Керування рухом атомів та молекул когерентними та частково когерентними світловими полями

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут фізики

УДК 535.21.214;535.372;

539.186;539.196

Керування рухом атомів та молекул когерентними та частково когерентними світловими полями

01.04.05 - оптика, лазерна фiзика

Автореферат

дисертацiї на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук

Романенко Віктор Іванович

Київ 2007

Дисертація є рукописом

Робота виконана в лабораторії лазерної спектроскопії відділу фото активності Інституту фізики Національної Академії Наук України

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Яценко Леонiд Петрович завідувач відділу Інституту фізики НАН України

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Томчук Петро Михайлович завідувач відділу Інституту фізики НАН України

доктор фізико-математичних наук, професор Обуховський Вячеслав Володимирович Київський національний університет імені Тараса Шевченка

доктор фізико-математичних наук наук, старший науковий співробітник, Анохов Сергій Павлович директор Міжнародного центру “Інститут прикладної оптики” НАН України

Провідна установа Інститут фізики напівпровідників,Національна Академія Наук України

Захист дисертації відбудеться “ 26 ” квітня 2007 р. о 11⁰⁰ год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.159.01 в Інституті фізики Національної Академії Наук України за адресою: 03680, м. Київ-28, проспект Науки, 46, корп. 1, конференц-зал.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту фізики НАН України.

Автореферат розіслано “ 23 ” березня 2007 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Чумак О.О.

атом молекула свобода когерентний

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Створення лазерів відкрило нові можливості збудження атомів і молекул у бажаний стан і керування їх механічним рухом силами світлового тиску. У результаті розвитку цього напрямку досліджень стало можливим сповільнення руху атомів у атомних пучках і їх охолодження до наднизьких температур, створення пасток для ультрахолодних атомів. Це дозволило значно підвищити точність спектроскопічних досліджень та створити стандарти частоти нового покоління. Керування внутрішнім станом атомів і молекул дозволяє отримувати нову інформацію при дослідженні їх взаємодії при зіткненнях, керувати хімічними реакціями, отримувати бозе-конденсат молекул з бозе-конденсату атомів, створювати елементи комп'ютерної логіки. Маніпуляція холодними атомами у певному стані чи когерентній суперпозиції станів лежить в основі нового напрямку атомної фізики -- атомної оптики. Ці досягнення стали можливими після глибоких фундаментальних досліджень взаємодії лазерного випромінювання з речовиною, проведених за останні десятиліття.

Практично з часу появи лазерів було розроблено методи збудження атомів і молекул у бажаний стан з майже зі 100% імовірністю -- короткими р-імпульсами та імпульсами світла зі змінною несучою частотою, яка за час взаємодії світла з атомом проходить через резонанс з частотою атомного переходу. Зараз інтенсивно досліджуються й інші способи ефективного лазерного збудження атомів і молекул. Зокрема, замість зміни частоти лазерного випромінювання можна змінювати відстроювання несучої частоти лазерного імпульсу від резонансу, змінюючи з часом частоту атомного переходу полем допоміжного “штарківського” імпульсу. Ще один спосіб лазерного збудження атома у бажаний стан -- стимульоване раманове адіабатичне проходження (СТИРАП, STIRAP). Його найпростіший випадок реалізується за умови взаємодії трирівневого атома (Л-схема енергетичних рівнів) з двома лазерними імпульсами з частотами, близькими до частот переходів між збудженим і двома метастабільними станами. У результаті взаємодії атома з полем у цьому разі можливе майже повне перенесення населеності з одного метастабільного стану в інший. Важливо, що у процесі взаємодії атома з полем збуджений стан практично не заселяється. Не менш важливо, що ефективність перенесення населеності майже нечутлива як до форми імпульсів, так і амплітуди. СТИРАП і його модифікації перспективні для синтезу когерентних суперпозицій станів атомів і молекул, одержання бозе-конденсату молекул з бозе-конденсату атомів, формування “заплутаних” станів.

Механічна дія світлових полів на речовину теоретично й експериментально вивчається протягом багатьох років, починаючи з дослідів П. Н. Лебедєва в 1901 році. З появою лазерів інтенсивність цих досліджень значно зросла. Вже в 1970 році А. Ашкіним було показано, що за допомогою лазерного випромінювання можна керувати рухом окремих атомів. Зараз розроблено нові схеми взаємодії атома з полем, в яких сила світлового тиску значно перевищує силу, що діє на атом у полі біжучої хвилі, вперше обчисленої А. Ашкіним. Ці схеми ґрунтуються на такій взаємодії атома з полем зустрічних хвиль, коли атом переважно поглинає фотони з однієї хвилі, а випромінює в іншу. Оскільки швидкості поглинання і вимушеного випромінювання визначається інтенсивністю лазерного випромінювання, передача імпульсу від поля до атома може бути значно швидшою, ніж у випадку однієї біжучої хвилі, де час циклу взаємодії поле - атом обмежується швидкістю спонтанного випромінювання атома зі збудженого стану. Управління імпульсом атомів без порушення когерентності атомних станів необхідне для атомної інтерферометрії, створення елементів атомної оптики, таких як дзеркала та розщеплювачі атомних пучків.

Таким чином, тема дисертаційної роботи, присвяченої дослідженню нових аспектів проблеми керування рухом атомів та молекул когерентними та частково когерентними світловими полями актуальна як з фундаментальної, так і з прикладної точки зору.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася у Лабораторiї лазерної спектроскопiї Вiддiлу фотоактивностi та у Відділі лазерної спектроскопiї Iнституту фiзики НАН України у рамках вiдомчих тем НАН України “Фізика когерентних лазерних джерел та квантові ефекти у взаємодії атомів та молекул з лазерним світлом”, № держ. реєстрації 0104U000684; “Когерентні та нелінійні ефекти у взаємодії вільних атомів та молекул з лазерними полями та розробка на їх основі методів керування станом квантових систем”, № 0101U000355; “Динаміка когерентного лазерного збудження атомів і молекул та фізика високостабільних лазерів”, № 0198U016823; “Нелінійні ефекти у взаємодії лазерного випромінювання з атомами та молекулами та фізика вузьких оптичних резонансів”, № 0195U016823. У виконаннi цих тем дисертант брав участь як виконавець робiт.

