Размещено на http://www.allbest.ru/

Волны в анизотропных средах



В однородной анизотропной среде без пространственной дисперсии, для которой зависимость свойств от направления одинакова в разных точках, материальные уравнения принимают вид:

Di(r, ) = i j()Ej(r, ), Bi(r, ) = i j()Hj(r, ),

.

Обычно в среде тензором бывает либо магнитная, либо диэлектрическая проницаемость, а вторая величина при этом является скаляром.

1. Волновое уравнение для анизотропной среды

Рассмотрим немагнитную негиротропную однородную и анизотропную среду с материальным уравнением вида . Уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для монохроматической волны имеют вид:

rot H = -iD/c, div H = 0, rot E = iH/c, div D = 0,

и с учетом материальных уравнений сводятся к волновому уравнению

. (3.1)

Для плоских волн уравнения Максвелла принимают вид (2.28)

[k H] = -D/c, (k H) = 0, [k E] = H/c, (k D) = 0, (3.2)



а волновое уравнение (3.1) можно записать в виде:

. (3.3)

Из системы уравнений (3.2) следует, что векторы k, D и H взаимно перпендикулярны и вектор H перпендикулярен вектору Е, но вектор Е в общем случае не коллинеарен вектору D. В плоскости волнового фронта (k r) = const лежат векторы D и H, а вектор Е не лежит в этой плоскости. Следовательно, и направление потока энергии S = [E H]c/(4) не совпадает с волновым вектором k, то есть не совпадают направления групповой и фазовой скоростей.

Введем лучевой вектор s, направление которого совпадает с направлением вектора Пойтинга S, а модуль определяется из условия

(s n) = 1, (3.4)

где n = kc/. Нетрудно показать, что

(s Е) = 0, (s Н) = 0. (3.5)

Умножая уравнение (3.2) векторно на s и учитывая соотношение (3.4), получим:

[s D] = H, [s H] = -E. (3.6)

Материальное уравнение для соотношений (3.5) и (3.6) имеет вид

. (3.7)



Волновое уравнение (3.3) может быть записано для компонентов в виде, аналогичном уравнению (2.29):

(n2i j - ninj - i j)Ej = 0.

Нетривиальное решение этой системы уравнений возможно лишь при равенстве нулю ее детерминанта, что задает дисперсионное уравнение:

det(n2i j - ninj - i j) = 0, (3.8)

устанавливающее частотную зависимость коэффициента преломления n() при заданном тензоре диэлектрической проницаемости i j(). Аналогично система уравнений (3.5) и (3.6) приводит к другой форме дисперсионного уравнения:

det(s2i j - sisj - -1i j) = 0. (3.9)

2. Распространение плоских волн в кристаллах

Для анизотропных и негиротропных кристаллов тензор диэлектрической проницаемости симметричен i j() = j i(). Если среда прозрачна, то есть можно пренебречь поглощением, то все компоненты тензора вещественны, а симметрический вещественный тензор может быть приведен к главным осям, в которых отличны от нуля только его диагональные компоненты x x, y y, z z. В этих осях материальное уравнение принимает вид:

Dx = x x Ex, Dy = y y Ey, Dz = z z Ez. (3.10)



Естественно, что в главных осях и обратный тензор тоже диагональный, а дисперсионное соотношение (3.8) принимает вид уравнения Френеля:

анизотропный среда волновой кристалл

.(3.11)

Для монохроматической волны фиксированной частоты уравнение Френеля (3.11) является квадратичным относительно квадрата показателя преломления n2. Поэтому каждому заданному направлению n = (nx, ny, nz) соответствуют два различных значения волнового числа k = n/c, то есть две нормальных волны, распространяющихся с различными фазовыми скоростями. Например, вдоль главной оси z получаем nx = ny = 0, nz = n, и уравнение Френеля (3.11) существенно упрощается:

n4 - n2(x x + y y) + x x y y = 0, n21 = x x, n22 = y y.

Рассмотрим поляризацию нормальных волн. Направим ось z' вдоль вектора n, тогда Dz' = 0 и уравнения (3.2) легко сводятся к виду:

D = n2E - n(nE), Dx' = n2Ex', Dy' = n2Ey',

который с помощью материального уравнения (3.7) записывается в виде:

.

Поскольку все компоненты обратного тензора диэлектрической проницаемости действительны, то и множитель поляризации



-

тоже действительное число. Таким образом, в анизотропной среде нормальные волны поляризованы линейно. Всякая другая волна в анизотропной среде расщепляется на две линейно поляризованные волны, фазовые скорости которых различны.

