Коливання ортотропних циліндричних оболонок i пластин з отворами та включеннями

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНИХ ПРОБЛЕМ

МЕХАНІКИ І МАТЕМАТИКИ ІМ. Я.С. ПІДСТРИГАЧА

УДК 539.3

КОЛИВАННЯ ОРТОТРОПНИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК I ПЛАСТИН З ОТВОРАМИ ТА ВКЛЮЧЕННЯМИ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Шопа Тетяна Василівна

Львів - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному університеті «Львівська політехніка» та Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України

Науковий керівник - доктор фізико-математичних наук, професор

Сухорольський Михайло Антонович,

професор кафедри вищої математики

Національного університету «Львівська політехніка».

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор

Григоренко Олександр Ярославович,

Інститут механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України,

завідувач відділу обчислювальних методів;

доктор фізико-математичних наук,

старший науковий співробітник

Марчук Михайло Володимирович,

Інститут прикладних проблем механіки і математики

ім. Я. С. Підстригача НАН України, завідувач відділу механіки тонкостінних елементів конструкцій.

Захист відбудеться _5____ ___лютого________ 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 35.195.01 в Інституті прикладних проблем механіки та математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:

79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України за адресою:

79060, м. Львів, вул. Наукова, 3-б.

Автореферат розіслано _28___ ___грудня_____2009 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фізико-математичних наук, професор О. В. Максимук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

панель циліндричний непологий ортотропний

Актуальність теми. Експлуатація сучасних надпотужних машин пов'язана з великими швидкостями та навантаженнями. Тому реальна оцінка динамічного режиму роботи таких об'єктів є важливою. Необхідно передбачити їх частотну поведінку, оцінити переміщення та напружено-деформований стан під час динамічного навантаження. Наявність резонансних коливань впливає не тільки на міцність самих конструкцій, а також є небажаною для об'єктів, які взаємодіють з ними.

В різних галузях машинобудування (ракето-, автомобіле-, авіа-, корабле- та приладобудування) широко використовують тонкостінні елементи конструкцій, виготовлені з анізотропних матеріалів. Вимоги до таких конструкцій неухильно зростають через високу ймовірність експлуатації в екстремальних умовах. Сучасні технології дозволяють створювати нові анізотропні матеріали і формувати їхню анізотропію ще на стадії виготовлення. Здебільшого тонкостінні елементи конструкцій за дії динамічних навантажень розраховують, використовуючи класичну теорію оболонок та пластин, однак в межах цієї теорії не завжди можна врахувати специфічні властивості анізотропного матеріалу і одержати достовірні результати. Тому актуальною є задача вибору теорії оболонок та пластин при розрахунку тонкостінних елементів, виготовлених з анізотропних матеріалів.

Тонкостінні елементи, що використовуються в техніці, мають складну форму, містять різні отвори та включення, а також взаємодіють з іншими тілами. Отвори та включення в них можуть нести як раціональний технологічний характер, так і бути засобами вдосконалення техніки з міркувань дизайну, або нести інше функціональне навантаження. Розрахунок таких об'єктів з використанням традиційного апарату викликає певні математичні труднощі, тому актуальним є питання розробки ефективних методів розв'язування крайових задач для багатозв'язних областей.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Результати, сформульовані в дисертації, є складовою частиною наукових досліджень Інституту прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача, які виконувались в рамках держбюджетної теми 2006-2009 рр.: «Моделі та методи прямих і обернених задач для дослідження фізико-хімічних процесів у неоднорідних шаруватих структурах із залишковими деформаціями та дефектами», № держреєстрації 01060U000592.

Мета та задачі дослідження: розробка теорії деформування ортотропних циліндричних оболонок та пластин; розвиток числових методів розв'язання крайових задач теорії оболонок для двозв'язних областей; дослідження власних частот коливань та напружено-деформованого стану шарнірно опертих ортотропних циліндричних оболонок та пластин з отворами і включеннями.

Досягнення мети передбачає:

побудову рівнянь, які описують напружено-деформований стан непологих ортотропних циліндричних панелей та замкнутих циліндричних оболонок за умови врахування поперечних зсувів та за умови нехтування поворотами елементів оболонки навколо нормалі до серединної поверхні1;

побудову методики послідовнісного подання функцій Ґріна для крайових задач теорії ортотропних оболонок;

формулювання інтегральних рівнянь задач про напружено-деформований стан та власні частоти коливань шарнірно опертих ортотропних циліндричних оболонок і пластин з отворами та масивними включеннями;

оптимізацію числових схем розв'язування крайових задач теорії оболонок методом граничних інтегральних рівнянь;

дослідження власних частот коливань та напружено-деформованого стану ортотропних циліндричних оболонок, непологих панелей і пластин з отворами та включеннями.

