Достатні умови параметричної стійкості квазілінійних механічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ІМ. С.П. ТИМОШЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

ДОСТАТНІ УМОВИ ПАРАМЕТРИЧНОЇ СТІЙКОСТІ КВАЗІЛІНІЙНИХ МЕХАНІЧНИХ СИСТЕМ

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник - член-кореспондент НАН України, доктор фізико-математичних наук, професор Мартинюк Анатолій Андрійович, завідувач відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Мазко Олексій Григорович, провідний науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем Інституту математики НАН України (м. Київ).

кандидат фізико-математичних наук, доцент Бичков Олексій Сергійович, доцент кафедри прикладної статистики факультету кібернетики Київського національного університету ім. Тараса Шевченка (м. Київ).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ, вул. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ 6 ” листопада 2008р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор фізико-математичних наук Жук О.П.

Загальна характеристика роботи

Одним з припущень класичної теорії стійкості руху О.М. Ляпунова є припущення про те, що параметри системи, яка досліджується, є фіксованими і не змінюються на протязі всього часу руху системи. Але на практиці, параметри, які входять до системи можуть змінюватися і вносити значні зміни в її роботу. Тому, на даному етапі розвитку теорії стійкості руху, коли активно удосконалюються існуючі і розробляються нові методи дослідження динаміки машин, все більш активно розробляється теорія стійкості руху механічних систем, параметри яких задані неточно.

Для дослідження динамічних властивостей такого класу систем, групою авторів Ikeda M., Ohta Y., Siljak D.D., було запропоновано використовувати нову концепцію параметричної стійкості. Зауважимо, що при дослідженні нелінійних систем, які містять невизначені параметри, однією з основних проблем є встановлення стану рівноваги і врахування зміни його місцезнаходження при зміні значень параметрів. Концепція параметричної стійкості дозволяє вирішити цю проблему, оскільки об'єднує в одному означенні існування стану рівноваги та його стійкість. Стан рівноваги, при цьому, розглядається як деяка неперервна функція, що залежить від параметрів, які входять до системи.

Слід зазначити, що концепція параметричної стійкості має деякі труднощі у застосуванні. Це зв'язано, насамперед, із необхідністю при використанні теорем методу функцій Ляпунова знати змінний стан рівноваги системи, яка досліджується. Також відсутній ефективний метод оцінки області існування стану рівноваги у просторі параметрів. У деяких роботах ця область вважається визначеною, або вказані умови, при яких вона існує. Наявні роботи стимулюють отримання нових результатів і удосконалення існуючих методик в цьому напрямку.

Актуальність теми. Тема даної дисертаційної роботи є актуальною, оскільки, як було зауважено у вступі, останнім часом активно розвивається теорія стійкості руху механічних систем, параметри яких задані неточно. Концепція параметричної стійкості є одним з ефективних підходів в межах цієї теорії. Тому, розробка підходу до визначення області у просторі параметрів, для значень яких існує стан рівноваги досліджуваної системи, отримання достатніх умов параметричної стійкості нелінійних автономних систем та нелінійних автономних великомасштабних систем, а також дослідження за допомогою отриманих результатів систем типу Лур'є, які є адекватними моделями багатьох задач непрямого регулювання машин та механізмів, є актуальними задачами.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження проводились згідно з темами “Розробка якісних методів аналізу стійкості руху систем із сухим тертям та імпульсних систем” (№ д.р. 0104U000297), “Розробка нових підходів до дослідження стійкості і резонансів в механічних системах” (№ д.р. 0107U003117 ), “Побудова критеріїв стійкості руху континуально-дискретних систем із використанням в задачах механіки” (№ д.р. 0107U008614) плану наукових досліджень Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розвиток і уточнення концепції параметричної стійкості. Об'єктом досліджень є залежність динамічних властивостей складних нелінійних механічних систем від зміни параметрів. Предметом досліджень є параметрична стійкість і параметрична стабілізовність складних нелінійних механічних систем. Методами досліджень є метод функцій Ляпунова і принцип порівняння з векторною функцією Ляпунова для великомасштабних систем.

