Поліноміальні розв’язки диференціальних рівнянь динаміки твердого тіла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут прикладної математики і механіки

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

01.02.01 - теоретична механіка

Поліноміальні розв'язки диференціальних рівнянь динаміки твердого тіла

Зиза Олександр Васильович

Донецьк - 2009

Дисертацією є рукопис.

Роботу виконано в Донецькому національному університеті Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Горр Геннадій Вікторович, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, провідний науковий співробітник відділу прикладної механіки.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор Лесіна Марія Юхимівна, Донецький національний технічний університет, професор кафедри вищої математики;

доктор фізико-математичних наук, професор Вербицький Володимир Григорович, Донецький інститут автомобільного транспорту, завідувач кафедри проектування машин.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради М.В. Краснощок

Анотація

поліноміальний рух гіростат

Зиза О.В. Поліноміальні розв'язки диференціальних рівнянь динаміки твердого тіла. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 2009.

Дисертаційна робота присвячена побудові нових частинних розв'язків поліноміального виду класів Горячєва-Стєклова-Ковалевського (першого поліноміального класу), Докшевича (другого поліноміального класу) і Чаплигіна диференціальних рівнянь задачі про рух гіростата у полі потенціальних і гіроскопічних сил (рівнянь Кірхгофа-Пуассона) (задача I); і розв'язків першого та другого поліноміальних класів рівнянь руху гіростата в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона (задача II).

Досліджено умови існування у рівнянь Кірхгофа-Пуассона (задача I) розв'язків першого поліноміального класу. За допомогою методу інваріантних співвідношень побудовано чотири нові поліноміальні розв'язки зазначеного класу, які виражаються через еліптичні й гіпереліптичні функції часу.

У випадку дії сили ваги, виконано редукцію диференціальних рівнянь задачі I і задачі II. Побудовано аналоги рівнянь П.В.Харламова. Досліджено умови існування розв'язків другого поліноміального класу в задачі I. Побудовано один новий частинний розв'язок.

Виконано аналіз умов існування поліноміальних розв'язків класу Чаплигіна рівнянь Кірхгофа-Пуассона (задача I). В цій задачі дано оцінку максимальних степенів поліномів при одному обмеженні на діагональні елементи матриці, що характеризує ньютонівське притягування, і доведено динамічну неможливість розглянутих варіантів.

В задачі II побудовано по два нових розв'язки першого та другого поліноміальних класів рівнянь руху.

Ключові слова: поліноміальний розв'язок, перші інтеграли, гіростат, інваріантне співвідношення, максимальний степень полінома, ефект Барнетта-Лондона.

Аннотация

Зыза А.В. Полиномиальные решения дифференциальных уравнений динамики твердого тела. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 2009.

Диссертационная работа посвящена построению новых частных решений полиномиального вида классов Горячева-Стеклова-Ковалевского (первого полиномиального класса), Докшевича (второго полиномиального класса) и Чаплыгина дифференциальных уравнений задачи о движении гиростата в поле потенциальных и гироскопических сил (уравнений Кирхгофа-Пуассона) (задача I), и решений первого и второго полиномиальных классов уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона (задача II).

Исследованы условия существования у уравнений Кирхгофа-Пуассона (задача I) полиномиальных решений первого полиномиального класса.

На первом этапе исследования проведена полная оценка максимальных степеней характерных полиномов решения. Показано, что степень одного из полиномов-квадратов не больше трех, а второго - равна двум. Используя метод инвариантных соотношений, построены четыре новых полиномиальных решения указанного класса, которые выражаются через эллиптические и гиперэллиптические функции времени.

Найденными решениями исчерпываются все полиномиальные решения первого полиномиального класса уравнений движения гиростата в поле потенциальных и гироскопических сил.

В случае действия силы тяжести, выполнена редукция дифференциальных уравнений задачи I и задачи II к системам четвертого порядка. Построены аналоги уравнений П.В. Харламова.

Исследованы условия существования второго полиномиального класса в задаче I. Для этого проведена оценка максимальных степеней полиномов решения в случае, когда вторая компонента вектора угловой скорости гиростата является квадратичной функцией от первой компоненты , а квадрат третьей компоненты - полином от степени не выше четырех. В результате исследования найдено одно новое частное решение, которое выражается через ультроэллиптические функции времени.

