Динамічні просторові задачі механіки руйнування для матеріалів з тріщинами на межах поділу

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Два напрямки механіки кінця минулого та початку нинішнього сторіччя - механіка руйнування та механіка композитів - є такими, що найбільш динамічно розвиваються.

Механіка руйнування являє собою важливу область механіки деформівного твердого тіла, оскільки в неї включається стадія попереднього деформування, в рамках якої відбувається вичерпання несучої здатності матеріалів і елементів конструкцій. Явище руйнування - складний і багатоплановий процес, розвиток якого визначається різними механізмами. Одним з таких механізмів є зародження і поширення тріщин в крихких і квазікрихких матеріалах.

Сучасний рівень розвитку техніки та технологій вимагає використання матеріалів, що одночасно відзначаються легкістю, міцністю, надійністю і стійкістю до впливу навколишнього середовища. Це привело до створення композитних матеріалів, які сполучають у собі перераховані властивості, і до виникнення окремого наукового напрямку - механіки композитних матеріалів. Розповсюдженою структурою композита є шарувата структура. Внаслідок технології виготовлення та умов експлуатації композита виникають міжкомпонентні дефекти: тріщини, розшарування, зони ослаблення адгезії тощо. Експлуатація конструкцій і механізмів у переважній більшості випадків відбувається при динамічних навантаженнях, що приводить до зростання існуючих і до утворення нових тріщиноподібних дефектів.

Задачі механіки руйнування для кусково-однорідних пружних середовищ із тріщинами на межах поділу є модельними задачами механіки композитів з мікротріщинами між матрицею та матеріалом, що армує. На теперішній час існує велика кількість наукових праць, присвячених розв'язанню задач у даній області механіки для випадку статичних навантажень у двовимірній або осесиметричній постановці. На жаль, прикладів розв'язання динамічних просторових задач механіки руйнування для кусково-однорідних середовищ із міжматеріальними тріщинами не існує.

Тому розробка методу розв'язання динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу, розв'язання нових задач механіки руйнування, виявлення та дослідження нових механічних ефектів є актуальною проблемою сучасної механіки деформівного твердого тіла. Саме цим питанням присвячено дану роботу.

Метою роботи є дослідження динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу, включаючи: виконання лінійної постановки задач, розробку методу розв'язання задач із використанням граничних інтегральних рівнянь, числову реалізацію задач на основі методу граничних елементів, розв'язання нових задач механіки руйнування для матеріалів із круговими та еліптичними тріщинами на межах поділу середовищ при гармонічному навантаженні, аналіз параметрів механіки руйнування та формулювання виявлених закономірностей.

Для досягнення поставленої мети було здійснено:

· лінійну постановку динамічних просторових задач механіки для матеріалів із тріщинами на межах поділу;

· побудову системи граничних інтегральних рівнянь, що описують динамічні просторові задачі для матеріалів із тріщинами на межах поділу;

· одержання співвідношень для ядер граничних інтегральних рівнянь на основі фундаментальних розв'язків динамічної теорії пружності;

· розвиток методу регуляризації сингулярних інтегралів, які присутні у граничних інтегральних рівняннях розглянутих задач;

· розробку комплексу програм для розв'язання просторових задач механіки руйнування матеріалів із тріщинами на межах поділу при гармонічних навантаженнях;

· розрахунок і дослідження параметрів напружено-деформованого стану та параметрів механіки руйнування матеріалів із тріщинами на межах поділу в залежності від типу гармонічного навантаження, фізико-механічних властивостей матеріалів, форми тріщини;

· виявлення та дослідження загальних закономірностей і механічних ефектів.

1. Класичні та некласичні проблеми механіки руйнування для кусково-однорідних середовищ із тріщинами на межах поділу

Проаналізовано основні підходи і результати розв'язання задач механіки з міжматеріальними тріщинами. Проаналізовано методи розв'язку динамічних задач механіки руйнування.