Сформулюємо задачі досліджень.

Розробити новий підхід до визначення області в просторі параметрів, для значень яких існує стан рівноваги нелінійної автономної неточної системи.

Отримати достатні умови параметричної асимптотичної стійкості нелінійних неточних автономних систем і нелінійних неточних автономних великомасштабних систем, які б не потребували знаходження змінного стану рівноваги.

Отримати достатні умови параметричної квадратичної і глобальної параметричної квадратичної стабілізовності нелінійних систем типу Лур'є із невизначеністю. Встановити оцінки області в просторі параметрів існування розв'язків таких систем.

Отримати достатні умови абсолютної параметричної стійкості систем Лур'є. Встановити оцінки області в просторі параметрів існування розв'язків таких систем.

Дослідити динаміку системи матеріальних точок при змінних в'язях.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати одержані в роботі є новими і полягають в:

Розробці нового підходу до визначення області в просторі параметрів, для значень яких існує стан рівноваги нелінійної автономної неточної системи.

Отриманні достатніх умов параметричної асимптотичної стійкості нелінійних неточних автономних систем і нелінійних неточних автономних великомасштабних систем, які не потребують знаходження змінного стану рівноваги.

Отриманні достатніх умов параметричної квадратичної і глобальної параметричної квадратичної стабілізовности нелінійних систем типу Лур'є із невизначеністю. Встановленні оцінки області в просторі параметрів існування розв'язків таких систем.

Отриманні достатніх умов абсолютної параметричної стійкості систем Лур'є. Встановленні оцінки області в просторі параметрів існування розв'язків таких систем.

Дослідженні динаміки системи матеріальних точок при змінних в'язях.

Обґрунтованість і достовірність одержаних у дисертаційній роботі результатів забезпечується повним та строгим доведенням усіх викладених тверджень на основі класичних теорем другого методу Ляпунова.

Практичне значення одержаних результатів. Результати роботи і методика їх отримання можуть бути використані при подальшому розвитку концепції параметричної стійкості та при дослідженні стійкості реальних механічних систем.

Особистий внесок здобувача. Всі результати роботи одержано особисто автором. У спільних публікаціях здобувачеві належить вибір методики розв'язання поставлених перед ним задач, аналітичні та чисельні розрахунки, аналіз отриманих результатів, співавтору -- визначення напрямку дослідження, постановка задачі та участь у аналізі отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на семінарах відділу стійкості процесів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України; на семінарі секції “Теорія коливань та стійкість руху” Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України; на міжнародній конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation” (травень 2007, Київ); на всеукраїнській науковій конференції “Актуальні проблеми аналізу та моделювання складних систем”(червень 2007, Черкаси); на XII Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (травень 2008, Київ); на всеукраїнській науковій конференції “Інформаційні технології в освіті, науці і техніці” (травень 2008, Черкаси).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у восьми роботах. Серед них чотири статті у фахових наукових журналах та четверо тез наукових конференцій.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Повний обсяг роботи становить 130 сторінок. Робота містить 7 рисунків. Список використаних джерел містить 125 найменувань і займає 15 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету та задачі дослідження, відображено наукову новизну та практичну цінність, наведено апробацію дисертації.

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за темою дисертації. Висвітлені основні результати із дослідження неточних систем. Вказано на важливість та актуальність розробки теорії стійкості руху систем, параметри яких задані неточно. Розділ закінчено переліком задач з даної тематики, які залишилися нерозглянутими або потребують уточнення та подальшого розвитку.

У другому розділі викладено спосіб та результати застосування концепції параметричної стійкості до дослідження динамічних властивостей нелінійних неточних автономних механічних систем в залежності від зміни параметра.

Розглядається інваріантна у часі система диференціальних рівнянь

(1)

де - стан системи (1) в момент і - векторний фізичний параметр, - достатньо гладка функція. Припускається, що для деякого номінального значення параметра існує стан рівноваги системи (1), тобто при цьому стійкий. Стан рівноваги розглядається як функція векторного параметра.

