Погрешности при измерениях физических величин

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Южный федеральный университет»

Методические указания к работам

Монастырский Л.М.

Игнатова Ю.А.

Цветянский А.Л.

Ростов-на-Дону

2010

Методические указания разработаны проф. кафедры общей физики Л.М. Монастырским, старшим преподавателем кафедры общей физики Ю.А. Игнатовой, проф. кафедры общей физики А.Л. Цветянским

Печатается в соответствии с решением кафедры общей физики физического факультета ЮФУ, протокол № от 20 г.

1. Погрешности при измерениях физических величин

измерительный погрешность удельный сопротивление

Краткая теория погрешностей

Непосредственной задачей большинства физических экспериментов является измерение физических величин. Следует помнить, что никакое измерение не может быть выполнено абсолютно точно. Его результат обязательно содержит некоторую погрешность. Каждое измерительное устройство обязательно содержит некоторую погрешность изготовления тех или иных измерительных шкал. Измеряя с помощью такого инструмента некоторую величину, мы не можем сделать ошибки меньшей, чем погрешность измерительного устройства. Кроме того, в процессе измерений возникают и случайные ошибки, связанные с повторяемостью физических измерений.

1.1 Измерения и их погрешности

Измерения делятся на прямые и косвенные. Прямые измерения производятся с помощью приборов, которые непосредственно измеряют саму физическую величину. Так, массу тела можно измерить с помощью весов, длину с помощью линейки и т.д.

Косвенные измерения это такие измерения, которые позволяют рассчитать физические величины по определенным формулам, связывающим эти величины. Например, нахождение объема тела по его линейным размерам, нахождение плотности тела по его массе и объему.

Точность измерений характеризуется их погрешностью. Абсолютной погрешностью измерений называют разность между найденным значением в ходе эксперимента и истинным значением физической величины:

х = х_изм - х_ист.

Кроме абсолютной погрешности существует еще относительная погрешность:

.

Поскольку истинное значение измеряемой величины неизвестно, то в качестве наилучшего значения для измеряемой величины пользуются средним арифметическим значением:

.

1.2 Систематические и случайные погрешности

Систематические ошибки можно разделить на несколько групп. К первой группе можно отнести ошибки, природа которых известна и их величина может быть определена. Обычная стальная линейка имеет миллиметровые деления. Если считать, что на глаз можно уверенно отсчитывать 0,2 деления, то 0,2 мм и будет той точностью, которая достижима с помощью этой линейки. Известно, что длина этой линейки зависит от ее температуры. Линейка изготавливалась при одной температуре, а измерения могут производиться при другой температуре. Это приведет к некоторым погрешностям в измерении. При разнице температур в 25⁰С погрешность измерения составит 0,02 мм. Ясно, что эту погрешность можно не учитывать. Если же измерения той же самой длины проводится, например, с помощью микрометра с точностью 0,01 мм, то такую погрешность необходимо учесть.

К другой группе систематических погрешностей можно отнести погрешности известного происхождения, но неизвестной величины. К их числу относится погрешность измерительных приборов, которая определяется классом точности прибора. Систематические погрешности стрелочных измерительных приборов (амперметров, вольтметров) определяются классом их точности, который выражает абсолютную погрешность прибора в процентах от максимального значения шкалы. При классе точности прибора, равном единице, предел допустимой погрешности равен 1% от максимального значения шкалы. Следует иметь ввиду, что наносить деления на шкале принято с таким интервалом, чтобы величина абсолютной погрешности прибора не превышала половины цены деления шкалы.

Если на приборе указан класс точности 0,5, то это значит, что показания прибора правильны с точностью до 0,5% от всей действующей шкалы прибора. Вольтметр, шкала которого приведена ниже, дает ошибку в измерении напряжения не более 0,75 В.

Рисунок 1. Шкала вольтметра

Случайные погрешности меняют величину и знак от опыта к опыту. Случайные погрешности могут быть связаны с неточностью изготовления исследуемого объекта (проволока непостоянного сечения), влиянием сил трения в измерительных устройствах, постоянно меняющимися внешними воздействиями и т.п.

Случайные величины, к которым относятся случайные погрешности, изучаются в теории вероятностей и математической статистике.