Выполнен анализ условий существования полиномиальных решений класса Чаплыгина для уравнений Кирхгофа-Пуассона (задача I). Для рассматриваемой задачи дана оценка максимальных степеней полиномов при одном ограничении на диагональные элементы матрицы, характеризующей ньютоновское притяжение, и доказана динамическая невозможность рассматриваемых вариантов.

Установленные результаты значительно сужают область построения полиномиальных решений класса С.А. Чаплыгина в задаче I.

Для дифференциальных уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона закончено изучение полиномиальных решений класса Горячева-Стеклова-Ковалевского и начато изучение полиномиальных решений класса Докшевича.

В задаче II построено по два новых решения первого и второго полиномиальных классов уравнений движения. Первое из двух найденных новых частных решений первого полиномиального класса является обобщением классического решения В.А. Стеклова. Второе решение характеризуется линейной зависимостью от квадрата второй компоненты вектора угловой скорости гиростата. Построенные решения выражены через эллиптические функции времени.

Первое новое частное решение второго полиномиального класса характеризуется квадратичной зависимостью квадрата третьей компоненты вектора угловой скорости гиростата от первой компоненты. Найденное полиномиальное решение выражено через элементарные функции времени. Второе решение есть прямым обобщением решения А.И. Докшевича в задаче II.

Ключевые слова: полиномиальное решение, первые интегралы, гиростат, инвариантное соотношение, максимальная степень полинома, эффект Барнетта-Лондона.

Annotation

Zuza A.V. Polynomial solutions for differential equations of solid body dynamics. - Manuscript.

Dissertation of the competitor for Candidate Degree in physics and mathematics sciences specializing in 01.02.01 - theoretical mechanics - The Institute of Applied Mathematics and Mechanics the National Academy of Sciences (NAS) in Ukraine, Donetsk, 2009.

Dissertation is devoted to constructing new specific solutions for polynomial type of Goryachev-Steklov-Kovalevkij classes (the first polynomial class), Dokshevich (the second polynomial class) and Chaplygin differential equations of the problem for gyrostat movement in the field of potential and gyroscopic forces (Kirchhoff-Poisson) (problem I) and solutions for the first and the second polynomial classes of gyrostat movement equations in the magnetic field taking into account Barnette-London effect (problem II).

Existence conditions of polynomial solutions of the first polynomial class in Kirchhoff-Poisson equations (problem I) are studied. By means of the method of invariant correlations the four novel given class polynomial solutions that are expressed in elliptical and hyperelliptical time functions are constructed.

In case of reducing central Newton force field to gravity force field the reduction of differential equations to the problem I and problem II is produced. The analogues for P.V.Kharlamov equations are developed. The conditions for existence of the second polynomial class in the problem I are investigated. One novel specific solutions is constructed.

Analysis of existence conditions for polynomial solutions of Chaplygin class for Kirchhoff-Poisson equations (problem I) is carried out.

Estimate of maximum powers for polynoms under one restriction to diagonal elements of the matrix characterizing Newton gravity in the problem provided is given, and impossibility of considered variants is proved.

Two novel solutions in each of the first and the second polynomial classes for movement equations are constructed in the problem II.

Key-words: polynomial solution, the first integral, gyrostat, invariant correlation, maximum power polinom, Barnette-London effect.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. При дослідженні рухів багатьох видів конструкцій сучасної техніки, деформаціями яких можна знехтувати (гіроскопічних систем, машин і механізмів, транспортних засобів, космічних ракет), використовують моделі абсолютно твердого тіла та гіростата.

Практична важливість розробок у цій галузі вимагає застосування різних наукових підходів. Однак, навіть у найпростішому випадку - руху гіростата під дією потенціальних і гіроскопічних сил, математична модель описується системою шести нелінійних диференціальних рівнянь, які містять 21 параметр. Тому одержання конструктивного розв'язку для всіх значень цих параметрів є досить складною математичною проблемою, розв'язання якої приводить до використання методу малого параметра, теорії інтегруючого множника Якобі, чисельного інтегрування рівнянь тощо.

Особливе місце в дослідженні інтегральних траєкторій рівнянь руху займає побудова частинних розв'язків у замкненому вигляді, тобто без використання рядів.

