Размещено на http://www.allbest.ru

Реферат

ПАРАМЕТРЫ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КВАНТОВ СВЕТА (ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН) И ВЕЩЕСТВА



Введение

Существует, в основном, четыре группы параметров взаимодействия квантов электромагнитной энергии и вещества:

1. Если эти кванты рассматривать как электромагнитные волны, то такими параметрами будут являться знакомые из курса электродинамики амплитудная -б' и фазовая в постоянные распространения волны, причем в активной среде б' называется коэффициентом усиления по амплитуде.

С этими параметрами достаточно тесно связаны другие параметры - магнитная ж и электрическая ч восприимчивости среды, которые в общем случае являются комплексными величинами, связанными с магнитной м и диэлектрической е проницаемостями среды.

3. Если рассматривать взаимодействие квантов и частиц среды на основе теории столкновений, то приходится использовать понятие о поперечном сечении взаимодействия у.

4. Если рассматривать взаимодействие, сопровождаемое поглощением и излучением квантов, то вводятся такие параметры как вероятности индуцированных и спонтанных переходов частиц с одного энергетического уровня на другой в единицу времени, тесно связанные с так называемыми коэффициентами Эйнштейна.

В данной главе пособия находится связь между всеми этими параметрами, а в следующей главе рассмотрены активные среды квантовых приборов и методы получения инверсной населенности энергетических уровней в этих средах.



1. Квантовое и макроскопическое рассмотрение взаимодействия электромагнитной волны и вещества

Вынужденные квантовые переходы реализуются в результате взаимодействия электромагнитной волны и вещества и параметрами этого взаимодействия, т.е. параметрами квантового перехода являются вероятности перехода системы в единицу времени с одного энергетического уровня на другой с излучением или поглощением кванта энергии, а также ряд величин, характеризующих эти вероятности. Рассмотрим вынужденные (индуцированные) перехода и их параметры. Для этого возьмём два уровня (рис.1), на одном из которых (W_i)n_i , а на втором (W_j)n_j электронов. Будем для определенности считать, что это уровни энергии электронов в атоме, а не уровни энергии атома.

Рис. 1

Пусть эти уровни и электроны содержатся в единице объема вещества, т.е. и - концентрации электронов, находящихся на уровнях W_i и W_j, соответственно. Определим мощность, излучаемую или поглощаемую при индуцированных переходах W_i -W_j , вызванных квантами . Так как каждый переход с верхнего уровня на нижний дает квант излучения , а переход с на вызывает поглощение кванта, то излученная в единице объема мощность, определяемая количеством появившихся в единицу времени квантов и равная изменению энергии в единицу времени, будет:



(1)

где - вероятность перехода в единицу времени одного электрона из числа n_i под влиянием квантов с уровня на уровень ; - аналогичная вероятность перехода с уровня на. Эти вероятности характеризуют спектральные, а не интегральные параметры перехода. Так как в единицу времени переходов сверху вниз будет , а снизу вверх , то полное изменение числа квантов в единицу времени потому что, согласно расчетам Эйнштейна, ,что будет доказано позднее (в разд.3), Так как при переходе вниз излучается квант энергии , а при переходе вверх такой же квант поглощается и так как каждый квант несет количество энергии, равное то для получается формула (1).

Очевидно, что вероятность , имеющая размерность , пропорциональна числу падающих квантов или, с учетом волновых представлений, потоку мощности в волне.

Для того, чтобы определить вероятность обратимся к анализу нестационарных процессов в атоме, происходящих под влиянием внешнего воздействия, которое оказывают на атом кванты.

До сих пор мы имели дело с функцией распределения микрочастицы [глава 1] и рассматривали ее стационарные значения, не принимая во внимание тот факт, что она как результат любого решения волнового уравнения имеет волновые свойства, т.е. должна содержать множитель , где круговая частота щ связана с полной энергией частицы W соотношением , где - постоянная Планка. Поэтому для волновой - функции справедливо равенство из, которого следует уравнение



(2)

называемое нестационарным уравнением Шредингера, и в общем случае выражение для - функции стационарного состояния микрочастицы, находящейся на уровне энергии , будет

(3)

где - определяется из стационарного уравнения Шредингера (1.1).

В случае наличия внешнего воздействия к энергии W в (2) должна добавиться дополнительная энергия W_дк вызванная взаимодействием с внешним электромагнитным полем квантов, которую будем считать малой по сравнению с W. При этом волновую функцию возмущенной системы , являющуюся решением уточненного за счет W_дк уравнения Шредингера

(4)

можно представить как сумму - функций невозмущенной системы и , , являющихся решением уравнения (2) для тех уровней W_i и W_j, между которыми совершается переход i - j под влиянием квантов:

(5)

Так как до начала действия возмущения частица находилась на уровне W_j , когда , ,, а после перехода на уровень W_i, , , , то коэффициенты и, должны зависеть от времени , , причем если переход совершился в среднем в течение времени t_n , то величина будет характеризовать искомую вероятность взаимодействия электрона и кванта. Подставляя (5) в (4) с учетом того, что для и : выполняется уравнение (2), получим:

(6)

Учтем, что согласно (3) ; и учтем ортонормированность - функции, в силу которой при интегрировании по всему объему

Умножая (6) на и интегрируя по всему пространству, получим:

(7)

Так как в момент включения и т.к. среднее время перехода t_n с уровня j на уровень i обычно мало, можно приближенно решить уравнение (7), полагая справа в нём , :