У підрозділі 2.1 наводяться означення різних видів параметричної стійкості. Розглянуто приклад, який показує що навіть асимптотичної стійкості стану рівноваги системи недостатньо для грубості системи в його околі, а параметрична асимптотична стійкість стану рівноваги забезпечує цю властивість.

У підрозділі 2.2 запропоновано метод, який дозволяє отримати оцінки областей в просторі параметрів, для кожного значення параметра із якої існує стан рівноваги, і в просторі змінних, якій цей стан рівноваги належить. Нехай

(2)

система рівнянь у векторній формі, з якої визначається стан рівноваги і де - деякі субвектори векторів і

Привівши рівняння (2) до операторного вигляду і розглянувши відповідний ітераційний процес, з теореми Шрьодера про збіжність загального ітераційного процесу у псевдометричному просторі отримаємо умови його збіжності, тобто умови існування розв'язку рівняння (2), з яких можемо оцінити межі області Відмітимо, що при відшуканні області розбиття векторів на субвектори можна задавати довільним чином, що важливо при дослідженні систем великої розмірності.

У підрозділі 2.3 розглядається система вигляду (1), на яку, окрім умов припущення 1, накладається припущення про асимптотичну стійкість лінійного наближення системи (1) в точці

Нехай область визначена за допомогою методу запропонованого у підрозділі 2.2. Вигляд функції Ляпунова, яка забезпечує параметричну асимптотичну стійкість системи (1) дається теоремою 1, а достатні умови параметричної асимптотичної стійкості вказаної системи - її наслідком.

У підрозділі 2.4 результати попереднього підрозділу ілюструються на прикладі нелінійної неточної автономної системи другого порядку.

У підрозділі 2.5 розглядається нелінійна неточна автономна система великої розмірності

(4)

Функція має достатню гладкість, щоб задовольняти умовам теореми про існування і єдиність розв'язку початкової задачі. Провівши декомпозицію системи (4), розглядаємо систему

(5)

За допомогою методу, наведеного вище, отримаємо оцінку області Застосовуючи метод порівняння із векторною функцією Ляпунова, де властивість квазімонотонності векторної функції відносно конуса замінено властивістю слабкої квазімонотонності, що можна зробити через позитивність векторної функції відносно того ж конуса, отримаємо достатні умови параметричної асимптотичної стійкості автономної системи великої розмірності, які сформулюємо у вигляді теореми 2.

У підрозділі 2.6 отримані результати ілюструються чисельним прикладом. В якості системи, що досліджується на параметричну асимптотичну стійкість, розглядається трьохвидова система Лотки-Вольтера.

У третьому розділі результати розділу 2 застосовуються для дослідження на параметричну квадратичну стабілізовність та абсолютну параметричну стійкість різних типів нелінійних систем, зокрема систем Лур'є, які є адекватними моделями непрямого регулювання машин та механізмів.

У підрозділі 3.1 вводяться означення параметричної квадратичної стабілізовності, глобальної параметричної квадратичної стабілізовності та абсолютної параметричної стійкості нелінійних неточних систем.

У підрозділі 3.2 розглядається нелінійна система диференціальних рівнянь з керуванням

(6)

де - стан системи, а - управління в момент часу - вектор-параметр. Сталі матриці і представляють відому частину системи, позначає невизначені члени і є неперервною матрично-значною функцією - нелінійна неперервна функція. Керування вважаємо лінійним відносно стану тобто де - стала матриця і - корегуюча функція.

Для системи (6), за допомогою методу запропонованого в розділі 2, визначено область таку, що для всіх з існує - єдиний стан рівноваги системи (6), який належить

Достатні умови -стабілізовності системи диференціальних рівнянь (6) керуванням даються теоремою 3.

У підрозділі 3.3 результати попереднього підрозділу ілюструються чисельним прикладом системи диференціальних рівнянь другого порядку вигляду (6).

У підрозділі 3.4 встановлено достатні умови глобальної -стабілізовності системи диференціальних рівнянь (6) керуванням У випадку відомої функції відповідний результат дається теоремою 4.

