Электродинамика точечных зарядов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ЭЛЕКТРОДИНАМИКА ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯДОВ



СОДЕРЖАНИЕ

1. Поле системы зарядов

2. Электрическая энергия системы зарядов

3. Поле системы зарядов на далеких расстояниях от нее разложение потенциала по мультиполям

4. Система зарядов во внешнем поле



1. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ

Рассмотрим область V пространства, в которой отсутствуют токи . Кроме того, в области V все заряды находятся в вакууме и отсутствуют внешние падающие на нее и внутренние электромагнитные волны.

Из следует отсутствие магнитного поля и стационарность электрического

.

При этих условиях система уравнений поля редуцируется в области V к одному уравнению:

(8.1)

Все остальные уравнения Максвелла обращаются в выбранной системе в тождества. Для плотности точечных зарядов имеет место выражение

(8.2)

Так как , а вектор-потенциал вместе с магнитным полем, то согласно основной теореме векторного анализа, поле является потенциальным:

(8.3)

Подставляя (8.3) в (8.1) получаем для электростатического потенциала уравнение Пуассона:

.

Выпишем его частное решение, порождаемое распределением зарядов (8.2) в пространстве:

Итого

(8.4)

есть потенциал в виде суммы полей создаваемых системой зарядов.

Найдем напряженность поля (8.4)

где

;

- радиус-вектор точки наблюдения;

- радиус-вектор точечного заряда номера "а";

или вводя единичный вектор

,

направленного от заряда в точку наблюдения поля, перепишем последнее равенство как:

(8.5)

Отметим, что поле системы зарядов является сингулярным в тех точках, где находится сам заряд . Эти расходимости присущи классической теории электромагнитного поля.

2. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ

Попробуем ответить на вопрос, какая энергия запасена в системе зарядов?

Это необходимо знать, так как при перестройке системы запасенная в ней энергия, в принципе может перейти в другие формы.

Будем исходить из уравнения баланса - закона сохранения энергии в интегральной форме:

(8.6)

Учитывая, что рассмотрению подвергается статическая система зарядов в отсутствии их движения и потоков энергии требуем, чтобы кинетическая энергия зарядов и поток энергии через поверхность, окружающую систему, были равны нулю:

, (8.7)

Тогда из (8.6) и (8.7) следует закон сохранения энергии для электростатической системы зарядов:

(8.8)

Где

.

Из (8.8) следует, что энергия статического поля:

(8.9)

В формуле (8.9) поле явно выступает как носитель энергии. Однако можно дать электростатической энергии и другую интерпретацию, для чего совершим систему тождественных преобразований, перебрасывая оператор по правилам дифференцирования произведения в выражении для W с одного подынтегрального члена на другой

Первый член последней строки сводится к интегралу по поверхности S, ограничивающей поле вида

так как отсутствует поток поля через поверхность. Во втором члене надо использовать уравнение Максвелла (8.1). Тогда для энергии справедливо выражение

(8.10)

Для более строгого обоснования (8.10) оценим члены в выражении для отброшенного поверхностного интеграла:

, ,

(площадь сферы, ограничивающей трехмерную область, есть ).

Итого

(8.11)

и стремится к нулю при . Итак, полная энергия электростатического поля есть

(8.12)

Подставляя в (8.12) выражение электростатического потенциала из (8.4), используя "b" в качестве индекса суммирования

То есть

(8.13)

Иначе, если в системе находится N зарядов, полная энергия равна:

(8.14)

Первый член (8.14) есть

- энергия взаимодействия заряда с собственным нолем (энергия классического самодействия заряда).

Эта энергия бесконечна, так как считается энергия поля в точках нахождения заряда.

Второй член (8.14) есть

-

энергия взаимодействия различных зарядов друг с другом.

Электростатическая энергия системы зарядов есть функционал ее состояния. При изменении конфигурации системы зарядов меняется энергия взаимодействия . Энергия же самодействия, по-прежнему бесконечна . Это значит, что энергию самодействия нельзя никак использовать! Сомодействие не наблюдаемо, в принципе, и оно устраняется математически перенормировкой

(8.15)

то есть для получения из энергии вычтена энергия самодействия:

.

С точки зрения элементарной математики вычитание бесконечностей есть некорректная процедура. Можно ли осуществлять ее строго? Для этого необходимо вместо конечных частиц ввести однородно заряженные шарики. Для любого такого шарика можно вычислить конечную энергию самодействия. Пусть шарик имеет радиус . Тогда плотность его заряда есть:



Размещено на http://www.allbest.ru/

Плотность заряда внутри шара есть , а полный заряд зависит от радиуса по закону

.