, (8)



где - круговая резонансная частота квантового перехода i-j . Интеграл, стоящий справа в (8), называется матричным элементом оператора перехода i-j. Так как энергия взаимодействия W_дк пропорциональна полю кванта, вызывающего переход (электрическому полю волны, в случае представления взаимодействующего атома диполем, и магнитному полю волны, в случае парамагнитных атомов), то этот интеграл должен быть пропорционален множителю , определяющему временное изменение поля волны, где - частота воздействующего поля (кванта). Поэтому, вводя обозначение

(9)

получим из (8) уравнение

интегрирование которого в пределах, от t = 0 до конца среднего времени перехода дает

, (10)

Тогда

(11)



Зависимость (11) I_ij = I_ji от разности показывает, что I_ij = I_ji отлична от нуля лишь при малых значениях этой разности.

Индуцированные переходы в оптическом диапазоне длин волн обычно обусловлены взаимодействием электрического дипольного момента атома d с высокочастотным электрическим полем падающих квантов, амплитуду напряженности которого мы будем считать равной Е₁. Так как из курса общей физики известно, что энергия взаимодействия при этом равна скалярному произведению d на Е_l , то , и поэтому , так что вводя обозначения квантовый электромагнитный волна поле излучение

, (12)

из (11) получим

(13)

Аналогичным образом, учитывая соотношения, определяющие в случае взаимодействия парамагнитного кристалла и магнитного поля с амплитудой Н₁ падающих квантов, и вводя в (9) - (11) обозначения главы 1:

(14)

где g- фактор Ланде, м₀ - магнетон Бора, м₀₀ - магнитная проницаемость вакуума, получим

. (15)



Видно, что соотношения (13) и (15), определяющие вероятности индуцированных переходов двух различных квантовых систем, имеют одинаковую структуру. Величины и называются матричным элементом вероятности перехода.

Множитель представляет собой в общем случае величину тензорного характера, зависящую как от ориентации падающей электромагнитной волны по отношению к оптическим осям кристалла, так и от направления постоянного поля по отношению к этим осям (последнее будет для в случае зеемановских уровней в парамагнитных кристаллах). Например, если двухуровневый кристалл, для уровней которого , имеет ось симметрии и поле , параллельное этой оси, а линейно поляризованное поле составляет угол , с полем , то расчета дают,

(16)

В других случаях выражения для получаются значительно более сложными и зависящими от квантовых чисел определяющих переход, В частности, для переходов, которые не удовлетворяют правилами отбора, получается . В остальных случаях величина определяет интенсивность соответствующей спектральной линии излучения или поглощения.

Величина - гиромагнитное отношение, где , м₀ - магнетон Бора, м₀₀ - магнитная проницаемость свободного пространства; g - фактор спектроскопического расщепления (фактор Ланде); - функция формы спектральной линии, зависящая от частоты падающих квантов и от резонансной частоты квантового перехода , т.к. в общем случае может немного не совпадать с частотой . Функция обычно нормирована так, что выполняется условие . Упростить эту функцию при малых можно из последнего соотношения (12), если ограничиться двумя членами . разложения в ряд по и учесть, что

(17)

и если процесс перехода электронов с j-го уровня на i-й рассматривать как статистический релаксационный процесс с временем релаксации ф , причем среднюю длительность этого релаксационного процесса считать равной . Тогда, учтя, что , и вводя обозначения:

; , (18)

получим

(19)

Если воспользоваться выражением (12) для функции то условие ее нормировки выполняется, а если принять выражение (19), то можно убедиться, что это условие выполняется при уменьшении правой части (19) в раз, т.е. в случае когда

(20)

В дальнейшем мы будем использовать именно это соотношение для . Величина Q_л в выражении (20) называется добротностью спектральной линии, при этом - полуширина спектральной линии на ее полувысоте, а - относительная отстройка частоты сигнала от резонансной частоты перехода. Форма спектральной линии, т.е. зависимость поглощенной или излученной мощности от частоты поглощаемых или вызывающих излучение электромагнитных колебаний (или квантов), имеет вид резонансной кривой обычного колебательного контура с добротностью Q_л. Такая форма спектральной линии называется Лоренцевой формой.

А теперь проведем макроскопическое рассмотрение взаимодействия волны и вещества, т. е. рассмотрим вопросы потери мощности электромагнитной волны в среде с комплексной электрической и с комплексной магнитной восприимчивостями. Два уравнения Максвелла, записанные в системе СИ в операторной форме, имеют вид [2]

(21)

(22)

где D и B - векторы электрической и магнитной индукции (смещения), j - плотность тока, Р и М - векторы электрической и магнитной поляризации (дипольного момента) единицы объема среды, и - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума; и - относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости среды. Учитывая равенства

и используя векторное тождество

, (23)

умножим первое уравнение (21) скалярно на Е, а второе (22) на Н и вычтем одно из другого. При этом получается

. (24)

Воспользовавшись теоремой Гаусса

, (25)

проинтегрируем полученное равенство (24) по объему V, занятому атомами активной среды (S - поверхность, ограничивающая объем V, через которую в среду поступает электромагнитная энергия (поток квантов), n - единичный вектор, перпендикулярный этой поверхности). В результате получим закон сохранения энергии в виде

, (26)