У випадку, якщо функція невідома, але відоме значення її похідної, наприклад, в точці , то має місце теорема 5.

У підрозділі 3.5 результати попереднього підрозділу ілюструються модельним прикладом. Розглядається рух літака з велосипедною схемою шасі, переднє колесо якого автоматично керується сервомотором. Виписані рівняння руху літака, вибрані параметри керування, які забезпечують глобальну -стабілізовність отриманої системи рівнянь, а також отримані оцінки області у просторі параметрів, при яких ця властивість зберігається.

У підрозділі 3.6 досліджується абсолютна параметрична стійкість систем Лур'є. Розглянемо нелінійну систему диференціальних рівнянь з управлінням, яка відноситься до систем типу Лур'є

(7)

Тут - стан системи в момент а - управління в момент часу - нелінійна неперервна функція. Управління вважається лінійним відносно стану тобто де - вектор корекції, - матриці, елементи яких є неперервними функціями вектора-параметра

Відносно системи (7) зроблено певні припущення.

У випадку відомої функції керування визначено область у просторі параметрів існування єдиного стану рівноваги системи (7). Достатні умови абсолютної параметричної стійкості системи (7) відносно області даються теоремою 6.

Якщо функція невідома, але відомо значення її похідної в точці то має місце теорема 7.

У підрозділі 3.7 результати попереднього підрозділу ілюструються числовим прикладом.

У четвертому розділі отримані результати стосовно параметричної стійкості застосовуються для аналізу руху системи матеріальних точок при змінних в'язях. Розглядається рух матеріальної точки сталої маси по поверхні, яка може змінювати свою форму внаслідок наявності в її рівняннях параметру і яка обертається навколо вертикальної осі зі сталою швидкістю.

У підрозділі 4.1 описано механічну систему і здійснено постановку задачі.

У підрозділі 4.2 виведено рівняння руху матеріальної точки по поверхні змінної форми. Отримано рівняння, з яких визначаються стани рівноваги. Показано, що окрім ізольованих станів рівноваги в даній задачі може існувати многовид станів рівноваги. Спосіб його відшукання сформульований у вигляді твердження.

У підрозділі 4.3 розглянуто питання про існування многовиду станів рівноваги. Встановлені достатні умови його існування.

У підрозділі 4.4 встановлено достатні умови асимптотичної стійкості ізольованого стану рівноваги та многовиду станів рівноваги.

У підрозділі 4.5 отримані результати проілюстровано на прикладах. В якості першого прикладу розглянуто рух матеріальної точки по поверхні трьохосного еліпсоїда, рівняння якого містять параметр. В якості другого прикладу розглянуто рух матеріальної точки по поверхні сфери, радіус якої може змінюватися.

У висновках коротко сформульовано основні результати дисертації.

Висновки

Основні результати проведених досліджень, які представлені в дисертації, полягають у наступному:

Розроблено новий підхід до визначення області у просторі параметрів, для кожного значення параметра з якої існує стан рівноваги системи;

Отримано достатні умови параметричної асимптотичної стійкості нелінійних автономних неточних систем і нелінійних автономних неточних систем великої розмірності, які не потребують відшукання змінного стану рівноваги.

Отримано достатні умови глобальної параметричної квадратичної стабілізовності нелінійних систем з невизначеністю типу Лур'є. Визначені оцінки області у просторі параметрів існування станів рівноваги таких систем. параметричний стійкість рівновага автономний

Отримано достатні умови абсолютної параметричної стійкості нелінійних систем типу Лур'є загального вигляду. Визначені оцінки області у просторі параметрів існування станів рівноваги таких систем.

Досліджена динаміка системи матеріальних точок при змінних в'язях. Вказаний спосіб визначення многовиду станів рівноваги системи і умови його існування. Отримані достатні умови асимптотичної стійкості ізольованого стану рівноваги і многовиду станів рівноваги системи матеріальних точок при змінних в'язях.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Мартынюк А.А., Хорошун А.С. К теории параметрической устойчивости // Доп. НАН України. - 2007. - №7. - С.59 - 65.

