Нелінійні кінетичні моделі міжклітинної взаємодії

У вступі обгрунтовано актуальність обраної теми, сформульовані мета та задачі дослідження, показана наукова та практична цінність отриманих результатів.

У першому розділі зроблено огляд існуючих літературних джерел:

у підрозділі 1.1 описані найбільш важливі фізико-хімічні та біофізичні властивості процесу міжклітинної взаємодії в синаптичних щілинах, зокрема будова синапсів та особливості їх функціонування;

у підрозділі 1.2 обговорюються особливості процесу синаптичної передачі, які дають підстави вважати його ізоморфним критичним явищам у просторово-обмежених бінарних рідинних сумішах поблизу критичної точки;

у підрозділі 1.3 розглянуті математичні моделі синаптичної передачі, які були створені раніше, підкреслені їх недоліки, врахування яких є одним із завдань даного дослідження; у підрозділі 1.4 обговорюється вплив просторової обмеженості на процес дифузії та залежність значення коефіцієнта дифузії від лінійних розмірів системи.

У другому розділі розроблені три нелінійні кінетичні моделі міжклітинної взаємодії, визначені типи особливих точок і досліджені на стійкість розв'язки цих моделей з наближеним урахуванням дифузійних ефектів (точніше кажучи, дифузія молекул медіатора із синаптичної щілини враховується у спрощеному вигляді як відповідний лінійний доданок у диференційних рівняннях моделей).

Не вдаючись у біофізичні деталі процесу міжклітинної взаємодії [1*], коротко зазначимо, що існує два типи рецепторів ацетилхоліну - для активації рецепторів першого типу досить однієї молекули медіатора (М-холінорецептори), у той час як для активації рецепторів другого типу потрібні дві молекули медіатора (Н-холінорецептори).

У першій моделі досліджується нелінійна кінетична модель міжклітинної взаємодії з М-холінорецепторами, в якій враховується ефект подавлення розпаду медіатор-рецепторних комплексів за рахунок дії фосфорорганічних сполук (ФОС).

Будемо вважати, що послідовність подій, що відбуваються у синаптичній щілині, така: відбувається викидання молекул медіатора ацетилхоліна (ACh) в синаптичну щілину; молекули медіатора досягають постсинаптичної мембрани за рахунок дифузії; одна молекула ацетилхоліна приєднується до однієї молекули рецептора (R), утворюючи медіатор-рецепторний комплекс (AСh-R*); де R* означає активований стан рецептора; в результаті цього процесу відбуваються конформаційні зміни постсинаптичної мембрани і, як наслідок, зміни мембранного потенціалу; у присутності ферменту ацетилхолінестерази AChЕ відбувається розпад молекул медіатора з утворенням оцтової кислоти (СН₃СООН), а рецептор повертається в неактивний стан; під дією певних речовин (наприклад, ФОС) фермент ацетилхолінестераза AChЕ інактивується, що призводить до подавлення розпаду медіатор-рецепторних комплексів та молекул медіатора.

Процес приєднання медіатора та утворення медіатор-рецепторного комплексу може відбуватись як у прямому, так і в зворотному напрямках. Для спрощення аналізу знехтуємо зворотним процесом, оскільки він, як показують експериментальні дані [5*] є значно більш повільним, ніж прямий.

Перше рівняння описує такі процеси: перший доданок в правій частині рівняння (1) описує швидкість подачі молекул медіатора ацетилхоліну в синаптичну щілину (згідно з експериментальними даними [6*], на початку процесу вона є постійною), другий доданок - швидкість зв'язування ацетилхоліну з неактивованими рецепторами (а - загальна кількість рецепторів на постсинаптичній мембрані), третій - швидкість розщеплення молекул ацетилхоліну ацетилхолінестеразою, четвертий - виведення ацетилхоліну із синаптичної щілини за рахунок дифузії та зворотного захоплення (повернення молекул медіатора у пресинаптичну мембрану за рахунок обернених зв'язків). Друге рівняння описує такі процеси: перший доданок визначає додатний внесок в швидкість зміни концентрації медіатор-рецепторних комплексів за рахунок зв'язування ацетилхоліну з неактивованими рецепторами, а другий описує швидкість розщеплення медіатор-рецепторних комплексів за допомогою ацетилхолінестерази. В третьому рівнянні перший доданок описує швидкість зв'язування ацетилхолінестерази з ФОС, з одного боку, та швидкість звільнення її при розщепленні вільного ацетилхоліну та медіатор-рецепторних комплексів, з іншого боку, тобто , другий та третій доданки мають той же зміст, що і схожі доданки в рівняннях (1) та (2).

