Расчёт цепей постоянного и переменного тока

Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

контурный ток переменный кирхгоф

Введение

1. Расчет электрической цепи методом «свёртки»

2. Баланс мощностей

3. Законы Кирхгофа

4. Метод контурных токов

5. Метод суперпозиции наложения

6. Переменный ток

Список используемой литературы

Введение

Главной задачей расчёта электрических цепей является определение токов отдельных элементов цепи (источников, приёмников, приборов). Определив значение тока легко найти напряжение, мощность. Значение этих величин необходимо для того, чтобы правильно выбрать или оценить условие работы элементов цепи (путём сравнения рабочих величин с номинальными) расчёты проводят по схемам электрических цепей.

Схема электрической цепи в качестве модели изучаемых и анализируемых электромагнитных процессов в технических системах, устройствах и приборов нашла наибольшее применение благодаря следующим достоинствам.

Во-первых, схема электрической цепи по наглядности и графическому изображению в большей степени соответствует исходной схеме системы или прибора.

Во-вторых, схема электрической цепи позволяет математически описать процессы (составить их математическую модель) на основе математического аппарата законов, правил, математических соотношений, сформулированных для электрической цепи и её элементов.

В-третьих, схема цепи позволяет реализовать её физическую модель из ограниченного числа электротехнических приборов и деталей.

Основными элементами электрической цепи и их схем являются активные элементы (источники ЭДС и тока), пассивные элементы для постоянного тока, сопротивление R, а также так называемые геометрические элементы: ветвь, узел и контур.

Курсовой проект по ТОЭ предусматривает практическое применение изученных правил расчёта электрических цепей. Для расчёта тока применяется закон Ома и правило Кирхгофа. Различные методы расчёта предусматривают широкий диапазон использования схем соединения резисторов, катушек и конденсаторов, как для цепей постоянного тока, так и для цепей переменного тока.

Правильность всех расчётов проверяется составлением баланса мощностей, что подтверждает положение о сохранении энергии.

Построение векторных и типографических диаграмм для цепей переменного тока даёт чёткое представление о синусоидально изменяющихся напряжениях и токах, характеризующихся не только амплитудной (действующими значениями), но и начальной фазой.



1. Расчет электрической цепи методом «свёртки»

Исходные данные:

Номер ветви	Начало-конец	Сопротивления	Источники
			ЭДС	Тока
1	24	560	0	0
2	41	510	0	0
3	13	160	100	0
4	36	810	0	0
5	65	620	0	0
6	52	870	0	0
7	12	780	800	0
8	46	940	0	0

Исходная схема

Рис. 1 Расчет электрической цепи методом «свертки».

Исходная схема представлена на рисунке 2.1.



Рис. 2.1

Решаем задачу методом «сворачивания» схемы. Преобразуем треугольник R1, R8, R56 в звезду, получим схемы рис. 2.2 а, б, в:

Рис. 2.2

Вычислим сопротивления, указанные на схемах рисунка 2.2:



Таким образом, мы получили двухконтурную схему, для которой составим систему уравнений по законам Кирхгофа, для нахождения токов цепи:

Решаем полученную систему уравнений:

Из первого уравнения системы:

Из второго уравнения системы:

Полученные выражения подставим в третье уравнение системы:

Остальные токи определяем согласно схемы на рисунке 2.1.

2. Баланс мощностей

Составим баланс мощностей:

Источники Е3, Е7 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают (выбранные нами направления). Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:

Баланс мощностей выполняется.

3. Законы Кирхгофа

Порядок расчета:

1) Обозначим на электрической схеме направление токов в ветвях.

2) По первому правилу Кирхгофа составить уравнения для узлов.

3) По второму правилу Кирхгофа составить уравнения для каждого контура. Выбрать обход по контуру.

4) Решить полученную систему уравнений

Первое правило Кирхгофа (правило токов Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма токов в каждом узле любой цепи равна нулю. При этом втекающий в узел ток принято считать положительным, а вытекающий -- отрицательным:

Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что алгебраическая сумма падений напряжений на всех ветвях, принадлежащих любому замкнутому контуру цепи, равна алгебраической сумме ЭДС ветвей этого контура. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:

Составить систему уравнений, применяя законы Кирхгофа для определения токов во всех ветвях.

Рис. 3

Метод узловых и контурных уравнений основан на применении первого и второго законов Кирхгофа. Он не требует никаких преобразований схемы и пригоден для расчёта любой цепи.

При расчёте данным методом произвольно задаём направление токов в ветвях I1, …, I8.

Составляем систему уравнений. В системе должно быть столько уравнений, сколько в цепи ветвей (неизвестных токов).