Ще в роботі Л.Ейлера, який поставив задачу про рух важкого твердого тіла та отримав основні динамічні та кінематичні характеристики руху, був побудований перший такий частинний розв'язок. Надалі великий внесок у задачу побудови розв'язків рівнянь динаміки твердого тіла внесли Ж. Лагранж, Ж. Ліувілль, Г. Кірхгоф, В. Гесс, С.В. Ковалевська, Д.К. Бобильов, В.А. Стєклов, М. Ковалевський, Д.Н. Горячєв, С.О. Чаплигін, О.М. Ляпунов, М.Є. Жуковський, Д. Гріолі, П.В. Харламов та інші.

Серед перелічених вчених відзначимо П.В. Харламова, який для побудови частинних розв'язків розробив новий метод інваріантних співвідношень, що узагальнює підходи Т. Леві-Чивіта та А. Пуанкаре.

Актуальність побудови нових розв'язків рівнянь динаміки пояснюється не лише тим, що в кожному розв'язку на основі методу П.В. Харламова можна одержати повне уявлення про рух гіростата, але і досліджувати властивості інтегральних кривих диференціальних рівнянь руху в околі побудованих розв'язків.

Побудовою нових розв'язків рівнянь динаміки твердого тіла займалися О.І. Харламова, А.Й. Докшевич, Г.В. Горр, Б.І. Коносевич, Г.В. Мозалевська, М.Ю. Лесіна, О.М. Ковальов, Є.В. Позднякович та інші.

Дослідженню асимптотичних розв'язків в околі точних розв'язків присвячено роботи Е. Меттлера, А.П. Маркєєва, Г.В. Горра та інших вчених.

Дисертаційна робота присвячена побудові нових розв'язків поліноміального виду у двох задачах динаміки: задачі про рух гіростата під дією потенціальних і гіроскопічних сил та в задачі про рух твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження з дисертаційної роботи проводилися у відповідності з планом наукових досліджень кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету за держбюджетними темами на 2000-2012 рр.: "Метод інваріантних співвідношень у побудові розв'язків рівнянь динаміки твердого тіла" (номер держ. реєстрації 0101U005722, Г-01/38 1.01.2000-31.12.2006); "Метод інтегрування рівнянь динаміки твердого тіла на інваріантних многостатностях" (номер держ. реєстрації 1007U001773, Г-07/38 1.01.2007-31.12.2012). Дослідження з дисертаційної роботи проводилися у відповідності з планом наукових досліджень відділів технічної і прикладної механіки ІПММ НАН України за держбюджетною темою "Математичні методи конструктивного дослідження сучасних проблем стійкості, керування і динаміки взаємодіючих тіл" (номер держ. реєстрації 0196U002837 1.01.2001-31.12.2005).

Мета і задачі дослідження. Об'єктом дослідження дисертаційної роботи є рівняння руху гіростата у полі потенціальних і гіроскопічних сил і руху гіростата в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

Предметом дослідження є побудова нових частинних розв'язків поліноміального виду.

Методи дослідження: метод інваріантних співвідношень побудови розв'язків і інші методи теорії звичайних диференціальних рівнянь.

Метою даної дисертаційної роботи є визначення умов існування поліноміальних розв'язків у двох задачах про рух гіростата і побудова нових частинних розв'язків диференціальних рівнянь руху.

Вирішено наступні задачі:

Отримано умови існування поліноміальних розв'язків класу Горячєва-Стєклова-Ковалевського (першого поліноміального класу) диференціальних рівнянь, що описують рух гіростата під дією потенціальних і гіроскопічних сил.

Розв'язано задачу зниження порядку рівнянь Кірхгофа-Пуассона в одному окремому випадку.

Отримано умови існування поліноміальних розв'язків типу А.Й. Докшевича (другого поліноміального класу) диференціальних рівнянь класу Г. Кірхгофа.

Вивчено поліноміальні розв'язки класу С.О. Чаплигіна в задачі про рух важкого гіростата і в узагальненій задачі динаміки твердого тіла, яка описується диференціальними рівняннями Кірхгофа-Пуассона при одному обмеженні на параметри задачі.

Знайдено умови існування розв'язків першого і другого поліноміальних класів диференціальних рівнянь руху твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона.

В одному окремому випадку проведено редукцію рівнянь руху гіростата в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона за методом П.В. Харламова.

Наукова новизна отриманих результатів.