Мета дослідження полягала у вивченні проблеми керування рухом атомів і молекул когерентними та частково когерентними світловими полями, пошуку нових схем взаємодії атома з полем, які дозволяють керувати механічним рухом атомів і молекул лазерним випромінюванням, розвитку теорії стимульованого раманового адіабатичного проходження, що описує залежність імовірності перенесення населеності від параметрів взаємодії атома з лазерним випромінюванням, вплив яких на СТИРАП не було достатньою мірою описано в літературі.

Для досягнення поставленої мети дослідження вирішувалися такі завдання:

Побудовати теорію СТИРАП з врахуванням статичного та стохастичного відстроювання несучих частот світлових імпульсів від двофотонного резонансу, а також флуктуацій амплітуди лазерних полів.

Проаналізувати СТИРАП у полі амплітудно-модульованих світлових імпульсів.

Побудувати теорію двофотонного збудження атома у високоенергетичний стан імпульсом накачки за умови проходження резонансу частоти переходу атома з подвійною несучою частотою імпульсу накачки. Зміна частоти переходу в атомі з часом зумовлена допоміжним, “штарківським” імпульсом. Цей же імпульс пов'язує двофотонним переходом збуджений стан атома з іншим (допоміжним) його станом.

Вивчити особливості передачі імпульсу від поля до атома чи молекули (дворівнева та трирівнева моделі) у процесі одночасної взаємодії із зустрічними імпульсами з різною несучою частотою.

Дослідити залежності сили світлового тиску, що діє на атом у полі зустрічних хвиль як з гармонічною, так і зі стохастичною модуляцією фази та амплітуди від параметрів взаємодії атома з полем і його швидкості.

Розрахувати залежності сили світлового тиску, що діє на атом у полі зустрічних послідовностей коротких світлових імпульсів з постійними та стохастичними фазами, від швидкості атома і параметрів його взаємодії з полем.

Проаналізувати розсіювання атомів полем двох зустрічних імпульсів.

Об'єкт дослідження -- атоми і молекули у полі лазерного випромінювання, предмет дослідження -- вплив поля на зміну їхнього імпульсу і зміну населеностей пов'язаних полем станів атомів і молекул.

Методи дослідження. Взаємодія атомів і молекул із полем описується напівкласичною моделлю. Поле вважається класичним, а динаміка атомів та молекул описується рівняннями квантової механіки. Трансляційні степені свободи при аналізі сили світлового тиску описуються класично, а у випадку аналізу передачі імпульсу від поля до атома -- квантовомеханічно. Для аналізу поведінки атома у періодичному полі в деяких випадках застосовується теорія Флоке. Частину результатів (залежності сили світлового тиску від параметрів взаємодії атомів із полем і їхньої швидкості у флуктуючих полях) отримано методом Монте-Карло. Цей же метод використовується для перевірки правильності отриманих аналітичних виразів, що описують перенесення населеності методом СТИРАП у стохастичному полі.

Наукова новизна одержаних результатів.

Набула подальшого розвитку теорія стимульованого раманового адіабатичного проходження (СТИРАП), яку узагальнено на випадок ненульового відстроювання несучих частот лазерних імпульсів від двофотонного резонансу.

Уперше знайдено фундаментальні обмеження, що накладають флуктуації фаз лазерних імпульсів на імовірність перенесення населеності в процесі СТИРАП.

Уперше побудовано теорію СТИРАП у полях із періодичною та стохастичною амплітудою. Знайдено умови, за яких періодична модуляція амплітуди практично не впливає на імовірність перенесення населеності. Показано, що у полі зі стохастичною амплітудою перенесення населеності близьке до повного, якщо флуктуації світлових імпульсів корельовані.

Запропоновано нову схему двофотонного збудження високоенергетичних станів атомів, яка забезпечує пригнічення іонізації збудженого стану імпульсом накачки. Розраховано параметри лазерних імпульсів, необхідні для реалізації цієї схеми для збудження метастабільного 2s стану водню.

Запропоновано нову схему взаємодії атома з полями зустрічних світлових імпульсів, стійку відносно помірної зміни параметрів лазерних імпульсів. Величина імпульсу, який передається атому чи молекулі, може значно перевищувати подвійний імпульс фотона -- максимальну зміну імпульсу атома при почерговій його взаємодії з кожним із зустрічних імпульсів.

Уперше досліджено залежність сили світлового тиску, що діє на атом у полі зустрічних амплітудно-модульованих хвиль, зокрема, в полі послідовностей коротких зустрічних світлових імпульсів, від швидкості атома. Показано, що в останньому випадку ця залежність має резонансний характер.

Уперше показано, що досягнення великої, порівняно з максимальною силою світлового тиску в полі біжучої хвилі, сили, що діє на атом у полі зустрічних амплітудно- чи частотно-модульованих хвиль, можливе і у випадку стохастичних амплітуд чи фаз полів цих хвиль, якщо поле однієї з хвиль повторює поле іншої з часовою затримкою.

Уперше проаналізовано розсіювання атомів полем зустрічних імпульсів, що частково перекриваються в часі. Показано, що формування когерентної суперпозиції основного і збудженого станів атома полем одного імпульсу призводить до асиметрії розсіювання атомів у процесі їх подальшої взаємодії з полем обох імпульсів.

Практичне значення одержаних результатів. Розвинуті у дисертації методи керування станом атомів і молекул когерентними та частково когерентними світловими полями можуть застосовуватися для підвищення ефективності керування механічним рухом атомних часток у фізичних експериментах. Вони можуть бути використані для створення елементів атомної оптики, в експериментах із атомної інтерферометрії. Зокрема, можлива зміна імпульсу атома чи молекули на величину, кратну імпульсу фотона.

Запропонована схема двофотонного збудження атома водню в стан 2s може бути застосована при створенні джерела випромінювання б-лінії серії Лаймана, необхідного для спектроскопії високої роздільної здатності та для вирішення інших прикладних задач, де є потреба в джерелах атомів водню у метастабільному стані 2s.

Результати досліджень впливу статичного та динамічного (флуктуації) відстроювань несучих частот світлових імпульсів від двофотонного резонансу -- одного з ключових параметрів, що визначає ефективність стимульованого раманового адіабатичного проходження (СТИРАП), -- на імовірність перенесення населеності у процесі СТИРАП поглиблюють розуміння цього явища. Вони важливі для прикладних застосувань СТИРАП (отримання атомів і молекул у заданому збудженому стані, дослідження їх взаємодії при зіткненнях, керування хімічними реакціями тощо). Проведені дослідження СТИРАП у полі імпульсів із флуктуючою амплітудою показали, за яких умов СТИРАП може бути ефективним і в цьому разі.