В заданной цепи 6 ветвей, значит, в системе должно быть 6 уравнений (m=6). Сначала составляем уравнения для узлов по первому закону Кирхгофа. Для цепи с n узлами можно составить (n-1) независимых уравнений. В нашей цепи 4 узла 6-1-2-3 значит, число уравнений равно . Составляем уравнения для узлов 6,1,2 соответственно (учтём, что токи и )

Всего в системе должно быть 6 уравнений. 3 уже у нас есть, осталось составить ещё три уравнения для линейно независимых контуров. Чтобы они были независимыми, в каждый следующий контур, надо включить хотя бы одну ветвь, не входящую в предыдущие.

Зададим обходы каждого контура по часовой стрелке, тогда уравнения примут вид:

ЭДС в контуре берётся со знаком «+», если направление ЭДС совпадает с обходом контура, если не совпадает - знак «-».

Падение напряжения на сопротивлении контура берётся со знаком «+», если направление тока в нём совпадает с обходом контура, со знаком «-», если не совпадает.

Мы получили систему из 6 уравнений с 6 неизвестными:



Выразим из 1-го, 2-го и 3-го уравнений системы токи и подставим в 4-е, 5-е и 6-е уравнения системы и получим систему с тремя неизвестными:

Преобразуем его и получим:

В численном виде:

Определитель матрицы и частные определители:



Остальные токи:

4. Метод контурных токов

Рис. 4



Метод контурных токов основан на использовании только второго закона Кирхгофа. Это позволяет уменьшить число уравнений в системе на n-1.

Достигается это разделением схемы на ячейки (независимые контуры) и введением для каждого контура-ячейки своего тока - контурного тока, являющегося расчётной величиной.

Итак, в заданной цепи (рис.1) можно рассмотреть три контура-ячейки (см. рис. 4) и ввести для них контурные токи IK1, IK2, IK3.

Контуры-ячейки имеют ветвь, не входящую в другие контуры - это внешние ветви. В этих ветвях контурные токи являются действительными токами ветвей.

Ветви, принадлежащие двум смежным контурам, называются смежными ветвями. В них действительный ток равен алгебраической сумме контурных токов смежных контуров, с учётом их направления.

При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа в правой части равенства алгебраически суммируются ЭДС источников, входящих в контур-ячейку, в левой части равенства алгебраически суммируются напряжения на сопротивлениях, входящих в этот контур, а так же учитывается падение напряжения на сопротивлениях смежной ветви, определяемое по контурному току соседнего контура.

На основании вышеизложенного порядок расчёта цепи методом контурных токов будет следующим:

Стрелками указываем выбранные направления контурных токов в IK1, IK2, IK3 контурах-ячейках. Направление обходов контуров выбираем таким же; составляем уравнения и решаем систему уравнений или методом подстановки, или с помощью определителей.

Составим систему уравнений:



В численном виде:

Определитель матрицы и частные определители:

Находим контурные токи:



Действительные токи:

I1 := IK1-IK2 = -0,67 A

I2 := IK3-IK2 = -0,61 A

I3 := -IK3= -0,11 А

I4 := -IK3= -0,11 А

I5 := -IK1= -0,17 А

I6 := -IK1= -0,17 А

I7 := IK2= -0,5 А

I8 := -IK1-IK3= -0,28 А

Метод суперпозиции (наложения)

Сущность метода заключается:

Сначала определяются токи создаваемой каждой из ЭДС в отдельности, а затем частичные токи от каждой из ЭДС алгебраически складываются в ветвях.

По методу наложения ток в любом участке цепи рассматривается как алгебраическая сумма частных токов, созданных каждым ЭДС в отдельности.

а) Определим частные токи от ЭДС E7 т.е. рассчитаем цепь по рис. 5.1

Рис. 5.1

Показываем направление частных токов от ЭДС Е7 (оставим направления токов такое как и было выбрано изначально, то же самое касается и пункта б.) и обозначаем буквой I с одним штрихом. Преобразуем звезду R1,R2,R8 в треугольник: схема рис. 5.2

Рис. 5.2



Поэтапно сворачиваем схему на рисунке 5.2, пока не получим одноконтурную цепь:

5. Метод суперпозиции наложения

a)

б)

в)

Рис. 5.3

Для нахождения остальных токов, определим напряжение , которое равно напряжению между точками 6 и 2 (см. рис. 5.3 б):

Тогда токи определим из выражения:

Используя правило плеч, определим токи и :



Остальные токи находим по схеме 5.1

Таким образом:

= 0,37 А

= 0,45 А

= -0,08 А

= -0,08 А

= -0,15 А

= -0,15 А

= 0,52 А

= -0,07 А

б) Определим частные токи от ЭДС , т.е. рассчитаем цепь по рис. 5.4.