Засновники механіки руйнування, A. Griffith, E. Orowan, G. Irwin, зв'язували процеси крихкого і квазікрихкого руйнування зі зростанням тріщин. Відомо, що різні тріщиноподібні дефекти часто присутні в конструкційних матеріалах. Визначальне значення в дослідженнях з механіки руйнування мають величини параметрів напружено-деформованого стану в матеріалах поблизу тріщин. Якомога більш точне визначення величин напружень і переміщень біля тріщин, розрахунок параметрів механіки руйнування та контроль їхніх величин є важливою задачею механіки руйнування.

Велику роль у становленні та розвитку механіки руйнування відіграли О.Є. Андрейків, М.М. Бородачев, В.Г. Борисковський, Р.В. Гольдштейн, О.М. Гузь, С.О. Калоєров, А.О. Камінський, О.С. Космодаміанський, Г.С. Кіт, М.Я. Леонов, М.Ф. Морозов, В.І. Моссаковський, В.В. Новожилов, В.В. Панасюк, В.З. Партон, Г.Я. Попов, М.П. Саврук, Л.І. Слепян, Г.П. Черепанов, В.П. Шевченко, S. Atluri, J. Balas, T. Cruse, D. Dugdale, D. Gross, F. Erdogan, H. Liebowits, J. Rice, G. Sih, A. Zak та інші вітчизняні і закордонні вчені.

Параметри механіки руйнування здебільшого залежать від типу та режиму навантаження. Динамічне навантаження набагато частіше приводить до руйнування. Завдяки роботам В.Г. Борисковського, О.М. Гузя, В.В. Зозулі, В.В. Міхаськіва, В.З. Партона, J. Sladek, V. Sladek розв'язано багато задач динамічної механіки руйнування із тріщинами в однорідних матеріалах.

Механіка руйнування кусково-однорідних середовищ із тріщинами на межах поділу бере свій початок з появою робіт Г.П. Черепанова, F. Erdogan, J. Rice, G. Sih, M. Williams. Істотний внесок у розв'язання статичних задач механіки руйнування для кусково-однорідних середовищ із тріщинами на межах поділу у двовимірній і осесиметричній постановці зробили Р.В. Гольдштейн, О.М. Гузь, А.О. Камінський, Л.А. Кіпніс, А.Ф. Улітко, M. Comninou, J. Dundurs. Однак сьогодні в науковій літературі немає прикладів розв'язання динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу.

О.М. Гузем і В.В. Зозулей показано, що фізично коректні розв'язки динамічних задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами можуть бути отримані в нелінійній постановці. Ними був розроблений підхід, заснований на розв'язанні лінійних динамічних рівнянь теорії пружності з нелінійними граничними умовами, що був успішно реалізований їх учнями для однорідних матеріалів із тріщинами. Зазначений підхід може бути розповсюджений на динамічні задачі механіки для кусково-однорідних середовищ із тріщинами на межах поділу. Одним з етапів цього підходу є розробка методу розв'язку динамічних просторових задач для матеріалів із тріщинами на межах поділу в лінійній постановці. Такий метод дозволить розраховувати динамічні параметри напружено-деформованого стану та параметри механіки руйнування для кусково-однорідних середовищ із тріщинами на межах поділу, аналізувати їхню залежність від різних факторів, установлювати закономірності та нові механічні ефекти.

Отже, розробка методу розв'язання динамічних просторових задач для матеріалів із тріщинами на межах поділу в лінійній постановці є важливим етапом у розвитку механіки руйнування.

2. Лінійна постановку динамічної просторової задачі механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу з використанням методу граничних інтегральних рівнянь

Запропоновано математичне формулювання задачі, отримано граничні інтегральні рівняння, отримано співвідношення для ядер граничних інтегральних рівнянь, для граничних умов на берегах міжматеріальної тріщини.