Особистий внесок здобувача. Здобувач визначив мету й задачі дисертаційної роботи, здійснив постановку задачі і розробив відповідні методи теоретичного дослідження у більшості публікацій. Зокрема, здобувач сформулював постановку задачі у статтях [4, 7, 9-12, 14-16, 18, 21, 22, 24]. Роботи [17, 20, 23] виконано одноособово. Майже у всіх публікаціях здобувач розробив алгоритми для розрахунку чисельних моделей явищ, що вивчалися, і провів відповідні обчислення.

У роботах з дослідження стимульованого раманового адіабатичного проходження [7, 9, 10, 14, 15, 21] здобувачем сформульована постановка задачі, виконано більшість аналітичних і всі чисельні розрахунки. Запропоновано метод теорії збурень для логарифму імовірності перенесення населеності, що дозволило отримати аналітичні результати, справедливі при значному відстроюванні несучих частот імпульсів від двофотонного резонансу, коли імовірність перенесення населеності зменшується у декілька разів. Роботу [23] виконано одноособово.

У пропозиції нового методу двофотонного збудження атомів із пригніченням іонізації збудженого стану [19] здобувач брав участь у формулюванні задачі і здійснив чисельне моделювання очікуваного явища.

У роботах з дослідження дозованої передачі імпульсу [12, 18] здобувачем сформульовано постановку задачі, зроблено чисельні розрахунки моделей, що вивчалися.

У роботах з дослідження сили світлового тиску, що діє на атом у полі зустрічних хвиль [1-6, 13, 16, 22, 24], здобувачем запропоновано постановку задачі для атома у полі частотно-модульованих хвиль і хвиль зі стохастичною амплітудою і фазою та виконано аналітичні і чисельні розрахунки. Розраховано силу, що діє на атом у біхроматичному полі двох стоячих хвиль і у полі послідовностей світлових імпульсів. Розв'язано проблему дифузії атомів у просторі імпульсів під дією послідовностей зустрічних р-імпульсів. Для випадку взаємодії атома з полем двох стоячих хвиль з різною інтенсивністю здобувач брав участь у постановці задачі, аналітичному розрахунку сили, що діє на нерухомий атом, чисельному моделюванні сили, що діє на атом, який рухається. Роботи [17, 20] виконано одноособово.

У роботах з дослідження розсіювання атомів полем двох зустрічних світлових імпульсів [8, 11] здобувач брав участь у постановці задачі для випадку полів великої інтенсивності та прямокутної обвідної світлових імпульсів [8]. Сформулював постановку задачі для розсіювання атомів полем довільної інтенсивності з гаусовою та супергаусовою формою обвідної світлових імпульсів [11]. Отримано аналітичні вирази для імовірності розсіювання атомів у основний та збуджений стани із заданим імпульсом у випадку короткочасної взаємодії атома з полем стоячої хвилі після його взаємодії з полем біжучої хвилі. Провів чисельне моделювання розсіювання атомів полем гаусових і супергаусових імпульсів.

У всіх публікаціях зі співавторами здобувач брав участь у формулюванні висновків і написанні статей.

Апробація результатів дисертації. Включені до дисертації результати досліджень доповідалися та обговорювалися на XIV Міжнародній конференції з когерентної та нелінійної оптики (Ленінград, Росія, 1991), Міжнародній конференції “Фізика в Україні” (Київ, Україна, 1993), Міжнародна конференція з квантової електроніки (Анахейм, Каліфорнія, США, 1994), XVI Міжнародній школі-семінарі “Спектроскопія молекул і кристалів” (Севастополь, Україна, 2003), Міжнародній конференції з когерентної та нелінійної оптики (Санкт-Петербург, Росія, 2005), XVII Міжнародній школі-семінарі “Спектроскопія молекул і кристалів” (Берегове, Крим, Україна, 2005), III Міжнародній конференції з водневих зв'язків (Київ, Україна, 2006). Матеріали робіт, які входять до дисертації, доповідалися на щорічних наукових конференціях Інституту фізики НАН України, на семінарах Лабораторії лазерної спектроскопії Відділу фотоактивності інституту.

Публікації. Результати дисертації відображено у 31 публікації: 23 статті у провідних фахових журналах (в тому числі 3 написано одноособово), 1 стаття в матеріалах Міжнародної конференції з когерентної та нелінійної оптики, 7 тез доповідей на конференціях.

Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів (у тому числі чотирьох розділів оригінальних досліджень), висновків, списку використаних джерел і додатків. Вона містить 374 стор., із них 246 стор. основного тексту, 97 рисунків і 4 таблиць, з них 97 рисунків повністю займають площу 87 аркушів, список використаних джерел з 261 найменування на 29 стор., 3 додатки на 12 стор.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі викладено теоретичні основи взаємодії вільних атомів і молекул зі світлом. У підрозділі 1.1 обговорюється опис системи атом-поле рівнянням Шредінгера для хвильової функції, у 1.2 -- рівнянням Ліувілля для матриці густини. В обох випадках стан атома описується квантовомеханічно, поле -- класично. Аналізується наближення обертової хвилі для дворівневої і трирівневої моделі атома. Розглядаються випадки взаємодії атома з р-імпульсами та адіабатично швидкого проходження несучої частоти світлового імпульсу через резонанс з частотою переходу у дворівневому атомі. Підрозділ 1.3 присвячено виведенню на основі теореми Еренфеста відомої формули для сили світлового тиску, що діє на дворівневий атом у електромагнітному полі лазерного випромінювання. Розглянуто випадки взаємодії атома з біжучою електромагнітною хвилею та з двома зустрічними хвилями. Наведено вираз для максимальної сили світлового тиску, що діє на атом у полі біжучої хвилі F_sp=ћkг/2, де k -- хвильовий вектор, г -- обернений час життя атома в збудженому стані. Зі значенням F_sp у четвертому розділі порівнюється сила світлового тиску, що діє на атом у світлових полях, які розглядаються у дисертації. У підрозділі 1.4 описуються типи полів, дія яких на атом вивчається у роботі -- монохроматичне поле, біхроматичне поле, частотно-модульоване поле, імпульсні світлові поля, поля з флуктуючою фазою або амплітудою. У підрозділі 1.5 описується алгоритм чисельного моделювання процеса Орнштейна-Уленбека О(t) з часом кореляції ф_corr = G^-1, тобто “кольорового” шуму, який задовольняє рівняння

де о(t) -- джерело білого шуму, кореляційна функція якого має вигляд

Тут дужки {…} означають усереднення за ансамблем, д(t) -- дельта-функція. Функція автокореляції для О(t) має вигляд