Отриманий розв'язок кінетичної моделі (1)-(3) відповідає реальним процесам, які відбуваються в синаптичній щілині [7*]: під впливом фосфорорганічних сполук припиниться розщеплення молекул медіатора та від'єднання їх від рецепторів, тому вони будуть залишатись активованими, а усі молекули ацетилхолінестерази будуть зв'язані і неактивні. До цього стану система прямуватиме експоненційно швидко.

Друга кінетична модель синаптичної передачі відрізняється від розглянутої вище тим, що в ній відсутня дія ФОС, а швидкість вивільнення медіатора у синаптичну щілину було апроксимовано за допомогою функції , де - параметр, який характеризує незначне відхилення швидкості подачі медіатора від постійного значення згідно з експериментальними даними [6*]. Оскільки процес вивільнення медіатора у синаптичну щілину є досить швидким, то для врахування цього факту та поступового сповільнення подачі молекул ацетилхоліна в синаптичну щілину, тригонометрична функція була розкладена у ряд Тейлора із збереженням квадратичного доданку в рівнянні (5).

Перший доданок у рівнянні (7) описує швидкість звільнення ацетилхолінестерази при розщепленні вільного ацетилхоліну та медіатор-рецепторних комплексів, тому знак перед цим доданком змінився на протилежний порівняно з рівнянням (3). Всі інші доданки у системі диференціальних рівнянь (5)-(7) зберігають той же зміст, що і в першій моделі.

Система стаціонарних рівнянь, яка відповідає кінетичній моделі (5)-(7), має такі розв'язки:

а) x₀=0, y₀=g, z₀=0 (g <a - певна концентрація медіатор-рецепторних комплексів). Цей розв'язок класифікується як дивний аттрактор, тому що корені характеристичного рівняння мають такий вигляд:,,, де, а k₅ - швидкість звільнення ацетилхолінестерази. Появу цього розв'язку можна пояснити двома причинами: 1) функція подачі ацетилхоліну в синаптичну щілину вважається короткочасним малим збуренням, 2) у відсутності ФОС перший доданок рівняння (7) змінює свій знак порівняно з першою моделлю;

b) x₀=0, y₀=0, z₀=h, де h - певна концентрація молекул ферменту ацетилхолінестерази. Такий розв'язок задовольняє систему (5) - (7) за умови, що k₅=0. Дійсно, для великих проміжків часу усі молекули медіаторів та медіатор-рецепторні комплекси будуть розщеплені і швидкість звільнення ацетилхолінестерази буде рівна нулю. Корені відповідного характеристичного рівняння мають такі значення:,,. У такому випадку, оскільки то особлива точка, яка описує стаціонарний стан системи, класифікується як стійкий тор.

Третя модель була створена для дослідження механізму синаптичної передачі, у якому задіяні Н-холінорецептори.

Іншими словами, при секреції в синаптичну щілину молекула ацетилхоліна приєднується до молекули рецептора (перше рівняння), потім до цього комплексу чіпляється ще одна молекула медіатора (друге рівняння), після чого ацетилхоліновий комплекс переходить у збуджений стан, а потім рецептор повертається в початковий стан (третє рівняння). Як і в попередніх моделях, зворотні процеси не враховані.

Оскільки для активації Н-холінорецептора потрібні дві молекули медіатора, існує проміжний неактивний медіатор-рецепторний комплекс з однією молекулою медіатора. Для адекватного опису такої системи кількість змінних повинна збільшитись, що призведе до ускладнення кінетичних рівнянь та збільшення їх числа. Щоб уникнути цього, будемо вважати концентрацію ферменту ацетилхолінестерази постійною.

У першому рівнянні прийнято, що концентрація фермента ацетилхолінестерази () є постійною, а вивільнення ацетилхоліна в синаптичну щілину описується -функцією Дірака (див. перший доданок в правій частині (8)). Другий та п'ятий доданки описують зв'язування медіатора з вільним рецептором та неактивним медіатор-рецепторним комплексом відповідно, третій доданок - розпад (гідроліз) ацетилхоліна в присутності ацетилхолінестерази, четвертий доданок - видалення ацетилхолина з щілини за рахунок дифузії та зворотного захоплення, а шостий та сьомий доданки - від'єднання молекули медіатора від активного та неактивного медіатор-рецепторного комплексу відповідно. Доданки, які входять у друге рівняння системи, мають наступний зміст: перший та третій мають той же зміст, що й шостий та сьомий доданки у рівнянні (8) відповідно, а зв'язування вільного рецептора з молекулою медіатора описується другим доданком. У третьому ж рівнянні системи перший доданок описує перехід неактивного медіатор-рецепторного комплексу у збуджений стан, а другий - розпад медіатор-рецепторного комплексу.

