Волны в анизотропных средах
Волновое уравнение для однородной анизотропной среды без пространственной дисперсии. Распространение плоских волн в кристаллах. Оптические свойства кристаллов. Постоянное магнитное поле. Распространение электромагнитных волн в гиромагнитных средах.
Рубрика | Физика и энергетика |
Вид | реферат |
Язык | русский |
Дата добавления | 21.08.2015 |
Размер файла | 52,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Волны в анизотропных средах
В однородной анизотропной среде без пространственной дисперсии, для которой зависимость свойств от направления одинакова в разных точках, материальные уравнения принимают вид:
Di(r, ) = i j()Ej(r, ), Bi(r, ) = i j()Hj(r, ),
.
Обычно в среде тензором бывает либо магнитная, либо диэлектрическая проницаемость, а вторая величина при этом является скаляром.
1. Волновое уравнение для анизотропной среды
Рассмотрим немагнитную негиротропную однородную и анизотропную среду с материальным уравнением вида . Уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для монохроматической волны имеют вид:
rot H = -iD/c, div H = 0, rot E = iH/c, div D = 0,
и с учетом материальных уравнений сводятся к волновому уравнению
. (3.1)
Для плоских волн уравнения Максвелла принимают вид (2.28)
[k H] = -D/c, (k H) = 0, [k E] = H/c, (k D) = 0, (3.2)
а волновое уравнение (3.1) можно записать в виде:
. (3.3)
Из системы уравнений (3.2) следует, что векторы k, D и H взаимно перпендикулярны и вектор H перпендикулярен вектору Е, но вектор Е в общем случае не коллинеарен вектору D. В плоскости волнового фронта (k r) = const лежат векторы D и H, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Следовательно, и направление потока энергии S = [E H]c/(4) не совпадает с волновым вектором k, то есть не совпадают направления групповой и фазовой скоростей.
Введем лучевой вектор s, направление которого совпадает с направлением вектора Пойтинга S, а модуль определяется из условия
(s n) = 1, (3.4)
где n = kc/. Нетрудно показать, что
(s Е) = 0, (s Н) = 0. (3.5)
Умножая уравнение (3.2) векторно на s и учитывая соотношение (3.4), получим:
[s D] = H, [s H] = -E. (3.6)
Материальное уравнение для соотношений (3.5) и (3.6) имеет вид
. (3.7)
Волновое уравнение (3.3) может быть записано для компонентов в виде, аналогичном уравнению (2.29):
(n2i j - ninj - i j)Ej = 0.
Нетривиальное решение этой системы уравнений возможно лишь при равенстве нулю ее детерминанта, что задает дисперсионное уравнение:
det(n2i j - ninj - i j) = 0, (3.8)
устанавливающее частотную зависимость коэффициента преломления n() при заданном тензоре диэлектрической проницаемости i j(). Аналогично система уравнений (3.5) и (3.6) приводит к другой форме дисперсионного уравнения:
det(s2i j - sisj - -1i j) = 0. (3.9)
2. Распространение плоских волн в кристаллах
Для анизотропных и негиротропных кристаллов тензор диэлектрической проницаемости симметричен i j() = j i(). Если среда прозрачна, то есть можно пренебречь поглощением, то все компоненты тензора вещественны, а симметрический вещественный тензор может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только его диагональные компоненты x x, y y, z z. В этих осях материальное уравнение принимает вид:
Dx = x x Ex, Dy = y y Ey, Dz = z z Ez. (3.10)
Естественно, что в главных осях и обратный тензор тоже диагональный, а дисперсионное соотношение (3.8) принимает вид уравнения Френеля:
анизотропный среда волновой кристалл
.(3.11)
Для монохроматической волны фиксированной частоты уравнение Френеля (3.11) является квадратичным относительно квадрата показателя преломления n2. Поэтому каждому заданному направлению n = (nx, ny, nz) соответствуют два различных значения волнового числа k = n/c, то есть две нормальных волны, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Например, вдоль главной оси z получаем nx = ny = 0, nz = n, и уравнение Френеля (3.11) существенно упрощается:
n4 - n2(x x + y y) + x x y y = 0, n21 = x x, n22 = y y.