Об'єктом дослідження є напружено-деформований стан та власні частоти коливань анізотропних циліндричних оболонок і пластин з отворами та масивними абсолютно жорсткими включеннями.

Предметом дослідження є теорії деформування анізотропних пластин та оболонок, крайові задачі теорії оболонок, числові схеми методу граничних інтегральних рівнянь, методи розв'язування задач теорії оболонок для двозв'язних областей.

Методи дослідження. У роботі використовуються методи математичного аналізу (ряди Фур'є, фундаментальні послідовності), рівнянь в частинних похідних (зведення крайових задач до інтегральних рівнянь), теорії функцій (послідовнісний підхід до побудови узагальнених функцій), інтегральних рівнянь, числової оптимізації, а також теорія оболонок та пластин.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в наступному:

одержано рівняння коливань ортотропних непологих оболонок за врахування поперечних зсувів та за припущення малості жорстких поворотів відносно нормалі до серединної поверхні;

здійснено постановку задач про коливання ортотропних пластин та циліндричних оболонок з отворами та масивними включеннями;

на базі послідовнісного підходу до подання дельта-функції побудовано функції Ґріна крайових задач теорії пластин та циліндричних оболонок;

розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь розв'язання крайових задач для двозв'язних областей з використанням послідовнісного подання функції Ґріна;

побудовано числові схеми розв'язування задач про власні частоти коливань та напружено-деформований стан ортотропних циліндричних оболонок з отворами та включеннями;

побудовано методику оптимізації числових значень параметрів апроксимаційних функцій у числових схемах розв'язування крайових задач методом колокацій;

досліджено напружено-деформований стан та частоти вільних коливань ортотропних циліндричних оболонок і пластин з отворами та масивними включеннями.

Обґрунтованість та вірогідність результатів. Основні результати в часткових випадках добре узгоджуються з відомими в літературі теоретичними та експериментальними результатами. Використано математично обґрунтовані числові методи розв'язання крайових задач, які забезпечують стійкі розв'язки.

Практичне та теоретичне значення одержаних результатів. Отримані результати роботи дозволяють аналізувати частоти вільних коливань, напружено-деформований стан та переміщення ортотропних замкнутих циліндричних оболонок, непологих циліндричних панелей і пластин з отворами та масивними включеннями за дії динамічного навантаження. Такі елементи конструкцій найчастіше відповідають реальним інженерним потребам. Методику розв'язання можна поширити на тонкостінні елементи з отворами та включеннями довільної геометричної конфігурації та розташування.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: VII Міжнародній науковій конференції “Математичні проблеми механіки неоднорідних структур” (Львів, 2006), П'ятій відкритій науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка” (Львів, 2006), Міжнародній науково-технічній конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського “Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій” (Дніпропетровськ, 2007), Сьомій відкритій науковій конференції професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук Національного університету “Львівська політехніка” (Львів, 2008), II Міжнародній науковій конференції “Сучасні проблеми механіки та математики” (Львів, 2008), Leuven Symposium on Applied Mechanics in Engineering (Leuven, Belgium, 2008), IV Всеукраїнській конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Івано-Франківськ, 2008), Конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені Я. С. Підстригача (Львів, 2009), The Sixteenth International Congress on Sound and Vibration (Krakow, 2009).

Дисертація в повному обсязі доповідалась на кафедрі вищої математики Національного університету “Львівська політехніка”, на семінарі відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України, а також на семінарі відділу механіки деформівного твердого тіла та на загальноінститутському семінарі “Математичні проблеми механіки руйнування та поверхневих явищ” в Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Публікації та особистий внесок здобувача. Основні результати дисертації опубліковано у 15 працях, з яких 4 статті у наукових фахових журналах [13, 5] з переліку, затвердженого ВАК України, 1 стаття у міжнародному фаховому журналі Інституту фундаментальних технологічних досліджень Польської академії наук [4] та 10 матеріалів і тез наукових конференцій [615]. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. Праці [5, 7, 10, 14, 15] опубліковані автором одноосібно. У працях [14, 6, 8, 9, 1113], опублікованих у співавторстві, дисертанту належить участь у постановці задач, розвиток і реалізація послідовнісного підходу до розв'язку, розробка алгоритмів для отримання числових результатів результатів та участь в їх аналізі.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, в яких міститься 61 рисунок та 10 таблиць, висновків і списку використаних джерел, що містить 125 найменувань. Загальний обсяг дисертації 125 сторінок, з яких 12 сторінок займає список використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, вказано мету та задачі досліджень, сформульовано наукову новизну одержаних результатів, наведено дані про їх апробацію, достовірність, практичне та теоретичне значення.