При

У підрозділі 1.6 наведено рівняння для середніх за ансамблем величин у випадку д-корельованих флуктуацій. Якщо вектор Q(t) задовольняє рівняння

де матриці M і N можуть залежати від часу, середнє за ансамблем значення {Q(t)} задовольняє рівняння

У розділі 2 розглянуто керування населеностями атомних станів при взаємодії атома чи молекули (трирівнева модель взаємодії з полем) з двома світловими імпульсами. Більшу частину розділу присвячено теорії стимульованого раманового адіабатичного проходження (СТИРАП) у полях із плавною обвідною світлових імпульсів, імпульсів з флуктуючою фазою, флуктуючою амплітудою та з обвідною, модульованою за синусоїдальним законом. У підрозділі 2.1 наведено коротку історію досліджень СТИРАП. У підрозділі 2.2 розвинуто теорію форми лінії двофотонного резонансу при адіабатичному перенесенні населеності в процесі СТИРАП для трирівневої моделі атома (див. рис. 1). На атом діє стоксовий імпульс з несучою частотою щ_S та імпульс накачки з несучою частотою щ_P (з деяким запізненням t_d відносно стоксового імпульсу і частково перекриваючись з ним у часі). Таку послідовність імпульсів називають “протиприродною”, оскільки першим на атом діє імпульс, що пов'язує початково незаселені стани атома. Стани атомів 1 і 3 -- метастабільні, зі стану 2 можливі спонтанні переходи в стани 1, 3 зі швидкостями г₁, г₃ та інші стани зі швидкістю г. Енергії станів 1, 2, 3 атома складають W₁, W₂, W₃. Несучі частоти стоксового імпульсу та імпульсу накачки відрізняються від частот переходів 1>2, 3>2 відповідно на

Відстроювання від двофотонного резонансу д і середнє відстроювання від однофотонних резонансів Д визначаються виразами

У найпростішому випадку двофотонного резонансу (д = 0) перенесення населеності зумовлено формуванням “темного” стану -- суперпозиції станів 1 і 3 атома, який до початку взаємодії атома з полем співпадає зі станом 1, а після закінчення -- зі станом 3. У результаті взаємодії атома з полем, за умови адіабатичності

де Щ_max -- максимальне значення величини (Щ_P²+Щ_S²)^1/2, ф -- тривалість світлових імпульсів, відбувається майже 100% перенесення населеності зі стану 1 в стан 3, оскільки збуджений стан 2, з якого можливі спонтанні переходи в інші, відмінні від 1 і 3 стани, при цьому не заселяється. Відстроювання несучих частот імпульсів від двофотонного резонансу призводить до заселення збудженого стану 2, що зменшує імовірність перенесення населеності P.

До наших досліджень залежність P від д вивчалася лише чисельно.

У випадку коротких лазерних імпульсів [7], коли спонтанним випромінюванням зі збудженого стану можна знехтувати і покласти г₁=г₃=г=0, залежність імовірності перенесення населеності між станами 1 та 3 атома від д для гаусових імпульсів

визначається виразом

Вирази (2.5) і (2.6) справедливі для д>0; випадок д<0 отримуємо одночасною зміною знаків при д і Д. Вираз для P'' відрізняється від P' знаком біля Д. Крива, що описує залежність P від д, характеризується майже плоскою вершиною і півшириною, що зі зростанням напруженості світлових полів зростає повільніше за Щ₀.

У випадку тривалих імпульсів [9,15], коли гф>>1, залежність P від д наближено описується функцією Гауса



де t₁ і t₂ -- моменти початку і закінчення взаємодії атома одночасно з обома імпульсами. Тут опущено члени ~д, менші, ніж наведені в експоненті, які відповідають за зсув максимуму перенесення населеності відносно двофотонного резонансу. З імовірністю перенесення населеності тісно пов'язана кількість фотонів, яку випромінює атом за час взаємодії з полем,

Звідси випливає, що максимальному перенесенню населеності відповідає мінімум флуоресценції (“темні” резонанси).

У випадку косинус-подібних світлових імпульсів,

інтеграл у (2.7) обчислюється аналітично. У симетричному випадку г₃=г₁ маємо

Як видно, спонтанні переходи зі стану 2 в стани 1 та 3 призводять до звуження двофотонного резонансу та зменшення імовірності перенесення населеності. Крім взаємодії атома з імпульсними полями, нами розглянуто взаємодію зі сталими полями. Знайдена аналітична залежність N_fl від двофотонного відстроювання практично співпадає з результатами чисельного розрахунку.

У підрозділі 2.3 подано теорію СТИРАП у полях зі стохастичною фазою [14, 23]. Розглянуто випадки незалежних і синхронних флуктуацій фази, а також вплив кореляції флуктуацій фаз на перенесення населеності за умови гф>>1. Зокрема, показано, що незалежні дельта-корельовані флуктуації фази стоксового поля і поля накачки з коефіцієнтами дифузії фази D_P і D_S визначають фундаментальну межу перенесення населеності

де и=arcsin(Щ_S/Щ), Щ=(Щ_S²+Щ_P²)^1/2. Для полів (2.9) і г₃=г₁ маємо

Максимум P досягається при д=д_s. Величина д_s складається з доданків двох видів -- залежного від флуктуацій і незалежного від флуктуацій. Незалежний від флуктуацій доданок прямує до нуля обернено пропорційно інтенсивності імпульсів, а залежний від флуктуацій доданок не залежить від інтенсивності імпульсів. У результаті виникає фундаментальний зсув максимуму, який не зникає при збільшенні інтенсивності лазерних полів. Зокрема, для полів (2.9) і г₃=0, г₁=г фундаментальний зсув визначається виразом



У випадку ж синхронних флуктуацій фаз полів, коли похідна від фази одного з полів повторює похідну від фази іншого поля, зі збільшенням інтенсивності імпульсів імовірність перенесення населеності прямує до одиниці, а зсув максимуму -- до нуля. Така поведінка P і д_s зумовлена відсутністю флуктуацій двофотонного відстроювання від резонансу в цьому разі.