У тривимірному просторі розглядається нескінченне пружне тіло, що складається з двох однорідних ізотропних тіл, які займають підобласті-півпростори з різними фізико-механічними характеристиками, регулярні границі підобластей характеризуються зовнішніми нормалями (рис. 2.1), складаються з нескінченних ділянок, що утворюють загальну ділянку границі, а також кінцевих ділянок, об'єднання яких являє собою тріщину. Стаціонарний контур тріщини є замкнутою гладкою кривою. Кусково-однорідне пружне середовище із тріщиною на межі поділу зазнає динамічного навантаження.

А на нескінченності - умови, які забезпечують скінченність енергії пружного тіла, що займає необмежену область. Початкові умови - нульові.

У динамічних задачах механіки про міжматеріальні тріщини контакт берегів має двояку природу. З одного боку, контакт протилежних берегів безпосередньо у вершини міжматеріальної тріщини обумовлений різними механічними характеристиками матеріалів. По оцінках дослідників, для статичних задач ця зона контакту незначна в порівнянні з розмірами берегів і становить , де - характерний розмір тріщини. З іншого боку, контакт відбувається на етапі стискання при динамічному навантаженні. Величина зони контакту невідома і може охоплювати всі поверхні берегів тріщини. Оскільки в лінійній постановці задачі неможливо коректно врахувати контакт берегів, у роботі розглядається напружено-деформований стан матеріалів із тріщиною на межах поділу без урахування контакту берегів. Розв'язок динамічних задач буде фізично коректним для тріщин, що мають попереднє розкриття більше, ніж деформації берегів, за винятком зони, яка примикає до контуру тріщини. Отже, областю коректності розв'язання розглянутих задач будуть поверхні берегів тріщини і поверхня зчеплення матеріалів за винятком вузької кільцевої зони, що включає контур тріщини. Така постановка доцільна для розробки методу розв'язання динамічних задач і для розв'язання на його основі нових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу.

Оскільки в критерії механіки руйнування входять параметри стану матеріалів поблизу контуру тріщини, то було здійснено перехід від задачі в тривимірній області до задачі на її межі. Для цього в кожній з підобластей переміщення були зображені через граничні переміщення та поверхневі сили у вигляді співвідношень Соміліани. Після граничного переходу отримано систему граничних інтегральних рівнянь для знаходження невідомих: переміщень берегів тріщини, переміщень і поверхневих сил на поверхні зчеплення різнорідних матеріалів.

Для отримання співвідношень ядер, що входять у граничні інтегральні рівняння, припускається, що поверхня поділу пружних середовищ являє собою площину; декартова система координат така, що її осі й лежать в площині поділу півпросторів; навантаження - гармонічне.

У розділі отримані співвідношення для напружень, що виникають на берегах міжматеріальних тріщин при взаємодії з гармонічними хвилями, які задаються як граничні умови. Відомо, що в рамках лінійної теорії пружності вихідний стан тіла із тріщиною на межах поділу можна зобразити суперпозицією двох станів. Перший стан - тіло без тріщини, навантажене зовнішніми силами, на поверхні поділу виконуються умови зв'язності. Другий стан - тіло із тріщиною, на берегах якої прикладені навантаження, знайдені в першому стані, на поверхні поділу виконуються умови зв'язності.

3. Числовий метод розв'язання системи граничних інтегральних рівнянь на основі методу граничних елементів

Реалізовано прямий метод граничних елементів зі сталою апроксимацією функцій на кожному граничному елементі. Здійснено регуляризацію гіперсингулярних, сингулярних і слабосингулярних інтегралів, присутніх у рівняннях задачі.

У роботі використаний метод колокацій з кусково-сталою апроксимацією функцій на елементі.

У роботі здійснено регуляризацію розбіжних інтегралів на основі другої інтегральної формули Гріна для оператора Лапласа, що дозволило перейти від інтегрування по поверхні до інтегрування по контуру, що охоплює цю поверхню.