У першому розділі проведено аналіз робіт, присвячених розвитку уточнених теорій та методів розрахунку тонкостінних елементів конструкцій, розв'язанню задач про коливання оболонок і пластин як суцільних, так і за наявності отворів, підкріплень та включень.

Широке використання анізотропних матеріалів в різноманітних інженерних спорудах та технічних засобах зумовило розвиток уточнених теорій оболонок та пластин. Вагомий внесок в цьому напрямку зробили С. А. Амбарцумян, В. В. Болотін, А. Т. Василенко, В. В. Васильєв, О. Р. Гачкевич, Я. М. Григоренко, Л. А. Гольденвейзер, О. М. Гузь, О. Я. Григоренко, Л. Г. Доннел (L. H. Donnell), Г. С. Кіт, О. А. Максимук, Х. М. Муштарі, М. В. Марчук, М. М. Николишин, В. В. Новожилов, В. В. Панасюк, Б. Л. Пелех, Я. С. Підстригач, В. Г. Піскунов, E. Райснер (E. Reisner), О. О. Рассказов, Г. Т. Сулим, М. А. Сухорольський, С. П. Тимошенко, В. Флюге (W. Flugge), В. Ф. Чекурін, В. П. Шевченко та інші.

Питання коливань суцільних ізотропних та анізотропних оболонок і пластин в рамках класичних та уточнених теорій широко представлене як в вітчизняній, так і в зарубіжній літературі. Важливими в цьому напрямку є роботи В. В. Болотіна, Я. Й. Бурака, Я. М. Григоренка, Л. А. Гольденвейзера, В. С. Гонткевича, В. Т. Грінченка, О. М. Гузя, О. Я. Григоренка, В. Д. Кубенка, Л. В. Курпи, Р. М. Кушніра, М. В. Марчука, В. В. Михаськіва, В. А. Осадчука, М. П. Саврука, Я. Г. Савули, М. А. Сухорольського та інших.

В літературі існує обмежена кількість робіт, присвячених задачам про коливання оболонок і пластин за наявності отворів, підкріплень та включень. Здебільшого дослідження велися за використання класичних теорій та для ізотропних матеріалів. Основні відомі в літературі результати представлено в працях Р.Г. Андерсона (R. G. Аnderson), Г. Аксу (G. Aksu), Т. Арімана (T. Ariman), С. Біскоса (S. Biscos), І. Дж. Віттевена (I. J. Witteven), Б. М. Іронса (B. M. Irons), О. С. Зенкевича (O. C. Zienkievicz), Б. М. Іронса (B. M. Irons), Т. Кумаї (T. Kumai), А. Крішнана (A. Krishnan), Л. В. Курпи, Е. Маденсі (E. Madenci), К. Нагая (K. Nagaya), П. Парамасівама (P. Paramasivam), А. Л. Пура (A. L. Poore), Г. В. Рао (G. V. Rao), Б. Сивасубрамоніана (B. Sivasubramonian), Г. Спрінгера (G. Springer), М. А. Сухорольського, С. Такахаші (S. Takahashi), С. Тода (S. Toda), А. В. Шматко, Р. Хегарті (R. F. Hegharty) та інших.

Проведений огляд літератури показує, що динамічні задачі для ортотропних оболонок і пластин за наявності отворів, включень та підкріплень потребують розгляду та вивчення. Вирішенню цієї проблеми присвячена дисертаційна робота.

У другому розділі за умови нехтування поворотами навколо нормалі до серединної поверхні сформульовано ключові рівняння теорії циліндричних ортотропних оболонок і пластин на базі теорії оболонок і пластин Тимошенка. В межах цієї теорії враховано тільки нормальну до серединної поверхні складову інерційної сили, оскільки розглянуто поперечні коливання оболонок. П'ять рівнянь руху другого порядку у випадку циліндричних оболонок зведено до системи трьох диференціальних рівнянь в частинних похідних, два з яких четвертого порядку, а одне другого. У випадку пластини систему п'яти диференціальних рівнянь другого порядку зведено до системи двох диференціальних рівнянь в частинних похідних четвертого порядку. При цьому для обох типів оболонок вдалось відокремити рівняння відносно невідомих ключових функцій та рівняння відносно додаткових функцій. Рівняння, які містять додаткові функції, слугують для перевірки точності гіпотези малості кутів повороту навколо нормалі.

