Нелінійні хвилі та імпульси у оптичних волокнах і резонаторах

Размещено на http://www.allbest.ru

ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені В. Н. Каразіна

Дзедолік Ігор Вікторович

УДК 530.14

НЕЛІНІЙНІ ХВИЛІ ТА ІМПУЛЬСИ

У ОПТИЧНИХ ВОЛОКНАХ І РЕЗОНАТОРАХ

01.04.05 - оптика, лазерна фізика

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Харків - 2009

Дисертація є рукописом.

Робота виконана в Таврійському національному університеті імені В.І.Вернадського Міністерства освіти і науки України.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

Обуховський В'ячеслав Володимирович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри математики і теоретичної радіофізики

доктор фізико-математичних наук, професор

Шульга Сергій Миколайович,

Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, декан радіофізичного факультету

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Яновський Володимир Володимирович,

Інститут монокристалів НАН України, завідувач відділу теорії конденсованого стану речовин

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н.Каразіна за адресою:

пл. Свободи, 4, ХНУ, Харків, 61077

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В.П. Пойда

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Нелінійні електромагнітні хвилі та імпульси, світлі і темні солітони в оптично прозорому середовищі та в оптичних волокнах почали досліджувати з 60-х років 20 століття після винаходу потужних твердотільних і газових лазерів. Їх продовжують активно досліджувати і сьогодні. З 80-х років 20 століття солітонні імпульси почали використовувати в експериментальних волоконно-оптичних лініях зв'язку, а на початку 21 століття - і у комерційних лініях зв'язку і передачі інформації [1]. Нелінійні хвилі та імпульси застосовуються також в оптичних елементах, зокрема тих, що на основі фотонних кристалів. Лінійні і нелінійні хвилі та імпульси можуть переносити оптичні вихори [2]. Оптичний вихор у вільному просторі захоплює діелектричні макрочастинки і може їх переміщувати, тому оптичні вихори високої інтенсивності використовуються для сепарації діелектричних частинок і управління частинками в нанотехнологіях. Формою оптичного вихору і його положенням в просторі можна відносно просто управляти, змінюючи умови його збудження або діелектричну проникність середовища. Оптичні вихори застосовуються в системах передачі інформації та обробки оптичних сигналів. На основі оптичних вихорів у безперервних пучках та імпульсах проектуються і створюються нові оптичні елементи і повністю оптичні процесори. хвиля імпульс оптичний волокно вихор

Тому перед дослідниками, що працюють в області оптичних ліній зв'язку і передачі інформації, а також оптичної обробки інформаційних потоків, виникає необхідність повного опису фізичних механізмів розповсюдження нелінійних хвиль та імпульсів в діелектричному середовищі, в оптичних волокнах і резонаторах. Це дозволило б адекватніше пояснити відомі нелінійні ефекти і передбачити нові, на основі яких можна проектувати сучасні високошвидкісні оптичні лінії і процесори, нові пристрої для нанотехнологій, нові оптичні елементи і датчики фізичних величин.

Таким чином, в нелінійній оптиці існує необхідність в адекватному теоретичному описі та експериментальному дослідженні фізичних механізмів розповсюдження і взаємодії лінійних і нелінійних імпульсів, що переносять оптичні вихори, і динаміки нелінійних хвиль в оптичних волокнах і резонаторах.

Теоретичні методи, які, застосовуються для дослідження електромагнітних хвиль та імпульсів, у тому числі і тих, що переносять оптичні вихори, - це вирішення рівнянь Максвела в діелектричному середовищі і в оптичних волокнах, вирішення квазі-гідродинамічних рівнянь, вирішення нелінійних хвильових рівнянь в середовищі.

Одним з найбільш ефективних методів теоретичного дослідження хвиль та імпульсів в діелектричному середовищі є метод квазічастинок [3], при якому електромагнітні хвилі та імпульси розглядають як потік або згусток квазічастинок, - поляритонів. Квантовопольова теорія в конденсованому середовищі побудована на основі уявлення про виникнення в ній макроскопічних об'єктів - квазічастинок - в результаті взаємодії мікроскопічних частинок. Концепція елементарних збуджень полів - квазічастинок в конденсованому середовищі - дає можливість розділити систему «електромагнітне поле - атоми середовища» на декілька підсистем, що взаємодіють між собою. При такому підході конденсоване середовище є «простором» для різноманітних елементарних збуджень з властивостями частинок. У загальному випадку цей «простір» має не нульову кривизну. Квазічастинки в такому просторі є «матерією». Цей підхід дозволяє досліджувати квазічастинки як макроскопічні об'єкти з певним набором параметрів - енергією, імпульсом, масою, кутовим моментом. Теоретичний аналіз на основі концепції квазічастинок, використаний в дисертаційній роботі, дає можливість виявити найбільш характерні властивості макроскопічного оптичного об'єкту - нелінійної хвилі або імпульсу і проаналізувати його динаміку в діелектричному середовищі, оптичному волокні або резонаторі, що спостерігається експериментально. При такому підході легко розрахувати параметри і провести аналогії з фізичними властивостями об'єктів, що вивчаються в інших розділах фізики, пояснити низку оптичних лінійних і нелінійних явищ, спостережуваних експериментально.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалася на кафедрі загальної фізики Таврійського національного університету імені В. І. Вернадського і відповідає основному науковому напрямку кафедри «Розповсюдження випромінювання в оптично прозорих середовищах і оптичних волокнах». Тематика роботи пов'язана з пріоритетними напрямками розвитку науки і техніки в рамках координаційних планів науково-дослідних робіт Міністерства освіти і науки України (п. 7 - «Перспективні інформаційні технології, прилади комплексної автоматизації систем зв'язку»). Матеріали дисертації є складовими частинами держбюджетних НДР, виконаних на кафедрі загальної фізики: «Дослідження розповсюдження світла крізь волоконні світловоди» (номер держреєстрації 0198U005791, виконавець, 1996-2000 р.), «Дослідження поляризаційно-фазового перетворення світлового когерентного випромінювання у волоконно-оптичних направляючих системах» (номер держреєстрації 0197U000424, відповідальний виконавець, 1997-1999 р.), «Народження, знищення та еволюція оптичних вихорів у маломодовому волокні та біля його торців» (номер держреєстрації 0101U005078, виконавець, 2001-2005 р.), «Процеси народження, знищення та еволюції оптичних вихорів у неоднорідних анізотропних середовищах» (номер держреєстрації 0103U001227, виконавець, 2006-2010 р.).

