Визначення критичних значень навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок для різних видів закріплення країв

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МЕХАНІКИ ім. С.П. ТИМОШЕНКА

УДК 539.3

ВИЗНАЧЕННЯ КРИТИЧНИХ ЗНАЧЕНЬ НАВАНТАЖЕННЯ ПРИ ДЕФОРМУВАННІ ГНУЧКИХ ДОВГИХ ПОЛОГИХ НЕКРУГОВИХ ЦИЛІНДРИЧНИХ ОБОЛОНОК ДЛЯ РІЗНИХ ВИДІВ ЗАКРІПЛЕННЯ КРАЇВ

01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла

Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Харитонова Леся Василівна

Київ 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті механіки ім. С. П. Тимошенка НАН України.

Науковий керівник: академік НАН України, доктор технічних наук, професор Григоренко Ярослав Михайлович, головний науковий співробітник відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Сторожук Євген Анатолійович, провідний науковий співробітник відділу динаміки і стійкості суцільних середовищ Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України;

доктор технічних наук, професор Гоцуляк Євген Олександрович, завідувач відділу стійкості конструкцій науково - дослідного інституту будівельної механіки Київського національного університету будівництва і архітектури.

Захист відбудеться “ 26 ” січня 2010 р. о 13.30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01 Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57, вул. П. Нестерова, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту механіки
ім. С.П. Тимошенка НАН України за адресою: 03057, м. Київ-57,
вул. П. Нестерова, 3.

Автореферат розісланий “ 15 ” грудня 2009 р.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Д 26.166.01

доктор фізико-математичних наук О.П.Жук

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Оболонкові конструкції різної структури і форми широко використовуються в багатьох галузях техніки, насамперед, в суднобудуванні, літакобудуванні та приладобудуванні. Панелі обшивки суден та літаків часто являють собою тонкі пологі циліндричні оболонки кругового і некругового поперечного перерізу, довжина яких набагато перевищує ширину. До таких оболонкових конструкцій висуваються надзвичайно жорсткі вимоги стосовно їх ваги, що обумовлює необхідність точного розрахунку несучої здатності та умов стійкості оболонок, що працюють при різних умовах закріплення країв, під дією різних типів навантаження.

Поведінка оболонок при втраті стійкості суттєво відрізняється від поведінки стержнів та пластинок. Для оболонок характерною є втрата стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги, що проявляється у вигляді так званого «хлопка». Після втрати стійкості оболонкова конструкція фактично руйнується. Таким чином, задачі, пов'язані з дослідженням умов стійкості оболонок та визначенням критичних значень навантаження, є актуальними для сучасної техніки.

Дослідження поведінки оболонок в усій області деформування, що об'єднує докритичну і закритичну зони, виконується за допомогою геометрично нелінійної теорії оболонок. Нелінійність відповідних крайових задач обумовлює складність їх дослідження і значно звужує можливості отримання аналітичних розв'язків, кожен з яких, таким чином, має додаткову цінність.

Аналіз наукової літератури, присвяченої розв'язанню геометрично нелінійних задач деформування гнучких циліндричних оболонок, показує, що точні аналітичні розв'язки вдалося отримати лише для оболонок кругового поперечного перерізу. При цьому не було визначено жодних аналітичних умов, які визначали б геометричні параметри оболонок, що деформуються без втрати стійкості, та тих, що при критичних навантаженнях втрачають стійкість.

З усього сказаного вище випливає актуальність напрямку досліджень, виконаних у дисертації, який полягає у визначенні критичних значень навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при різних умовах закріплення та навантаження за допомогою точних аналітичних розв'язків відповідних нелінійних крайових задач.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, що проведені в дисертаційній роботі, виконано у відповідності з науковими темами Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України: 1.3.1.461п. „Дослідження напружено-деформованого стану некругових циліндричних оболонок в лінійній та геометрично нелінійній постановках” (№ ДР 0105U005083, 2005-2007); 1.3.1.349 „Розробка методів розв'язання задач та дослідження статичного і динамічного деформування пружних тіл складної геометрії та структури на основі моделей різного рівня” (№ ДР 0105U001991, 2005-2009).

Мета і задачі дослідження. Мету і задачі досліджень, виконаних у дисертації, можна сформулювати так:

- розробка ефективного підходу до визначення критичних значень навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок під дією нерівномірного навантаження;

- виведення розв'язувальної системи диференціальних рівнянь на основі співвідношень геометрично нелінійної теорії гнучких пологих оболонок;

- побудова точних аналітичних розв'язків задач нелінійного деформування гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу в областях докритичного та закритичного деформування при нерівномірному навантаженні та різних умовах закріплення поздовжніх країв, таких як жорстке і шарнірне закріплення та дія згинаючих моментів; навантаження гнучкий пологий оболонка

- встановлення аналітичних умов, що характеризують геометрію оболонок, здатних до втрати стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги при деформуванні;

- визначення за допомогою побудованих розв'язків критичних значень навантаження, при яких відбувається втрата стійкості оболонки і перехід у несуміжне положення рівноваги.

Об'єктом дослідження є деформування і втрата стійкості гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при різних умовах закріплення поздовжніх країв та під дією різних типів навантаження.

Предметом дослідження є напружено-деформований стан оболонок вказаного класу та критичні значення навантаження, при яких оболонка втрачає стійкість і переходить у несуміжне положення рівноваги.