У теорії оболонок Тимошенка переміщення та напруження задаються такими виразами1:

, ,

(1)

Спрощені рівняння деформування оболонки одержимо, приймаючи нехтовно малими повороти елемента оболонки відносно нормалі до серединної поверхні

. (2)

Для цього вводимо у вирази для величин допоміжні функції (реакції на повороти) та малі параметри

, ,

, (3)

де

Система рівнянь, яка описує напружено-деформований стан та переміщення оболонки, з урахуванням співвідношень (3) та умови відповідає спрощеній моделі Тимошенка.

При цьому з двох останніх рівнянь маємо

Ця умова дозволяє ввести потенціали кутів повороту й осьових переміщень

Підставивши вирази зусиль в рівняння руху, одержимо ключові рівняння відносно функцій , та

(4)

де

- пружні сталі матеріалу; - головні кривини. Напрямки ортотропії співпадають з напрямками координатних ліній..

У третьому розділі, використовуючи послідовнісний підхід до зображення дельта-функцій у вигляді слабко збіжних послідовностей дельтаподібних функцій, знайдено фундаментальні розв'язки систем ключових рівнянь для пластини, циліндричної панелі та замкненої циліндричної оболонки. Функція Ґріна відповідних крайових задач подана як границя узагальнених сум рядів. Сформульовано крайові задачі про коливання циліндричних оболонок, панелей і пластин із підкріпленим та вільним отвором. Крайові задачі з використанням побудованих в розділі функцій Ґріна зведено до систем інтегральних рівнянь.

Розглянуто задачі про усталені коливання замкненої ортотропної циліндричної оболонки, циліндричної непологої панелі та пластини, зовнішні краї яких шарнірно оперті, а на краях отворів задаються різні крайові умови.

Циліндрична оболонка має довжину l та радіус R . Вісь б1 напрямлена вздовж оболонки, б2 = Rц, де - кутова координата. Головні напрямки ортотропії співпадають із координатними лініями. Граничні умови на краях б1 = 0, б1 = l, що відповідають шарнірному опиранню оболонки, такі:

(5)

Для відшукання функції Ґріна задачі вва-жаємо, що в елементарному прямокутнику

Рr =  оболонка навантажена зусиллями, які симетрично розподілені відносно його осей симетрії (паралельних до сторін). Рівнодійні цих зусиль - нормальна сила, момент та осьова сила , , - змінюються за гармонічним законом із частотою и0. При цьому рівнодійний момент орієнтований за напрямком одиничного вектора до кривої L (рис. 1). Для моделювання локальної дії зовнішнього навантаження використано дельтоподібні функції1

, (6)

де

g(о) (0 ? о ? 1) - спадна гладка функція; g(1) = 0; .

Розв'язок системи рівнянь (4) з правими частинами у формі (6), що задовольняє умови (5), шукаємо у вигляді

(7)

де

Подамо дельтаподібні функції у вигляді рядів:

де ; дорівнює або , дорівнює або

Підставимо формулу (7) та розклади функцій у співвідношеннях (6) у ряди в рівняння (4). Отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь для визначення коефіцієнтів рядів (7). Тоді функція Ґріна задачі матиме вигляд

Функцію Ґріна для випадку циліндричної панелі отримаємо, прийнявши Такий вибір функції розкладу для шуканої функції Ґріна у випадку панелі зумовлений потребою задовольнити умови шарнірного опирання на всіх чотирьох сторонах панелі (двох криволінійних і двох прямолінійних). Функцію Ґріна для пластини отримаємо з попередніх результатів за умови .

Використовуючи одержану функцію Ґріна, формулюємо інтегральні рівняння задачі про коливання оболонки з жорстко підкріпленим отвором. Вважаємо, що на контурі отвору L задано граничні умови

Тут n = {n1(о), n2(о)} - одиничний нормальний вектор до лінії - задані амплітуди переміщень.

Спочатку запишемо в інтегральній формі узагальнений розв'язок задачі про навантаження шарнірно опертої оболонки зусиллями , , , розподіленими вздовж лінії :

Використовуючи узагальнений розв'язок (10) та крайові умови (9), після граничного переходу при прийдемо до системи трьох інтегральних рівнянь

Сформульовано також інтегральні рівняння задач про коливання оболонки з отвором, на якому задаються зусилля

, (12)

де - задані амплітуди зусиль.