где член в левой части представляет собой комплексную мощность, поступающую в объем V, ( - комплексный вектор Умова-Пойнтинга) первый член справа () определяет потери мощности на движение свободных зарядов, второй член определяет уменьшение электромагнитной энергии, запасенной в вакууме, во времени (т.к. и - объемные плотности энергии электрического и магнитного полей в вакууме), а последние два члена справа характеризуют потери мощности на дипольное взаимодействие квантов электромагнитной энергии и атомов среды (член - ) и на взаимодействие этих квантов с магнитными моментами атомов (член - ). Чтобы более подробно проанализировать эти два члена вспомним, что согласно правилам электротехники полная комплексная поглощенная мощность вычисляется с помощью соотношения

, (27)

где , -мгновенные комплексные значения напряжения и тока на том участке цепи, где определяется , - величина комплексно-сопряженная с . Поэтому считая, что E₁, и Н₁ - комплексные амплитуды полей Е и H, учтя, что векторы P и M связаны с этими полями посредством соотношений

, (28)

получим, что с учетом замен , рассматриваемые два члена в случае переменных полей определяются выражениями

; (29)

, (30)

так что величины



и (31)

определяют составляющие комплексной мощности, выделяемой в единице объема среды, на дипольное взаимодействие квантов электромагнитной анергии и атомов и на взаимодействие квантов с магнитными моментами атомов.

Так как и , то активные потери этой мощности в единице объема среды () определяются соотношениями

; (32)

которые являются частным случаем выражений (31).

Вернемся вновь к рассмотрению вероятности I_ij индуцированного перехода в единицу времени.

Величину I_ij можно выразить через поперечное сечение , взаимодействия электронов с квантом , приводящего к индуцированному переходу с верхнего уровня на нижний. Действительно, пусть в рассматриваемом веществе вдоль какого-то исследуемого нами направления в единице объема движется квантов энергии со скоростью U. Тогда, если - среднее время между рассматриваемыми нами взаимодействиями каждого кванта с электронами, то длина пробега каждого кванта между взаимодействиями . Из курса физики известно, что длина пробега связана с поперечным сечением взаимодействия одного кванта с электронами, концентрация которых равна () , соотношением

(33)



поэтому изменение числа квантов за счет индуцированных переходов на единице длины пути:

(34)

Интегрируя (34), получим

, (35)

где - коэффициент усиления потока квантов средой единичного объема; ; n_i и n_j -концентрации электронов на i-м и j-м уровнях.

Из (33) следует, что вероятность взаимодействия в единицу времени одного кванта с электронами, концентрация которых (), равна:

(36)

В случае движения квантов в единице объема вещества эта вероятность рассматриваемая сразу для всех квантов будет в раз больше, т.е. в (1):

(37)

откуда следует связь I_ij и :

(38)

где с - скорость света в вакууме, n - показатель преломления среды.

Подставив выражение (38) в формулу (1) и сравнивая соотношения (32) и (1), получим

(39)

Учитывая, что объемная плотность энергии в среде и что скорость , где с - скорость света в вакууме, и - относительные магнитная и диэлектрическая проницаемости среды, и - абсолютные магнитная и диэлектрические проницаемости среды для вакуума, n - показатель преломления среды, - фазовая постоянная волны в среде, причем для парамагнетиков , получим, что ж” связана с соотношением

(40)

где - коэффициент усиления единицы объема среды, равный

Учитывая, что при дипольном взаимодействии для по аналогии получим

(41)

До сих пор величины I_ij и мы рассматривали как чисто вещественные. При переходе к комплексной поглощаемой мощности в аналогах соотношений (1) и (39):

(42)

где и величины и будут комплексными, причем из сопоставления выражений (40) и (41) с (42) и (39) следует, что компоненты и связаны с компонентами ж и посредством соотношений:

(43)

(44)

(45)

(46)

причем величины и , которые использовались ранее в формулах (11), (13), (15), (33)-(40), фактически является и

2. Комплексные магнитная и электрическая восприимчивости при взаимодействии с электромагнитным полем

Для отыскания компонентов восприимчивости необходимо более детально на основе классических представлений рассмотреть вынужденную прецессию вектора намагниченности , где - суммарный магнитный момент i-го отдельного атома.

Основой такого рассмотрения будет известный из курса физики закон изменения момента количества движения под действием внешних сил. Для отдельного i-го атома этот закон имеет вид [1]

, (47)

где - суммарный момент количества движения i-го атома, - соответствующий магнитный момент i-го атома, - индукция внешнего магнитного поля, причем в правой части формулы (47) стоит векторное произведение. Выражение (47) написано для одного атома. Суммируя (47) по всем рассматриваемым атомам и учитывая, что , ,где - результирующий момент всех атомов, а - результирующая намагниченность вещества, а также, что согласно формуле (1.33) и что поэтому и (для парамагнетиков ), получим формулу (47) после суммирования обеих ее частей по всем i атомам в виде . После умножения обеих частей этого равенства на и замены получим

, (48)

где - гиромагнитное отношение в соответствии с формулой (14).