Случайные погрешности устранить нельзя, но благодаря тому, что они подчиняются вероятностным закономерностям, всегда можно указать пределы, внутри которых с заданной вероятностью заключается истинное значение измеряемой величины.

В основе теории вероятностей лежит закон нормального распределения, включающий следующие закономерности:

При большом числе измерений ошибки одинаковой величины, но разного знака, встречаются одинаково часто.

Частота появления ошибок уменьшается с ростом величины ошибок. Иначе говоря, большие ошибки наблюдаются реже, чем малые.

Ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений.

Статистическая вероятность события определяется отношением числа n случаев его появления к общему числу N всех возможных равновероятных случаев:

В теории вероятностей доказывается следующее выражение:

,

что означает, что среднее арифметическое результатов отдельных измерений при очень большом n равно наивероятнейшему значению измеряемой величины и тем ближе к нему, чем больше n.

Чтобы оценить достоверность полученного результата, необходимо обратиться к распределению случайных погрешностей отдельных измерений. Распределение погрешностей часто подчиняется нормальному закону распределения - распределению Гаусса:

,

где y - функция распределения погрешностей, - генеральная дисперсия.

Графики закона нормального распределения с различными значениями изображены на следующем рисунке 2.

Рисунок 2. График закона нормального распределения

На рисунке 2 - случайная погрешность. Параметр есть мера рассеяния случайных погрешностей . Если результаты измерений группируются вблизи наивероятнейшего значения и значения погрешностей в основном малы, то мала и величина . Если погрешности велики и сильно рассеяны, то кривая становится более размытой.

Отношение площади под кривой Гаусса, ограниченной значениями (на рисунке 2 эта площадь заштрихована для ), ко всей площади под кривой составляет 0,68, и запись говорит о том, что любое проведенное измерение с вероятностью 68% лежит в этом интервале.

Если записано , то вероятность попадания в этот промежуток любого проведенного измерения составляет 95%, и если , то вероятность равна 99,7%.

При ограниченном числе измерений n отклонение результата отдельного измерения от наивероятнейшего значения х_ист оценивается выборочной дисперсией отдельного измерения:

.

Эту формулу использовать на практике невозможно, т.к. наивероятнейшее значение измеряемой величины х_ист неизвестно. Оценить значение ошибки отдельного измерения можно по формуле:

.

Практически же исследователя интересует не точность каждого из n измерений, а погрешность среднего арифметического, и, главное, насколько оно соответствует наивероятнейшему значению измеряемой величины.

2. Погрешности при небольшом количестве измерений. Определение систематических и случайных погрешностей при измерении удельного сопротивления проволоки

Цель работы: измерить удельное сопротивление проволоки и вычислить погрешности, возникающие при таких измерениях.

Оборудование: линейка, штангенциркуль, микрометр, амперметр и вольтметр, отрезок проволоки.

Удельное сопротивление проволоки круглого сечения, изготовленной из однородного материала имеющей всюду одинаковую толщину, может быть определено по формуле:

,

где R_пр - сопротивление измеряемого участка проволоки, l - его длина, d-диаметр проволоки. Таким образом, для определения удельного сопротивления проволоки надо измерить ее длину, диаметр и электрическое сопротивление.

Измерьте диаметр проволоки на десяти различных ее участках с помощью штангенциркуля и микрометра. Результат запишите в таблицу 1. Точность измерения с помощью штангенциркуля - 0,05 мм. Точность измерения с помощью микрометра - 0,005 мм. Сравните результаты, полученные при измерениях приборами с разной точностью. Усредните полученные результаты измерения диаметра.

Таблица 1. Результаты измерения диаметра проволоки

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Среднее значение
d1,мм
d2, мм

d₁ - диаметр проволоки, измеренный штангенциркулем,

d₂ - диаметр проволоки, измеренный микрометром.

Если при измерении диаметра проволоки присутствует случайная погрешность измерения, то точность результатов определяется как систематической, так и случайной погрешностью:

_сист = 0,005 мм,

где - коэффициент Стьюдента для надёжности и степеней свободы . В нашем случае .

Суммирование случайной и систематической погрешностей определяется следующим образом.