Використовуючи функцію Ґріна (8) та крайові умови (12), отримаємо систему трьох інтегральних рівнянь для визначення невідомих , ,

Отримано також систему інтегральних рівнянь для задачі про коливання оболонки з жорстко приєднаним масивним включенням. Розглянуто випадки циліндричної оболонки, панелі та пластини з масивним включенням, коли на масивне тіло діють сили, рівнодійна яких нормальна до поверхні оболонки Крайові умови на межі контакту оболонки та включення (кривій ):

де амплітуда переміщення включення є невідомою величиною, яку знаходимо, ввівши в розгляд рівняння руху масивного включення

Тут маса включення, а - сили взаємодії оболонки та включення.

У четвертому розділі побудовано числові схеми розв'язування систем інтегральних рівнянь. Розглянуто задачі про коливання ортотропних пластин, циліндричних непологих панелей і циліндричних оболонок із отворами та масивними включеннями. Побудовано методику оптимізації параметрів апроксимаційних функцій.

Для задач про коливання циліндричних оболонок, циліндричних панелей і пластин з отворами та включеннями отримано числові розв'язки та проаналізовано вплив фізичних і геометричних параметрів на частоти вільних коливань.

Розв'язок систем інтегральних рівнянь здійснено методом колокацій. Побудовано системи лінійних алгебраїчних рівнянь відносно дискретних значень фіктивних густин , сталих на відрізках розбиття контуру. Дослідження проведено також для зосереджених фіктивних густин

Власні частоти знайдено з умови існування нетривіального розв'язку відповідної однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь.

Коефіцієнти систем лінійних алгебраїчних рівнянь обчислюються наближено і залежать від параметрів (порядок часткових сум, параметр підсумовування та кількість відрізків розбиття). При виборі цих параметрів повинні виконуватись додаткові умови, які забезпечують збіжність та коректність узагальненого підсумовування та згладжування1:

Значення цих параметрів вибираємо, оптимізуючи похибку між точними і наближеними значеннями зусиль. Оскільки точний розв'язок задачі знайти не вдається, розглядаємо відхилення між двома сусідніми ітераційними наближеннями найбільшого значення внутрішнього зусилля вздовж певного напрямку. Задачу зводимо до оптимізації цільових функцій за одним параметром.

Зокрема, у випадку задачі про коливання пластини з отвором, на якому задаються переміщення, розглянуто три цільові функції за кожним із параметрів апроксимаційних функцій, які відображають найбільше відхилення перерізувальної сили в напрямку лінії, паралельної до однієї з сторін, від краю пластини до краю отвору

Для знаходження мінімуму цільових функцій використовуємо наближений метод спуску.

Припинення ітераційного процесу здійснюється за умови, коли різниця між значеннями цільової функції у двох сусідніх ітераціях буде мінімальною.

У таблиці 1 наведено значення власних частот коливань ортотропної циліндричної панелі з вільним круговим отвором та показано вплив товщини панелі та радіуса отвору на власні частоти коливань за таких вхідних даних:

З таблиці видно, що значення частот вільних коливань циліндричної панелі за збільшення її товщини зростають, а збільшення радіуса отвору спричиняє зменшення значень власних частот, однак характер впливу радіуса не є монотонним і для анізотропних об'єктів є досить істотним. Спостерігається суттєвий вплив величини радіуса отвору на власні частоти коливань. Цей вплив складає 20-30 %, що говорить про те, що наявність отвору не можна ігнорувати при дослідженні власних частот коливань. Cпостерігається тенденція збільшення впливу величини отвору за збільшення товщини панелі.

Вплив довжини панелі та радіуса отвору на власні частоти коливань показано в таблиці 2. При цьому

Встановлено, що значення частот вільних коливань циліндричної панелі за збільшення її довжини зменшуються. Зі збільшенням радіуса отвору власні частоти зменшуються. Спостерігається тенденція до зменшення впливу радіуса на частоти вільних коливань отвору за збільшення довжини панелі.

Порівняльну характеристику частот вільних коливань ортотропної циліндричної панелі за відсутності отвору та з вільним і підкріпленим круговим отвором, а також вплив товщини панелі наведено в таблиці 3. При цьому

З таблиці 3 видно, що панель з підкріпленим отвором має частоту, більшу від частоти панелі без отвору та від частоти панелі з вільним отвором такого ж радіуса. Очевидно, жорсткість у випадку підкріпленого отвору зростає, а активна маса зменшується, що і спричиняє збільшення частот вільних коливань.

На рис. 2 зображено залежності основних частот вільних коливань пластини з включенням від зведеної маси включення та зміни модуля зсуву за таких вхідних даних:

Збільшення маси включення спричиняє зменшення власних частот коливань пластини. Зменшення жорсткості також зменшує власні частоти. Наведені у дисертації графіки ілюструють аналогічну якісну поведінку за наявності включення як для випадку непологої циліндричної панелі, так і для випадку замкненої оболонки.