У результаті зниження порядку рівнянь Кірхгофа-Пуассона отримані аналоги рівнянь П.В. Харламова.

Дано оцінку значень максимальних степенів першого класу поліноміальних розв'язків диференціальних рівнянь руху гіростата під дією потенціальних і гіроскопічних сил (задача I).

У задачі I знайдено чотири нові частинні розв'язки, які відносяться до першого класу поліноміальних розв'язків. Три з нових знайдених розв'язків виражено через еліптичні функції часу.

Проведено оцінку значень максимальних степенів поліноміальних розв'язків другого класу для задачі I при обмеженні на максимальні степені поліномів, одне з яких - квадрат компоненти кутової швидкості гіростата є поліном не вище четвертого степеня щодо першої компоненти.

У задачі I отримано один новий частинний розв'язок поліноміального виду, який відноситься до другого класу поліноміальних розв'язків.

Доведено неможливість узагальнення класичного розв'язку С.О. Чаплигіна в задачі про рух важкого гіростата.

Дано оцінку значень максимальних степенів поліноміальних розв'язків класу С.О. Чаплигіна в задачі I при обмеженні на деякі параметри, і доведено динамічну неможливість отриманих варіантів.

В одному окремому випадку для задачі II знайдено аналоги рівнянь П.В. Харламова.

У задачі II побудовано чотири нові частинні розв'язки з першого і другого класів поліноміальних розв'язків. Один з них виражено через елементарні функції часу, а два з трьох залишених виражені через еліптичні інтеграли.

Теоретичне і практичне значення отриманих результатів. Одержані в дисертації результати можуть бути використані в Інституті прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк), у Донецькому національному університеті, в Інститутах математики і механіки НАН України (м. Київ) при дослідженні кінематичного тлумачення руху в знайдених частинних розв'язках рівнянь руху, а також при вивченні збурених рухів тіла.

Особистий внесок здобувача в спільних публікаціях. Усі результати, що представлені до захисту, отримані здобувачем особисто. Результати дисертаційної роботи опубліковано в 5 статтях у наукових журналах [1-5], в 8 тезах доповідей на 7 міжнародних конференціях [6-13]. Чотири статті у наукових журналах [2-5], шість тез доповідей на міжнародних конференціях [6-9, 11, 12] виконані здобувачем самостійно.

Робота [1] написана у співавторстві з науковим керівником д.ф.-м.н., професором Г.В. Горром, якому належать постановка задачі і оцінка максимальних степенів поліноміальних розв'язків диференціальних рівнянь Кірхгофа-Пуассона. Автору дисертації належать результати з розв'язання систем умов на параметри і побудова нових частинних розв'язків поліноміального виду задачі про рух гіростата в полі потенціальних і гіроскопічних сил.

У роботі [13] здобувачу належить побудова нового частинного розв'язку класу В.А. Стєклова в задачі про рух твердого тіла в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнета-Лондона.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на наступних наукових конференціях і семінарах: VI, VIII, X. Міжнародні конференції "Стійкість, керування і динаміка твердого тіла" (м. Донецьк, 1996, 2002, 2008); Міжнародна конференція "Математика в індустрії" (м. Таганрог, 1998); Міжнародна конференція пам'яті чл.-кор. НАНУ П.В.Харламова "Класичні задачі динаміки твердого тіла" (м. Донецьк, 2004); VII Міжнародна науково-практична конференція "Наука і освіта 2004" (м. Дніпропетровськ, 2004); наукова конференція ДонНУ за результатами науково-дослідної роботи за період 2003-2004 р. (м. Донецьк, 2005); Міжнародна конференція "Класичні задачі динаміки твердого тіла", присвячена 300 - річчю з дня народження Леонарда Ейлера (м. Донецьк, 2007); семінар відділів прикладної і технічної механіки ІПММ НАНУ (2002-2009, керівник - чл.-кор. НАНУ О.М.Ковальов); семінар "Динаміка твердого тіла" кафедри вищої математики і методики викладання математики ДонНУ (1998-2008, керівник - проф. Г.В. Горр).