Відповідна система стаціонарних рівнянь має такий розв'язок:, (А₀ - загальна концентрація молекул медіатора в момент вивільнення, задає загальну концентрацію холінорецепторів у синаптичній щілині), який відповідає реальній ситуації, коли молекул ацетилхоліна в синаптичній щілині немає, як немає і медіатор-рецепторних комплексів, а всі рецептори є вільними. Цей розв'язок класифікується як стійкий вузол, оскільки чисельні розрахунки коренів характеристичного рівняння моделі з використанням експериментальних даних [5*] дає такий результат: -5 мс^-1, -3082 мс^-1, -37 мс^-1. Відповідні часи релаксації дорівнюють: 0,2 мс, 3·10^-4 мс, 2,7·10^-2 мс. Оскільки ці часи релаксації досить суттєво відрізняються між собою (670, 7,5), то головний внесок в кінетику наближення досліджуваної системи до рівноваги дає найповільніший релаксаційний процес з 0,2 мс.

У третьому розділі були розглянуті нелінійні кінетичні моделі синаптичної передачі у синапсах з М-холінорецепторами та з Н-холінорецепторами, у яких більш послідовно враховано вплив дифузійних процесів. Для обох моделей, розглянутих в цьому розділі, вважається, що процес синаптичної передачі характеризується такими загальними рисами:

1) молекули медіатора ацетилхоліна подаються в простір синаптичої щілини дуже швидко, тому функція вивільнення ацетилхоліна апроксимується за допомогою д-функції Дірака; 2) потім молекули медіатора дифундують до постсинаптичної мембрани, де приєднуються до молекул рецепторів, що викликає збудження нервового імпульсу вже в наступній клітині; 3) після цього медіатор-рецепторні комплекси розпадаються.

У четвертій моделі враховуються процеси, які протікають у щілині синапсу з М-холінорецепторами. Припускається, що одна молекула ацетилхоліна активує рецептор, а ацетилхолінестераза бере участь у руйнуванні медіатор-рецепторних комплексів.

Перший доданок в правій частині рівняння (11) описує швидкість подачі ацетилхоліну в синаптичну щілину, тоді як останній - видалення молекул медіатора зі щілини за рахунок дифузії. Перший доданок у третьому рівнянні в залежності від знаку матиме подвійний зміст: при - це швидкість звільнення молекул ферменту ацетилхолінестерази при розщепленні вільного ацетилхоліну та медіатор-рецепторних комплексів, при це швидкість зв'язування молекул ферменту ацетилхолінестерази з фосфорорганічними сполуками, яка переважає над швидкістю звільнення молекул ферменту. Останній доданок рівняння (13) описує переміщення молекул ферменту в область з підвищеною концентрацією ацетилхоліна за рахунок латеральної дифузії. Усі інші доданки у рівняннях (11)-(13) мають той же зміст, що й відповідні у рівняннях (1)-(3).

В залежності від знаку параметра, який відіграє роль своєрідного керуючого параметра моделі, точки (а), (b) та (с) мають таку класифікацію за Ляпуновим (для оцінки знаків відповідних розв'язків характеристичного рівняння були використані експериментальні дані зі статті [5*]):

· для точка (а) класифікується як дивний аттрактор; точка (b) може бути як стійким вузлом, так і сідлом - в залежності від знаків та, а точка (с) класифікується як дивний аттрактор;

· для точка (а) класифікується як граничний цикл, точка (b) - як стійкий вузол, а точка (с) класифікується як граничний цикл.

Слід зазначити, що латеральна дифузія молекул ферменту має менший вплив на процес синаптичної передачі, ніж дифузія молекул медіатора.

В останній п'ятій моделі було проаналізовано вплив дифузії молекул медіатора на характер процесу синаптичної передачі за участю Н-холінорецепторів. Тому відповідна система нелінійних диференціальних рівнянь цієї моделі є по суті аналогічною до системи рівнянь (8)-(10) третьої моделі, але відрізняється від неї наявністю дифузійного доданку в першому рівнянні.

Система стаціонарних рівнянь даної моделі має такий же розв'язок, як і в третій моделі:,, який відповідає реальній ситуації, коли молекул ацетилхоліна в синаптичній щілині немає, як немає і медіатор-рецепторних комплексів, а всі рецептори є вільними.

