Математические основы квантовой физики

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Математические основы квантовой физики

1.1 Средние значения физических величин

Введем понятие о среднем значении физической величины f в данном состоянии, описываемом волновой функцией Ш. Соответственно обычному определению средних значений, определим как сумму всех собственных значений f_n данной величины, умноженных каждое на соответствующую вероятность .

Таким образом, квантовый оператор уравнение электрон поле

(1)

Напишем в виде выражения, которое не содержало бы коэффициентов a_n разложения волновой функции Ш, а зависело от этой функции.

Поскольку в (1) входят произведения a_na_n^*, то ясно, что искомое выражение должно быть билинейным по Ш и Ш^*.введем некоторый математический оператор, который обозначим как , и определим следующим образом. Пусть () обозначает результат воздействия оператора на функцию Ш. Определим так, чтобы интеграл от произведения () на комплексно сопряженную функцию Ш^* был бы равен среднему значению :

(2)

где dq - обобщенная координата, dq = dxdydz.

Результат воздействия оператора на функцию Ш имеет вид:

 (3)

Таким образом каждой физической величине в квантовой механике соответствует определенный линейный оператор.

Из (3) видно, что если функцией Ш является одна из собственных функций Ш_n, при этом все a_n, кроме одного, равны нулю, то в результате воздействия на нее оператора эта функция просто умножается на соответствующее ей собственное значение f_n.

Опуская индекс n, мы можем теперь утверждать, что собственные функции данной физической величины f являются решением уравнения

(4)

Вид оператора может быть определен из непосредственных физических соображений, и тогда уравнение (4) дает возможность находить собственные функции и собственные значения посредством его решения, при требуемых условиях.

1.2 Квантовые операторы

Вид квантовых операторов может быть найден, как указывалось выше из непосредственных физических соображений. Прежде обратимся к основным свойствам математического оператора . Пусть f и g - две физические величины, могущие одновременно иметь определенные значения, а и их операторы. Собственные значения суммы f + g этих величин равны сумме их собственных значений. Этой новой величине будет, очевидно, соответствовать оператор, равный сумме операторов и , что следует из уравнения (4). Если же величины не могут иметь одновременно определенных значений, то в этом случае, необходимо среднее значение их суммы записать, как

и тогда будет справедливо - + .

Постоянная может быть вынесена за знак оператора, т.е.

Пусть теперь наряду с суммой одновременно определяемых величин f и g ,рассматривается их произведение. Легко видеть, что такой величине соответствует оператор, действие которого состоит в последовательном действии на функцию, сначала одного, а затем другого оператора, действительно,

Из приведенного определения следует, что степени операторов представляют операторы, действие которых эквивалентно последовательному действию оператора-основания на данную функцию столько раз, сколько указано в показателе степени.

1.3 Действия с квантовыми операторами

Простейшей физической системой является материальная точка. Запишем основные операторы, действующие на волновую функцию .

Операторы проекций импульса.

 (5)

Оператором координат является сама координата, т.е.

(6)

Так как потенциальная энергия u зависит только от координат, то справедливо

(7)

т.е. оператор потенциальной энергии, есть сама потенциальная энергия.

Кинетическая энергия Т материальной точки:

следовательно оператор кинетической энергии будет иметь вид

(8)

Оператор полной энергии или оператор Гамильтона

(9)

1.4 Уравнение Шредингера

Волновая функция полностью определяет состояние физической системы в квантовой механике. Это означает, что задание этой функции в некоторый момент времени не только описывает все свойства системы в этот момент времени, но определяет ее поведение также, и во все будущие моменты времени - конечно, лишь с той степенью полноты, которая допускается волновой функцией . Математически это обстоятельство должно заключаться в значении и зависимости этой функции от самой .

Эту задачу в 1926г решил Э. Шредингер. Полученные им уравнения (стационарное и нестационарное) имеют вид:

, (10)

- это не стационарное уравнение, - и

(11)

где - Е - полная фиксированная энергия.