2. Мартынюк А.А., Хорошун А.С. О параметрической устойчивости крупномасштабных систем // Прикл. мех. - 2008. - №5. - С.104 - 115.

3. Хорошун А.С. Параметрическая квадратическая стабилизация нелинейных систем с неопределенностью // Доп. НАН України. - 2008. - №2. - С.36 - 41.

4. Хорошун А.С. Глобальная параметрическая квадратическая стабилизируемость нелинейных систем с неопределенностью // Прикл. мех. - 2008. - №6. - С.126 - 133.

5. Хорошун А.С. Параметрическая асимптотическая устойчивость крупномасштабных систем // Тези доповідей міжнародної конференції “Dynamical System Modeling and Stability Investigation”, Київ, 2007. - С.110.

6. Хорошун А.С. Параметрическая асимптотическая устойчивость систем дифференциальных уравнений // Тези доповідей всеукраїнської наукової конференції “Актуальні проблеми аналізу та моделювання складних систем”, Черкаси, 2007. - С.43.

7. Хорошун А.С. Условия абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье // Тези доповідей XII Міжнародної наукової конференції ім. акад. М. Кравчука, Київ, 2008. - С.419.

8. Хорошун А.С. Устойчивость движения материальной точки при изменяющихся связях // Тези доповідей всеукраїнської наукової конференції “Інформаційні технології в освіті, науці і техніці”, Черкаси, 2008. - С.46.

Анотація

Хорошун А.С. Достатні умови параметричної стійкості квазілінійних механічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2008.

Дисертацію присвячено дослідженню параметричної стійкості нелінійних неточних автономних систем, які характеризуються наявністю рухомого стану рівноваги. Запропоновано новий підхід до відшукання області в просторі параметрів, для значень яких існує стан рівноваги системи, що розглядається. Одержано достатні умови параметричної асимптотичної стійкості нелінійних неточних автономних систем, які не потребують знаходження змінного стану рівноваги. Одержано достатні умови глобальної параметричної квадратичної стабілізовності та абсолютної параметричної стійкості систем Лур'є. На основі запропонованих підходів досліджено задачу про рух системи матеріальних точок зі змінними в'язями.

Аннотация

Хорошун А.С. Достаточные условия параметрической устойчивости квазилинейных механических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2008.

Диссертация посвящена исследованию параметрической устойчивости нелинейных неточных автономных систем, для которых характерно существование подвижного состояния равновесия. Предложен новый подход к отысканию области в пространстве параметров, для значений которых существует состояние равновесия исследуемой системы. На основе применения прямого метода Ляпунова, а в случае крупномасштабности исследуемой системы - метода сравнения с векторной функцией Ляпунова, получены достаточные условия параметрической асимптотической устойчивости нелинейных неточных автономных систем, которые не требуют нахождения переменного состояния равновесия. Получены достаточные условия глобальной параметрической квадратической стабилизируемости и абсолютной параметрической устойчивости систем Лурье. На основании предложенных подходов исследована задача о движении системы материальных точек при переменных связях. Показано, что в этом случае, кроме изолированных состояний равновесия может существовать многообразие состояний равновесия. Предложен метод его определения и условия существования. Установлены достаточные условия устойчивости изолированных состояний равновесия и многообразия состояний равновесия.

Summary

Khoroshun A.S. The sufficient conditions of parametric stability of the quasilinear mechanical systems. - Manuscript.

Thesis for a candidate's degree in speciality 01.02.01 - theoretical mechanics. - S.P. Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2008.

The thesis is devoted to investigation of parametric stability of the nonlinear imprecise autonomous systems, which have variable equilibrium. A new approach for determination of the region in the space of parameters for which the equilibrium of researched system exists is proposed. The sufficient conditions of parametric asymptotic stability of the nonlinear imprecise autonomous systems are established. These conditions don't require the establishing of the variable equilibrium. Also the sufficient conditions of the global parametric quadratic stabilizability and absolute parametric stability of Lur'e systems are established. On the basis of the proposed approaches it is investigated the movement of system of the material points with variable bonds.

Размещено на Allbest.ru