З аналізу виразу (14) випливає, що при будь-яких значеннях коефіцієнта дифузії D підкореневий вираз матиме додатне значення, особлива точка класифікуватиметься як стійкий вузол (для чисельної оцінки були взяті експериментальні дані з [5*]). Отже, врахування дифузійних процесів не змінює тип особливої точки, хоча впливає на значення часів релаксації, які обернено пропорційні розв'язкам характеристичного рівняння: -14 мс^-1, -3717 мс^-1, -37 мс^-1. Відповідні часи релаксації дорівнюють: =0,07мс, =2,6·10^-4 мс, =2,7·10^-2 мс. Порівнюючи приведені розрахунки з відповідними у третій моделі, бачимо, що при більш послідовному врахуванні дифузійних процесів часи релаксації і зменшуються приблизно в 2,8 та 1,2 рази.

У четвертому розділі досліджуються особливості коефіцієнту самодифузії для просторово обмежених рідинних систем. Зрозуміло, що задача вивчення дифузійних процесів має важливе значення не тільки для моделювання міжклітинної взаємодії в медико-біологічних системах, прикладами яких є синаптичні щілини та клітинні мембрани, але й для багатьох інших мезомасштабних об'єктів різної природи (фізичних, хімічних тощо). Як зазначалося вище у зв'язку з обговоренням актуальності теми даного дослідження, проведення нервового імпульсу через синаптичну щілину через його кооперативний характер доцільно розглядати як фазовий перехід в системі “медіатор-рецептор”. Тому дослідження особливостей впливу коефіцієнту самодифузії на процес синаптичної передачі проведемо методами теорії фазових переходів в просторово обмежених системах [8*, 9*]. На відміну від робіт [10*, 11*], в яких ці методи були вперше застосовані для вивчення коефіцієнту дифузії молекул води в циліндричних порах, метою даного дослідження буде врахування ефекту просторової дисперсії та впливу нижньої кросоверної розмірності (ефектів геометричної форми) на специфіку дифузійних процесів при міжклітинній взаємодії в синаптичних щілинах.

У загальному випадку при описі динамічних явищ розрізняють такі три області в залежності від температурної “відстані” до точки фазового переходу [12*]: 1) флуктуаційну, де сингулярна частина кінетичного коефіцієнта Онзагера суттєво переважає його регулярну частину (L_S L_R); 2) кросоверну, де обидві частини кінетичного коефіцієнта Онзагера мають однаковий порядок (L_S L_R); 3) нефлуктуаційну (або регулярну), де сингулярна частина кінетичного коефіцієнта Онзагера є суттєво меншою за його регулярну частину (L_S << L_R). Відповідь на питання, яка з цих областей реалізується в експерименті чи в природних умовах, залежить від значення числа Гінзбурга-Леванюка Gi, котре дозволяє оцінити роль флуктуаційних ефектів. Для слабких водних розчинів, де Gi, слід очікувати, що в реальності можна спостерігати лише кросоверну і нефлуктуаційну (регулярну) області.

Очевидно, що у загальному випадку малих систем, для котрих виконується нерівність о >> L, у формулі (17) буде домінувати доданок, тому коефіцієнт дифузії у відповідності до формул (16), (17) буде спадати при фіксованій температурі із збільшенням лінійних розмірів системи. У протилежному випадку, тобто для відносно великих лінійних розмірів у сенсі нерівності о << L, більшу роль у формулі (17) відіграватиме доданок. Тому коефіцієнт дифузії D зростатиме і буде асимптотично наближатися до свого значення D₀ у просторово необмеженому об'єму.

Отриманий в дисертації результат щодо зростання коефіцієнту самодифузії D із збільшенням параметра S (див. праву частину рис.1 при S > 40, а також рис. 2), якісно підтверджується як експериментальними даними роботи [13*] для коефіцієнту самодифузії води у циліндричних порах з радіусом в інтервалі від 40 нм до 150 нм, так і теоретичними розрахунками коефіцієнта самодифузії молекул води, проведеними в роботі [11*].

Проведені в дисертації теоретичні розрахунки демонструють залежність коефіцієнту самодифузії від геометрії рідинної системи або, іншими словами, її нижньої кросоверної розмірності d_НКР (див. таблицю 1), яка визначає граничну просторову розмірність того геометричного об'єкту (2-а колонка), в котрий переходить реальний об'єм досліджуваної системи (1-а колонка), якщо всі його лінійні розміри в напрямку (чи напрямках) просторової обмеженості прямувати до мінімально допустимої величини, тобто до діаметру одної молекули.