У таблиці 5 наведено частоти власних коливань ортотропної циліндричної оболонки з вільним центральним круговим отвором залежно від зміни модулів зсуву та радіуса отвору за таких вхідних даних:

Як видно з таблиць 4 та 5, наявність отвору має неоднаковий вплив на частоти вільних коливань. Частоти залежать як від геометрії оболонки, так і від фізичних характеристик її матеріалу. Зменшення модуля Юнга в поздовжньому напрямку сприяє істотному зменшенню частот вільних коливань та збільшенню впливу радіуса отвору. Зменшення модуля Юнга в круговому напрямку теж сприяє зменшенню частот вільних коливань. Для розглянутого випадку геометричних характеристик оболонки зменшення модуля Юнга в круговому напрямку не таке істотне, як зменшення модуля Юнга в поздовжньому. Модулі зсуву також впливають на частоти коливань. Найбільший вплив на частоту циліндричної панелі має коефіцієнт , однак відносний вплив отвору тут є найменшим. Хоч зменшення модулів зсуву та мало дуже малий вплив на частоти вільних коливань, їхня зміна сприяє істотнішому впливу отвору, ніж у випадку зменшення модуля зсуву

Тестовою є задача про коливання ізотропної пластини з круговим отвором. Результати, наведені у таблиці 6, досить добре узгоджуються з відомими в літературі2. Значення частот відрізняються не більше, ніж на 5%.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ ТА ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі розв'язано наукове завдання розробка теорії деформування ортотропних циліндричних оболонок та пластин; розвиток числових методів розв'язання крайових задач для двозв'язних областей теорії оболонок; дослідження власних частот коливань та напружено-деформованого стану шарнірно опертих ортотропних циліндричних оболонок і пластин з отворами та включеннями.

Отримано такі основні наукові результати:

одержано рівняння коливань ортотропних оболонок за врахування поперечних зсувів та за припущення малості жорстких поворотів навколо нормалі до серединної поверхні оболонки;

здійснено постановки задач про коливання ортотропних циліндричних оболонок, непологих панелей і пластин з отворами та масивними включеннями;

на базі послідовнісного підходу до зображення дельта-функції побудовано функції Ґріна крайових задач, які моделюють коливання ортотропних циліндричних оболонок та пластин;

розвинуто метод граничних інтегральних рівнянь розв'язання крайових задач для двозв'язних областей з використанням послідовнісного подання функції Ґріна;

побудовано числові схеми розв'язування задач про власні частоти коливань та напружено-деформований стан ортотропних шарнірно-опертих циліндричних оболонок з отворами та включеннями, які реалізовано мовою програмування С++ в рамках візуальної оболонки Builder;

побудовано методику оптимізації числових значень параметрів апроксимаційних функцій у числових схемах розв'язування крайових задач методом колокацій. Встановлено, що для отримання задовільних результатів з похибкою 5% достатньо брати такі значення параметрів: порядок сум ; густота розбиття контуру (залежно від розміру отвору, який віднесено до одного з лінійних параметрів оболонки чи пластини); величину відрізку локалізації дельтаподібної функції ;

досліджено напружено-деформований стан та частоти вільних коливань ортотропних циліндричних оболонок, непологих панелей і пластин з отворами та масивними включеннями.

Встановлено такі закономірності:

На частоти власних коливань суттєво впливають геометричні та фізичні характеристики оболонки. Збільшення розміру вільного отвору сприяє здебільшого зменшенню частоти вільних коливань (вплив радіуса отвору може спричинити зміну значення частоти на 20%.) У випадку ізотропних матеріалів вплив величини отвору на частоти власних коливань є значно менший, ніж у випадку анізотропних. За деяких характеристик оболонки або пластини частота власних коливань за збільшення радіуса отвору може спочатку спадати, а потім зростати та бути вищою за частоту власних коливань оболонки чи пластини без отвору. Загалом за збільшення товщини оболонки спостерігаємо збільшення частот вільних коливань, а також збільшення відносного впливу отвору на власну частоту коливань. Однак за збільшення довжини оболонки спостерігається зменшення частоти вільних коливань, хоч відносний вплив отвору тут також мав тенденцію до зменшення.

Дослідження впливу анізотропії має сенс тільки в рамках конкретної геометрії оболонки. Це стосується здебільшого досліджень впливу модулів Юнга. Однак для загального випадку геометрії оболонки можна сказати, що за зменшення модулів Юнга, а також модулів зсуву спостерігаємо зменшення частот вільних коливань. Серед модулів зсуву найбільший вплив на частоти вільних коливань має модуль , однак його зменшення продемонструвало одночасне зменшення відносного впливу отвору. Хоч зменшення модулів зсуву та мало дуже малий вплив на частоти вільних коливань, їхнє зменшення сприяє істотнішому впливу отвору, ніж у випадку зменшення модуля зсуву .

