Броуновское движение

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Броуновское движение

Все мельчайшие частицы, взвешенные в жидкости, находятся в непрерывном движении. Движение это вечно и самопроизвольно. Это явление, открытое в 1827 г., получило название броуновского движения. Опыты показали, что эти движения не связаны с какими-либо движениями жидкости или с биологический происхождением частиц. Броуновское движение в жидкости том оживленнее, чем меньше вязкость жидкости. В газах оно очень интенсивно, я в глицерине его едва удается обнаружить. Интенсивность движения увеличивается с повышением температуры жидкости. От материала самих частиц броуновское движение совсем не зависит. Две частицы движутся в одной и той же жидкости совершенно одинаково! если одинаковы их размеры и форма: ни вещество частиц, ни его плотность не играют здесь никакой роли.

Движения броуновских частиц - это не молекулярные движения: мы видим не результат удара одной молекулы, а результат преобладания числа ударов одного направления над другими. Броуновское движение лишь очень ясно обнаруживает самое существование беспорядочных молекулярных движений. Молекулярно-кинетическая объяснение этого явления было предложено в 1905 г. А. Эйнштейном и независимо в I906 г. польским физиком М. Смолуховским. Они разработали теорию явления, которая позволила использовать его для подтверждения молекулярно-кинетической теории. Прежде чем провести последовательна расчет движения <5роунееской частицы полезно рассмотреть вопрос о случайном блуждании частицы. Основываясь на некоторых положениях теории вероятности можно показать, что с течением временя броуновская частица неизбежно отклоняется от своего первоначального положения.

2. Случайные блуждания

Рассмотрим одну интересную задачу, в которой игрок, начиная от точки х = 0, за каждый ход может продвинуться либо вперед (до точки X), либо назад (до точки - X), причем решение о том, куда ему идти, принимается совершенно случайно, ну, например, с помощью подбрасывания монеты. Как описать результат такого движения? В более общей форме эта задача описывает движение атомов (или других частиц) в газе. Можно ожидать, что среднего продвижения частицы вообще не будет, поскольку мы о равной вероятностью можем идти как вперед, так и назад. Однако чувствуется, что с увеличением числа шагов N частица с большей вероятностью будет блуждать где-то все дальше и дальше от начальной точки. Возникает вопрос: каково среднее значение Д - абсолютного расстояния. Очевидно, удобнее иметь дело не с Д, а с Д², т.к. эта величина положительна для любого перемещения и может служить разумной мерой таких случайных блужданий.

Обозначим - средний квадрат расстояния. После одного шага = , где - средняя длина свободного пробега. Ожидаемая величина для N > I может быть получена из . Если после N - I шагов частица оказалась на расстоянии , то еще один шаг даст либо

либо . Возведем в квадрат оба выражения.

Каждая из этих возможностей осуществляется с вероятностью I/2, так что средняя ожидаемая величина будет просто средним арифметически» этих значений, т.е. ожидаемая величина будет просто .

Таким образом

Рисунок поясняет полученный результат

Отклонение от начального положения можно характеризовать величиной типа расстояния (а не квадрата расстояния).

Итак, чтобы отклониться на расстояние Д, частица должна сделать N=Д²/Е² шагов. Каждый шаг совершается за промежуток времени , где - средняя скорость частицы. Для молекулы кислорода в воздухе в нормальных условиях = 450 м/с, = 7.I0^-8 м, и

3. Формула Эйнштейна - Смолуховского

Впервые строгое теоретическое рассмотрение броуновского движения было проведено А. Эйнштейном. Мы будем следовать более простой работе Ланжевена.

Будем считать, что броуновская частица имеет форму шарика, радиуса а. Рассмотрим движение э в жидкости со скоростью .

Если небольшой шар радиуса а равномерно движется в жидкости, то на него действует сила сопротивления f, определяемая формулой Стокса

Уравнение движения частицы в направлении оси X имеет вид:

Сила - есть сила толчков, которым подвергается броуновская частица со стороны окружающих молекул, если бы она была неподвижна. Среднее значение такой силы равно нута.Если частица уже движется, то в среднем толчки, действующие против движения, сильнее толчков, действующих в направлении движения. Это обстоятельство и учитывается слагаемым

Умножим предыдущее уравнение на Х и преобразуем его, пользуясь следующими тождествами:

;

;

Усредним обе части этого уравнения по ансамблю броуновских частиц, учитывая ори этом, что средняя oт производной по времени равно производной от средней величины, поскольку усреднений производится по ансамблю частиц и, следовательно, переставимо с операцией дифференцирования по времени. В результате усреднения получаем:

Так как отклонения броуновской частицы в любом направлении равновероятны, то

Мы уже показали ранее, что средний квадрат смещения частицы пропорционален числу шагов

где - промежуток времени между двумя последовательными шагами, a t - время, в течение которого средний квадрат удаления стал равным