Таблиця 1

Зрозуміло, що за таких умов тривимірний плоско-паралельний прошарок переходить у мономолекулярну площину (по суті - у двовимірний об'єкт), тоді як тривимірна циліндрична пора перейде в мономолекулярну нитку (по суті - в одновимірний об'єкт), а обмежені з усіх трьох напрямків сфера чи куб стягнуться в одну молекулу, тобто в нульвимірний об'єкт. 3-я колонка табл.1 містить значення d_НКР для реальних просторово-обмежених систем.

Аналіз залежності коефіцієнта самодифузії від d_НКР дозволяє зробити висновок, який залишається, очевидно, справедливим і для інших рівноважних і нерівноважних властивостей наномасштабних і мезомасштабних систем, а саме: із збільшенням d_НКР фізичні властивості просторово обмежених систем наближаються до своїх об'ємних значень.

Ще один висновок стосується температурного положення екстремуму (точніше - мінімуму) коефіцієнта самодифузії в залежності від параметра S, тобто лінійного розміру L рідинних систем із різними кросоверними розмірностями.

Наведені вище результати та висновки якісно підтверджуються даними температурної залежності теплоємності просторово-обмежених рідин різної геометрії [13*], з яких випливає, що максимум теплоємності зсувається в бік менших температур і цей зсув зростає при переході від об'ємної фази до рідин з d_НКР, яка змінюється від 2 до 1 і 0 (див. табл. 1, де наведені реальні приклади таких просторово обмежених рідин).

Отримані в дисертації аналітичні формули для коефіцієнту самодифузії D*= D/D₀ дозволяють по відомому значенню амплітуди D₀ = L_R⁰ (для певної рідини провести чисельні розрахунки коефіцієнту самодифузії D цієї рідини практично в усій критичній області (. Як приклад в дисертації проведений розрахунок коефіцієнта самодифузії молекул води. Для цього було використано значення амплітуди коефіцієнта самодифузії молекул води , яке повинно співпадати із значенням цього коефіцієнту в об'ємній фазі, знайденому в регулярній області далеко від критичної точки: м²/c. Це значення було отримане експериментально в [14*] для молекул води при температурі Т = 293 К, яка відповідає температурному відхиленню від критичної температури води Т_с = 647 К. Тоді з урахуванням значення D_0, а також даних для D* з передостаннього стовпчика табл. 2, отримаємо чисельні результати для температурної залежності коефіцієнту дифузії молекул води в критичній області (див. останній стовпчик табл. 2).

Таблиця 2

Нехтування ефектами просторової дисперсії (нелокальності) призводить до нереальних експериментальних і теоретичних наслідків - прямування фізичних властивостей в критичних точках чи точках фазових переходів 2-го роду до нескінченності (ізотермічна стисливість, магнітна сприйнятливість, ізобарна та ізохорна теплоємності тощо) або до нуля (коефіцієнти дифузії та температуропровідності, швидкість звуку тощо). Для врахування ефектів просторової дисперсії в дисертації використана ідея, запропонована в [15*], сутність якої зводиться до твердження, що внески від просторової дисперсії повинні додаватися до величин, котрі обертаються у нуль в критичній точці (наприклад, до коефіцієнту дифузії D або до оберненого значення ізотермічної стисливості).

Зауважимо, що сказане щодо необхідності врахування ефектів просторової дисперсії цілком стосується також ефектів часової (частотної) дисперсії фізичних величин в критичній області. Проте, в даній роботі це питання не розглядалося.

В критичній точці (), як видно з (18), коефіцієнт самодифузії об'ємної фази є сталим і відмінним від нуля: де B і b - коефіцієнти нелокальності для оберненої ізотермічної стисливості та радіусу кореляції. Суцільна лінія на рис. 4 ілюструє цей результат для D (у відносних одиницях). Два інші графіка демонструють температурну залежність коефіцієнту самодифузії рідини в обмеженій геометрії плоско-паралельного прошарку (пунктирна крива) та циліндру (крива з кружечками).

Слід зазначити, що у наведених графіках на рис. 4 врахована асиметрія коефіцієнту самодифузії: яка обумовлена двома факторами - зміною знаку температурного відхилення у виразах та нерівністю амплітуд коефіцієнтів самодифузії у закритичній (T>T_c) і докритичній (T<T_c) областях. Саме таку температурну залежність коефіцієнта самодифузії, яка підтверджується незалежними теоретичними розрахунками [16*], слід очікувати в експериментальних дослідженнях дифузійних процесів у просторово обмежених рідинах.