1.5 Плотность потока вероятности

Уравнение непрерывности. Запишем уравнение комплексно-сопряженное (10):

(12)

Умножим (10) на ^*, а (12) - на и вычтем из первого второе. В результате после простых преобразований получим:

 (13)

Рассмотрим второе слагаемое в (13). Выражение в фигурных скобках представим в виде:

(14)

и, замечая, что , здесь р - импульс, перепишем (14) как

(15)

где - скорость микрочастицы

Теперь (13) принимает вид

.

Так как ^* = есть плотность вероятности, а = j - плотность потока вероятности, то имеем:

(16)

Это уравнение представляет квантомеханическое уравнение непрерывности, а

(17)

есть плотность потока вероятности.

2. Движение электронов в потенциальных полях

2.1 Свободное движение электронов

Когда в пространстве, где находится электрон, отсутствуют электронные поля, т.е. u(x,y,z) = 0, движение электрона следует считать свободным. Для выполнения особенностей движения в этом случае необходимо решить уравнение (11) при u(x,y,z) = 0

Наиболее простое решение получается при одномерном движении, для определенности вдоль оси x(- ? < x < ?).

Решение уравнения Шредингера

(18)

будет сумма экспоненциальных функций, т.е.

, (19)

где k - волновое число, .

Первое слагаемое в (19) соответствует волне, распространяющейся слева направо, второе - волне, движущейся справа налево. Это решение остается конечным при всех значениях х при любом вещественном k.

Особенностью решения (19) является то, что в любой точке х электрон с одинаковой вероятностью движется и вправо и влево.

Энергетический спектр свободно движущегося электрона простирается от 0 до + и является непрерывным.

2.2 Кванторазмерные структуры

Наличие у электронов волновых свойств, определяет возможность проявление при их движении чисто волновых явлений, подобных явлениям в оптике, - интерференции, дифракции и др.

В то же время проявление этих свойств зависит от размеров конфигурационного пространства, в котором движется электрон. Размеры пространства в каком-либо напрaвлении должны быть сравнимы с длиной волны де Бройля. Ограничения области движения электронов может быть достигнуто уменьшением физической длины пространства и (или) созданием определенного потенциального рельефа.

Когда нет ограничений для движения электронов в направлениях x, y, z в кристалле существует трехмерный электронный газ, свойства которого могут быть описаны законами классической физики с заменой массы электрона на эффективную. Это 3-D кванторазмерная структура.

Если же движение электронов ограничено в каком-либо одном направлении, например, в направлении z, то электрон свободно может перемещаться только в плоскости x, y. Это эквивалентно бесконечно глубокой потенциальной яме. Такая структура является 2-D квантово-размерной (квантовая яма).

При ограничении движения в двух направлениях, электроны могут перемещаться только в оставшемся одном, что похоже на тонкий провод или нить. Это будет 1-D квантооразмерная структура (квантовая нить).

Когда же ограничения наложены на все три направления, возникает 0-D квантово-размерная структура (квантовая точка).

Размеры в направлениях ограничения движения, чтобы эффективно проявлялись квантовые явления, должны лежать в нанометровом диапазоне, менее 100 нм.

2.3 Движение в потенциальной яме

Потенциальная яма представляет такую форму потенциального поля, в котором движение ограничено в каком-либо одном направлении конфигурационного пространства, т.е. это 2-D квантово-размерная структура. Материальным объектом такой структуры является тонкая проводящая пленка толщиной а.

Математическая задача определения состояний (стационарных) движения электрона состоит в решении уравнения Шредера

(20)

т.к. u = 0 при 0 x a, а для x a и x 0 u = .

Решение уравнения (20) должно удовлетворять условиям: = 0 при x = 0 и x = a, поскольку электрон не может преодолеть бесконечную потенциальную стенку.