Щоб врахувати час кореляції фаз стоксового імпульсу та імпульсу накачки, вважаємо, що фази імпульсів змінюються згідно з рівняннями

де О_j(t) -- процеси Орнштейна-Уленбека. Щоб врахувати можливість крос-кореляції, припускаємо, що похідна від фази імпульсу накачки повторює похідну від фази стоксового імпульсу з затримкою T,

Далі вважаємо, що імовірність повернення атомів чи молекул у стани 1 чи 3 після спонтанного випромінювання зі стану 2 мала, тому знехтуємо величинами г₁ і г₃. У цьому разі імовірність перенесення населеності зі стану 1 в стан 3 можна записати у вигляді

не залежить від флуктуацій, а P^(О) за відсутності флуктуацій дорівнює одиниці. Наведений вираз (2.17) тотожний (2.7) за умови г₁=г₃=0.

У випадку незалежних флуктуацій ц_P і ц_S (гT>>1) вираз для P^(О) має вигляд

Зокрема, для полів (2.9)

Якщо ж флуктуації синхронні (T=0), то

З (2.18) бачимо, що при переході до білого шуму (G>>Щ) для незалежних флуктуацій фаз значення P^(О) не залежить від Щ. З (2.20) видно, що для синхронних флуктуацій у цьому ж випадку P^(О) прямує до одиниці зі зростанням інтенсивності лазерних імпульсів. Імовірність перенесення населеності в останньому разі вища завдяки відсутності динамічного двофотонного відстроювання, а деяке її зменшення, пов'язане з флуктуацією фаз, зумовлене флуктуацією відстроювання від однофотонного резонансу.

На рис. 2 показано залежність P від Щ₀ф для імпульсів (2.9) у випадку часткової кореляції фаз для різного часу затримки T. Суцільною лінією показано розрахунок за отриманим у дисертації виразом, кружечками -- імовірність перенесення населеності, знайдена методом Монте-Карло усередненням за 100 реалізаціями випадкового процесу (маленькі кружечки). Вертикальні відрізки показують середньоквадратичне відхилення P від середнього значення. Пунктиром показано залежність P від Щ₀ф за відсутності флуктуацій фаз світлових імпульсів. Частина а рисунку відповідає незалежним флуктуаціям фаз полів; у цьому разі P зі зростанням Щ₀ф монотонно зростає. Зі зменшенням T на наведеній залежності з'являються осциляції, амплітуда і період яких більші для менших T. При переході до сихронних флуктуацій (не показано на рисунку) залежність P від Щ₀ф знову стає монотонною (оскільки період осциляцій необмежено зростає). Осциляції описуються синусами і косинусами з аргументом Щ₀T/2. Наведена осцилююча залежність імовірності перенесення населеності від площі імпульсів спостерігається не тільки для імпульсів (2.9), у випадку яких отримано аналітичний вираз для P, а й для імпульсів іншої форми, зокрема, гаусових.

У підрозділі 2.4 вперше розглянуто СТИРАП у полі імпульсів зі стохастичною амплітудою [21]. Показано, що імовірність перенесення населеності у полі таких імпульсів може бути близькою до одиниці, якщо флуктуації амплітуди синхронні або близькі до синхронних. Розглянуто СТИРАП для гаусової моделі флуктуацій амплітуди, коли флуктує одна з компонент комплексної амплітуди електричного поля, і модель хаотичного поля, коли незалежно флуктують як дійсна, так і уявна частина комплексної амплітуди. Флуктуації описуються моделлю Орнштейна-Уленбека з функцією кореляції (1.3). У першому випадку знайдено аналітичний вираз для P, який для імпульсів (2.9) за умови Gф>>1 та гф<<1 має вигляд



Чисельні розрахунки P з рівняння Шредінгера добре узгоджуються з (2.21). СТИРАП у полі імпульсів, що описуються моделлю хаотичного поля, близькою до реального поля багатомодових лазерів, досліджувався чисельно. Результати виявилися близькими до аналогічних, отриманих для гаусової моделі флуктуацій амплітуди.

З огляду на проведені в 2.4 дослідження впливу флуктуацій амплітуди на імовірність перенесення населеності у процесі СТИРАП можна чекати, що будь-яка модуляція амплітуди призведе до зменшення P. Проте це не так. У підрозділі 2.5 показано [10], що синусоїдально-подібна модуляція обвідної світлових імпульсів

починаючи з певної частоти модуляції, практично не впливає на P, у всякому разі у випадку коротких (гф<<1) світлових імпульсів. Рис. 3, де показано залежність P від щ_M/Щ₀ для гаусових імпульсів (2.4), ілюструє це твердження.

Наявність порогового значення частоти модуляції, вище якої перенесення населеності відбувається з близькою до одиниці імовірністю, пов'язано з особливістю еволюції атома у квазіперіодичному полі. Якщо частота модуляції досить велика, то атом перебуває в одному з адіабатичних станів Флоке, який співпадає зі станом 1 до початку взаємодії з полем і зі станом 3 після закінчення взаємодії, так що перенесення населеності майже повне. Зі зменшенням частоти модуляції адіабатичні стани Флоке зближуються і стають можливим переходи між ними. У результаті заселяються інші стани Флоке, які після закінчення взаємодії з полем не співпадають зі станом 3.

У підрозділі 2.6 [19] пропонується нова схема двофотонного збудження атомів у високоенергетичний стан, яка забезпечує значне пригнічення іонізації атома у збудженому стані імпульсом накачки. Конкретні розрахунки зроблено для випадку двофотонного переходу 1s > 2s в атомарному водні. Метод базується на модифікації адіабатичного проходження двофотонного резонансу в дворівневій схемі взаємодії світлового імпульсу з атомом. Замість зміни частоти лазерного випромінювання змінюється різниця енергій основного і збудженого станів атома за допомогою допоміжного світлового імпульсу, що викликає залежний від часу штарківський зсув частоти переходу 1s > 2s у водні. Необхідні для цього часові залежності імпульсу накачки і штарківського імпульсу від часу показано на рис. 4. Там же показано і часову залежність різниці енергій станів 2s і 1s, зумовлену штарківським імпульсом. Для того, щоб уникнути іонізації водню у стані 2s, пропонується обирати несучу частоту штарківського імпульсу таким чином, щоб двофотонний перехід за участю кванту імпульсу накачки (довжина хвилі л_P= 243 нм) і кванту штарківського імпульсу (л_S=552 нм) пов'язував стани 2s і 5s. За умови двофотонного резонансу пригнічується іонізація атома імпульсом накачки зі стану 2s таким же чином, як при взаємодії трирівневого атома з двома світловими імпульсами в процесі СТИРАП за умови двофотонного резонансу пригнічується флуоресценція. Завдяки зміні інтенсивності лазерного імпульсу з часом пригнічення іонізації неповне, так що частина атомів втрачається за рахунок іонізації імпульсом накачки. Ще один шлях втрати атомів -- за рахунок двофотонної іонізації атомів у стані 2s штарківським імпульсом. Для мінімізації втрат завдяки двофотонній іонізації штарківський імпульс повинен випереджувати імпульс накачки, як показано на рис. 4 а. Знайдено оптимальні значення параметрів лазерних імпульсів, що максимізують імовірність перенесення населеності P та інверсії (відношення різниці населеностей станів 2s і 1s до їхньої суми), яка досягається після закінчення дії лазерних імпульсів на атом. Для лазерних імпульсів з часовою залежністю інтенсивності