Если разложить компоненты этого уравнения по координатным осям, пользуясь правилами для нахождения проекций векторного произведения то получим:

; (49)

; (50)

. (51)

Если рассмотреть частный случай уравнений (49)-(51), соответствующей отсутствию переменных полей, когда , и когда из выражения (51) следует, что , то решение уравнений (49)-(51) при начальных условиях t=0, можно представить в виде

(52)

В комплексной форме решение будет

(53)

откуда следует, что совершает прецессию вокруг вектора против часовой стрелки с круговой частотой , соответствующей в случае парамагнитных веществ круговой частоте парамагнитного резонанса . Такая свободная прецессия долго существовать не может. Из-за ряда причин она будет постепенно затухать и вектор будет приближаться при этом затухании к вектору а будет с течением времени уменьшаться до нуля. Это уменьшение можно учесть в формуле (53). Дифференцируя выражение (53), получим изменение вектора в единицу времени

. (54)

Если в правую часть уравнения (54) добавить член , описывающий эффект затухания или, как его часто называют, эффект поперечной релаксации, то мы учтём упомянутое уменьшение. При этом называется временем поперечной релаксации, т. к. оно определяет уменьшение поперечной составляющей вектора . Уравнение (54) в таком случае принимает вид

и имеет решение

,

показывающее, что действительно уменьшается по экспоненте при возрастании t со временем релаксации, равным . Эта релаксация в различных квантовых системах может определяться разными причинами. В парамагнитных спиновых системах она обусловлена флюктуационным взаимодействием между спинами, которое выражается в том, что на каждый спин через время, равное примерно , воздействует скачкообразные изменения в фазе прецессии соседних спинов, вызывая также скачки фазы в прецессии данного спина и даже полное прекращение прецессии с возможным последующем её возобновлением с произвольной фазой. Такое взаимодействие между спинами называется спин-спиновым взаимодействием или спин-спиновой релаксацией, а время для парамагнитных веществ называется временем спин-спиновой релаксации. В более общем случае время - среднее время фазовой стабильности колебаний каждого элемента квантовой системы (например, прецессии спина), т. е. время его фазовой памяти или время передачи энергии от частицы к частице, находящейся на том же квантовом энергетическом уровне.

В уравнениях (49)-(51) упомянутое уменьшение можно отразить, поставив в их правые части соответственно члены и , определяющие уменьшение компонентов и вектора по экспоненте с постоянной времени . При этом уравнения (49) и (50) примут вид

; . (55)

Впервые уравнения (55) были получены Блохом и называются уравнениями Блоха.

Рассмотрим случай наличия постоянного поля и перпендикулярного ему, поляризованного по кругу против часовой стрелки переменного поля

которое вращается с какой-то круговой частотой, отличной от резонансной частоты , соответствующей свободной прецессии. (Часто это поле называют полем с правым вращением плоскости поляризации). Очевидно, что при этом будет совершаться вынужденная прецессия вектора , причём, если поле , не велико, можно полагать и считать, что имеет примерно такую же величину , которая получалась в случае свободной прецессии. При этом вектор можно записать в виде

(56)

Подставив значение в уравнения (55), выразив остальные члены каждого из этих уравнений через и , перемножив их и извлекая корень квадратный из обеих частей получившегося выражения, а также учитывая при этом, что , найдём соотношение

(57)

определяющее комплексную магнитную восприимчивость по отношению к магнитному полю, поляризованному по кругу и вращающемуся в то же направлении, что и направление вращения свободной прецессии. Видно, что зависимость восприимчивости от частоты внешнего поля носит резонансный характер, причём максимум имеет место при резонансе, когда . Можно показать, что если рассматривать воздействия поля , вращающегося по часовой стрелке (в нашем случае в сторону, противоположную направлению вращения свободной прецессии, т. е. поля с левым вращением плоскости поляризации), то выражение для соответствующей восприимчивости будет иметь вид

(58)

из чего следует, что резонансное возрастание при наблюдаться в этом случае не будут, так что фактически близко к нулю и прецессия в направление противоположном направлению свободной прецессии, будет отсутствовать.

Если взять линейно поляризованное переменное поле частоты , то, разложив его на две составляющие, поляризованные по кругу и вращающиеся в противоположные стороны, можно заключить, что магнитная восприимчивость и в этом случае будет определяться формулой типа (57). Однако при этом в правой части данной формулы должен стоять множитель 0.5 в связи с тем, что амплитуда линейно поляризованного поля будет в два раза больше амплитуд составляющих его полей с круговой поляризацией:

(59)

т. е. восприимчивость в два раза больше, чем .

Рассмотрим более подробно соотношение (57) для комплексной магнитной восприимчивости. Обозначив , где - разность концентраций активных атомов на уровнях i и j; -разность проекций на поле H магнитных моментов атомов на этих, соседних, уровнях при , так что и учтя обозначения (59), нетрудно формулу (57) представить в виде

(60)

(61)

где - круговая резонансная частота линии парамагнитного резонанса, - её добротность, - её полуширина.

В формуле (60) величина является магнитной восприимчивостью по отношению к линейно поляризованному полю при нулевой расстройке, когда . Иначе соотношение для можно записать с учётом того, что и - магнитная восприимчивость по отношению к постоянному полю . При этом , а т. к. , то , т. е. магнитная восприимчивость по отношению к переменному линейно поляризованному полю СВЧ при резонансе в раз больше магнитной восприимчивости по отношению к постоянному полю .

Графически зависимости и имеет вид, показанный на рис. Из рис. 2 видно, что кривая повторяет ход функции формы линии , определяемой выражением (20).