Найдем теперь направление групповой скорости нормальной волны. Пусть E(r) = eE(r), тогда волновое уравнение (3.3) примет вид:

. (3.12)

Умножим уравнение (3.12) скалярно на е и продифференцируем его по k:

,

откуда получаем выражение для групповой скорости:

. (3.13)

Поскольку е = Е/Е, а в силу соотношения (3.2) [k e] = [k E]/E = H/(cE), то

[e [k e]] = [H E]/(cE2) = 4S/(cE)2,

то есть групповая скорость нормальной волны параллельна ее лучевому вектору.

Наконец, рассмотрим ограниченный в сечении пучок (почти плоскую волну) вида:

E(r) = A(r)exp(ikr), (3.14)

где амплитуда A(r) медленно меняется в пространстве:

|dA/dr| << k|A|. (3.15)

Пусть пучок является одной из нормальных волн:

A(r) = еA(r). (3.16)

Найдем ротор векторного поля E(r) вида (3.14):

rot E = rot (A(r)eikr) = eikr rot A + [grad (eikr) A] = eikr(rot A + i[k A]).

Возьмем еще раз ротор от полученного выражения с учетом условий (3.15) и (3.16):

rot rot E = eikr rot (rot A + i[k A]) + [grad (eikr) (rot A + i[k A])]

eikr{rot (Ai[k e] + i[k (rot A + i[k A])]} =

= eikr{iA rot [k e] + i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - [k [k A]]}.

Тогда волновое уравнение (3.1) принимает вид:



i[(grad A) [k e]] + i[k [(grad A) e]] - {[k [k e]] +e2/c2}A = 0. (3.17)

Заметим, что в силу уравнения (3.12) выражение в фигурных скобках обращается в нуль. Умножая уравнение (3.17) скалярно на вектор е, получим:

e{k(e grad A) - e(k grad A) + (grad A)(ke) - e(k grad A)} = 0,

(ke) (e grad A) - (ee) (k grad A) = 0,

[e [k e]] (grad A) = 0. (3.18)

Укороченное уравнение (3.18) описывает распространение волнового пучка в анизотропной среде без учета дифракции и диссипации, из него следует, что амплитуда остается постоянной в направлении вектора [e [k e]], который параллелен лучевому вектору s.

3. Оптические свойства кристаллов

Основное свойство кристалла - симметрия его кристаллической решетки. Различают 3 группы симметрии: 1) кубическая решетка без осей симметрии, выбранных направлений в кристалле нет, тензор диэлектрической проницаемости превращается в скаляр i j() = i j(); 2) одноосные кристаллы, одна из главных осей совпадает с осью симметрии кристалла (оптическая ось), направление двух других главных осей произвольные, z z() = ||(), x x() = y y() = (); 3) двухосные кристаллы.

Для одноосных кристаллов уравнение Френеля (3.11) принимает вид:



и распадается на два уравнения второго порядка

(3.19)

Первое из этих уравнений описывает в координатах (nx, ny, nz) сферу радиуса , а второе - эллипсоид вращения с полуосями и . На оси nz сфера касается эллипсоида. Если > ||, эллипсоид лежит внутри сферы и кристалл называется оптически отрицательным, если < ||, то эллипсоид охватывает сферу и кристалл называется оптически положительным.

Точечный источник, помещенный в однородную анизотропную среду, будет излучать две расходящиеся волны: обыкновенную - со сферическим фронтом и необыкновенную - с волновым фронтом в виде эллипсоида. Для плоской волны фазовая скорость обыкновенной волны не зависит от направления распространения, а у необыкновенной зависит. В оптически отрицательных кристаллах фазовая скорость обыкновенной волны меньше, чем у необыкновенной, у положительных - наоборот, когда направление распространения волны совпадает с оптической осью, обе скорости равны.

Для необыкновенной волны уравнение (3.19) можно записать в виде:

. (3.20)

Пусть оптическая ось кристалла направлена вдоль оси z, волновой вектор k лежит в плоскости (у, z), то есть kx = 0. Поскольку направление луча совпадает с направлением групповой скорости vгр = d/dk, то для угла ' между оптической осью и лучевым вектором получим:

.



Дифференцируя соотношение (3.20) по kz и ky, найдем:

,

где - угол между волновым вектором k и оптической осью. Таким образом, в необыкновенной волне векторы n и s не совпадают, но лежат в главном сечении, то есть плоскости, проходящей через оптическую ось и вектор n.

При падении плоской волны на поверхность кристалла волновые векторы преломленной и отраженной волн должны лежать в плоскости падения, следовательно, в одноосных анизотропных кристаллах возникают две преломленных волны: обыкновенная и необыкновенная - двойное лучепреломление, при этом лучевой вектор необыкновенной волны не лежит в плоскости падения.