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи було вирішення проблеми, що полягає в теоретичному описі та експериментальному вивченні фізичних закономірностей динаміки лінійних і нелінійних хвиль та імпульсів, зокрема, що переносять оптичні вихори, в аморфному діелектричному середовищі, в оптичних волокнах і резонаторах.

Для досягнення поставленої мети необхідно було вирішити такі задачі:

1. Теоретично дослідити і описати фізичний механізм розповсюдження лінійних і нелінійних імпульсів з чирпом частоти і без нього, зокрема, що переносять оптичні вихори, в аморфному діелектричному середовищі, в оптичних волокнах з різними профілями показника заломлення і в діелектричних резонаторах.

2. Експериментально дослідити стійкість імпульсів, що переносять оптичні вихори в оптичному волокні.

3. Теоретично описати і експериментально дослідити параметри лінійних і нелінійних хвиль, що розповсюджуються в оптичних волокнах.

4. Дослідити і теоретично описати фізичний механізм взаємодії нелінійних хвиль і вихорів, що виникають в поляритонному квазі-конденсаті в оптичному діелектричному резонаторі.

5. Дослідити і теоретично описати взаємодію нелінійних хвиль в одномірному діелектричному резонаторі - діелектричній плівці з торцями, що відбивають, і фізично обґрунтувати принцип роботи та особливості конструкції повністю оптичних логічних елементів.

6. Для обґрунтування фізичних принципів роботи керованих фотонних кристалів дослідити і теоретично описати фізичний механізм взаємодії нелінійних хвиль в керованих одно- і двомірних фотонних кристалах на базі діелектричної плівки і прямокутної діелектричної призми.

Об'єкт досліджень - фізичні процеси розповсюдження і взаємодії оптичних лінійних і нелінійних хвиль і імпульсів у аморфних діелектричних середовищах, оптичних волокнах і резонаторах.

Предмет досліджень - лінійні та нелінійні фізичні механізми розповсюдження хвиль і імпульсів у аморфних діелектричних середовищах, оптичних волокнах і резонаторах на основі розгляду хвиль і імпульсів як потоку або згустку поляритонів для пояснення оптичних ефектів, які спостерігаються експериментально, а також для розробки нових оптичних елементів.

Методи досліджень - відомі методи нелінійної оптики і теоретичної фізики: метод поволі змінних в просторі і в часі амплітуд для дослідження динаміки імпульсу в лінійному і нелінійному діелектричному середовищі, метод усереднювання за високочастотними коливаннями, квазі-гідродинамічний метод моментів функції розподілу для потоку поляритонів, метод вторинного квантування електромагнітного поля в діелектричному середовищі, метод u-v перетворення Боголюбова для одержання спектру поляритонів, метод Гросса-Пітаєвського для одержання нелінійних рівнянь для хвильової функції квазі-конденсату поляритонів, чисельний метод Рунге-Кута для вирішення систем нелінійних диференціальних рівнянь, експериментальні інтерферометричні методи для спостереження ефектів розповсюдження імпульсних вихорів в оптичному волокні та у вільному просторі.

Наукова новизна одержаних результатів полягає в поясненні таких фізичних механізмів:

1. Вперше теоретично описано і експериментально показано, що імпульс з вузьким спектром може переносити сингулярність поля в оптичному волокні - оптичний вихор з віссю уздовж напрямку розповсюдження імпульсу.

2. Вперше показано, що гаусів імпульс з чирпом частоти в оптичному волокні при фокусуванні за тривалістю в залежності від співвідношення параметрів початкового імпульсу і волокна може трансформуватися в світлий солітон або імпульс, що переносить темний солітон. Вперше показано, що у діелектричному середовищі формуються спіральні хвилі у разі проходження через середовище потужної електромагнітної хвилі. Знайдено вирази для нелінійних спіральних хвиль в оптичному волокні. Показано, що хвильові поверхні нелінійних хвиль у волокні є гелікоїдами, які обертаються навколо своєї осі. У оптичному волокні з кубічною нелінійністю число мод зростає, а спектр їх постійних розповсюдження змінюється при збільшенні інтенсивності поля.

3. Вперше показано, що при збільшенні інтенсивності поляритонної хвилі в оптичному волокні відбувається трансформація лінійної гармонійної хвилі в нелінійну кноідальну хвилю, період хвилі збільшується. При подальшому збільшенні інтенсивності у волокні виникає темний солітон в залежності від співвідношення параметрів хвилі і волокна. Вектор Пойнтинга нелінійної хвилі у волокні прецесує навколо точок сингулярності, напрямок прецесії визначається знаком топологічного заряду електромагнітного вихору.

4. Вперше теоретично описано і експериментально показано, що енергія потоку поляритонів в оптичному волокні залежить від поляризації моди: енергія вищих циркулярно поляризованих мод є більшою за енергію лінійно поляризованих мод за одних і тих же умов.

5. Одержав подальший розвиток метод представлення електромагнітного імпульсу як згустку квазічастинок - поляритонів, який розповсюджуються в діелектричному середовищі і в оптичному волокні, що дає можливість проаналізувати динаміку імпульсу, порівнюючи її з динамікою частинки в електромагнітному полі. Вдосконалено аналіз причин виникнення в неоднорідному середовищі фазових добавок, що залежать від поперечного розподілу поля, які приводять до розщеплення імпульсу.

6. Одержав подальший розвиток метод дослідження нелінійного електромагнітного поля в оптичному волокні на основі гамільтонового підходу. Показано, що ефективний потенціал поля системи «електромагнітне поле - середовище» утворює «вакуумні» (основні) стани, які не лежать на осі симетрії потенціалу. При такому профілі потенціалу має місце «спонтанне порушення симетрії» системи «електромагнітне поле - середовище». При спонтанному порушенні симетрії в середовищі можуть формуватися тримірні польові об'єкти з нульовим значенням поля в центрі. Поляритони в системі «електромагнітне поле - середовище» набувають ефективної «маси».