4. Тестові розрахунки з визначення динамічних параметрів напружено-деформованого стану в матеріалах із тріщинами на межах поділу

Досліджено залежність розв'язку від величини поверхні зчеплення матеріалів, що присутні у розрахунках. Досліджено залежність розв'язку від дискретизації розрахункової області. Проведено порівняння одержуваного розв'язку з такими, що є в літературі.

При чисельній реалізації розглянутих задач граничними елементами апроксимується кінцева частина нескінченної поверхні зчеплення кусково-однорідних середовищ, що безпосередньо примикає до міжматеріальної тріщини. Проведено дослідження залежності розв'язку задачі від розмірів виділеної в такий спосіб поверхні зчеплення матеріалів.

У результаті числового експерименту встановлено, що збільшення поверхні зчеплення понад 3,5 характерного розміру тріщини приводить до зміни параметрів напружено-деформованого стану на берегах міжматеріальної тріщини і на поверхні зчеплення матеріалів поблизу контуру тріщини в межах 0,1%. Таким чином, має місце практична збіжність, и для чисельного розв'язання задачі достатньо зупинитися на радіусі апроксимації поверхні зчеплення, що дорівнює 3,5 радіусам тріщини.

На прикладі розрахунку параметрів напружено-деформованого стану в парі сталь-алюміній із круговою міжматеріальною тріщиною при навантаженні нормально падаючою хвилею розтягу-стиску досліджено залежність одержуваного розв'язку від величини граничних елементів. Відповідно до загальноприйнятого підходу, задача розв'язувалася кілька разів при дискретизації розрахункової області, що утворює вкладену послідовність. Апроксимовані поверхні берегів тріщини й площина зчеплення матеріалів покривалися елементами, що подрібнюються, у кількості 120, 480 і 1920 елементів.

За допомогою числового експерименту досліджувалася можливість використання і визначалися параметри нерівномірної сітки граничних елементів зі згущенням їх біля контуру тріщини й розрідженням при видаленні від нього як убік поверхні зчеплення матеріалів, так і до центра тріщини. Установлено, що при наближенні до контуру тріщини з боку тріщини й ззовні елементи повинні згущатися, а лінійні розміри граничних елементів в околі контуру тріщини мають досягати порядку від радіусу тріщини.

Проведено порівняння параметрів напружено-деформованого стану, одержуваних на основі розробленого методу розв'язання, з відомими розв'язками. Оскільки в науковій літературі немає даних про розв'язання динамічних просторових задач для матеріалів із тріщинами на межах поділу середовищ і неможливе їх пряме порівняння, то були використані граничні переходи до динамічної задачі про тріщину в однорідному матеріалі та до статичної задачі для міжматеріальної тріщини.

Граничний перехід у динамічній задачі про міжматеріальну тріщину до динамічної задачі про тріщину в однорідному матеріалі виконаний чисельно таким чином, що динамічна задача для кругової тріщини на межах поділу в парі матеріалів сталь-титан переходить у відповідну задачу для тріщини в однорідному матеріалі титан за рахунок послідовної зміни механічних параметрів одного з матеріалів. Розрахунки виконані в широкому діапазоні зміни частоти гармонічного навантаження.

Розподіл інших компонентів розв'язку задачі для розглянутого випадку граничного переходу мають ту ж тенденцію. А саме, зі зменшенням відмінностей у фізико-механічних характеристиках матеріалів складеного середовища параметри розв'язку динамічної задачі утворюють монотонні послідовності, які обмежені розв'язками динамічної задачі для однорідного середовища і сходяться до розв'язку цієї задачі.

Аналіз результатів свідчить про те, що зі зменшенням частоти навантаження розв'язки динамічної задачі утворюють монотонні, обмежені, збіжні послідовності, межами яких є розв'язок статичної задачі.

Висновки

тріщина деформований динамічний просторовий

Таким чином, в дисертації розв'язано актуальну и важливу проблему, що полягає в дослідженні динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу. На основі розробленого в дисертації методу розв'язано нові задачі механіки руйнування, отримано нові дані про характер зміни динамічних параметрів напружено-деформованого стану кусково-однорідних матеріалів із тріщинами на межах поділу. У роботі отримано такі наукові й практичні результати:

1. Уперше розроблено метод розв'язання динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу, при цьому:

1.1. Виконано лінійну постановку динамічних просторових задач механіки руйнування для матеріалів із тріщинами на межах поділу.