Рассмотрим поляризацию нормальных волн. Направим ось z' вдоль вектора n, тогда Dz' = 0 и уравнения (3.2) легко сводятся к виду:
D = n2E - n(nE), Dx' = n2Ex', Dy' = n2Ey',
который с помощью материального уравнения (3.7) записывается в виде:
.
Поскольку все компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости действительны, то и множитель поляризации
-
тоже действительное число. Таким образом, в анизотропной среде нормальные волны поляризованы линейно. Всякая другая волна в анизотропной среде расщепляется на две линейно поляризованные волны, фазовые скорости которых различны.
Найдем теперь направление групповой скорости нормальной волны. Пусть E(r) = eE(r), тогда волновое уравнение (3.3) примет вид:
. (3.12)
Умножим уравнение (3.12) скалярно на е и продифференцируем его по k:
,
откуда получаем выражение для групповой скорости:
. (3.13)
Поскольку е = Е/Е, а в силу соотношения (3.2) [k e] = [k E]/E = H/(cE), то
[e [k e]] = [H E]/(cE2) = 4S/(cE)2,
то есть групповая скорость нормальной волны параллельна ее лучевому вектору.
Наконец, рассмотрим ограниченный в сечении пучок (почти плоскую волну) вида:
E(r) = A(r)exp(ikr), (3.14)
где амплитуда A(r) медленно меняется в пространстве:
|dA/dr| << k|A|. (3.15)
Пусть пучок является одной из нормальных волн:
A(r) = еA(r). (3.16)
Найдем ротор векторного поля E(r) вида (3.14):
rot E = rot (A(r)eikr) = eikr rot A + [grad (eikr) A] = eikr(rot A + i[k A]).
Возьмем еще раз ротор от полученного выражения с учетом условий (3.15) и (3.16):
rot rot E = eikr rot (rot A + i[k A]) + [grad (eikr) (rot A + i[k A])]
eikr{rot (Ai[k e] + i[k (rot A + i[k A])]} =
= eikr{iA rot [k e] + i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - [k [k A]]}.
Тогда волновое уравнение (3.1) принимает вид:
i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - {[k [k e]] +e2/c2}A = 0. (3.17)
Заметим, что в силу уравнения (3.12) выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Умножая уравнение (3.17) скалярно на вектор е, получим:
e{k(e grad A) - e(k grad A) + (grad A)(ke) - e(k grad A)} = 0,
(ke) (e grad A) - (ee) (k grad A) = 0,
[e [k e]] (grad A) = 0. (3.18)
Укороченное уравнение (3.18) описывает распространение волнового пучка в анизотропной среде без учета дифракции и диссипации, из него следует, что амплитуда остается постоянной в направлении вектора [e [k e]], который параллелен лучевому вектору s.
3. Оптические свойства кристаллов
Основное свойство кристалла - симметрия его кристаллической решетки. Различают 3 группы симметрии: 1) кубическая решетка без осей симметрии, выбранных направлений в кристалле нет, тензор диэлектрической проницаемости превращается в скаляр i j() = i j(); 2) одноосные кристаллы, одна из главных осей совпадает с осью симметрии кристалла (оптическая ось), направление двух других главных осей произвольные, z z() = ||(), x x() = y y() = (); 3) двухосные кристаллы.
Для одноосных кристаллов уравнение Френеля (3.11) принимает вид:
и распадается на два уравнения второго порядка
(3.19)
Первое из этих уравнений описывает в координатах (nx, ny, nz) сферу радиуса , а второе - эллипсоид вращения с полуосями и . На оси nz сфера касается эллипсоида. Если > ||, эллипсоид лежит внутри сферы и кристалл называется оптически отрицательным, если < ||, то эллипсоид охватывает сферу и кристалл называется оптически положительным.
Точечный источник, помещенный в однородную анизотропную среду, будет излучать две расходящиеся волны: обыкновенную - со сферическим фронтом и необыкновенную - с волновым фронтом в виде эллипсоида. Для плоской волны фазовая скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения, а у необыкновенной зависит. В оптически отрицательных кристаллах фазовая скорость обыкновенной волны меньше, чем у необыкновенной, у положительных - наоборот, когда направление распространения волны совпадает с оптической осью, обе скорости равны.