7. Одержав подальший розвиток метод дослідження електромагнітного імпульсу в оптично прозорому середовищі як згустку поляритонів. Одержані гідродинамічні рівняння для нульового і першого моментів функції розподілу Вігнера, що описують дрібномасштабні осциляції згустку поляритонів - імпульсу, і неоднорідність стаціонарного потоку поляритонів - хвилі в діелектричному середовищі. Показано, що дрібномасштабні осциляції в нелінійному середовищі мають менший період в порівнянні з осциляціями в лінійному середовищі через взаємодію поляритонів.

8. Одержав подальший розвиток метод дослідження діелектричного резонатора Фабрі-Перо, за допомогою якого стани поляритонів можна трактувати як основні і збуджені стани поляритонного квазі-конденсату. Описані квантові вихори з різними топологічними зарядами в поляритонному квазі-конденсаті.

Практичне значення одержаних результатів полягає в тому, що на основі методу квазічастинок обґрунтовано і теоретично описано низку оптичних ефектів, спостережуваних експериментально. З використанням цього методу розроблено оптичні схеми і запропоновано нові оптичні прилади і елементи: вихрові імпульсні оптичні інтерферометри, оптичні логічні елементи, які захищені патентами України; оптичні фільтри на базі керованих фотонних кристалів, які можуть бути реалізовані та впроваджені у виробництво для удосконалення волоконно-оптичних мереж передачі інформації і оптичних процесорів.

1. Вперше експериментально показано, що інтерференція вихрових імпульсів може бути використана для побудови імпульсного вихрового інтерферометра з більшою чутливістю і стійкістю до низькочастотних коливань, ніж відомі інтерферометри.

2. Вперше обґрунтовано фізичний принцип роботи та особливості конструкції повністю оптичних логічних елементів на базі діелектричної плівки і керованих фотонних кристалів на базі діелектричної плівки та прямокутної призми.

Одержані наукові та практичні результати можуть бути використані для подальшого розвитку теоретичних уявлень при описі динаміки нелінійних хвиль та імпульсів в діелектричному середовищі, оптичних волокнах і резонаторах, в логічних оптичних елементах і фотонних кристалах.

Методи опису фізичних механізмів розповсюдження нелінійних хвиль і імпульсів в діелектричному середовищі, оптичних волокнах і резонаторах, які запропоновані в дисертації, використовуються при читанні курсів за напрямком спеціалізації «Квантова електроніка», а також при виконанні студентами фізичного факультету Таврійського національного університету імені В.І. Вернадського курсових і дипломних робіт.

Особистий внесок здобувача. Фізичні ідеї, оригінальні методи теоретичних і експериментальних досліджень, висновки, наукові положення, які виносяться на захист, належать здобувачу. У опублікованих наукових працях особистий внесок автора полягає в постановці завдань, виборі методів дослідження, одержанні вирішень рівнянь, що описують теоретичні моделі, одержанні експериментальних результатів і їх аналізі. Основні наукові і практичні результати дисертації одержані і опубліковані здобувачем самостійно [1,6-14,16-18,20,21,23-25,29,32-37]. У наукові праці, в яких викладені основні результати дисертації, внесок здобувача є основним. Він полягає у такому:

- для статті [2] в побудові теоретичної моделі динаміки імпульсу з початковим чирпом частоти в оптичному волокні, проведенні чисельних розрахунків, аналізі одержаних теоретичних результатів, написанні статті;

- для статті [3] в постановці задачі про поведінку оптичного імпульсу з початковим чирпом частоти при переході з лінійного в нелінійний режим розповсюдження, побудові теоретичної моделі виникнення світлого або темного солітона з гаусова імпульсу, аналізі одержаних теоретичних і чисельних результатів, написанні статті;

- для статей [4,5] в постановці задач про нелінійні моди оптичного волокна, генерацію спіральних нелінійних хвиль в оптичному волокні, побудові теоретичних моделей, аналізі одержані теоретичних і чисельних результатів, написанні статей;

- для статті [15] в постановці задачі про нелінійні просторові хвилі в тонкій плівці, побудові теоретичних моделей повністю оптичних логічних елементів на основі тонкої плівки, аналізі одержаних теоретичних і чисельних результатів, написанні статті;

- для патенту [19] в постановці задачі про використання інтерференції імпульсів у волоконно-оптичному інтерферометрі для відстроєння від низькочастотних коливань волокна, проведенні експерименту, аналізі одержані експериментальних результатів, написанні заявки на винахід;

- для статті [22] в побудові теоретичної моделі оптичних імпульсів в середовищі з аномальною дисперсією, проведенні чисельних розрахунків, аналізі одержаних теоретичних результатів, написанні статті;

- для статті [26] в постановці задачі, побудові теоретичної моделі вихрових солітонів в параболічному оптичному волокні, проведенні чисельних розрахунків, аналізі одержаних теоретичних результатів, написанні статті;

- для статей [27,28] в постановці задач і проведенні експериментальних досліджень інтерференції імпульсних вихорів, аналізі одержаних експериментальних результатів, написанні статей;

- для праць [30,31] в побудові теоретичної моделі оптичних вихрових імпульсів в лінійному і нелінійному середовищі з поперечною неоднорідністю, проведенні чисельних розрахунків, аналізі одержаних теоретичних результатів, написанні статей.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи були оприлюднені і обговорені на таких наукових конференціях та симозіумах: на Міжнародній конференції “The Forth International Conference on Correlation Optics” CorrOpt'99 (Чернівці, 1999), на Міжнародній конференції “2nd International Conference Singular Optics (Optical Vortices): Fundamental and Applications” SO'2000 (Алушта, 2000), на Міжнародній конференції “The Fifth International Conference on Correlation Optics” CorrOpt'2001 (Чернівці, 2001), на Міжнародній конференції “The Fourth International Workshop on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling” LFNM'2002 (Харків, 2002), на Міжнародній конференції “9th International Conference Nonlinear Optics of Liquid and Photorefractive Crystals” NOLPC'2002 (Алушта, 2002), на Міжнародній конференції “2nd International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers” CAOL'2005 (Ялта, 2005), на Міжнародній конференції “8th International Conference on Laser and Fiber-Optical Networks Modeling” LFNM'2006 (Харків, 2006), на Міжнародній конференції “Third International Workshop on Relaxed, Nonlinear and Acoustic Optical Processes; Materials - Growth and Optical Properties” RNAOPM'2006 (Луцьк, 2006), на Міжнародному симпозіумі “International Workshop on Optoelectronic Physics and Technology” (Харків, 2007), на Міжнародній конференції “Correlation Optics CorrOpt'2007” (Чернівці, 2007), на Міжнародній конференції “International Conference of Functional Materials ICFM-2007” (Крим, Партеніт, 2007), на Міжнародній конференції “4nd International Conference Singular Optics (Optical Vortices): Fundamental and Applications” SO'2008 (Алушта, 2008), на Міжнародній конференції “4nd International Conference on Advanced Optoelectronics and Lasers” CAOL'2008 (Алушта, 2008).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано: у 1 монографії, в 17 статтях в українських і зарубіжних спеціалізованих журналах, захищені 3 патентами України, в 8 статтях в зарубіжних наукових збірниках, в 8 збірниках тез доповідей і збірниках праць міжнародних наукових конференцій та семінарів.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається з вступу, 5 розділів, висновків, списку праць, опублікованих за темою дисертації, який включає 272 найменування робіт українських і зарубіжних авторів. Загальний об'єм дисертації складає 294 сторінки, зокрема 263 сторінки основного тексту, 59 рисунків і 1 таблиця, включених в текст.