У повному об'ємі дисертаційна робота доповідалася і обговорювалася на семінарі відділів прикладної і технічної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України (керівник - чл.-кор. НАНУ О.М. Ковальов, м. Донецьк, 2009 р.), на семінарі "Динаміка твердого тіла" кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету (керівник - проф. Г.В. Горр, м. Донецьк, 2008 р.), на розширеному засіданні кафедри вищої математики і методики викладання математики Донецького національного університету (зав. каф. - проф. О.І. Скафа, м. Донецьк, 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в 5 статтях у наукових журналах [1-5], в 8 тезах доповідей на 7 міжнародних конференціях. П'ять статей [1-5] опубліковано в журналах з переліку затвердженого ВАК України.

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, основної частини з шести розділів, висновків і списку використаної літератури. Список використаної літератури налічує 177 джерел і міститься на 19 сторінках. Загальний обсяг роботи - 155 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми, формулюються мета та задачі досліджень, новизна та наукові значення отриманих результатів.

Перший розділ присвячено аналізу використаної літератури з теми дисертації.

У розділі 2 описано дві механічні моделі гіростата у магнітному полі. Перша модель визначена рівняннями Кірхгофа-Пуассона, а друга - диференціальними рівняннями руху твердого тіла у магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона, які допускають два перші інтеграли.

Виписано рівняння руху важкого твердого тіла в рідині. З'ясовано аналогію двох задач динаміки твердого тіла: задачі про рух твердого тіла у полі потенціальних та гіроскопічних сил, і задачі про рух твердого тіла в рідині. Зазначені квадратичні інтеграли в узагальненій задачі динаміки твердого тіла та поліноміальні розв'язки в класичній задачі. Наведено метод інваріантних співвідношень побудови розв'язків диференціальних рівнянь руху.

У розділі 3 побудовані нові частинні розв'язки поліноміального виду класу Горячєва-Стєклова-Ковалевського (першого поліноміального класу) рівнянь Кірхгофа-Пуассона задачі I.

У класичній задачі про рух важкого твердого тіла зазначеним поліноміальним класом описуються розв'язки Д.Н. Горячєва, В.А. Стєклова, М. Ковалевського.

У дисертаційній роботі для кожного з розв'язків наведено приклад існування. При цьому розв'язки виражені через еліптичні функції часу; розв'язок виражається через гіпереліптичні функції. Розв'язок є прямим узагальненням класичного розв'язку В.А. Стєклова.

Знайденими в даному розділі розв'язками вичерпуються всі поліноміальні розв'язки класу (6) рівнянь руху гіростата задачі I.

Виконано редукцію рівнянь руху за умов ( - одинична матриця), за методом П.В. Харламова і наведено аналоги рівнянь П.В. Харламова. При цьому редукована система містить чотири диференціальні рівняння першого порядку.

Розділ 4 присвячено побудові нових частинних розв'язків поліноміального виду класу Докшевича (другого поліноміального класу) рівнянь.

У задачі про рух важкого гіростата зазначеним класом поліномів описується розв'язок А.Й. Докшевича.

У розділі 5 досліджуються умови існування частинних розв'язків класу С.О. Чаплигіна у задачі про рух гіростата (задача I).

У класичній задачі про рух важкого твердого тіла зазначеним класом поліномів можна описати розв'язок С.О. Чаплигіна.

В цьому розділі доводиться неможливість узагальнення класичного розв'язку С.О. Чаплигіна у задачі про рух важкого гіростата.

У цьому розділі завершено дослідження оцінки максимальних степенів поліномів і доведення динамічної неможливості отриманих варіантів.

У розділі 6 проводиться побудова нових частинних розв'язків поліноміального виду класів Горячєва-Стєклова-Ковалевського та Докшевича рівнянь руху гіростата в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона (задача II).

Виконано редукцію рівнянь за методом П.В. Харламова у випадку ( - одинична матриця). При цьому система шести скалярних диференціальних рівнянь першого порядку зведена до системи трьох диференціальних рівнянь другого порядку і одного рівняння першого порядку.

Висновки

У дисертації отримано наступні результати, які виносяться за захист:

Розв'язано задачу про умови існування поліноміальних розв'язків класу Горячєва-Стєклова-Ковалевського рівнянь Кірхгофа-Пуассона. У повному обсязі проведено аналіз значень старших степенів характерних поліномів. Побудовано чотири нові розв'язки зазначених рівнянь. При цьому один розв'язок має відомий аналог - розв'язок В.А. Стєклова в класичній задачі, а три інших розв'язки аналогів не мають.