Рис. 2

Рассмотрим частотные свойства электрической восприимчивости среды. Переход электрона в атоме на более высокий энергетический уровень под влиянием кванта света, увеличивающий энергию атома, является сложным процессом, вероятность которого зависит как от резонансной частоты квантового перехода , так и от частоты и ориентации внешнего электромагнитного поля, которым можно описать квант . (В общем случае и могут не совпадать). Оказывается, что этот процесс при учёте влияния только электрического поля волны можно исследовать на простейшей модели электронного осциллятора, т. е. некоторого диполя, полагая, что в атоме под действием электрического поля E электрон и положительно заряженная остальная часть атома расходятся на расстояние r так, что атом при этом приобретает дипольный момент d = er , а среда с концентрацией возбуждённых атомов получает макроскопическую поляризацию

(62)

Если поле E - переменное, то на электрон массой m будет действовать кроме силы eE ещё сила трения , возникающая из-за взаимодействия с соседними диполями, и упругая, возвращающая электрон обратно, сила . Сила , как обычно, пропорциональна скорости

(63)

где время является удвоенным временем релаксации колебательного процесса изменения r из-за взаимодействия с соседними диполями и называется временем диполь-дипольной релаксации. Это время является аналогом времени спин-спиновой релаксации, которое было в случае взаимодействия магнитных моментов с переменным магнитным полем. Сила обычно выражается через r посредством одного из соотношений:

(64)

причём в первом случае говорят о квадратичной нелинейности соответствующей среды, состоящей из таких атомов, а во втором случае о кубической нелинейности. Но мы учтём пока только первый член и будем в линейном приближении полагать , где k - коэффициент упругости. При этом уравнение движения электрона под действием всех сил



(65)

может быть сведено к виду

(66)

Здесь играет роль круговой резонансной частоты квантового перехода. Полагая , , учтя, что , , и подставив эти значения в уравнение (65), получим

(67)

Считая, что близка к , и , и вводя обозначения:

;, (68)

где - добротность линии квантового перехода; - относительная расстройка частоты сигнала и , получим выражение

, (69)

определяющее комплексную амплитуду поляризации атомов диэлектрической среды под действием переменного поля с амплитудой .

Рассмотрим теперь поляризацию среды под действием постоянного поля . Очевидно, что при этом из уравнения движения (65) исчезнут члены с производными, так что из равенства нулю двух сил при этом получается

(70)

, (71)

где - диэлектрическая проницаемость свободного пространства, - электрическая восприимчивость среды по отношению к постоянному полю.

Если теперь учесть нелинейность среды, то как следует из соотношений (64) и (62), упомянутое равенство будет иметь вид

, (72)

либо имеет вид

, (73)

Считая последние члены справа в (72) и (73) малыми и полагая их решения равными

(74)

где , после подстановки этого решения с учетом , в уравнения (72) и (73), получим для случая квадратичной нелинейности:



(75)

и при кубической нелинейности:

(76)

так что нелинейные электрические восприимчивости в этих двух случаях будут иметь значения:

(77)

(78)

Эти соотношения являются основой анализа устройств нелинейной оптики, который будет дан далее (в главе 10). Введем понятие о комплексной атомарной электрической восприимчивости среды по отношению к переменному полю , причем из (71)

, (79)

где - в данном случае амплитуда переменного поля .

Подставляя в (79) полученные выражения (69) и (71) для и , найдем окончательное соотношение

;

, (80)

определяющее величину . Видно, что при , когда , выполняется равенство , т.е. электрическая восприимчивость по отношению к переменному полю в раз больше, чем по отношению к постоянному. Сравнивая (80) и (60), видим, что зависимости и идут также, как и функции и , т.е. и электрическая и магнитная восприимчивости зависят от по одному закону.

При рассмотрении других типов индуцированных переходов (например, в газах, жидкостях, молекулах и пр.) добротность линии индуцированного перехода будет определяться не обязательно временем спин-спиновой релаксации или временем диполь-дипольной релаксации, а в общем случае другим временем и другими физическими явлениями, так что в этих случаях время поперечной релаксации может не являться временем спин-спиновой релаксации.

Среди явлений, приводящих к уширению линии индуцированного перехода и к уменьшению и наибольшее значение имеют следующие:

1. Доплеровское уширение. Оно объясняется эффектом Доплера, состоящим в том, что в случае движения источника электромагнитных колебаний с частотой в сторону к наблюдателю со скоростью частота колебаний, которые в виде волн воспринимает наблюдатель, будет больше частоты , так что соотношение для доплеровского сдвига частоты имеет вид

(81)

где с - скорость света. Этот сдвиг будет положительным в случае движения источника колебаний к наблюдателю и отрицательным в случае движения от наблюдателя. Так как в статистическом коллективе атомов разные излучающие атомы движутся в процессе тепловых перемещений в равные стороны, то это приводит к тому, что приходящие к наблюдатели от различных излучающих атомов электромагнитные волны имеют разные частоты, что в конечном итоге приводит к размытию линии излучения, т.е. к ее уширению. Расчеты показывают, что при излучении атомов газа, имеющих атомный вес М ( в относительных единицах по отношению к атому водорода)и максвелловское распределение по скоростям, относительное уширение линии на ее полувысоте определяется формулой

(82)

где Т - температура, К .т.е. растет с ростом температуры газа.