4. Распространение электромагнитных волн в гиромагнитных средах

В ферритах типа MeOFe2O3 (Me - двухвалентный металл) тензором является магнитная проницаемость i j(). Анизотропия магнитной проницаемости в ферритах создается наложением постоянного или медленно (по сравнению с частотой электромагнитной волны) меняющегося магнитного поля Н. В ферритах магнитные моменты молекул, имеющие спиновую природу, из-за взаимодействия не компенсируются, и единица объема (домен) обладает магнитным моментом М, то есть является магнитным диполем. Прецессия магнитных диполей вокруг силовых линий постоянного магнитного поля и создает анизотропию магнитных свойств. При Н = 0 магнитная проницаемость феррита - скалярная величина.

Движение магнитного диполя с магнитным моментом Мэф = М0 + М во внешнем магнитном поле Нэф описывается уравнением Ландау - Лифшица:

dMэф/dt = -[Mэф Нэф], (3.21)

где Нэф = Н0 + Н, Н0 - постоянное магнитное поле, Н - магнитное поле распространяющейся волны, М0 - постоянная намагниченность, совпадающая по направлению с Н0, М - магнитный момент, создаваемый волной, = e/(mc) - гиромагнитное отношение. Будем считать, что |H| << |H0|, |M| << |M0|, тогда уравнение (3.21) примет вид:

dM/dt + [M Н0] = -[M0 Н].

При распространении гармонической волны M(t) = Mexp(-it),

H(t) = Hexp(-it), и для компонент комплексных амплитуд получаем уравнения:

-iMx + My = M0Hy, -iMy - Mx = M0Hx, -iMz = 0. (3.22)

Здесь предполагается, что постоянное магнитное поле Н0 направлено вдоль оси z, = |H0|. Из уравнения (3.22) можно найти компоненты переменного магнитного момента Mx, My, Mz и компоненты Вx, Вy, Вz вектора магнитной индукции

Вi = Нi - 4Мi = i jHj, i, j = x, y, z,

то есть определить компоненты тензора магнитной проницаемости:



(3.23)

Из уравнений (3.23) следует, что тензор магнитной проницаемости феррита - эрмитовый, то есть феррит является магнитоактивной средой, нормальные волны в ней должны иметь круговую или эллиптическую поляризацию. При частоте , то есть при W 1, должны наблюдаться резонансные явления. Уравнения Максвелла (1.16) - (1.19) для гармонической волны с частотой 0 = ck0, распространяющейся в такой среде, принимают вид:

. (3.24)

Из второго уравнения системы (3.24) следует, что . Для того чтобы определить компоненты обратного тензора магнитной проницаемости, запишем материальное уравнение среды с учетом соотношения (1.32) в виде:

Bx = Hx + iHy, By = Hy - iHx, Bz = ||Hz,

откуда получаем:

Hx = MBx+ iKBy, Hy = MBy - iKBx, Hz = M||Bz,

где обозначено:



. (3.25)

Остальные компоненты обратного тензора магнитной проницаемости равны нулю: . Подставляя полученное выражение для вектора Н в первое уравнение (3.24), получим , или в декартовых координатах для проекции на ось х:

.

Перенесем все слагаемые с Ех в левую часть уравнения, добавим к обеим частям М||2Ех/х2 и, учитывая, что div E = 0, то есть , получим:

. (3.26)

Аналогично можно получить уравнения для составляющих Ey и Ez:

, (3.27)

. (3.28)

Рассмотрим случай, когда вдоль оси z распространяется поперечная электромагнитная волна (Ez = 0). Решение уравнений (3.26) - (3.28) будем искать в виде E(x, y, z) = E(x, y)exp(ihz). Тогда уравнения (3.26) и (3.27) примут вид:

Заметим, что из условий div E = 0, Ez = 0 и уравнения (3.28) следует, что

,

то есть

(3.29)

Система уравнений (3.29) имеет нетривиальные решения только тогда, когда ее детерминант равен нулю, что приводит к биквадратному уравнению относительно постоянной распространения h:

.

С учетом соотношений (3.25) между компонентами прямого и обратного тензоров магнитной проницаемости получаем:

,



то есть в направлении оси z распространяются две поперечные электромагнитные волны с различными фазовыми скоростями:

. (3.30)

Подставляя вычисленные значения h2 в уравнения (3.29), найдем множитель поляризации P = Ex/Ey = i, то есть эти волны имеют соответственно правую и левую круговую поляризацию. Линейно поляризованная волна в продольно намагниченном феррите расщепляется на две волны, поляризованные по кругу. Скорости распространения этих волн различны, поэтому при прохождении некоторого расстояния l плоскость поляризации оказывается повернутой на угол, пропорциональный l (эффект Фарадея). Направление вращения плоскости поляризации определяется относительно вектора Н и не зависит от направления распространения волны (по z или по -z). Это свойство используется для создания СВЧ-вентильных систем (циркуляторов).

Размещено на Allbest.ru