Преобразование Фурье

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Преобразование Фурье

Преобразование Фурье является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Для наглядной иллюстрации перехода от ряда Фурье к преобразованию Фурье часто используется не вполне строгий математически, но зато понятный подход. Представим себе периодическую последовательность импульсов произвольного вида и сформируем ряд Фурье для нее. Затем, не меняя формы одиночных импульсов, увеличим период их повторения (заполнив промежутки нулевым значением) и снова рассчитаем коэффициенты ряда Фурье. Формула (3) для расчета коэффициентов ряда показывает, что нам придется вычислить тот же самый интеграл, но для более тесно расположенных частот k = k1. Изменение пределов интегрирования не играет роли -- ведь на добавившемся между импульсами пространстве сигнал имеет нулевое значение. Единственное дополнительное изменение будет состоять в уменьшении общего уровня гармоник из-за деления результата интегрирования на увеличившийся период Т.

На рис. 1 описанные изменения иллюстрируются на примере двукратного увеличения периода следования прямоугольных импульсов. Обратите внимание на то, что горизонтальная ось спектральных графиков проградуирована в значениях частот, а не номеров гармоник.

Рис. 1 Изменение спектра последовательности импульсов при двукратном увеличении периода их следования

Итак, с ростом периода следования импульсов гармоники располагаются ближе друг к другу по частоте, а общий уровень спектральных составляющих становится все меньше. При этом вид вычисляемого интеграла (3) не меняется.

Наконец, если устремить период к бесконечности (превратив тем самым периодическую последовательность в одиночный импульс), гармоники спектра будут плотно занимать всю частотную ось, а их амплитуды упадут до нуля (станут бесконечно малыми). Однако взаимное соотношение между уровнями гармоник остается неизменным и определяется все тем же интегралом (3). Поэтому при спектральном анализе непериодических сигналов формула для расчета коэффициентов комплексного ряда Фурье модифицируется следующим образом:

1. частота перестает быть дискретно меняющейся и становится непрерывным параметром преобразования, (то есть k1 в формуле (3) заменяется на );

2. удаляется множитель 1/Т;

3. результатом вычислений вместо нумерованных коэффициентов ряда Сk является функция частоты S() -- спектральная функция сигнала s(t). Иногда ее называют также спектральной плотностью.

В результате перечисленных модификаций формула (3) превращается в формулу прямого преобразования Фурье:

(3а)

В формуле самого ряда Фурье суммирование заменяется интегрированием (перед интегралом появляется деление на 2). Получающееся выражение называется обратным преобразование Фурье:

 (3б)

2. Дискретное преобразование Фурье

При дискретизации аналогового сигнала его спектр становиться периодическим с периодом повторения, равным частоте дискретизации. Рассмотрим теперь, что представляет собой спектр дискретного периодического сигнала. Итак, пусть последовательность отсчетов x(k) является периодической с периодом N:

х (k + N) = х (k)

для любого k.

Такая последовательность полностью описывается конечным набором чисел, в качестве которого можно взять произвольный фрагмент длиной N, например x(k) { k = 0, 1,..., N-1}. Традиционным представлением является поставленный в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта - функций:

(4)

также, разумеется, будет периодическим с минимальным периодом N Т.

где

Так как сигнал (4) является дискретным, его спектр должен быть периодическим с периодом 2/Т. Так как этот сигнал является также и периодическим, его спектр, должен быть дискретным с расстоянием между гармониками, равным 2/(NT).

Итак, периодический дискретный сигнал имеет периодический дискретный спектр, который также описывается конечным набором из N чисел. преобразование фурье дискретный сигнал

Рассмотрим процедуру вычисления спектра периодического дискретного сигнала. Так как сигнал периодический, будем раскладывать его в ряд Фурье. Коэффициенты Х(n) этого ряда, согласно общей формуле (3), равны

. (5)

Таким образом, формула для вычисления комплексных амплитуд гармоник представляет собой линейную комбинацию отсчетов сигнала.

В выражении (5) реальный масштаб времени фигурирует только в множителе 1/Т перед оператором суммирования. При рассмотрении дискретных последовательностей обычно оперируют номерами отсчетов и спектральных гармоник без привязки к действительному масштабу времени и частоты.

Поэтому множитель 1/Т из (5) удаляют, то есть считают частоту дискретизации равной единице. Удаляют обычно и множитель 1/N. Получившиеся выражение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ):

(6)

Существует и обратное дискретное преобразование Фурье. Переход от дискретного спектра к временным отсчетам сигнала выражается следующей формулой:

(7)

Это выражение отличается от формулы прямого ДПФ (6) лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и наличием множителя 1/N перед оператором суммирования.

Размещено на Allbest.ru