В газах, особенно при больших давлениях, когда возбужденные частицы испытывают много соударений в единицу времени, именно эти соударения, обычно всегда нарушающие фазу излучения возбужденной частицы, приводят к уширению линии, так что ее ширина

(83)

где - концентрация атомов газа, - их средняя скорость; - масса; - постоянная Больцмана; и - поперечное сечение по отношению к столкновениям и среднее время между ними, причем растет с ростом давления p газа:

3. Эффекты уширения, связанные с различными типами расщепления энергетических уровней в атомах и в твердых телах (эффект Штарка за счет влияния поля решетки, воздействия соседних примесных атомов, сверхтонкая структура и др.).

4. Уширение за счет неоднородности концентрации примесей в парамагнитном кристалле, когда в разных участках кристалла имеет место разное влияние соседних примесных атомов на резонансную частоту индуцированного перехода, т.е. в различных участках кристалла излучающие примесные атомы имеют различные резонансные частоты излучения, что приводит к уширению линии излучения. Аналогичные эффекты уширения будут вызываться вообще любыми неоднородностями кристалла, а также неоднородностью распределения в пространстве внешнего постоянного магнитного поля в случае парамагнитных кристаллов.

Эффект уширения, вызванный неоднородностями поля или кристалла, будет иметь неоднородный характер, когда результирующая линия является суперпозицией отдельных линий с разными центральными частотами. Доплеровское уширение имеет ту же природу. Такое уширение называется неоднородным, и форма линии при этом может отличаться от лоренцовой формы.

Нужно отметить, что в случаях неоднородного уширения, когда эффекты уширения имеют в большей степени статистическую природу, форма линии также немного отличается от лоренцовой формы, и приближается по своему виду к гауссовой кривой, которая характерна для статистических процессов и при которой где размерный коэффициент.

Кроме перечисленных типов уширения наблюдается также эффект уширения спектральной линии за счет насыщения при достаточно большой амплитуде внешнего индуцирующего поля. Это нелинейный эффект, связанный с тем, что при большой амплитуде внешнего воздействующего электромагнитного поля выравниваются населенности обоих уровней, между которыми происходят квантовые переходы, и разность количества переходов вверх и вниз уменьшается, что приводит в газовых лазерах при неоднородном уширении линии к уменьшению интенсивности спектральной линии сбоку (дырки Беннета) при или в ее центре (при , провал Лэмба), т.е. в конечном счете к дополнительному уширению линии. Этот эффект имеет совершенно особую причину и при рассмотрении ширины линии обычно не учитывается. Следует также заметить, что кроме обычных поглощательных и индуцированных переходов, когда возбужденный электрон переходит на верхний или нижний уровень, поглотив или испустив только один квант , существует также вероятность так называемых многоквантовых переходов, когда возбуждение появляется или девозбуждение индуцируется в результате поглощения или взаимодействия электрона сразу с двумя или даже тремя квантами, такими, что

.

Такие многоквантовые переходы могут появляться при очень больших мощностях внешнего сигнала и влиять на работу квантовых приборов.

В заключение рассмотрения вопроса об элеектрической и магнитной восприимчивости обсудим влияние их частотной зависимости на поведение фазовой постоянной распространения волн в соответствующей среде Так, в парамагнитной среде фазовая постоянная волны

. (84)

А в среде с дополнительной восприимчивостью , вызванной дипольным взаимодействием, результирующая электрическая индукция с учетом собственной поляризации р среды будет

;

; (85)

При этом постоянная распространения волны будет

(86)

и т.к. , то окончательно имеем:

; , (87)

причём в соответствии с формулой (41) .

Эффективный показатель преломления

. (88)

а в случае парамагнитных кристаллов из (1:84) следует:

. (89)

Видно, что и изменяются с изменением частоты вблизи резонанса по закону изменения и согласно соотношениям (57) и (80) (см. рис. 1.2). Общий ход изменения ; в диэлектриках показан на рис. 3, где область 1 соответствует межслойной поляризации; 2 - ориентационной поляризации; 3 - атомной поляризации; 4 -электронной поляризации; 5- область длин волн вплоть до диапазона, близкого к видимому свету; 6 - область световых длин волн.

Рис. 3

3. Соотношения Эйнштейна между вероятностями поглощения и излучения. Параметры спонтанных квантовых переходов

Основным параметром спонтанного перехода, является среднее время жизни электрона, атома, или молекулы в возбужденном состоянии .

В отличие от индуцированных переходов, вероятность которых пропорциональна плотности энергии внешнего поля, и которые дают кванты по частоте, по энергии, фазе, поляризации и направлению распространения не отличимые от квантов, вызывающих переход, спонтанные переходы никак не связаны с внешним полем *и подобны по своей природе радиоактивному распаду неустойчивых ядер.

Найдем связь вероятностей и и вероятности , определяемую закономерностями Эйнштейна.

Докажем эти закономерности Эйнштейна, используя закон излучения Планка, согласно которому спектральная плотность энергии в среде вблизи абсолютно черного тела, т.е. количество энергии в единице объема среды в единичной диапазоне частот при равновесном излучении абсолютно черного тела равна



, (90)

где - показатель преломления среды, с ~ скорость света в свободном, пространстве, - скорость света в среде, - постоянная Больцмана, Т - температура среды, К. (Размерность b() - ). Получим теперь эту формулу, рассматривая процессы излучения и поглощения квантов в замкнутом единичном объеме заполненном атомами, электроны которых обладают двумя энергетическими уровнями. Пусть число атомов, у которых электроны в нормальном состоянии на уровне , будет в единице объема среды, а число атомов, у которых электроны возбуждены на уровне будет в единице объема среды. В замкнутом объеме должно соблюдаться условие равновесия между числом поглощенных в единицу времени квантов и числом излученных за то же время квантов, т.е. условие равенства поглощенной и излученной энергии. Изобразим акты излучения и поглощения квантов на энергетической диаграмме, причем индуцированные переходы будем рисовать сплошными стрелками, а спонтанный переход волнистой стрелкой (рис.4).