Збільшення маси включення суттєво зменшує частоти вільних коливань як у випадку пластини, так у випадку оболонки. За великих мас включення ефект його впливу може сягати 80%.

Частота вимушувальної сили суттєво впливає на напружено-деформований стан та переміщення оболонок і пластин з отворами та включеннями.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Сухорольський М. А. Згинні коливання прямокутної ортотропної пластини з масивним включенням / М. А. Сухорольський, Т. В. Шопа // Фізико-хімічна механіка матеріалів. - 2008. - 44, № 6. - С. 4146.

Сухорольський М. Поперечні коливання трансверсально-ізотропної циліндричної оболонки з круговим отвором / М. Сухорольський, Т. Шопа. // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2008. - Вип. 8. - С. 162172.

Сухорольський М. Коливання трансверсально-ізотропної циліндричної оболонки з масивним круговим включенням / М. Сухорольський, Т. Шопа // Машинознавство. - 2008. - № 11(137). - С. 812.

Sukhorolsky M. The vibration of rectangular orthotropic plate with massive inclusions / M. Sukhorolsky, T. Shopa // Computer Assisted Mechanics and Engineering Sciences. - 2008. - 15. - P. 369376.

Шопа Т. Поперечні коливання циліндричної ортотропної панелі з круговим масивним включенням / Т. Шопа // Фізико-математичне моделювання та інформаційні технології. - 2009. - Вип. 9. - С. 170179.

Сухорольський М. А. Дослідження частот власних коливань анізотропної пластини з вирізами та включеннями / М. А. Сухорольський, Т. В. Шопа // Математичні проблеми механіки неоднорідних структур: В 2-х т. - Львів, 2006. - Т.2. - С. 153156.

Шопа Т. Коливання трансверсально-ізоторопної циліндричної панелі з підкріпленим отвором / Т. Шопа // Сучасні проблеми механіки та математики: В 3-х т. - Львів, 2008. - Т. 2. - С. 174177.

Sukhorolsky M. The vibration of rectangular orthotropic plate with massive inclusions / M. Sukhorolsky, T. Shopa // LSAME.O8 Leuven Symposium on Applied Mechanics in Engineering: proceedings of the conference. - Leuven (Belgium), 2008. - P. 377384.

Sykhorolsky M. Flexural vibration of the orthotropic thin walled cylindrical shell with massive inclusions / M. Sukhorolsky, T. Shopa // The Sixteenth International Congress on Sound and Vibration: proceedings of the conference. - Krakow (Poland), 2009.

Шопа Т. В. Коливання анізотропної пластини з масивним включенням / Т. В. Шопа // П'ята відкрита наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. - Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2006. - C. 59.

Барвінський А. Коливання ортотропної пластини з масивним включенням / А. Барвінський, М. Сухорольський, Т. Шопа // 8-й Міжнародний симпозіум українських інженерів-механіків у Львові: тези доповідей. - Львів: НУ “ЛП”, 2007. - С. 57.

Бурак Я. Й. Усталені коливання трансверсально-ізотропної циліндричної оболонки з масивним включенням / Я. Й. Бурак, М. А. Сухорольський, Т. В. Шопа // Актуальні проблеми механіки суцільного середовища і міцності конструкцій: тези доповідей Міжнародної науково-технічної конференції пам'яті академіка НАН України В. І. Моссаковського. - Дніпропетровськ: ДНУ, 2007. - С. 241243.

Сухорольський М. А. До побудови числових розв'язків інтегральних рівнянь з сингулярними ядрами / М. А. Сухорольський, Л. В. Гошко, Т. В. Шопа // Нелінійні проблеми аналізу: IV Всеукраїнська наукова конференція. Тези доповідей. - Івано-Франківськ: Плай, 2008. - С. 91.

Шопа Т. В. Коливання трансверсально-ізоторопної циліндричної панелі з масивним включенням / Т. В. Шопа // Сьома відкрита наукова конференція професорсько-викладацького складу Інституту прикладної математики та фундаментальних наук: Тези доповідей. - Львів: Видавництво Національного університету “Львівська політехніка”, 2008. - C. 63.

Шопа Т. В. Коливання пластини з масивним включенням через пружний прошарок типу Вінклера / Т. В. Шопа // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики імені академіка Я. С. Підстригача: Тези доповідей. - Львів, 2009. - С. 102103.