Рис. 5.4

Показываем направление частных токов от ЭДС Е2 и обозначаем буквой I с двумя штрихами. Решаем задачу методом «сворачивания» схемы, действительные токи определим как алгебраическую сумму частных токов (с учётом знаков), т.к. их направления одинаковы. Преобразуем треугольник R1,R8,(R56) в звезду, получим схему рис. 5.5 б:

Рис. 5.5



Определяем токи цепи:



Рис. 5.6

Действительные токи определяем при помощи схемы на рисунке 5.6:

знак "минус" указывает на то, что направление тока противоположно выбранному нами направлению.

Составим баланс мощностей:

Источники Е3, Е7 вырабатывают электрическую энергию, т.к. направление ЭДС и тока в ветвях с источниками совпадают (выбранные нами направления). Баланс мощностей для заданной цепи запишется так:



Баланс мощностей выполняется.

Вывод:

В ходе выполнения курсового проекта были изучены и использованы несколько методов нахождения токов в электрической цепи:

Метод «свёртки»

По законам Кирхгофа

Метод контурных токов

Метод суперпозиции (наложения)

При выполнении задачи различными методами, были получены одинаковые результаты, баланс мощностей выполняется, следовательно, методы решения усвоены полностью.

Эффективнее всех оказался метод контурных токов, т.к. занимает наименьший объём вычислений.

Самым объёмным оказался метод суперпозиции.

6. Переменный ток

Задача:

В сеть напряжением U=Umsin(314t+ц) включена цепь, состоящая из смешанного соединения элементов. Рассчитать значения ёмкости и индуктивности элементов цепи. Определить символическим методом токи во всех ветвях, ток индукций от источника, мощности полную, активную и реактивную мощности всей цепи. Записать выражение для мгновенного тока неразветвленной части цепи.



Исходные данные:

Um,B	ц	Z1	Z2	Z3	Z4	Рис
130	-90	40+j20	20-j20	20-j20	90	Рис.4

Исходные схемы:

Рис. 6

Полное сопротивление состоит из активного и реактивного сопротивлений. Реактивное сопротивление может носить ёмкостной характер нагрузки (со знаком «-») или индуктивный (со знаком «+»). Таким образом, для нашего случая:

- состоит из резистора сопротивлением 20 Ом и катушки индуктивности с сопротивлением 20 Ом для частоты 314 рад/с.

- состоит из только резистора сопротивлением 40 Ом и конденсатора с сопротивлением 20 Ом для частоты 314 рад/с.

- состоит из только резистора сопротивлением 90 Ом.

Выражение для мгновенного значения напряжения на зажимах цепи:

Напряжение на зажимах цепи в комплексном виде:



Значение индуктивности цепи:

Значение ёмкости цепи:

Комплекс сопротивления относительно зажимов цепи:

Комплексные значения токов цепи:

Комплексы токов в ветвях 2 и 4 определим по правилу плеч:



Выражение для мгновенного значения тока в неразветвленной части цепи:

Активная, реактивная и полная мощности цепи:

Также активную мощность можно найти по следующей формуле:

таким образом, коэффициент мощности цепи равен:

Где угол между напряжением на зажимах цепи и током в неразветвленном участке цепи.

Модуль полной мощности:

Комплекс полной мощности:

Комплексы напряжений на каждом элементе на зажимах цепи:

Построение векторной диаграммы начнём с выбора масштаба для напряжений и токов:

Строим вектор напряжения на комплексной плоскости: начало вектора совпадает с началом координат, а сам вектор повёрнут на 45o по часовой стрелке (отрицательное направление). Из начала координат откладываем вектор , затем из конца этого вектора откладываем вектор , который опережает вектор на 90о, затем из конца вектора откладываем вектор . Конец этого вектора должен совпасть с концом вектора .

Диаграмма токов строится следующим образом: из начала координат откладываем под углом к оси «+1» по часовой стрелке (отрицательное направление) вектор тока , затем из конца вектора откладываем вектор под углом к оси «+1» по часовой стрелке (отрицательное направление). Строим вектор тока : соединяем прямой линией начало вектора и конец вектора - это и будет вектор , причём его конец совпадает с концом вектора , а начало - с началом вектора , как показано на диаграмме ниже.



Вывод

В ходе выполнения курсового проекта была изучена и рассчитана цепь переменного тока со смешанным соединением элементов, построена векторная диаграмма, рассчитана мощность различными способами.

При решении задачи использовались комплексные представления сопротивлений, токов и напряжений. Данное использование значительно упрощает расчёты, при этом выполняются законы Кирхгофа.



Список используемой литературы

1. С.А Барашин , В.В Федоров - Теоретические основы электротехники.

2. Борисов - Электротеххника.

3. К.С Демирчян, Л.Р Нейман- Теоретические основы электротехники.

Размещено на Allbest.ru