Рис. 4

Пусть в этом ансамбле квантов спектральная плотность энергии будет и пусть вероятность у электрона из числа перейти под действием единичной такой спектральной плотности энергии квантов (т.е. перейти индуцировано) в единицу времени с уровня на уровень будет i₁₂, а аналогичная вероятность индуцированного перехода электрона из числа с уровня на уровень будет , причем вероятность спонтанного перехода в единицу времени с уровня на уровень будет , а размерность и - . Тогда необходимое для стационарности процесса условие равенства числа излученных и числа поглощенных квантов, лежащих в единичной диапазоне частот, в единицу времени в рассматриваемом замкнутом единичном объеме будет иметь вид

, (91)

где член слева показывает число поглощенных квантов иэ-за переходов вверх, а члены справа дают число излученных квантов из-за переходов электронов вниз. Из (91) следует

. (92)

Найдем величину . По закону Больцмана число частиц в статистическом коллективе с энергией, равной , определяется соотношением

, (93)

где - концентрация частиц с энергией, равной нулю. Точно так же число частиц с энергией, равной будет , так что



. (94)

Тогда

. (95)

Сравнивая это выражение с известным законом излучения Планка (90), видим, что они совпадают при выполнении условий:

, , (96)

что и подтверждает упомянутую закономерность Эйнштейна, причем оказывается, что для вероятности спонтанных переходов выполняется закономерность .

До сих пор полагали, что уровни энергии и не вырождены. Если же кратность вырождения уровня равна , а уровня - , то в соотношении (94) справа появится множитель и такой же множитель появится слева в первом соотношении (96). (Однако, с целью более упрощенного рассмотрения, мы в дальнейшем ограничимся лишь невырожденными уровнями). Заметим, что вероятности , и в литературе называют коэффициентами Эйнштейна. Однако = - вероятности перехода под действием единичной плотности энергии квантов, лежащих в заданном единичном интервале частот , расположенном вблизи частоты . Если кванты одинаковы, то плотность энергии, содержащейся у одинаковых квантов с энергией , заключенных, в единичном объеме, равна. Но т.к. согласно (13) и (15) вероятности индуцированных переходов пропорциональны функции формы линии , то полная вероятность перехода в единицу времени под действием этих квантов равна

(97)

т.е. равенство можно переписать в том виде , которым мы и. пользовались ранее. Следует заметить, что, если в выражении (97) положить , т.е. предположить, что индуцированные переходы вниз вообще невозможны, то из (91) нельзя получить закон излучения Планка (95), что и доказывает теоретически необходимость реализации актов того индуцированного излучения вниз, которое таким способом впервые было предсказано Эйнштейном.

Из (96),(97) и (13),(15) следует, что величина , т.е. пропорциональна множителю в матричном элементе вероятности индуцированного перехода. Поэтому для переходов, которые не удовлетворяют правилам отбора и для которых , вероятность спонтанного перехода также равна нулю ().

Величиной (или ) определяется так называемая естественная или наименьшая ширина линии спонтанного излучения (), которая связана с добротностью естественной линии , причем

, (98)

откуда с учетом (96) следует

, (99)



поэтому в области СВЧ-диапазона естественные добротности линий значительно выше, чем в области оптического диапазона.

Помимо обычных спонтанных переходов, когда в результате перехода возбужденного электрона на нижний уровень система теряет квант энергии возбуждения , существует вероятность так называемой перекрестной релаксации или кроссрелаксации, когда в результате квантовых переходов суммарная энергия системы не изменится. Простейшим примером кроссрелаксации является случай, когда в одном атоме двухуровневой системы электрон прошел на верхний уровень, а в соседнем атоме на нижний, так что суммарная энергия обоих электронов и всей системы не изменилась и не изменилась разультирующая населенность уровней. Однако в других многоуровневых системах в результате кроссрелаксации распределение населенностей уровней существенно изменится, хотя общая энергия системы остается неизменной.

Процессы кроссрелаксации носят спонтанный характер и в ряде случаев играют существенную роль в работе квантовых приборов, хотя в дальнейшем при теоретических расчетах мы не будем учитывать их влияние.

Из формулы (95) следует, что , т.е. с уменьшением частоты вероятность естественных спонтанных квантовых переходов резко уменьшается, а время жизни атомной системы в возбужденном состоянии существенно возрастает. В связи с этим у атома возрастает вероятность потерять возбуждение за счет каких-то дополнительных процессов, связанных с взаимодействием с окружающей квант средой и не сопровождающихся излучением кванта электромагнитной энергии. Хотя такие процессы и не являются спонтанными, т.е. самопроизвольными, ибо они происходят под влиянием внешнего воздействия ,их все же называют безызлучательными спонтанными переходами, в основном потому,что истинный характер вызывающих их внешних воздействий обычно бывает не очень точно известен. Так, например, у возбужденных атомов газа возбуждение может сниматься при столкновении с другим атомом или за счет передачи ему энергии возбуждения, идущей на акт возбуждения этого внешнего атома, или за счет перехода энергии возбуждения в кинетическую энергию внешнего атома (так называемый удар второго рода) и др. Если при этом такие девозбуждающие столкновения осуществляются в среднем через время , причем , то время и будет в соответствии с формулой (98) определять ширину и добротность линии безызлучательного перехода. Часто при проектировании газовых лазеров бывает необходимо уменьшить какого-то уровня энергии («очистить» его от занимающих его частиц). С этой целью в газовую смесь специально добавляют примеси, способные при столкновении с атомами данного газа забрать у него возбуждение соответствующего уровня.