1.2. На основі теореми взаємності, співвідношення Соміліани і фундаментальних розв'язків динамічної теорії пружності отримано систему граничних інтегральних рівнянь, що описують динамічні просторові задачі для матеріалів із тріщинами на межах поділу.

1.3. При гармонічному навантаженні отримано співвідношення для ядер граничних інтегральних рівнянь на основі фундаментальних розв'язків динамічної теорії пружності.

1.4. З використанням другої інтегральної формули Гріна розвинуто метод регуляризації сингулярних інтегралів, які присутні у граничних інтегральних рівняннях, що описують просторові задачі механіки для пружних середовищ із міжматеріальними тріщинами.

1.5. На основі методу граничних елементів розроблено комплекс програм з розрахунку параметрів напружено-деформованого стану і коефіцієнтів інтенсивності напружень у матеріалах із круговими й еліптичними тріщинами на межах поділу при гармонічних навантаженнях.

2. У рамках розробленого методу, з використанням створеного комплексу програм розв'язано та досліджено нові класи динамічних просторових задач механіки руйнування, а саме:

2.1. Уперше розв'язано задачі про взаємодію нормально падаючої гармонічної хвилі розтягу-стиску із круговою й еліптичною тріщиною на межах поділу матеріалів.

2.2. Уперше розв'язано задачі про взаємодію нормально падаючої гармонічної хвилі зсуву із круговою й еліптичною тріщиною на межах поділу матеріалів.

2.3. Уперше проведено дослідження параметрів напружено-деформованого стану і механіки руйнування матеріалів із круговими тріщинами на межах поділу при навантаженні хвилею розтягу-стиску або хвилею зсуву залежно від їхньої частоти і величин механічних параметрів матеріалів. Показано, що розподіли значень динамічних КІН нормального відриву, КІН поперечного і поздовжнього зсувів при зміні частоти навантаження мають виражені максимуми. Установлено, що при навантаженні нормально падаючою хвилею розтягу-стиску максимальне значення відносного КІН поперечного зсуву на 25-30% перевищує максимальне значення відносного КІН нормального відриву; при навантаженні нормально падаючою хвилею зсуву максимальне значення відносного КІН нормального відриву на 80-90% перевищують максимальні значення відносних КІН поперечного і поздовжнього зсувів. Показано, що максимальні значення відносних динамічних КІН різнойменних мод для кругових міжматеріальних тріщин у кожній з досліджених пар матеріалів досягаються при різних частотах навантаження. Установлено, що величини максимальних значень відносних динамічних КІН однойменних мод для кругових міжматеріальних тріщин у різних парах матеріалів при дії хвилі розтягу-стиску і хвилі зсуву істотно розрізняються й залежать від механічних характеристик матеріалів.

2.4. Уперше проведено дослідження параметрів напружено-деформованого стану і механіки руйнування матеріалів з еліптичними тріщинами на межах поділу залежно від частоти гармонічної хвилі розтягу-стиску, при різних ексцентриситетах еліпсів і різних величинах механічних параметрів матеріалів. Установлено, що величина відносного динамічного КІН нормального відриву міняється уздовж контуру тріщини до 25% і досягає максимальних значень у вершинах малої осі еліпса. Величина відносного динамічного КІН поперечного зсуву змінюється уздовж контуру тріщини незначно. Частоти навантаження, при яких досягаються максимальні значення динамічних КІН нормального відриву і КІН поперечного зсуву, збігаються у вершинах малої осі еліпса. Показано, що зі збільшенням розходжень у значеннях механічних параметрів матеріалів, що утворюють пари, зростає максимальне значення відносного динамічного КІН нормального відриву у вершинах малої осі еліпса.