Заряд сферического слоя (см. рис. 8.1) есть

.

В (8.15) перейдем от суммирования к интегрированию. Тогда энергия шарового слоя есть

(в силу симметрии выражения по , множитель сокращается).

Полная электростатическая энергия находится интегрированием этого выражения по r:

Итого

(8.16)

есть энергия сферической частицы радиуса - конечная энергия взаимодействия шарика самого с собой.

Полная энергия системы таких частиц есть:

(8.17)

Выражение (8.17) является приближенным, так как оно не учитывает энергию взаимодействия остальных зарядов со слоями данного неточечного радиуса . Однако при приближенное равенство в (8.17) превращается в точное. Конечность выражения (8.17) позволяет определить электростатическую энергию взаимодействия зарядов друг с другом как

(8.18)

после чего величина

становится конечной и равной

(8.19)

или в эквивалентной форме

где штрихом обозначено исключение из рассмотрения.

3. ПОЛЕ СИСТЕМЫ ЗАРЯДОВ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ ОТ НЕЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛА ПО МУЛЬТИПОЛЯМ

Ранее (8.4) был установлен вид решения для потенциала системы статистических зарядов:

(8.20)

Отметим, что в (8.20) содержится 4N параметров для каждой точки, характеризующей место положения заряда (3 координаты и величина заряда ). Однако данным решением неудобно пользоваться с целью получения качественных и количественных предсказаний о виде поля, если N - большое число (реально же, если частиц десятки и сотни). С целью представления решения для потенциала через меньшее число параметров, заменим точное решение приближением, которое представляется через конечный набор характеристик системы зарядов.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Конечной целью является - найти приближенный ответ, параметризуемый числом характеристик системы

.

Пусть система зарядов локализована в небольшом участке трехмерного пространства (рис 8.2)

Введем вектор

,

направленный от заряда в точку наблюдения Р. В качестве малого из параметров выступает отношение

.

Обозначим

.

Эта величина входит в формулу (8.20) для потенциала. С целью дальнейшего преобразования (8.20) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки (или ). Ограничимся разложением в ряд вплоть до членов со вторыми производными.

(8.21)

Выпишем явные выражения для производных функций

(8.22)

С учетом равенства

(8.23)

Любое слагаемое формулы (8.23) устроено так, что состоит из произведения

С экспериментом легче всего сравнивать наиболее простой (в тензорном смысле) из отличных от нуля членов разложения.

Представим приводимый объект в последнем члене (8.23) как сумму неприводимых представлений произведения векторов, для чего составим комбинацию

и перепишем (8.23) в виде

(8.24)

В (8.24) выделены квадратной скобкой снизу члены, которые являются произведением на тензор-девиатор.

Эти члены сумм обращаются в нуль. Поэтому конечный результат рассматриваемого разложения есть

(8.25)

Подставляя (8.25) в (8.20) получаем разложение для потенциала

(8.26)

Где

-

суммарный заряд системы (1 величина)

- квадрупольный момент системы зарядов (5 величин компонент симметричного тензора с равным нулю следом)

Разложение (8.26) можно символически записать как разложение по мультиполям

(8.27)

где члены разложения классифицируются как

Член с суммарным зарядом	Дипольный член	Квадрупольный член

На больших расстояниях от системы поле создается, в основном, только главным членом разложения.

Если , главный член разложения дипольный; , , главный член разложения - квадратурный и так далее. Отметим, что количество параметров, которыми может быть описана система в трех старших приближениях, есть . Если же зарядов 100, то полное число параметров - 400.

То есть, в методе разложения по мультиполям потенциала системы зарядов удалось уменьшить в 150 раз число параметров, описывающих систему.

Построим соответствующие членам разложения напряженности полей:

(8.28)

или в векторной форме

(8.29)

где

- единичный вектор.

Или, вводя единичный вектор , запишем

(8.30)

Для облегчения расчета мультипольных моментов рассмотрим две теоремы:

Теорема 1.

Если сумма всех зарядов данной системы

,

то ее дипольный момент не зависит от выбора начала координат.

Доказательство.

Пусть , - радиус-векторы одного заряда в разных системах координат, связанные соотношением (вектор соответствует сдвигу начала координат). Тогда дипольный момент зарядов в новой системе координат есть:

.