Для необыкновенной волны уравнение (3.19) можно записать в виде:
. (3.20)
Пусть оптическая ось кристалла направлена вдоль оси z, волновой вектор k лежит в плоскости (у, z), то есть kx = 0. Поскольку направление луча совпадает с направлением групповой скорости vгр = d/dk, то для угла ' между оптической осью и лучевым вектором получим:
.
Дифференцируя соотношение (3.20) по kz и ky, найдем:
,
где - угол между волновым вектором k и оптической осью. Таким образом, в необыкновенной волне векторы n и s не совпадают, но лежат в главном сечении, то есть плоскости, проходящей через оптическую ось и вектор n.
При падении плоской волны на поверхность кристалла волновые векторы преломленной и отраженной волн должны лежать в плоскости падения, следовательно, в одноосных анизотропных кристаллах возникают две преломленных волны: обыкновенная и необыкновенная - двойное лучепреломление, при этом лучевой вектор необыкновенной волны не лежит в плоскости падения.
4. Распространение электромагнитных волн в гиромагнитных средах
В ферритах типа MeOFe2O3 (Me - двухвалентный металл) тензором является магнитная проницаемость i j(). Анизотропия магнитной проницаемости в ферритах создается наложением постоянного или медленно (по сравнению с частотой электромагнитной волны) меняющегося магнитного поля Н. В ферритах магнитные моменты молекул, имеющие спиновую природу, из-за взаимодействия не компенсируются, и единица объема (домен) обладает магнитным моментом М, то есть является магнитным диполем. Прецессия магнитных диполей вокруг силовых линий постоянного магнитного поля и создает анизотропию магнитных свойств. При Н = 0 магнитная проницаемость феррита - скалярная величина.
Движение магнитного диполя с магнитным моментом Мэф = М0 + М во внешнем магнитном поле Нэф описывается уравнением Ландау - Лифшица:
dMэф/dt = -[Mэф Нэф], (3.21)
где Нэф = Н0 + Н, Н0 - постоянное магнитное поле, Н - магнитное поле распространяющейся волны, М0 - постоянная намагниченность, совпадающая по направлению с Н0, М - магнитный момент, создаваемый волной, = e/(mc) - гиромагнитное отношение. Будем считать, что |H| << |H0|, |M| << |M0|, тогда уравнение (3.21) примет вид:
dM/dt + [M Н0] = -[M0 Н].
При распространении гармонической волны M(t) = Mexp(-it),
H(t) = Hexp(-it), и для компонент комплексных амплитуд получаем уравнения:
-iMx + My = M0Hy, -iMy - Mx = M0Hx, -iMz = 0. (3.22)
Здесь предполагается, что постоянное магнитное поле Н0 направлено вдоль оси z, = |H0|. Из уравнения (3.22) можно найти компоненты переменного магнитного момента Mx, My, Mz и компоненты Вx, Вy, Вz вектора магнитной индукции
Вi = Нi - 4Мi = i jHj, i, j = x, y, z,
то есть определить компоненты тензора магнитной проницаемости:
(3.23)
Из уравнений (3.23) следует, что тензор магнитной проницаемости феррита - эрмитовый, то есть феррит является магнитоактивной средой, нормальные волны в ней должны иметь круговую или эллиптическую поляризацию. При частоте , то есть при W 1, должны наблюдаться резонансные явления. Уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для гармонической волны с частотой 0 = ck0, распространяющейся в такой среде, принимают вид:
. (3.24)
Из второго уравнения системы (3.24) следует, что . Для того чтобы определить компоненты обратного тензора магнитной проницаемости, запишем материальное уравнение среды с учетом соотношения (1.32) в виде:
Bx = Hx + iHy, By = Hy - iHx, Bz = ||Hz,
откуда получаем:
Hx = MBx+ iKBy, Hy = MBy - iKBx, Hz = M||Bz,
где обозначено:
. (3.25)
Остальные компоненты обратного тензора магнитной проницаемости равны нулю: . Подставляя полученное выражение для вектора Н в первое уравнение (3.24), получим , или в декартовых координатах для проекции на ось х:
.