Если соотношение между неисключенной систематической погрешностью и выборочной дисперсией, характеризующей случайную погрешность, определяется неравенством

,

то величиной систематической погрешности пренебрегают и суммарную погрешность принимают равной случайной.

Если выполняется соотношение

,

то величиной случайной погрешности пренебрегают и суммарную погрешность принимают равной систематической.

Если два эти условия не выполняются, то границу погрешности результатов измерения определяют по сложной эмпирической формуле [1].

Погрешность диаметра определяется

d = .

Рассчитайте площадь поперечного сечения проволоки:

.

Величину погрешности найдите по формуле:

= .

Окончательно

.

Для измерения сопротивления проволоки используется следующая установка:



Рисунок 3. Установка для измерения сопротивления проволоки

Рисунок 4. Передняя панель установки

Установка состоит из неподвижной колонны 1, с закрепленной на ней метрической шкалой 2. На колонне расположены два неподвижных кронштейна, на которых крепится резистивный провод 3. Подвижный кронштейн 4 может передвигаться вдоль колонны и фиксироваться в любом положении с помощью винта 5. В измерительную часть установки входят вольтметр и миллиамперметр. Переключатель W₁ (сеть) служит для включения напряжения питания. Прибор может работать в двух режимах - отжатый переключатель W₃ позволяет работать с внешним мостом постоянного тока, нажатый переключатель переводит прибор в режим работы измерения сопротивления с помощью вольтметра и миллиамперметра. Переключатель W₂ позволяет переводить прибор в два рабочих режима: измерение сопротивления по методу точного измерения тока - переключатель W₂ отжат, либо по методу точного измерения напряжения - переключатель W₂ утоплен. Потенциометр Р₁ позволяет устанавливать требуемое значение тока или напряжения.

Составьте таблицу 2 основных характеристик амперметра и вольтметра: класс точности прибора, предел измерений x_n, число делений шкалы n, цена деления x_n/n, чувствительность n/x_n, абсолютная погрешность , внутреннее сопротивление прибора.

Таблица 2. Основные характеристики приборов

	Вольтметр	Миллиамперметр
Класс точности
Предел измерений xn
Число делений шкалы n
Цена делений xn/n
Чувствительность n/xn
Абсолютная погрешность
Внутреннее сопротивление прибора

Далее следует измерить величину сопротивления выбранного участка проволоки R_пр. В данной работе величину сопротивления предлагается измерить с помощью одной из схем

Рисунок 5. Схемы для измерения сопротивлений

Для схемы (а) рассчитанные значения R_пр = V_а/I_а, а для схемы (б) рассчитанные значения R_пр = V_б/I_б.

В первом случае схемы (а) вольтметр правильно измеряет падение напряжения на концах проволоки, а амперметр измеряет не величину прошедшего через проволоку тока, а сумму токов, прошедших через проволоку и через вольтметр. Поэтому:

.

Отсюда можно выразить сопротивление проволоки:

.

Во втором случае схемы (б) амперметр измеряет силу тока, проходящего через проволоку, но вольтметр измеряет суммарное падение напряжения на проволоке и на амперметре. В этом случае:

.

Выразить отсюда сопротивление проволоки:

.

Оценить по этим формулам величину поправок (в скобках) при измерении сопротивлениям при использовании разных схем.

Известно, что R_пр 5 Ом, R_V = 2500 Ом, R_A = 0,15 Ом. Тогда величина поправки для схемы (а) равна R_пр/R_V =0,002 ( 0.2% ), а величина поправки для схемы (б) равна R_A/R_пр=0,03 (3%). Меньшую ошибку дает схема (а).

Включить схему (а). Опыт провести для следующих трех длин участка проволоки:

.

Показания приборов занести в таблицу 3.

Таблица 3. Показания вольтметра и амперметра

l = 20 см

l = 30 см

L = 50 см

V,дел

I, дел

V, мВ

I, мА

V,дел

I, дел

V, мВ

I, мА

V, дел

I, дел

V, мВ

I, мА

Построить графики зависимости V=f(I) для всех трех отрезков проволоки, проводя линии через экспериментальные точки.

Зависимость имеет линейный вид, следовательно, угол наклона прямой к оси токов равен сопротивлению проволоки.