Общим решением уравнения (20) при мнимых корнях характеристического уравнения является

(21)

Чтобы удовлетворялись условия на границах потенциальной ямы x = 0 и x = a, должно выполняться равенство B = 0 и (n = 1, 2, 3, …).

Нормированные волновые функции стационарных состояний будут иметь вид

(22)

где

Уровни энергии в потенциальной яме определяются выражением

(23)

Из (23) видно, что в бесконечной потенциальной яме энергетический спектр электрона (микрочастицы) имеет дискретный характер, причем дискретность уменьшается с ростом n.

Волновая функция в зависимости от номера n имеет на каждом электронном уровне (n-1) узлов. Это означает, что электрон (микрочастица) с различной вероятностью может находиться в пространстве дна ящика.

При n= 1 микрочастица (электрон) с наибольшей вероятностью локализуется вблизи середины ящика, т.е. в точке x = а/2. При больших n электрон практически с равной вероятностью может находиться в любой точке отрезка (0 x a). Он становится «квазисвободным» (см. п.2.1).

Рассмотрим особенности поведения микрочастицы в потенциальной яме конечной высоты (глубины) потенциальное поле такой ямы в общем виде можно записать следующим образом:

u(x) = u₁, при x 0 (область 1);

u(x) = 0, при 0 x a (область 2);

u(x) = u₂, при a x (область 3).

Пусть u₂ u₁, а полная энергия электрона E u₁. Определим электронный спектр энергии в яме.

Волновая функция, являющаяся решением уравнения Шредингера в области 1, и соответствующий волновой вектор (волновое число) будут иметь вид

,

в области 2, т.е. в потенциальной яме,

а в области 3,

Знаки в показателях экспонент связаны с различным направлением движения в этих областях.

В области 1 движение, распространение волны вероятности происходит в отрицательном направлении, x 0, тогда как в области 2 в положительном направлении, x a.

Условие непрерывности и ^ґ/ на границах ямы, x = 0 и x = a, дает уравнения.

или (и)

Исключая из первой группы уравнений или из второй, получим трансцедентное уравнение

(24)

Здесь n = 1, 2, 3,…, а значения arcsin берутся между 0 и /2. Корни уравнения (24) определяют дискретные уровни энергии

Для каждого n имеется, вообще говоря, один корень; значения n корня нумеруют уровни энергии в порядке их возрастания.

Поскольку аргумент у arcsin не может превысить 1, то ясно, что значения k могут лежать только в интервале между 0 и . Левая сторона уравнения (24) есть монотонновозрастающая, а правая - монотонно убывающая функция k. Поэтому для существования корня уравнения (24) необходимо чтобы при правая сторона была меньше левой.

В частности неравенство

(25)

получающееся при n = 1, есть условие того, что в яме существует по крайней мере один уровень энергии. При u₁ = u₂ условие (25), очевидно, всегда выполняется.

Из (25) также следует, что при данных u₁ u₂ всегда существуют настолько малые значения ширины ямы а, при которых не будет существовать ни одного дискретного уровня энергии, т.е. частица не будет «захватываться» ямой. Согласно законам классической механики частица всегда будет «захватываться» ямой и совершать финитное движение, лишь бы энергия частицы была достаточно мала.

При u₁ = u₂ = u_o(симметричная яма) уравнение (25) сводится к

(26)

Введя переменную , получим при нечетном n уравнение

(27)

причем должны браться те корни этого уравнения, для которых tgz 0

При четном n получим уравнение

(28)

причем надо брать корни, для которых tgz 0

По корням этих двух уравнений определяются уровни энергии

число корней (при 0) конечно.

В общем случае, когда u₁ u₂ , разрешенные значения волнового вектора k, а следовательно и дискретные значения Е в яме, находятся численным или графическим решением уравнения (25)

Для неглубокой ямы, в которой

u₀ ,

имеем 1 и уравнение (28) не имеет корней вовсе, а уравнение (27) имеет один корень, равный

Таким образом в яме имеется всего один уровень энергии

расположенный вблизи ее «потолка».