АНОТАЦІЯ

Шопа Т. В. Коливання ортотропних циліндричних оболонок і пластин з отворами та включеннями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут прикладних проблем механіки та математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, Львів, 2009.

В рамках моделі Тимошенка за умови нехтування поворотами навколо нормалі до серединної поверхні розглянуто задачі про коливання замкнутих ортотропних циліндричних оболонок, непологих циліндричних панелей та пластин з отворами і масивними включеннями. Задачі зведено до систем інтегральних рівнянь за використання функцій Ґріна у вигляді границь послідовностей узагальнених часткових сум рядів Фур'є за тригонометричними системами функцій. Числовий розв'язок систем рівнянь побудовано методом колокацій. Досліджено частоти вільних коливань та напружено-деформований стан оболонок, панелей та пластин залежноі від параметрів анізотропії та геометричних характеристик отворів та включень.

Ключові слова: коливання, циліндрична оболонка, циліндрична панель, пластина, отвори, включення, послідовнісний підхід, модель Тимошенка, інтегральні рівняння, метод Фур'є, дельтаподібні функції, власні частоти.

АННОТАЦИЯ

Шопа Т. В. Колебания ортотропных цилиндрических оболочек и пластин з отверстиями и включениями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт прикладных проблем механики и математики им. Я. С. Подстригача НАН Украины, Львов, 2009.

В пределах модели Тимошенко при условии пренебрежения поворотами вокруг нормали к серединной поверхности рассмотрены задачи об изгибных колебаниях шарнирно опертых замкнутых ортотропных цилиндрических оболочек, непологих цилиндрических панелей и пластин с отверстиями и массивными абсолютно жесткими включениями. Эта модель позволяет ввести потенциалы углов поворота нормали к серединной поверхности и осевых перемещений, что уменьшает количество независимых переменных.

Функция Грина задачи найдена при использовании метода Фурье и секвенциального подхода к представлению дельта-функции. При этом функция Грина представлена в виде предела частичных сумм тригонометрических рядов. Задачи сведены к системам интегральный уравнений. Численное их решение найдено методом коллокаций.

Рассмотрены два типа граничных условий на краю отверстий. В первом случае задаются нормальные компоненты перемещений, во втором нормальные компоненты внутренних усилий.

В случае наличия массивного включения условия контакта заданы на срединной поверхности тонкостенного элемента. На линии контакта введены неизвестные перемещения, для определения которых используется уравнение движения массивного включения.

Построена схема численной оптимизации параметров апроксимационных функций. Исследованы частоты свободных колебаний и напряженно-деформированное состояние ортотропных цилиндрических оболочек, цилиндрических непологих панелей и пластин в зависимости от параметров анизотропии и геометрических характеристик отверстий и включений.

Выявлен сложный характер динамического поведения ортотропных тонкостенных элементов конструкций при наличии отверстий и включений. Численные решения задач о колебаниях изотропных пластин сравниваются с известными решениями, полученными в пределах классической теории пластин.

Результаты работы имеют практическое применение и могут быть использованы при расчете тонкостенных элементов инженерных конструкций.

Ключевые слова: колебания, цилиндрическая оболочка, цилиндрическая панель, пластина, отверстие, включение, секвенциальный подход, модель Тимошенко, интегральные уравнения, метод Фурьє, дельта-функция, собственные частоты колебаний.

ABSTRACT

Shopa T. V. Vibration of the orthotropic cylindrical shells and plates with cutouts and inclusions. - Manuscript.

A thesis for the Candidate's Degree in Physics and Mathematics by speciality 01.02.04 - Mechanics of Deformable Solids. - Pidstryhach Institute for Applied Problems of Mechanics and Mathematics, National Academy of Science, Ukraine, Lviv, 2009.

The problems on the vibration of orthotropic closed cylindrical shells, open cylindrical panels, and plates with the cutouts and massive inclusions in the framework of the Tymoshenko's model with the assumption of the neglectably small rotation angles around the normal to the middle surface are considered. The problems are reduced to the systems of the integral equations using the Green function in the form of the limit of the partial sums of the Fourier series by the system of the trigonometric functions. The numerical solution is found by the collocation method. The influence of the parameters of the anisotropy and the geometrical characteristics of the cutouts and the inclusions on the natural frequencies and the stress-strain state of the shells, panels, and plates is investigated.

Key words: vibration, cylindrical shell, cylindrical panel, plate, cutout, inclusion, sequential approach,Tymoshenko's model, integral equations, Fourier method, delta-like functions, eigenfrequencies.

Размещено на Allbest.ru