Для каждой длины l, используя график, найти среднее значение сопротивления R_ср проволоки. Результаты заносим в таблицу 4. Вычислить поправки метода (а) к измеренному значению R_ср и результаты измерения R_пр занести в таблицу 4.

Таблица 4. Результаты измерения сопротивления проволоки

	l = 20 см	l = 30 см	l = 50 см
Rср, Ом
Rпр, Ом
пр, Ом

Оценить погрешность измерения R_ср по формуле:

,

где V и I максимальные значения тока и напряжения, полученные в эксперименте. Ошибка равна половине абсолютной погрешности вольтметра:

.

Ошибку амперметра определяют аналогично.

Определить удельное сопротивление проволоки по формуле:

.

Вычислить погрешность по формуле:

=.

Занести результат в таблицу 5.

Таблица 5. Удельное сопротивление проволоки

l, см
20
30
50

3. Погрешности при большом количестве измерений. Измерение сопротивления набора одинаковых по номиналу резисторов

Цель работы: применение методов обработки большого числа экспериментальных данных при измерении сопротивлений.

В работе используются: набор резисторов (не менее 100 штук), универсальный цифровой вольтметр В7-23.

Производство резисторов на заводе - сложный технологический процесс. В результате величина сопротивления резисторов может отличаться от номинала, указанного на каждом экземпляре. Это связано с погрешностями при изготовлении резисторов. В данной работе для измерения сопротивления используется достаточно точный измерительный прибор, который обеспечивает точность до сотых долей процента относительной погрешности. Таки образом, погрешностью измерений, связанной с измерительным прибором, можно пренебречь по сравнению с отклонениями, полученными в технологическом процессе изготовления резисторов.

Для выполнения работы включите прибор в режим «измерение сопротивлений переменному току», выполните измерения заданного преподавателем набора резисторов, и оформите результаты в виде таблицы.

Оцените близость экспериментального распределения к нормальному. Сделайте это с помощью метода спрямленных диаграмм, который отличается простотой расчетов и наглядностью. Выборку из N измерений сгруппируйте в k равных по ширине интервалов. Ориентировочно число k можно определить по формуле Стерджесса:

k = 1 + 3,32lgN,

округлив результат расчета k до целых чисел. Следует отметить, что число k должно быть не менее 5 и нецелесообразно брать более 15. При несоблюдении последнего требования отдельные случайные отклонения могут нарушить общую картину.

Найдите ширину интервала по формуле:

d = (R_max - R_min)/k,

где R_max, R_min - соответственно наибольшее и наименьшее значения сопротивления в рассматриваемой выборке. Допускается округление полученного значения d.

Для исследуемой выборки рассчитайте параметры распределения: среднее арифметическое R и дисперсию у².

Подсчитайте число n_j измерений, попавших в каждый интервал. При этом принимают: верхняя граница интервала принадлежит данному интервалу. Затем вычислите вероятность P_j события, что сопротивление принимает значение R_j >(R_min + jd), т.е. интегральную вероятность.

Результаты занесите в таблицу 6.

Таблица 6. Распределение результатов измерения по интервалам и расчет интегральной вероятности

номер интервала	интервал	nj(частота)	накопление частот vj	интегральная вероятность Pj,%
1	xmin-(xmin + d)	n1	v1 = n1	P1 = v1/N
2	(xmin + d)-(xmin + 2d)	n2	v2 = n1 + n2	P2 = v2/N
…	…	…	…	…
j	(xmin+(j-1)d)-(xmin + jd)	nj	vj = n1 + n2 +…+nj	Pj = vj/N
…	…	…	…	…
k	(xmin+(k-1)d)-(xmin + kd)	nk	vk= n1 + n2 +…+nk	Pk = vk/N

Для качественно оценки степени близости экспериментального распределения к нормальному на листе вероятностной бумаги на оси абсцисс откладывают номер интервала, а по оси ординат - интегральную вероятность P_ј = (v_j/N)•100. Считается, что распределение соответствует нормальному, если точки, принадлежащие диапазону вероятности P_j от 10 до 90 %, лежат на прямой линии. Отступление от прямой допустимы только для интервалов, когда P_j<10% и P_j>90%.