В парамагнитных кристаллах такие акта безызлучательного девозбуждения осуществляются за счет передачи энергии возбуждения колебаниям решетки кристалла, т.е. за счет так называемого спинрешеточного взаимодействия, так что в парамагнитных кристаллах время безызлучательных переходов фактически определяется величиной временем спинрешеточной релаксации, причем, . Поэтому в дальнейшем при рассмотрении парамагнитных кристаллов мы будем величиной обозначать время спинрешеточной релаксации, которое фактически и определяет среднее время жизни парамагнитного атома в возбужденном состоянии по отношению к его спонтанному девозбуждению.

Процессы спинрешеточной релаксации по своей сути представляют собой явления генерации колебаний решетки, энергия которых всегда бывает квантована, причем кванты этой, энергии называются фононами. Таким образом, при спинрешеточной релаксации вместо фотонов излучаются фононы, причем эти акты излучения могут носить многофононный характер, т.е. сопровождаться излучением сразу нескольких фононов. Естественно при этом поставить вопрос о том, существуют ли квантовые переходы, индуцированные фононами. Исследования показывают, что такие переходы возможны, причем за их счет можно создать усиление или генерирование колебаний решетки, в частности, усиление или генерирование ультразвука. Опытные образцы таких акустических мазеров, генерирующих акустические колебания, впервые были построены еще в 1961 г., а в наши дни эти исследования оформились в новое направление науки - квантовую акустику.

Очевидно, что все описанные дополнительные процессы девозбуждения (процессы кроссрелаксации, девозбуждающие столкновения в газах, спинрешеточная релаксация и др.) уменьшают время возбуждения и увеличивают результирующую вероятность девозбуждения , т.к. она складывается из вероятностей девозбуждения за счет каждого из указанных процессов. Пусть число этих процессов равно к. Тогда но так что

(100)

Таким образом, все дополнительные процессы девозбуждения приводят к уменьшению результирующей добротности линии спонтанного излучения, т.е. к уширению этой линии.

Следует заметить, что первые четыре причины уширения, линии, которые были упомянуты в (разделе 2) при рассмотрении индуцированных переходов (доплеровское уширение; столкновения, нарушающие фазу излучения; эффекты сверхтонкого расщепления, уширение за счет неоднородностей кристалла или внешнего поля), будут также давать уширение линии спонтанного излучения. При этом, очевидно, что наиболее узкая линия - линия естественной ширины.

При рассмотрении индуцированных переходов мы считали, что в соответствии с формулами (61) ширина линии индуцированного перехода полностью определяется временем поперечной релаксации , которое для парамагнитных кристаллов совпадает со временем спинспиновой релаксации. При атом рассмотренные ранее эффекты уширения линий фактически приводили к уменьшению времени .

В действительности время определяет ширину линии индуцированного излучения лишь в том частном случае, который обычно на практике в диапазоне СВЧ почти всегда выполняется, когда . В парамагнитных кристаллах этот случай имеет место из-за того, что время спин-спиновой релаксации намного меньше . Действительно, на СВЧ, т.к. из (99) следует, что . Если же, наоборот, (например, в молекулярных генераторах СВЧ или в лазерах), то ширина линий и спонтанного и индуцированного излучений будет определяться величиной с учетом всех эффектов уменьшения за счет перечисленных процессов уширения.

Таким образом, минимальная ширина линии всегда определяется, естественной шириной линии спонтанного излучения. Опыт показывает, что практические величины результирующих добротностей спектральных линий, которые определяются формулами типа (100), лежат в пределах , причем, как правило, в газовых средах, особенно при малых давлениях газа, а также при низких температурах, добротности выше, чем в твердых и жидких при повышенной температуре.

В заключение раздела приведем основные, формулы, определяющие параметры взаимодействия квантовых систем с электромагнитным полем.

Выражения, определяющие активные потери мощности в единице объема среды (формулы (31), (32), (39)).

(101)

(102)

Те же выражения на основе (31), (42), (43) для комплексной мощности

(103)

Связь коэффициентов Эйнштейна , и коэффициентов в матричных элементах вероятности перехода (на основе (96), (97), (12), (15)); для дипольного взаимодействия:

(104)

(105)

для парамагнитных кристаллов:

(106)

(107)



Связь комплексных параметров: (на основе (38), (40)ч(43), (60), (57), (80), (71))

(108)

Для дипольного взаимодействия:

(109)

(110)

Для парамагнитных кристаллов:

(111)

(112)

Коэффициент усиления среды (формулы (35), (40), (41));

, (113)

а для парамагнитных кристаллов:

. (114)

Значения основных констант, входящих в эти формулы, следующие:

;

;

;

;

;

постоянная Больцмана.

Размещено на Allbest.ru