То есть .

Теорема 2.

Если сумма всех зарядов данной системы

,

и ее дипольный момент , то квадратурный момент не зависит от выбора начала координат.

Доказательство.

Пусть , - радиус-векторы одного и того же заряда в разных системах координат, связанные соотношением (вектор соответствует сдвигу начала координат системы зарядов). Тогда тензор квадратурного момента есть

То есть

.

Пользуясь первой из доказанных теорем легко вычислить например, дипольный момент системы равных зарядов e с разными знаками, находящихся в углах квадрата

Очевидно что

.

Выберем начало координат в центре квадрата - точке О. Рассчитаем дипольные моменты, относительно этой точки, всех зарядов, разбивая их на пары одноименных. Результат вычисления есть

То есть дипольный момент данной конфигурации зарядов .

4. СИСТЕМА ЗАРЯДОВ ВО ВНЕШНЕМ ПОЛЕ

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим реакцию системы зарядов на приложенное к ней внешнее поле. Пусть изучается простая система, изображенная на рис. 8.4.

То есть изучаются, к примеру, 3 пространственно разделенные подсистемы. Будем считать поля подсистем 1 и 2 внешними по отношению к подсистеме 3. Тогда электростатическая энергия рассматриваемой системы выражается формулой

; где

Или

(8.31)

Первый член правой части (8.31) описывает взаимодействие в системе, создающей поле. Второй член правой части есть энергия силового взаимодействия выделенной подсистемы с другими заряженными подсистемами. Пусть - заряд выделенной подсистемы. Тогда (8.31) есть, по форме, потенциал подсистемы 3 с радиус-вектором . Если данная заряженная подсистема состоит из большого числа зарядов с радиус-векторами , то можно предположить, что потенциальная энергия ее взаимодействия с внешним полем выразится формулой

(8.32)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рассмотрим пространственно-удаленную систему зарядов, помещенную во внешнем поле , рис.(8.5).

Предполагая, что система зарядов находится достаточно далеко от источника поля О, можно ввести малый параметр

.

Компоненты вектора , направленного из источника поля к заряду , есть .

Учитывая сделанные предположения, можно упростить выражение (8.32) для U. С этой целью разложим его в рад в окрестности :

(8.33)

Перепишем (8.33) с учетом определения напряженности электростатического поля (8.3) и определения вектора :

(8.34)

По определению, есть поле внешних источников. Оно не содержит полей, создаваемых подсистемой внутри себя. Поэтому создается внешними зарядами . Так как внутри выделенной подсистемы нет внешних зарядов , то

(8.35)

Поэтому, последний член в (8.34) равен нулю и

(8.36)

Итого, потенциальная энергия системы зарядов во внешнем поле представляется в виде ряда

(8.37)

Потенциальная энергия монополя во внешнем поле:

-

заряд системы.

Потенциальная энергия диполя во внешнем поле:

-

дипольный момент системы.

Потенциальная энергия квадруполя во внешнем поле:

- квадрупольный момент системы

Пользуясь симметрией второй производной по индексам i, k можно представить в нескольких эквивалентных формах:

Так как

.

Так как

.

Таким образом, для напряженностей электростатического поля справедливо равенство:

(8.38)

являющееся лишь другим условием записи условия безвихревого характера поля сохранение энергиия электростатический мультиполе

- условия потенциальности.

С учетом (8.38) член

может быть переписан в симметризованной форме:

(8.39)

отсюда сразу видно, что с однородным полем вида

квадруполь не взаимодействует.

По потенциалу (8.36) построим напряженность поля с помощью (8.3).

Получим:

(8.40)

Сила Лоренца, действующая на заряд в электростатическом поле (8.40) есть

(8.41)

Между потенциальной энергией системы и действующей на нее силой должно выполняться соотношение:

(8.42)

Проверим его выполнение по формуле (8.37), дифференцируя непосредственно каждое слагаемое, и получим выражение, совпадающее с (8. 41). Таким образом, формула (8.42), действительно, имеет место и элемент эвристики, допущенный при определении U по формуле (8.32), получил строгое обоснование.

Рассчитаем момент сил, действующих на систему зарядов во внешнем поле.

По определению, момент сил есть:

(8.43)

Оставляя в приближенном выражении (8.43) только первый член получим хорошо известную формулу электростатики

(8.44)

Размещено на Allbest.ru