4. Измерение интенсивности радиационного фона

Цель работы: применение методов обработки экспериментальных данных для изучения статистических закономерностей при измерении интенсивности радиационного фона.

Оборудование: счетчик Гейгера-Мюллера, пересчетная схема

Случайный разброс результатов измерений может быть связан со случайными изменениями самой измеряемой величины.

Поток космических частиц, которые составляют значительную часть радиационного фона, изменяется со временем случайным образом, т.е. флуктуирует. В таком случае характеристикой этой величины является ее среднее значение и среднеквадратичное отклонение от этого среднего.

Обнаружить космические лучи и измерить их интенсивность можно по ионизации, которую они производят. Для этого используется счетчик Гейгера-Мюллера. Счетчик представляет собой наполненный газом сосуд с двумя электродами.

Одним из электродов является тонкостенный металлический цилиндр (катод), другим электродом (анод) является тонкая нить, натянутая вдоль оси цилиндра. Чтобы счетчик работал в системе счета частиц, на электроды надо подавать напряжение 400В. Частицы космических лучей ионизируют газ, которым наполнен счетчик, а также выбивают электроны из его стенок.

Образовавшиеся электроны, ускоряясь в сильном электрическом поле между электродами счетчика, соударяются с молекулами газа и выбивают из них вторичные электроны. Эти электроны ускоряются электрическим полем и затем ионизируют молекулы газа.

В результате ток через счетчик сильно увеличивается. Таким образом, для каждой влетевшей в счетчик частицы возникает импульс тока, который регистрируется пересчетной схемой.

Включите блок питания счетчика и проведите замеры космического излучения за 10 с. Проведите двести измерений и занесите в таблицу 7 результаты числа срабатываний счетчика.

Таблица 7

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
110
120
130
140
150
160
170
180
190

Примечание: Таблица составлена так, что, например, результат 123-го опыта лежит на пересечении строки 120 и столбца 3.

Представим результаты распределения в виде, удобном для построения гистограммы в таблице 8.

Таблица 8. Данные для построения гистограммы распределения числа срабатываний счетчика за 10 с

Число импульсов ni	0	1	2	3	4	5	6	7	8	и т.д.
Число случаев
Доля случаев wi

Подсчитаем теперь число срабатываний счетчика за 40, используя уже полученные экспериментальные результаты (объединяя по четыре измерения), и приведем их в таблице 9.

Таблица 9. Число срабатываний счетчика за 40 с

№ опыта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90

Представим данные для построения гистограммы распределения числа срабатываний счетчика за 40 с в таблице 10.

Таблица 10. Данные для построения гистограммы распределения числа срабатываний счетчика за 40 с

Число импульсов ni	17	18	19	20	21	22	23	24	25	и т.д.
Число случаев
Доля случаев wi

Строим на одном графике (рисунок 6) гистограммы распределения среднего числа отсчетов за 10 с и 40 с. При этом для второго графика цену деления по оси абсцисс увеличиваем в 4 раза, чтобы положения максимумов распределений совпадало.

Рисунок 6. Гистограммы для 10 с и 40 с

Найдем среднее число срабатываний счетчика за 10 с:

.

Найдем среднеквадратичную ошибку отдельного измерения:

.

Убедимся в справедливости того, что стандартная ошибка отдельного измерения удовлетворяет условию:

.

Определим долю случаев, когда отклонения от среднего значения не превышают и , и сравним с теоретическими оценками в таблице 11.

Таблица 11. Сравнение экспериментальных и теоретических оценок

Ошибка	Число случаев	Доля случаев	Теоретическая оценка
±			68
±			95

Определим среднее число импульсов счетчика за 40с:

.

Найдем среднюю квадратичную ошибку отдельного измерения:

.

Убедимся в справедливости того, что стандартная ошибка отдельного измерения удовлетворяет условию:

.

Определим доверительный интервал для среднего значения срабатываний счетчика за 10 с:

.

Тогда:

.

Окончательный результат:

Определим доверительный интервал для среднего значения срабатываний счетчика за 40 с:

Тогда:

Окончательный результат:

.

Размещено на Allbest.ru