В случае, когда u₁ u₂, полученные выше выражения остаются справедливыми с переменой в них индексов: 1 2 и 2 1.

2.4 Рассеяние на потенциальной стенке

Проведем анализ системы, в которой микрочастицы, испускаемые источником, удаленным на большое расстояние, рассеивается на той или иной преграде, уходя после этого в бесконечность.

Простейшей моделью данной задачи, соответствующей рассеянию на потенциальной преграде с большим масштабом неоднородности, является рассеяние на потенциальной стенке:

u = 0, при - x 0 (область 1);

u = u₀, при 0 x (область 2).

Найти состояние микрочастицы в таком потенциальном рельефе позволяет решение уравнения Шредингера

(29)

В области 1, где u(x) = 0, решение уравнения (29) соответствует решению для свободной микрочастицы,

(30)

где

В решении (30) константа А₁ определяет амплитуду волны вероятности падающей на стенку, а В₁ - амплитуду отраженной волны.

В области 2 необходимо решить уравнение

(31)

Характер решения этого уравнения зависит от отношения полной энергии электрона (микрочастицы) Е и высоты потенциальной стенки u₀.

В случае E u₀ общее решение (31) имеет вид

(32)

где

Константу В₂следует положить равной нулю, т.к. в этой области источников рассеяния нет, частица беспрепятственно уходит в бесконечность.

Таким образом, для E u₀

(33)

Физический интерес представляют коэффициенты прохождения и отражения, определяемые отношением плотностей потоков вероятностей падающих, прошедших и отраженных волн де Бройля.

Поток плотности вероятности определяется выражением (17). В падающей волне этот поток равен

(34)

Аналогично для отраженной волны получим

(35)

и для прошедшей волны

(36)

Коэффициент отражения R, равный отношению

в соответствии с (34) и (35) имеет вид

 (37)

а коэффициент прохождения D (коэффициент прозрачности)

(38)

Упростить выражения для коэффициентов отражения R и прохождения D можно, если найти связь между В₁ и А₁, а также А₂ и А₁. Это можно осуществить, используя условия непрерывности волновых функций ₁(х) и ₂(х) на границе стенки, т.е. при х = 0.

Условия непрерывности запишем в следующем виде:

Из этих двух условий и вида функций ₁(х) и ₂(х) получим

В силу полученных зависимостей коэффициентов В₁ и А₂ от А₁, можно представить коэффициенты R и D в удобной для анализа форме

(39)

Из (39) следует, что при E u₀ микрочастица имеет вероятность отличную от нуля отразится от потенциальной стенки, причем коэффициенты R и D не зависят от направления движения, а только лишь от отношения Е/u₀.

Этот вывод в корне отличается от классического движения, когда частица, имеющая энергию E u₀ всегда проникает в область над стенкой (область 2).

Качественно полученные результаты справедливы для произвольной потенциальной стенки u(x), при этом всегда выполняется равенство

R + D = 1 (40)

которое отражает сохранение полного потока микрочастиц.

Рассмотрим ситуацию, когда E u₀, т.е. полная энергия микрочастицы Е меньше высоты потенциальной стенки u₀. В этом случае в области 1 волновая функция совпадает с (30), а в области 2 кардинально изменяется, т.к. К₂ становится мнимым

(41)

где

Выполнив аналогичные выкладки, как для Е u₀ для коэффициента отражения получим

(42)

а коэффициент прохождения D = 0 в силу (40). Таким образом, при Е u₀ микрочастица отражается от потенциальной стенки, а в области стенки поток отсутствует.

Однако, имеется отличная, хотя и малая, вероятность проникновения микрочастицы под потенциальной барьер. В области х 0

Микрочастица как бы проходит внутрь потенциального барьера и возвращается назад, поток отсутствует.

Эффективная глубина проникновения под барьер, где вероятность заметно отлична от нуля, имеет порядок величины 1/.

Размещено на Allbest.ru