тривалістю ф_P=1нс (накачка), ф_S=10 нс (стоксовий імпульс) і часовою затримкою між ними t_S = -3 нс абсолютний максимум населеності стану 2s складає 0,86 при I_{P max}=0,6 ГВт/см², I_{S max}=2,4 ГВт/см². Для цих же інтенсивностей інверсія населеностей складає 0,993. Площа A_P імпульсу накачки складає в цьому разі близько 1,6р, так що умова адіабатичності процесу перенесення населеності A_P>>1 не реалізується. У зв'язку з цим населеність стану 2s значною мірою залежить від інтенсивностей лазерних імпульсів та їх несучих частот, подібно до того, як імовірність перенесення населеності в дворівневій схемі взаємодії атома з резонансними світловими імпульсами, максимальна для р-імпульсів, залежить від їхньої площі. Другий максимум інверсії, близько 0,99998, досягається при I_{P max}=1,96 ГВт/см², I_{S max}=9,1 ГВт/см². Населеність збудженого стану в цьому разі складає 0,64. Поблизу цього максимуму як населеність стану 2s, так і інверсія значно менш чутливі до зміни інтенсивності й несучих частот лазерних імпульсів, оскільки площа імпульсу накачки A_P=5,3р>>1. Процес перенесення населеності тут близький до адіабатичного, подібно до перенесення населеності у дворівневому атомі при адіабатичному проходженні частоти лазерного випромінювання через резонанс із частотою атомного переходу.

Розділ 3 і подальші розділи дисертації присвячено керуванню механічним рухом атомів і молекул лазерним випромінюванням. Вплив лазерного випромінювання на поступальний рух атомів і молекул можна розділити на три види: 1 -- сила світлового тиску, 2 -- розсіювання атомів, зокрема, стоячою хвилею і 3 -- передача імпульсу від поля до атома практично без дисперсії. Вивченню останнього питання і присвячено розділ 3.

У підрозділі 3.1 подано короткий огляд літератури, яка стосується тематики розділу. У підрозділі 3.2 розглядається взаємодія дворівневого атома з полем двох зустрічних імпульсів, що діють на нього, частково перекриваючись у часі [12]. Несучі частоти імпульсів у системі відліку атома різні. Ця різниця несучих частот призводить до можливості дискретної зміни імпульсу атома на величину nћk, де n -- ціле. У випадку, коли імпульси діють на атом по черзі, максимальна зміна імпульсу атома дорівнює 2ћk за рахунок поглинання кванта світла атомом під час його взаємодії з одним світловим імпульсом і вимушеного випромінювання кванта світла під час взаємодії з іншим світловим імпульсом. Якщо ж діючі на атом світлові імпульси перекриваються у часі, то, як вперше показано в [12], можлива передача атому імпульсу nћk, де ціле n може значно перевищувати одиницю. Якщо n -- парне, атом після закінчення взаємодії з полем залишається в основному стані, якщо n -- непарне, атом після закінчення взаємодії з полем переходить у збуджений стан. Важливою характерною рисою такої взаємодії атома з полем є стійкість результату відносно невеликої зміни параметрів імпульсів (таких як амплітуда і форма імпульсів, їх несучі частоти) та швидкості атома. Рис. 5 ілюструє цю характерну особливість взаємодії атома з біхроматичним полем зустрічних імпульсів на прикладі залежності переданого атому імпульсу від максимального значення Щ₀ частот Рабі світлових імпульсів, що біжать в додатному (+) і від'ємному (-) напрямках осі z

На ньому показано залежність переданого атому імпульсу p (суцільна крива) і середньоквадратичного відхилення від його середнього значення Дp (пунктир). Різниця несучих частот зустрічних імпульсів дорівнює д=200/ф, півсума несучих частот лазерних імпульсів співпадає з частотою переходу в атомі. Затримка між імпульсами складає t_d=0,35ф. У наведеному прикладі ми нехтуємо ефектом віддачі; розрахунки з його врахуванням якісно не впливають на вигляд отриманої залежності. Величина переданого імпульсу добре описується виразом p=2ћkЩ₀/д. Зі зростанням площі імпульсів сходинкоподібні залежності від параметрів взаємодії атома з полем стають яскравіше вираженими, а перехідні між сходинками ділянки, де значення Дp не мале, стають все меншими. Фізикна основа цих залежностей -- існування адіабатичних станів, які на початку і в кінці взаємодії атома з полем співпадають зі станами атома з різними імпульссами.

Взаємодія атома з послідовностями зустрічних імпульсів може бути використана для ефективного прискорення або гальмування атомів, оскільки залежність сили від швидкості знакостала в широкому інтервалі швидкостей. Останнє -- наслідок стійкості переданого імпульсу відносно невеликої зміни несучих частот, які змінюються зі зміною швидкості атома в системі координат, з ним пов'язаній. Важливо, що, якщо зміна швидкості відбувається в межах однієї сходинки на залежності переданого імпульсу від швидкості, середньоквадратичне відхилення величини переданого атому імпульсу від середнього значення значно менше імпульсу фотона. Така взаємодія атомів зі світлом може використовуватися для керування рухом хмарки ультрахолодних атомів як цілого.

У підрозділі 3.3 розглядається взаємодія трирівневого атома з полем двох або чотирьох зустрічних імпульсів, що діють на нього, частково перекриваючись у часі [18].