Перенесем все слагаемые с Ех в левую часть уравнения, добавим к обеим частям М||2Ех/х2 и, учитывая, что div E = 0, то есть , получим:
. (3.26)
Аналогично можно получить уравнения для составляющих Ey и Ez:
, (3.27)
. (3.28)
Рассмотрим случай, когда вдоль оси z распространяется поперечная электромагнитная волна (Ez = 0). Решение уравнений (3.26) - (3.28) будем искать в виде E(x, y, z) = E(x, y)exp(ihz). Тогда уравнения (3.26) и (3.27) примут вид:
Заметим, что из условий div E = 0, Ez = 0 и уравнения (3.28) следует, что
,
то есть
(3.29)
Система уравнений (3.29) имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее детерминант равен нулю, что приводит к биквадратному уравнению относительно постоянной распространения h:
.
С учетом соотношений (3.25) между компонентами прямого и обратного тензоров магнитной проницаемости получаем:
,
то есть в направлении оси z распространяются две поперечные электромагнитные волны с различными фазовыми скоростями:
. (3.30)
Подставляя вычисленные значения h2 в уравнения (3.29), найдем множитель поляризации P = Ex/Ey = i, то есть эти волны имеют соответственно правую и левую круговую поляризацию. Линейно поляризованная волна в продольно намагниченном феррите расщепляется на две волны, поляризованные по кругу. Скорости распространения этих волн различны, поэтому при прохождении некоторого расстояния l плоскость поляризации оказывается повернутой на угол, пропорциональный l (эффект Фарадея). Направление вращения плоскости поляризации определяется относительно вектора Н и не зависит от направления распространения волны (по z или по -z). Это свойство используется для создания СВЧ-вентильных систем (циркуляторов).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Распространение волн в упругой среде. Уравнение плоской и сферической волны. Принцип суперпозиции, разложение Фурье и эффект Доплера. Наложение встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Зависимость длины волны от относительной скорости движения.
презентация [2,5 M], добавлен 14.03.2016Параметры упругих гармонических волн. Уравнения плоской и сферической волн. Уравнение стоячей волны. Распространение волн в однородной изотропной среде и принцип суперпозиции. Интервалы между соседними пучностями. Скорость распространения звука.
презентация [155,9 K], добавлен 18.04.2013Основные методы описания распространения электромагнитных волн в периодических средах с использованием волновых уравнений. Теории связанных волн, вывод уравнений. Выбор метода для описания генерации второй гармоники в периодически поляризованной среде.
дипломная работа [1,1 M], добавлен 17.03.2014Метод последовательных приближений. Генерация второй гармоники. Параметрическая генерация и усиление волн. Коэффициент параметрического усиления. Нелинейная поляризация на собственной частоте. Воздействие одной волны на другую. Фазовая скорость волны.
контрольная работа [81,0 K], добавлен 20.08.2015Понятие волны и ее отличие от колебания. Значение открытия электромагнитных волн Дж. Максвеллом, подтверждающие опыты Г. Герца и эксперименты П. Лебедева. Процесс и скорость распространения электромагнитного поля. Свойства и шкала электромагнитных волн.
реферат [578,5 K], добавлен 10.07.2011Переменное электромагнитное поле в однородной среде или вакууме. Формулы Френеля. Угол Брюстера. Уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн в плоском оптическом волноводе. Дисперсионные уравнения трехслойного диэлектрического волновода.
курсовая работа [282,5 K], добавлен 21.05.2008Экспериментальное получение электромагнитных волн. Плоская электромагнитная волна. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Получение модуля вектора плотности потока энергии. Вычисление давления электромагнитных волн и уяснение его происхождения.
реферат [28,2 K], добавлен 08.04.2013Нахождение показателя преломления магнитоактивной плазмы. Рассмотрение "обыкновенной" и "необыкновенной" волн, исследование их свойств. Частные случаи распространения электромагнитных волн в магнитоактивной плазме. Определение магнитоактивных сред.
курсовая работа [573,6 K], добавлен 29.10.2013Интерференция двух наклонных плоских монохроматических волн. Построение 3D-изображения дифракционных решеток в плоскости y-z. Определение значения параметров решеток в средах с показателями преломления n2 и n1 для каждого угла падения сигнальных волн.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.05.2022Характеристика диапазонов радиоволн. Электродинамические свойства земной поверхности и атмосферы Земли. Отличие распространения длинных, средних и коротких волн. Распространение радиоволн в пределах прямой видимости над шероховатой поверхностью Земли.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 02.10.2013