ОСНОВНА ЧАСТИНА

У Вступі обґрунтована актуальність теми дисертації, сформульована мета і задачі роботи, наукова новизна, практичне значення одержаних результатів, наведена інформація про публікації за темою дисертації, про особистий внесок здобувача, про апробацію результатів роботи.

Розділ 1 «Квазічастинки в оптично прозорому середовищі. Огляд літератури» представляє огляд сучасних уявлень про генерацію, динаміку, взаємодію і властивості квазічастинок в оптично прозорому середовищі - поляритонів при розповсюдженні оптичного випромінювання в діелектричному середовищі і в оптичних волокнах. Огляд літератури з даної тематики включає наукові праці починаючи з 60-х років 20 століття і праці, що публікуються в даний час. У розділі розглянуто сучасні методи опису лінійних і нелінійних явищ при розповсюдженні електромагнітних хвиль і імпульсів в оптично прозорому середовищі, формування і динаміка світлих і темних солітонів в середовищі та у волокні, методи генерації і динаміка оптичних вихорів, зокрема, імпульсних вихорів, використання оптичних імпульсів в системах зв'язку і передачі інформації, датчиках фізичних величин, оптичних елементах - логічних елементах і фільтрах. Відзначено, що найбільш актуальним в даній області є зменшення тривалості імпульсів в лініях зв'язку з метою збільшення об'ємів інформації, що передається, удосконалення тих, що існують, і конструювання нових імпульсних оптичних елементів на основі використання нелінійних властивостей середовища.

Проведений огляд літератури дає підставу зробити висновок про те, що в даний час в оптиці активно розвивається новий науковий напрямок, пов'язаний з дослідженнями динаміки оптичних імпульсів, зокрема тими, що переносять вихори. Велика увага приділяється застосуванню нелінійних оптичних імпульсів у волоконно-оптичних лініях зв'язку і передачі інформації, в нелінійних оптичних елементах. Запропоновано низку теоретичних моделей і методів їх аналізу як з класичної, так і з квантової точок зору. Проте ці теоретичні моделі не повністю описують всі фізичні властивості і спостережувані експериментально оптичні явища в діелектричних середовищах, оптичних волокнах і резонаторах. Тому актуальним завданням в оптиці є подальша розробка методу квазічастинок - поляритонів в оптично прозорому середовищі, що дозволяє адекватно і продуктивно аналізувати процеси розповсюдження лінійних і нелінійних хвиль і імпульсів в діелектричному середовищі, оптичних волокнах і резонаторах. Підхід на основі теоретичної моделі поляритонного квазі-конденсату дає можливість пояснити відомі оптичні ефекти в середовищі і передбачати нові. Крім цього, такий підхід дозволить розробляти нові нелінійні оптичні елементи.

У Розділі 2 «Імпульси і нелінійні хвилі в оптичних волокнах» розглянуто методи збудження сигналу на вході в лінію у вигляді хвильових пакетів, що розпадаються при розповсюдженні на солітони, управління динамікою солітонів за допомогою модуляції частоти, формування темних солітонів на тлі поля мод оптичного волокна. Показано, що одним з найбільш перспективних для волоконно-оптичних ліній зв'язку і датчиків фізичних величин є метод генерації та управління вихровими солітонами в оптичному волокні. Процеси в оптичному волокні досліджено за допомогою побудови нелінійних векторних польових моделей, здійснено порівняння одержаних теоретичних результатів з експериментальними.

У підрозділі 2.1. «Електромагнітний імпульс в оптичному волокні» розглянуто розповсюдження імпульсу в діелектричному середовищі з осьовою симетрією. У неоднорідному середовищі вектор електричного поля представлений у факторизованій формі, векторна функція характеризує поперечний розподіл електромагнітного поля, а функція Z(t,z) - подовжній розподіл всіх компонент поля. Через неоднорідність середовища рівняння для компонент поля зв'язані, тобто завдання пошуку функцій і Z є самоузгодженим. Для функції подовжнього розподілу поля одержано рівняння та для поперечних компонент електричного поля одержана система рівнянь в циркулярному базисі.

Динаміка імпульсу, як макрочастки в полі з потенціалом, аналогічна поведінці нейтральної масивної частинки із спіном в магнітному полі. «Спін-орбітальна взаємодія» компонент поля гармоніки в «зовнішньому електричному радіальному полі» виявляється в «розщеплюванні рівнів енергії квазічастинки ».

Нормована енергія імпульсу в однорідному осесиметричному діелектричному середовищі чотирикратно вироджена, що в класичній інтерпретації відповідає виродженню постійної розповсюдження. У поперечному неоднорідному середовищі в результаті збурення електромагнітного поля імпульсу виродженість енергії знімається повністю або частково залежно від співвідношення параметрів середовища, що характеризують поперечну неоднорідність, причому подовжня складова електричного поля також змінюється. Збурені поперечні функції набувають різні добавки, тобто згусток поляритонів, що створюють імпульс, розщеплюється в поперечному неоднорідному середовищі на чотири поляритонних згустки, що рухаються з різними швидкостями.

