЭДС гармоник, кратных трем:

(2.35)

Показание вольтметра в схеме на рис. 2.7, б

 (2.36)

Открытый треугольник с ЭДС, содержащими высшие гармоники, применяется как утроитель частоты.

3. В линейном напряжении независимо от того, в звезду или треугольник соединены обмотки генератора, кратные трем гармоники отсутствуют.

Эту особенность рассмотрим для режима холостого хода генератора, т.е. когда внешняя нагрузка отсутствует. Однако это свойство справедливо и при наличии нагрузки.

Рассмотрим сначала схему соединения в треугольник (рис. 2.7, а)

(2.37)

где, - третьи гармоники потенциалов соответственно точки А и точки В.

Но , следовательно, .

При соединении в звезду линейное напряжение третьей гармоники равно разности соответствующих фазовых напряжений. Так как третьи гармоники в фазовых напряжениях образуют системы нулевой последовательности, т.е. совпадают по фазе, то при составлении этой разности они вычитаются. В фазовом напряжении могут присутствовать все гармоники (постоянная оставляющая обычно отсутствует). Следовательно, действующее значение фазового напряжения

а в линейном напряжении отсутствуют гармоники, кратные трем, поэтому

Отсюда следует, что

(2.38)

При соединении генератора и симметричной нагрузки в звезду и при отсутствии нейтрального провода токи третьих и других гармоник нулевой последовательности не могут протекать по линейным проводам, т.к. в такой схеме сумма токов в любой момент времени должна равняться нулю, что невозможно при наличии высших гармоник порядка, кратного трем. Поэтому в приемнике нет напряжений от токов нулевой последовательности и между нейтральными точками генератора и симметричной нагрузки может появиться значительное напряжение, содержащее только гармоники, кратные трем, которое может достигать опасных для жизни значений:

а его действующее значение

(2.39)

В схеме звезда - звезда при симметричной нагрузке фаз при наличии нулевого провода по нему протекает ток тройной частоты:

 (2.40)

где - сопротивление нагрузки для третьей гармоники;

- сопротивление нулевого провода для третьей гармоники.

По каждому линейному проводу будет протекать ток . Аналогично можно найти другие токи от гармоник, кратных трем.

Размещено на Allbest.ru