Поэтому и, следовательно, ,

Из-за случайного характера силы и координаты частицы X и их независимости друг от друга должно быть и наше уравнение сводится к равенству

По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы

= КТ и, следовательно, для б получаем соотношение

Окончательно, средний квадрат смещения

Это и еcть формула Эйнштейна-Смолуховского. Для среднего квадрата проекции смещения согласно получим

Экспериментальное исследование броуновского движения

молекулярный кинетический беспорядочный тепловой

Формулы позволяют вычислить среднее значение квадрата перемещений, проводя усреднение по воем броуновским частицам, но они могут быть использованы и для определения среднего значения квадрата смещения одной частицы за последовательные равные промежутки времени. Перрон в 1908, 1909 гг. экспериментально наблюдал именно перемещения одной частицы. Наблюдения проводились через микроскоп, на окуляр которого был нанесен ряд равноотстоящих параллельных линий, позволяющих о некоторой точностью определять проекции смещений частицы на ось X. Измеряя через определенные равные промежутки времени , Перрен вычислил среднее значение их квадратов , которое находилось в согласии, что рассматривалось как подтверждение правильности молекулярно-кинетической теории.

Формула макет быть также использована для определения постоянной Больцмана К. Перрен использовал полученные им экспериментальные данные для определения числа Авогадро из соотношения

,

где R-универсальная газовая постоянная, определяемая с высокой степенью точности из уравнения Клапейрона-Менделеева.

Моделирование броуновского движения с помощью микроЭВМ

Количественно исследовать броуновское движение на частицах, взвешенных в жидкости, довольно сложно. Поэтому в нашей работе предлагается воспользоваться имитационным моделированием этого явления не микроЭВМ, т.е. провести численный физический эксперимент. Отметим основные преимущества, которыми он обладает по сравнению с реальным экспериментом:

возможность экспериментирования с системами; когда проведение реального эксперимента затруднено;

возможность повторения, прерывания и возобновления хода эксперимента в любой момент;

возможность изменять условия проведения эксперимента в самых широких пределах;

быстрота, простота и дешевизна работы с численной моделью.

Идея математического моделирования заключается в том, чтобы решить известные математические уравнения, описывающие поведение системы при различных значениях, входящих в эти уравнения параметров и переменных, что позволяет установить, не прибегая к эксперименту на реальном объекте, роль влияния значений различных параметров на протекание изучаемого физического явления.

Цель модельного эксперимента, как и эксперимента реального, - установить взаимосвязь между входными переменными и параметрами и величинами на выходе. Обработка результатов модельного эксперимента проводится теми же методами, что и эксперимента реального.

в данной лабораторной работе моделируется движение броуновской частицы в воде. Программа составлена на языке бейсик для микроЭВМ ДВК-I. Описание программы дано в /5/.

Программа работает следующим образом. По запросу ЭВМ вводятся диаметр частицы, температура воды, интервал времени между нвблюдениями , число измерений n. Контролируется "разумность" вводимых данных с точки зрения реального физического эксперимента. После окончания ввода данных ЭВМ рассчитывает и выдает набор проекций смещении частицы на ось x за время , их среднее значение я среднее значение квадрата проекции смещения вместе с его теоретическим значением в данных условиях по формула Эйнштейна - Смолуховского. Работа может выполняться в классах ДПК-1 в аудиториях 115 или 135 физического факультета.

Ход работы

1. Включить МикроЭВМ

Набором команды Г'10000 & вызвать интерпретатор бейсика.

Попросить лаборанта ввести программу с учебной дискеты на данную ЭВМ.

Притупить к счету по программе, введя команду RUN

4. По запросу машины последовательно вводить диаметр броуновской частицы в мкм, температуру воды в градусах Цельсия,

интервал времени между наблюдениями в секундах,

число измерений (n < 40).

Но выданным, ЭВМ значениям построить график зависимости

Провести расчеты на ЭВМ (п.н. 3,4) для десяти различных значения температуры, не меняя значения других параметров. Построить график зависимости от температуры.

Провести расчеты на ЭВМ Для значений числа измерений n. от 20 до 200 с шагом 10 при фиксированных значениях всех остальных параметров.

Построить графики зависимостей

Сравнить экспериментальные значения с теоретическими, рассчитанными микроэвм по формуле Эйншнтейна - Смолуховского.

Вычислить постоянную Больцмана K по экспериментальным значениям

Проанализировать полученные результаты.

Контрольные вопросы

Почему броуновская частица должна быть малой?

Каково предельное значение величины при стремлении числа измерений к бесконечности?

Почему средняя скорость броуновской частицы зависит от ее массы, а средний квадрат смещения частицы за фиксированный промежуток времени от массы не зависит?

4. Почему средняя сила, действующая на покоящуюся частицу со стороны молекул жидкости равна нулю, а на движущуюся - не равна нулю?

Размещено на Allbest.ru