Чотириімпульсна схема взаємодії атома з полем дозволяє уникнути втрат, зумовлених спонтанним випромінюванням атома в збудженому стані. Вважається, що різниця енергій станів 1 та 3 настільки велика, що кожен зі світлових імпульсів пов'язує лише два стани атома, 1 і 2 чи 3 і 2. Частоти світлових імпульсів підбираються таким чином, щоб пара світлових імпульсів пов'язувала стани 1 і 3 атома двофотонним переходом, причому несуча частота кожного з них далека від частот переходу 1 > 2 чи 3 > 2 атома. У результаті формується ефективна дворівнева схема взаємодії атома з полем за участю рівнів 1 і 3 з невеликими втратами, які можна зменшити збільшенням відстроювання від однофотонного резонансу та одночасним збільшенням амплітуд світлових імпульсів. Відстроювання несучих частот світлових імпульсів від резонансів з відповідними двофотонними переходами різні. Різниця цих двофотонних відстроювань д_d грає ту ж роль, що й різниця несучих частот д зустрічних імпульсів для моделі дворівневого атома, проаналізованій в 3.2. Зазначимо, що аналогія трирівневої системи, яку ми розглядаємо, з дворівневою, розглянутою вище, неповна. Оскільки у трирівневій системі наявний залежний від часу штарківський зсув частоти двофотонного переходу, то для передачі атому значного імпульсу за час його взаємодії з полем немає необхідності у часовому зсуві між “двофотонними” частотами Рабі світлових імпульсів.

Ми проаналізували також взаємодію трирівневого атома з двома зустрічними світловими імпульсами у випадку малої різниці енергій станів 1 та 3, коли атом у кожному з цих станів взаємодіє з обома зустрічними світловими імпульсами. У цьому разі також спостерігається сходинкоподібна залежність переданого атому імпульсу від параметрів, що описують світлові імпульси. Тут, як і у випадку дворівневої моделі, суттєвими можуть бути втрати завдяки спонтанному випромінюванню зі збудженого стану, якщо тривалість світлових імпульсів складає величину, близьку до часу життя атома у збудженому стані.

Розділ 4 присвячено керуванню механічним рухом атомів і молекул силою світлового тиску. У підрозділі 4.1 подано короткий огляд історії досліджень сили світлового тиску, що діє на атоми, і викладено фізичні основи її формування у полі лазерного випромінювання. У полі однієї біжучої хвилі сила світлового тиску обмежується швидкістю г спонтанного випромінювання атома зі збудженого стану і не перевищує F_sp=ћkг/2. Дійсно, якщо за поглинанням фотона йде вимушене випромінювання фотона, імпульс атома залишається незмінним. Лише у випадку, коли за поглинанням йде спонтанне випромінювання фотона, імпульс атома змінюється на ћk (див. рис. 6, а, б). Беручи до уваги швидкість спонтанного випромінювання г і населеність основного стану за умови насиченого поглинання Ѕ, отримуємо наведений вираз для максимальної сили світлового тиску в полі біжучої хвилі. Якщо на атом діють дві зустрічні біжучі хвилі і за поглинанням фотона йде вимушене випромінювання фотона, індуковане полем зустрічної хвилі, імпульс атома змінюється на 2ћk (див. рис. 6, в). На можливість організації циклічної взаємодії з полем зі швидкістю, значно більшою за г, вказав А.П. Казанцев, запропонувавши схему взаємодії атома з двома зустрічними послідовностями р_імпульсів. До аналогічного результату призводить і взаємодія атома із зустрічними імпульсами зі змінною несучою частотою, в результаті чого населеність атома щоімпульсу інвертується в процесі адіабатичного проходження резонансу. Крім дослідження різних аспектів взаємодії атома з послідовностями зустрічних імпульсів, в четвертому розділі дисертації розглянуто й інші схеми взаємодії атома з полем, які призводять до великої, порівняно з F_sp, сили світлового тиску.

У підрозділі 4.2 досліджується сила світлового тиску, що діє на атоми у полі коротких, порівняно з г^-1, зустрічних імпульсів довільної площі [2, 3, 17]. Уперше розглядається залежність цієї сили від швидкості атома й показано, що для імпульсів з площею, відмінною від р, вона характеризується резонансною структурою. Ця структура може бути згладжена, якщо фази зустрічних імпульсів випадкові. На рис. 7 показано приклад залежності сили F, що діє на атом, від його швидкості для площі імпульсів и=0,8р. Період повторення імпульсів дорівнює T=0,1/г. Вважається, що тривалість імпульсів значно менша, ніж період їх повторення. Затримка між взаємодією атома з імпульсами, що біжать у від'ємному напрямку осі z відносно імпульсів, що біжать у додатному напрямку, дорівнює ф=0,1T. Пунктиром угорі показано аналогічну залежність для випадку р_імпульсів. Пунктиром внизу показано силу, що діє на атом у випадку стохастичних фаз світлових імпульсів. Вона описується виразом



і від швидкості атома не залежить. Згідно з результатами чисельного моделювання, усереднене за швидкістю значення F практично співпадає з F_st. Очевидно, що час, протягом якого швидкість атома змінюється на задану величину, більшою мірою визначається мінімальною силою, що діє на атом на цьому часовому інтервалі, ніж максимальною. Звідси випливає, що у полі зустрічних імпульсів зі стохастичними фазами час, необхідний для зміни швидкості на задану величину, менший, ніж у полі таких же імпульсів з фіксованими фазами.

У цьому ж підрозділі проведене чисельне моделювання взаємодії атома гелію у метастабільному стані 2³S₁ з короткими зустрічними лазерними імпульсами. Атом He -- найлегший атом, який використовується в експериментах зі світловим тиском. Період повторення імпульсів обрано T=1 нс, затримка між дією зустрічних імпульсів на атом ф=0,1 нс. Довжина хвилі лазерного випромінювання 1083 нм відповідає частоті переходу 2³S₁>2³P₁. Час життя атома у збудженому стані дорівнює 98 нс. Моделювання показало, що зміна швидкості атома за час 10 мкс у полі імпульсів з площею, меншою за 0,8р, внаслідок малої маси атома істотно залежить від складової початкової швидкості атома вздовж лінії поширення імпульсів. Для імпульсів площею від 0,9р до р зміна швидкості атома добре описується формулою (4.1) як у випадку фіксованих, так і у випадку хаотичних фаз світлових імпульсів.

У підрозділі 4.3 досліджується сила світлового тиску, що діє на атом у полі біжучої монохроматичної хвилі та зустрічної послідовності р-імпульсів. У першій пропозиції застосування зустрічних хвиль для збільшення сили світлового тиску понад F_sp, висловленій А.П. Казанцевим, розглядалася саме така схема взаємодії атома з полем (ЖЭТФ 66, вып.5, С. 1599-1612, 1974). Якщо площа монохроматичної хвилі, обчислена за період повторення імпульсів T, дорівнює р, то за умови короткочасної, порівняно з г^-1, взаємодії атома з полем, сила світлового тиску, згідно з результами А.П. Казанцева, дорівнює

Випадок тривалої взаємодії з полем t>>г^-1, коли, власне, і формується сила світлового тиску, раніше не досліджувався. Згідно з нашими результатами у цьому разі максимальна сила світлового тиску досягає 1,5F_sp, діє в напрямку поширення монохроматичної хвилі і не залежить від періоду повторення імпульсів.