2.5. Уперше проведено дослідження параметрів напружено-деформованого стану і механіки руйнування матеріалів з еліптичними міжматеріальними тріщинами залежно від частоти гармонічної хвилі зсуву для різних орієнтацій напрямку зсуву щодо осей еліптичної тріщини, різних ексцентриситетів еліпсів і різних величин механічних параметрів матеріалів. Установлено, що у випадку збігу напрямку зсуву з великою віссю еліпса зростає максимальне значення відносного динамічного КІН поздовжнього зсуву у вершинах малої осі при збільшенні ексцентриситету та при зростанні розходжень у значеннях механічних параметрів матеріалів, що утворюють пари. Показано, що у випадку збігу напрямку зсуву з малою віссю еліпса при збільшенні ексцентриситету зростають максимальні значення відносного динамічного КІН нормального відриву і КІН поперечного зсуву у вершинах малої осі. А при зростанні розходжень у величинах механічних параметрів матеріалів пари зростає максимальне значення відносного динамічного КІН поперечного зсуву у вершинах малої осі еліптичної тріщини.

3. Аналіз результатів проведених числових досліджень дозволяє сформулювати нові механічні ефекти, а саме:

3.1 При взаємодії хвилі розтягу-стиску із круговою і еліптичною міжматеріальною тріщиною значення відносного динамічного КІН поперечного зсуву перевищують значення відносного динамічного КІН нормального відриву, а при взаємодії хвилі зсуву - значення відносного динамічного КІН нормального відриву перевищують значення відносних динамічних КІН поперечного і поздовжнього зсувів у всьому досліджуваному діапазоні частот навантаження.

3.2. Відносні динамічні КІН еліптичних міжматеріальних тріщин у вершинах малої осі мають більші значення в порівнянні з відносними динамічними КІН еліптичних тріщин в однорідному матеріалі при навантаженні хвилями розтягу-стиску і хвилями зсуву.

Проведені дослідження показують необхідність розрахунку і оцінки напружено-деформованого стану та параметрів механіки руйнування матеріалів із тріщинами на межах поділу при гармонічних навантаженнях. Використання розробленого методу розв'язку динамічних параметрів механіки руйнування дозволить доповнити і уточнити існуючі методики розрахунку конструкцій з композитних матеріалів на міцність і тріщиностійкість. Отримані в роботі результати є основою для подальших наукових досліджень.

Література

1. Гузь И.А. О предельном переходе в динамической задаче для межфазной трещины при уменьшении частоты нагрузки / И.А. Гузь, А.В. Меньшиков, В.А. Меньшиков // Доповіді НАН України.- 2008. - №3. - С. 50-54.

2. Зозуля В.В. О решении трехмерных задач динамической теории упругости для тел с трещинами с использованием гиперсингулярных интегралов / В.В. Зозуля, В.А. Меньшиков // Прикладная механика. - 2000. - Т. 36, № 1. - С. 88-94.

3. Меньшиков В.А. Трехмерная контактная задача для упругого тела с трещиной при гармоническом нагружении / В.А. Меньшиков // Доповіді НАН України. - 1995. - №7. - С. 45-48.

4. Меньшиков В.А. Гиперсингулярные интегралы в трехмерных задачах для тел с трещинами / В.А. Меньшиков // Доповіді НАН України. - 1995.- №8. - С. 61-64.

5. Меньшиков В.А. Пространственные динамические задачи для материалов с трещинами в границах раздела / В.А. Меньшиков, А.В. Меньшиков // Тезисы докладов Международной конференции «Интегральные уравнения и их применение», Одесса. - 2005. - С. 102.

6. Меньшиков В.А. Трещина в плоскости раздела упругих материалов при гармоническом нагружении / В.А. Меньшиков // Матеріали Міжнародної наукової конференції «Математичні проблеми технічної механіки - 2006», Дніпропетровськ, Дніпродзержинськ. - 2006. - 136-137.

Размещено на Allbest.ru