У підрозділі 2.2. «Динаміка імпульсів у волокні» розглянуто розповсюдження по оптичному волокну прямокутних і гаусових імпульсів без початкового чирпу частоти і з чирпом. Прямокутні імпульси без початкового і з початковим чирпом частоти при розповсюдженні в діелектричному середовищі або у волокні відносно швидко розширюються. Для гаусового імпульсу з чирпом частоти має місце компресія - «фокусування в часі» з подальшим розширенням.

Досліджена динаміка чирпованих за частотою імпульсів, суперпозиція двох когерентних імпульсів, один з яких переносив оптичний вихор, і стійкість вихрових імпульсів у волокні. Розглянуто фізичний механізм інтерференції вихрових імпульсів. На рис. 1 показано схему імпульсного оптичного інтерферометру. Оптичний імпульс, що випромінюється лазером Ls, проходить через діафрагму D, яка фільтрує його непараксіальні гармоніки. Потім імпульс за допомогою ділильної призми Pr розщеплюється на дві складові: перша складова (імпульс 1) проходить через мікрооб'єктив MO і попадає у оптичне волокно, а друга складова (імпульс 2) падає на дзеркальний торець ділильної призми. Імпульс 1, пройшовши волокно, відбивається від його дзеркального торця з вихоротвірною голограмою VM, і по дорозі назад після мікрооб'єктиву падає на ділильну призму, а потім прямує на CCD-матрицю. Імпульс 2 відбивається від дзеркального торця ділильної призми і також прямує на CCD-матрицю, де обидва імпульси інтерферують в її площині. Зображення з CCD-матриці передається на комп'ютер С і обробляється. Інтерференційна картина виникає у випадку, якщо тривалість збудженого лазерного імпульсу більше подвійного часу проходження складової імпульсу найбільшого плеча інтерферометру.

Зміна показника заломлення серцевини оптичного волокна в результаті впливу зовнішніх чинників приводить до зміни постійної розповсюдження і фазової добавки. При цьому інтерференційна спіраль повертається навколо своєї осі. Градуювання числа обертів спіралі залежно від зміни вимірюваної фізичної величини дає можливість при вимірюванні проводити відлік у відповідних одиницях. Перевагою імпульсного вихрового інтерферометру є його відстройка від низькочастотних перешкод, що мають період більший, ніж тривалість імпульсів.

Експериментально досліджено стійкість вихрових імпульсів в оптичному волокні. У інтерферометрі Маха-Цендера (рис. 2) в об'єктне плече встановлювалося волокно, в якому збуджувався вихровий імпульс з тривалістю навколо 1 мкс, а в референтному імпульсі вихор не збуджувався. Інтерференційна картина для цих двох імпульсів була спіраллю, тобто було показано, що імпульс, що переносить оптичний вихор, є стійкий.

У підрозділі 2.3. «Гаусів імпульс в оптичному волокні» досліджено динаміку імпульсу з чирпом частоти в серцевині оптичного волокна. Густина енергії імпульсу в результаті компресії наростає і можливе виникнення нелінійних ефектів, якщо густина енергії досягає значення, при якому показник заломлення починає залежати від інтенсивності поля. При компресії імпульсу з початковою потужністю, меншою за критичну для даного середовища, через зменшення його тривалості потужність може досягти значення, коли лінійна динаміка імпульсу переходить в нелінійну. У разі, коли швидкість дисперсійного розпливання імпульсу точно рівна швидкості нелінійного перекидання його амплітуди, формується стаціонарний імпульс. Рівняння для імпульсу має рішення у формі світлого солітона. Інтенсивність імпульсу пропорційна I = vw ~ (рис. 3, крива 2). Якщо параметр, а, вирішення рівняння (3) має форму кінка. Інтенсивність в центрі при дорівнює нулю - в імпульсі формується темний солітон (рис. 3, крива 3). Величина параметру залежить як від першої похідної так і від другої похідної діелектричної сприйнятливості по частоті, тобто від закону дисперсії, а також від нелінійних властивостей волокна, що характеризуються коефіцієнтом .

Якщо солітон формується з імпульсу, збудженого в оптичному волокні з параболічним профілем показника заломлення, на одній з мод, (де узагальнений поліном Лагерра, N = 0,1,2....,), то у разі, коли азимутний індекс моди не дорівнює нулю, на осі волокна при r = 0 і дійсна, і уявна частини поля імпульсу одночасно дорівнюють нулю, а фаза не визначена. Тоді в імпульсі формується нестаціонарний оптичний вихор. Вузлова лінія, що утворена точками сингулярності поля, рухається уздовж осі волокна.

Густина потоку енергії, що переноситься імпульсом, визначається за допомогою вектора Пойнтинга. Якщо азимутна компонента вектора Пойнтінга не дорівнює нулю, то імпульс переносить кутовий момент електромагнітного поля. В цьому випадку вектор Пойнтинга обертається навколо осі імпульсу - нестаціонарного оптичного вихору - прецесує навколо осі оптичного вихору.

Швидкість адіабатичної зміни огинаючої імпульсу залежить від величини збурень у волокні, а величина збурень визначається параметром висоти профілю волокна . Плавна зміна показника заломлення волокна в радіальному напрямку, що пропорційна, викликає деформацію імпульсу. Це приводить до зміни форми імпульсу (його амплітуди) і хвильової поверхні (фази). Фазові добавки через тимчасові обмеженості імпульсу для максимуму амплітуди імпульсу, що рухається з груповою швидкістю для фронту і для спаду є різні по величині. Для імпульсу без чирпу частоти фронт випереджає, а спад відстає від вершини. У імпульсі з чирпом частоти на певній довжині відбувається інверсія хвильової поверхні: поверхня спаду імпульсу обганяє поверхню його фронту. Інверсія хвильового фронту у волокні обумовлена різною швидкістю розповсюдження частотних гармонік імпульсу з чирпом частоти в лінійному середовищі з матеріальною дисперсією, оскільки низькочастотні гармоніки, які згруповані поблизу спаду імпульсу, обганяють високочастотні гармоніки, що згруповані біля його фронту.