У підрозділі 4.3 досліджується дифузія імпульсу атома в полі послідовностей коротких зустрічних р-імпульсів [3]. Показано, що дифузія мало впливає на рух атомів, якщо час t взаємодії атома з полем задовольняє умові

Послідовності зустрічних р-імпульсів, дія яких на атом призводить до великої, порівняно з F_sp, сили світлового тиску, характеризуються еквідістантним спектром з багатьма компонетами. Можна сказати, що саме певна кореляція між спектральними компонентами зустрічних хвиль призводить до формування великої сили світлового тиску, зумовленої поглинанням фотонів із однієї хвилі і вимушеним випромінюванням у іншу. У зв'язку з цим постає питання, скільки саме частотних компонент необхідно для формування сили вимушеного світлового тиску. У підрозділі 4.4 досліджується сила світлового тиску, що діє на атом у біхроматичному полі зустрічних хвиль [1, 3]. Це поле характеризується мінімальною кількість спектральних компонент, яка дає можливість говорити про почергову взаємодію з полем переважно однієї чи іншої хвилі, подібно до почергової взаємодії з полями зустрічних імпульсів. У випадку однакової інтенсивності хвиль напруженість поля, що діє на атом, можна записати у вигляді

еквівалентному напруженості поля двох стоячих хвиль з частотами щ±Щ_m/2, зсунутих одна відносно іншої вздовж осі z на ш/k. Як виявилося, вже у такій простій схемі взаємодії атома з полем сила світлового тиску, що діє на нього, близька за порядком величини до ідеального випадку зустрічних послідовностей р-імпульсів. Оптимальне значення зсуву фаз ш близьке до р/4, а частота Рабі Щ₀=dE₀/ћ, де d -- матричний елемент дипольного моменту переходу в атомі, близька до частоти модуляції Щ_m. Знакосталість сили в широкому інтервалі швидкості атома -(г²+Щ_m²)^Ѕ/2k<v<(г²+Щ_m²)^Ѕ/2k робить силу в біхроматичному полі зручним інструментом для керування рухом атомів. Рис. 8 ілюструє залежність усередненої за початковою координатою діючої на атом сили від його швидкості для Щ_m=Щ₀=10г (пунктир), Щ_m=Щ₀=20г (суцільна крива). В обох випадках ш=р/4, частота щ дорівнює частоті переходу в атомі.

В основі формування великої, більшої за F_sp, сили світлового тиску на атом лежить упорядкування актів поглинання і вимушеного випромінювання фотонів у процесі взаємодії атома із зустрічними світловими хвилями. Це упорядкування в розглянутих вище випадках взаємодії атома з послідовностями зустрічних імпульсів або із зустрічними біхроматичними хвилями базується на кореляції полів цих хвиль. Природно чекати, що кореляція полів будь-яких зустрічних немонохроматичних хвиль достатньо великої амплітуди призведе до сили світлового тиску, значно більшої за F_sp. Особливо цікаво вивчити формування сили світлового тиску в полях зі стохастичною амплітудою з огляду на те, що до них близьке поле багатомодового лазера. Розгляду цього питання присвячено підрозділ 4.6 дисертації [5, 20, 22]. Світловий тиск на атоми у полі зустрічних хвиль із флуктуючою амплітудою розглянуто для трьох моделей флуктуацій: невеликої флуктуючої добавки до сталої амплітуди, моделі гаусових флуктуацій амплітуди та моделі стохастичного поля (близької до реального поля багатомодових лазерів). Як виявилося, у випадку, коли одна із зустрічних хвиль повторює іншу з певною затримкою (наприклад, одну з хвиль отримано з іншої відбиттям від дзеркала), сила, що діє на атом, може значно перевищувати F_sp, якщо затримка між хвилями близька до часу кореляції флуктуацій, а інтенсивність лазерного випромінювання досить велика. Для моделі гаусових флуктуацій амплітуди (флуктує тільки одна, дійсна чи уявна компонента комплексної амплітуди поля, і її часова залежність описується процесом Орнштейна-Уленбека) сила, що діє на атом, приблизно така ж, як і для моделі хаотичного поля (флуктують дійсна і уявна компонента комплексної амплітуди поля). У випадку малої інтенсивності лазерних імпульсів (Щ₀<<г, де Щ₀ -- частота Рабі) обидві моделі призводять до однакового результату:

де G -- обернений час кореляції флуктуацій амплітуди, ф -- часовий зсув між зустрічними хвилями. У випадку швидких флуктуацій амплітуди, G>>г, сила (4.5) максимальна при ф=G^-1ln(г/G). Рис. 9 ілюструє залежність середньої сили світлового тиску, що діє на атом, від гф для моделі стохастичного поля. Час усереднення складає 30/г, починаючи з часу 7/г від початку взаємодії атома з полем (після закінчення перехідних процесів). Обернений час кореляції складає G=10г для всіх кривих, Щ₀=25г (крива 1), 10г (крива 2), 5г (крива 3). Дані, показані кружечками, отримано для тих же параметрів, що і крива 1, але іншої реалізації стохастичного процесу. Вони наведені тут для оцінки точності обчислень методом Монте-Карло. Зі зростанням частоти Рабі максимум зсувається в область значень ф=1/Щ₀, і його величина зростає. Додаткове дослідження залежності сили від ф показало, що за умови фіксованої частоти Рабі максимум сили досягається при G= Щ₀ і ф=G^-1. Залежність діючої на атом сили від швидкості знакостала для швидкостей, менших G/k. Таким чином, можна стверджувати, що величина 2G для стохастичного поля відповідає частоті модуляції біхроматичного поля, дія якого на атом розглядалася у 4.4. Порівняння кривої 1 на рис. 9 і приблизно відповідній їй суцільній кривій на рис. 8 показує, що за умови аналогічних параметрів модуляції та інтенсивностей полів стохастична модуляція призводить приблизно до вього вдвічі меншої сили, ніж біхроматичне поле. Таким чином, проведені дослідження дозволяють розширити арсенал інструментів управління рухом атомів і молекул, включивши до нього потужні багатомодові лазери.