За допомогою метода П.В. Харламова, у випадку дії сили ваги, виконано редукцію рівнянь Кірхгофа-Пуассона та редукцію рівнянь руху гіростата в магнітному полі, з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона, до систем четвертого порядку.

Досліджено умови існування поліноміальних розв'язків класу Докшевича рівнянь Кірхгофа-Пуассона. Побудовано один новий частинний розв'язок.

Виконано аналіз умов існування поліноміальних розв'язків класу Чаплигіна рівнянь Кірхгофа-Пуассона. Показано, що в чотирнадцяти розглянутих варіантах значень максимальних степенів характерних поліномів розв'язки даного класу не існують.

Продовжено дослідження з побудови поліноміальних розв'язків класів Горячєва-Стєклова-Ковалевського, Докшевича рівнянь руху гіростата в магнітному полі з урахуванням ефекту Барнетта-Лондона. Отримано по два нових розв'язки зазначених класів рівнянь руху гіростата.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Горр Г.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой /Г.В. Горр, А.В. Зыза // Изв. РАН. Механика твердого тела. - 1998. - № 6. - С. 12-21.

2. Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой / А.В. Зыза // Вісник Донецького університету. Сер. А.: Природничі науки. - 1998. - Вип. 1. - С. 31-36.

3. Зыза А.В. Об условиях существования частных решений класса С.А. Чаплыгина в задаче о движении гиростата / А.В. Зыза // Вісник Донецького університету. Сер. А.: Природничі науки. - 2001. - Вип. 2. - С. 22-30.

4. Зыза А.В. О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Механика твердого тела. - 2003. - Вып. 33. - С. 61-70.

5. Зыза А.В. Об одном классе полиномиалных решений уравнений Кирхгофа / А.В. Зыза // Вісник Донецького університету. Сер. А: Природничі науки. - 2006. - Вып. 1. - С. 40-46.

6. Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой / А.В. Зыза // Устойчивость, управление и динамика твердого тела: VI Междунар. конф., 2-6 сентября 1996 г.: тезисы докл. _ Донецк: ИПММ НАН Украины, 1996. - С. 119-120.

7. Зыза А.В. Полиномиальные решения в одной задаче о движении гиростата с неподвижной точкой / А.В. Зыза // Математика в индустрии: Междунар. конф., 29 июня-3 июля 1998 г.: тезисы докл. - Таганрог, ТПИ, 1998. - С. 149-151.

8. Зыза А.В. О полиномиальных решениях уравнений движения гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Устойчивость, управление и динамика твердого тела: VIII Междунар. конф., 3-7 сентября 2002 г.: тезисы докл. _ Донецк: ИПММ НАН Украины, 2002. - С. 66-67.

9. Зыза А.В. Об условиях существования полиномиальных решений класса С.А. Чаплыгина в задаче о движении тяжелого гиростата / А.В. Зыза // Классические задачи динамики твердого тела: Междунар. конф., 23-25 июня 2004 г.: тезисы докл. _ Донецк: ИПММ НАН Украины, 2004. - С. 32.

10. Зыза А.В. Полиномиальные решения уравнений динамики твердого тела / А.В. Зыза // Наук. конф. ДонНУ за підсумками науково-дослідної роботи за період 2003-2004 рр. Секція математичних наук: праці. - Донецк: ДонНУ, 2005. - С. 8-10.

11. Зыза А.В. О полиномиальных решениях в задачах динамики твердого тела / А.В. Зыза // Классические задачи динамики твердого тела: Междунар. конф., 9-13 июня 2007 г.: тезисы докл. _ Донецк: ИПММ НАН Украины, 2007. - С. 32-33.

12. Зыза А.В. Один класс полиномиальных решений в задаче о движении гиростата в магнитном поле / А.В. Зыза // Устойчивость, управление и динамика твердого тела: Х Междунар. конф., 5-10 июня 2008 г.: тезисы докл. _ Донецк: ИПММ НАН Украины, 2008. - С. 36-37.

13. Зыза А.В. Полиномиальные решения уравнений движения тела в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта-Лондона / А.В. Зыза, Е.М. Миронова // Наука і освіта 2004: VII Міжнар. наук.-практична конф., 10-25 лютого 2004 р.: матеріали. _ Днепропетровськ: Наука і освіта, 2004. - Т. 70. Математика. - С. 49-50.

Размещено на Allbest.ru