У підрозділі 2.4. «Топологічна фаза імпульсу» електромагнітний імпульс, що розповсюджується в діелектричному середовищі, розглядається як еволюціонуюча квантова система. Гамільтоніан (де - нормована амплітуда поля, - параметри) залежить від частоти випромінювання лазеру, характеристик оптичного волокна, і поперечного розподілу поля моди. При плавній зміні частоти випромінювання або характеристик волокна параметри адіабатично змінюються з часом. Динаміка квантової системи - електромагнітного імпульсу в діелектричному середовищі - описується рівнянням Шредінгера, де - вектор в просторі параметрів, залежний від часу . Хвильова функція має вигляд, - топологічна фаза, що не інтегрується. У разі, коли фаза, що не інтегрується, залежить від адіабатично змінних в часі параметрів, у визначенні хвильової функції можна виділити унітарний множник Беррі, . Топологічна фаза Вільчека-Зі виникає в квантовій системі, якщо спектр гамільтоніана є вироджений. У даному випадку це відповідає наявності декількох просторових компонент у однієї моди, або суперпозиції декількох мод. При цьому власні функції осциляторів поля гамільтоніана залежать від чисел фотонів в моді. Топологічна фаза Вільчека-Зі виникає у імпульсу при взаємодії осциляторів поля, в даному випадку в результаті впливу меж хвилеводу . Якщо траєкторія руху квазічастинки в площині є замкнутою, то знаходимо топологічну фазу Вільчека-Зі, що співпадає з фазою Ааронова-Бома, де . Фаза Ааронова-Бома дорівнює потоку поля G через замкнутий контур L.

У підрозділі 2.5. «Моди нелінійного оптичного волокна» показано, що якщо діелектрична проникність кварцового оптичного волокна із ступінчастим профілем показника заломлення для інтенсивного сигналу має значення в серцевині, у оболонці, то рішеннями для мод, що направляються, в серцевині волокна з радіусом серцевини є функції Бесселя 1 роду, а рішеннями в оболонці волокна являються модифіковані функції Бесселя, C = const. У разі слабкої залежності діелектричної проникності оптичного волокна від інтенсивності електромагнітного поля, квадрати амплітуд поля входять тільки у вирази для постійних і мод волокна. Критичне значення визначає число мод, що розповсюджуються в даному волокні, тобто число мод залежить від інтенсивності поля - при збільшенні інтенсивності сигналу число мод, що направляються, зростає. Характеристичне рівняння для нелінійних мод оптичного волокна із ступінчастим профілем показника заломлення, що визначає постійні розповсюдження мод, співпадає за виглядом з дисперсійним рівнянням для мод оптичного волокна. Але в нелінійному волокні постійні розповсюдження мод залежать від співвідношення діелектричної проникності серцевини і оболонки, тобто постійні розповсюдження залежать від інтенсивності поля.

При високій інтенсивності лазерного випромінювання в оптичному волокні електромагнітне поле і поле хвиль поляризації вже не можна описувати (квазі) лінійними модами. Вектор електричного поперечного поля у волокні має вигляд кноідальної хвилі, де - еліптичний синус Якобі. Інтенсивне електромагнітне поле в загальному випадку розповсюджується в оптичному волокні у вигляді хвильових пакетів, що є набором нелінійних періодичних кноідальних хвиль. При збільшенні інтенсивності поля гармонійні хвилі - лінійні моди волокна - трансформуються в кноідальні хвилі - нелінійні моди, а при подальшому збільшенні інтенсивності - в темні солітони.

У Розділі 3 «Потік поляритонів в безмежному середовищі і в оптичному волокні» показано, що хвильовий пакет, який розповсюджується в лінійному або нелінійному діелектричному середовищі, що сформований модами електромагнітного поля одного типу, можна розглядати як потік або згусток квазічастинок - поляритонів.

У підрозділі 3.1. «Хвильовий пакет як потік або згусток поляритонів» розглянуто зміни хвильового пакету в двох просторово-часових масштабах: один з них відповідає швидким осциляціям на частоті, що несе, другий - повільній модуляції. Усереднювання хвильового пакету по швидких просторово-часових осциляціях відповідає введенню квазічастинок - поляритонів в дану модель. Кожен поляритон має координату, імпульс і енергію . Такий підхід дозволяє одержати кінетичне рівняння для функції розподілу Вігнера для потоку поляритонів, характеристичні рівняння, а також гідродинамічні рівняння для моментів функції розподілу, які дозволяють досліджувати динаміку поляритонів, що не описується класичними моделями. З кінетичного рівняння для функції розподілу поляритонів, знайдена траєкторія поляритону з енергією і імпульсом за допомогою характеристичних рівнянь.

Динаміка потоку поляритонів описується на основі гідродинамічного підходу, якщо знайдено k-моменти функції розподілу f. Рівняння для нульового моменту функції розподілу - це рівняння безперервності потоку, де нульовий момент функції f є густиною поляритонів в конфігураційному просторі, а локальна швидкість рівна. Рівняння для першого моменту - це рівняння перенесення швидкості. Енергія поляритону задається дисперсійним співвідношенням, яке має такий вигляд .

Потік поляритонів з густиною і локальною швидкістю в лінійному середовищі описується гідродинамічними рівняннями. З системи гідродинамічних рівнянь виходить, що зневажаючи на квантові ефекти амплітуда хвильового пакету в лінійному діелектричному середовищі без поглинання і дисперсії не залежить від часу, а фаза, що задовольняє рівнянню, є функцією часу і координати вигляду, де - швидкість пакету, що співпадає з висновками класичної оптики. З урахуванням квантових ефектів навіть в лінійному середовищі система рівнянь для густини і фази хвильового пакету нелінійна, динаміка амплітуди залежить від фази хвильового пакету, і навпаки.

У підрозділі 3.2. «Хвильовий пакет в середовищі і у волокні» в лінійному середовищі з постійним показником заломлення, де потенціальна енергія поляритону, вектор Пойнтинга має як азимутну, так і подовжню компоненти, де Вирази для вектора Пойнтинга гармоніки одиничної амплітуди хвильового пакету в хвилеводі одержані в серцевині ступінчастого волокна і в серцевині параболічного волокна. У оптичному волокні поле вектора Пойнтинга відповідної гармоніки хвильового пакету утворює спіральний вихор з топологічним зарядом позитивної або негативної спіральності.

У підрозділі 3.3. «Гідродинаміка потоку поляритонів в лінійному і нелінійному середовищі» показано, що в лінійному і нелінійному середовищі потік поляритонів з густиною і локальною швидкістю описується гідродинамічними рівняннями. З урахуванням квантових ефектів навіть в лінійному середовищі система рівнянь для густини і фази хвильового пакету нелінійна, динаміка амплітуди залежить від фази хвильового пакету, і навпаки. Густина потоку поляритонів в лінійному середовищі осцилює в протифазі з локальною швидкістю потоку уздовж осі його розповсюдження.

Енергія поляритону в нелінійному середовищі є функціоналом, залежним від хвильової функції квазічастинки . У гідродинамічному рівнянні в праву частину додається додаток, тобто квантовими ефектами в нелінійному середовищі нехтувати не можна. Осциляції густини і локальної швидкості стаціонарного потоку поляритонів в нелінійному середовищі по осі z мають менший період в порівнянні з лінійним середовищем, що обумовлене наявністю нелінійного члена .

У Розділі 4 «Самоорганізація поля в середовищі» показано, що в діелектричних середовищах, для яких має місце безперервний приток енергії від зовнішнього джерела, її відтік і дисипація, в результаті самоорганізації виникають відокремлені і періодичні стаціонарні хвилі, тривимірні хвильові структури і вихори, сформовані спіральними хвилями, центри обертання яких утворюють осі вихорів.

У підрозділі 4.1. «Спіральні хвилі і квазічастинки» розглянуто оптичне волокно, в якому в нелінійному режимі поляризаційні хвилі розповсюджуються у формі спіральних хвиль. Хвильовий фронт такої хвилі скручується в спіраль через відставання віддалених від вісі ділянок фронту, оскільки швидкість хвилі в середовищі постійна . У середовищі з однорідним показником заломлення в сталому режимі фаза спіральної хвилі поляризації і електромагнітної спіральної хвилі має форму, де - функція полярного радіусу, що описує форму спіралі, - полярний кут, - азимутний індекс, що задає число рукавів спіралі (топологічний заряд), z - подовжня координата. Хвильова поверхня спіральної хвилі в діелектричному середовищі може бути представлена за допомогою модифікованих функцій Бесселя і Ганкеля. Нелінійні хвилі поляризації в оптичному волокні, електричне і магнітне поля, а також вектор Пойнтинга є спіральні хвилі.

Якщо ввести узагальнені координати системи і узагальнені імпульси, то особливі точки системи визначаються із співвідношень,, а саме, на поверхні сфери . У особливих точках, в яких виконуються умови одночасної рівності нулю дійсних і уявних частин поля, виникають оптичні вихори. Рівняння в особливих точках описують дві поверхні, лінії перетину яких є лініями вузлів. На лінії вузлів фаза поля не визначена. Сингулярність такого типу є точкою розгалуження порядку - дислокацією хвильового фронту з топологічним зарядом. Азимутний індекс характеризує величину топологічного заряду оптичного вихору, що дорівнює числу стрибків фази поля на в результаті переходу з одного листа поверхні на іншій при обході точки розгалуження. Навколо j-й особливої точки знайдено лінійні фазові траєкторії, причому потенціал залежить від R як від параметра.

При нелінійних режимах розповсюдження поля в середовищі залежно від співвідношення параметрів поля і середовища, можливе формування як кноідальних хвиль, так і відокремлених хвиль, що мають властивості частинок. Існування поля у формі відокремлених хвиль з характеристиками частинок обумовлене властивостями даної системи «електромагнітне поле - діелектричне середовище» утворювати топологічні «вакуумні» стани з нульовою внутрішньою енергією, в яких величина поля не обов'язково дорівнює нулю. Нелінійне польове рівняння (5) у волокні має вигляд нелінійного стаціонарного рівняння Клейна-Гордона, тобто електромагнітне поле у волокні через дискретність спектру постійних розповсюдження можна розглядати як потік квазічастинок з ефективними безрозмірними масами . Симетрія щодо трансляцій по подовжній осі z і азимутна симетрія у волокні не порушується, а радіальна міра свободи обмежена, тобто масивні квазічастинки виникають через наявність меж в хвилеводі по радіусу. У конфігураційному просторі перший член гамільтоніана описує «кінетичну» енергію, що залежить від швидкості зміни поля в просторі, а другий і третій члени - «внутрішню» енергію системи. Основний стан системи за умов рівності нулю «кінетичної» енергії описується «внутрішньою» енергією . У збудженому стані «потенціальна енергія» позитивна, тобто «вакуумні» стани мають місце лише при рівності нулю «внутрішньої» енергії системи . Фактор при квадратичному членові може бути як більше, так і менше нуля залежно від співвідношення нормованого радіусу хвилеводу R і параметрів -ої моди, тобто є в даній моделі керуючим параметром, що визначає симетричний стан, або стан з «порушеною симетрією» для мод з .

«Вакуумні» стани мають місце при глобальному мінімумі внутрішньої енергії системи . При на осі хвилеводу (R = 0) всі компоненти поля рівні нулю, тобто залежно від значення керуючого параметра маємо стан мінімуму або максимуму внутрішньої енергії системи при нульових значеннях амплітуд поля. Вид потенціалу, де R є параметром, представлений на рис. 4. З рис. 4 видно, що профіль залежить від радіусу шару, тобто величини параметра R - нормованого радіусу хвилеводу.

Потенціал має характерну форму, при якій виникає спонтанне порушення симетрії системи і, отже, можливі часткоподібні рішення при . Якщо вакуумних станів в системі є більше, ніж один, то в цьому випадку можливі переходи з одного вакуумного стану в іншій без дисипації енергії, тоді поле приймає форму відокремленої хвилі. Солітонні рішення рівнянь відповідають траєкторії руху системи на фазовій площині по сепаратрисі, що проходить через точки . Значення енергії системи, при яких мають місце солітонні вирішення . Вирішення для польових компонент відокремленої хвилі, отримані чисельними методами при вирішенні системи рівнянь (5), представлені на рис. 5.

Спектр мас тримірних квазічастинок в діелектричному середовищі дає дисперсійне рівняння : маса квазічастинки . Наприклад, при значеннях,, мкм маса квазічастинки г. Масу квазічастинки - поляритону можна знайти експериментально, якщо незалежно зміряти його енергію (частоту) і імпульс (довжину хвилі) . Маса частинки визначається енергією зв'язку. У даних моделях маса квазічастинки визначатиметься енергією взаємодії електромагнітного поля з діелектричним середовищем. При цьому масивна квазічастинка - поляритон в хвилеводі - не може рухатися із швидкістю світла у вакуумі.

У підрозділі 4.2. «Спонтанне порушення симетрії в системі «діелектричне середовище - електромагнітне поле» показано, що спонтанне порушення симетрії як для класичних, так і для квантових нелінійних систем «діелектричне середовище - електромагнітне поле», приводить до виникнення голдстоунівських безмасових бозонів і масивних квазічастинок. Спонтанне порушення симетрії відбуватиметься в системі, якщо за наявності поля симетрія її основного (вакуумного) стану нижче початкової симетрії за відсутності поля. При цьому в системі виникають безмасові колективні збудження (бозони) з властивостями частот убувати до нуля при прямуванні до нуля хвильових векторів, і квазічастинки з масою . Квазічастинки є збудженнями над вакуумним станом системи. Умови генерації часткоподібних збуджень визначатимуться співвідношенням між параметрами поля і дисперсійними характеристиками середовища.

Одержано частотний спектр з двома гілками, де . При частоти мають значення і . Енергія квазічастинки визначається співвідношенням . Таким чином, в системі генерується безмасовий голдстоунівський бозон и квазічастинка - поляритон з масою . У нелінійному режимі взаємодії поля з середовищем виникнення безмасового бозону і масивної квазічастинки в необмеженому аморфному середовищі обумовлене спонтанним порушенням симетрії системи у результаті появи напряму поляризації середовища, що співпадає з напрямом коливань електричного вектора хвилі. Спонтанне порушення симетрії системи «середовище - поле» визначається виникненням нелінійних ефектів за наявності відповідного числа поляритонів N в даній області середовища, оскільки густина поля.

У підрозділі 4.3. «Енергія потоку поляритонів в оптичному волокні» показано, що енергія поля може бути виражена за допомогою чисел поляритонів у відповідній компоненті моди . У разі, коли в компоненті лінійно поляризованої моди число поляритонів з правою спіральністю дорівнює числу поляритонів з лівою спіральністю, члени з коефіцієнтом при підсумуванні по зникають. Інакше, коли поле є суперпозицією циркулярно поляризованих мод, члени з не скорочуються. Останнє можна трактувати як залежність енергії системи від «спін-орбітальної взаємодії» електромагнітного поля в хвилеводі, якщо орбітальний момент поля (що характеризується індексом моди) при суперпозиції мод в хвилеводі відмінний від нуля, а спін характеризується поляризацією моди. Відношення енергій потоку поляритонів при лінійній і циркулярній поляризації є менше або більше за одиницю залежно від напрямку обертання циркулярно поляризованої моди. Експериментально було перевірено, що відношення енергії при лінійній і циркулярній поляризації випромінювання дорівнює одиниці в межах похибки експерименту, а для комбінації вищих мод відношення менше одиниці з відносною похибкою 6,5% в довірчому інтервалі 95%.

У підрозділі 4.4. «Поляритонний квазі-конденсат в аморфному діелектричному середовищі» розглянуто резонатор Фабрі-Перо, який заповнений нелінійним аморфним діелектричним середовищем. Гамільтоніан, описує зв'язані стани фотонів і фононів в аморфному діелектричному середовищі, тобто поляритони. Якщо діелектричний резонатор має високу добротність, то поляритони знаходяться в резонаторі достатньо довго для того, щоб встановилася статистична рівновага. У поляритонів, що розповсюджуються строго уздовж осі z, поперечні компоненти імпульсу дорівнюють нулю. Для моди з однорідною поляризацією в гамільтоніані враховувалися тільки парні взаємодії поляритонів і вважалося, що більшість поляритонів знаходиться в основному стані з нульовим поперечним імпульсом. У стані з нульовим імпульсом реальні бозони утворюють бозе-ейнштейновський конденсат, але в двомірній системі бозе-ейнштейновська конденсація не можлива. Для поляритонів в двомірній системі можна говорити про квазі-конденсацію, вважаючи число квазічастинок макроскопічним. З точністю до членів другого порядку у гамільтоніані, знайдено спектр, типу боголюбівського, слабких збуджень над основним станом і енергію основного стану. Хімічний потенціал в даній моделі є . Збудження над основним станом поляритонного квазі-конденсату є не взаємодіючими квазічастинками типу оптичних фононів. Закон дисперсії для них дає щілину в спектрі.

Хвильова функція поляритонного квазі-конденсату задовольняє нелінійному рівнянню Шредінгера. Для хвильової функції збуджень у вигляді з цього рівняння виходить рівняння Гросса-Пітаєвського.

Розв'язання рівняння мають форму вихору з топологічним зарядом. Для вихору з топологічним зарядом рівняння (5) співпадає з рівнянням Гросса-Пітаєвського, що отриманий для опису атомних вихорів в рідкому гелії.

У Розділі 5 «Нелінійні хвилі в оптичних елементах» розглянуто фізичні механізми взаємодії нелінійних хвиль в оптичних логічних елементах, в одномірних і двомірних керованих нелінійних фотонних кристалах.

У підрозділі 5.1. «Оптичні логічні елементи» аморфна діелектрична плівка з паралельними торцями, що розташовані перпендикулярно осі розповсюдження фотонів, які відбивають світло, розглядається як плоский резонатор. Збудження поляритонного квазі-конденсату формують просторові хвилі з нулями амплітуди на поперечній осі резонатора. Якщо перпендикулярно подовжній осі резонатора в площині плівки накладено електростатичне поле з напруженістю, то за його допомогою можна керувати діелектричною проникністю середовища, - лінійна сприйнятливість середовища, - квадратична сприйнятливість середовища, що характеризує лінійний електрооптичний ефект Поккельса. Рівняння одномірної моделі для діелектричної плівки з торцями (5), що відбивають, для однієї моди вирішення має форму просторової кноідальної хвилі . Сталість цієї хвилі має місце при умові . Варіюючи величину напруженості електростатичного поля, яка входить у вирази для коефіцієнтів, можна змінювати вид функції f. Якщо врахувати кінцевий час життя поляритону в діелектричному середовищі з комплексною проникністю, то у функції f аргумент стає комплексним, тобто і амплітуда і фаза хвильової функції осцилюють по Х.