Методи дослідження. Дослідження проводилися у рамках геометрично нелінійної теорії оболонок. На основі вихідних рівнянь сформульовано крайову задачу для розв'язувальної системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, побудовано точні аналітичні розв'язки цієї задачі для різних умов закріплення поздовжніх країв та різних типів навантаження.

Наукова новизна отриманих результатів полягає в таких положеннях, що виносяться на захист:

- на основі рівнянь геометрично нелінійної теорії оболонок виведено розв'язувальну систему нелінійних звичайних диференціальних рівнянь, яка описує напружено-деформований стан гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу в докритичній та закритичній областях деформування;

- вперше отримано точні аналітичні розв'язки задач нелінійного деформування гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу в докритичній та закритичній областях деформування при квадратичному законі розподілу навантаження вздовж напрямної та при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів, а також при сумісній дії рівномірного поверхневого навантаження та згинаючих моментів;

- вперше виведено аналітичні вирази, що визначають граничні значення узагальненого геометричного параметра, при перевищенні яких оболонка стає здатною до втрати стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги;

- вперше визначено критичні значення навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при вказаних вище умовах закріплення та сумісній дії рівномірного поверхневого навантаження і прикладених на поздовжніх краях згинаючих моментів.

Достовірність одержаних в роботі результатів забезпечується використанням обґрунтованої математичної моделі теорії пологих оболонок, коректністю формулювання задачі, несуперечливістю викладок, проведених при отриманні аналітичних розв'язків, та узгодженістю окремих результатів роботи з відомими в літературі.

Практичне значення одержаних результатів. Результати розв'язання задач нелінійного деформування гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при різних умовах закріплення та навантаження можуть використовуватися вченими-фахівцями з теорії оболонок для перевірки точності наближених методів розв'язання задач нелінійного деформування оболонок. Встановлені умови, що визначають здатність оболонки до втрати стійкості, а також визначені критичні значення навантаження можуть бути використані в науково-дослідних організаціях та конструкторських бюро для проведення розрахунків з оцінки стійкості, деформативності і несучої здатності оболонкових елементів конструкцій сучасної техніки.

Особистий внесок здобувача. В роботах [1-5], опублікованих у співавторстві з науковим керівником, дисертанту належить вибір методики розв'язання поставлених перед ним задач, виведення розв'язувальних рівнянь, побудова точних аналітичних розв'язків, створення програмного забезпечення, аналіз отриманих результатів, співавтору - визначення напрямку дослідження, постановка задачі та участь у аналізі отриманих результатів.

В роботі [6] дисертантом проведено аналіз розподілу прогину гнучких довгих пологих циліндричних оболонок змінної кривизни при жорсткому закріпленні поздовжніх країв в докритичній і закритичній областях деформування.

В роботах [7-10] дисертантом самостійно проведено дослідження стійкості та закритичної поведінки гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок на основі отриманих аналітичних розв'язків відповідних нелінійних крайових задач.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідались і обговорювались на:

Міжнародній конференції „Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем” (Київ, 2005);

1. Міжнародній науковій конференції „Математичні проблеми технічної механіки-2006” (Дніпродзержинськ, 2006);

2. ХІІ Міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2008);

3. Міжнародній конференції „Аналітичні методи механіки і комплексного аналізу”, присвяченій 100-річчю з дня народження М.О. Кільчевського та В.А. Зморовича (Київ, 2009);

4. Наукових семінарах відділу обчислювальних методів Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України (Київ, 2005-2009);

5. Науковому семінарі Інституту механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України за напрямком „Механіка оболонкових систем” (Київ, 2009);

6. Семінарі кафедри механіки суцільних середовищ механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2009).

Публікації. За результатами дисертації опубліковано 10 робіт, в тому числі 6 статей у фахових спеціалізованих журналах [1-6], які входять до переліку ВАК України, а також 4 роботи у матеріалах конференцій [7-10].

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається з вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації становить 189 сторінок, в тому числі 49 рисунків, 4 таблиці, список використаних джерел з 146 найменувань на 14 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі подається загальна характеристика дисертаційної роботи. Зокрема, обґрунтовано актуальність обраної теми, сформульовано мету та задачі дослідження, визначено наукову новизну та практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі наведено огляд наукових робіт, присвячених дослідженню напружено-деформованого стану та визначенню умов стійкості гнучких циліндричних оболонок кругового та некругового поперечного перерізу.

Важливу роль у розробці загальної теорії оболонок зіграли праці С.П. Тимошенка, В.З. Власова, Л. Донелла, Т. Кармана, К. Маргерра, Х.М. Муштарі, В.В. Новожилова, Вей-Цанг Чена. Основні сучасні підходи до визначення умов стійкості оболонкових конструкцій базуються на застосуванні аналітичних, чисельно-аналітичних та чисельних методів дослідження в межах нелінійної теорії. Зокрема, розробці аналітичних методів присвячені роботи Х.М. Муштарі, К.З. Галімова, Е.І. Григолюка, Я.М. Григоренка, О.М. Гузя, М.С. Корнішина та інших.

Проведений аналіз робіт показав, що аналітичному дослідженню нелінійного деформування і умов втрати стійкості гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при нерівномірному навантаженні та типових для практики умовах закріплення поздовжніх країв присвячено незначну кількість робіт. Точні аналітичні розв'язки вдалося отримати переважно для оболонок кругового поперечного перерізу для жорсткого і шарнірного закріплення поздовжніх країв і рівномірного поверхневого навантаження. На основі отриманих аналітичних розв'язків були зроблені висновки про залежність характеру деформування і форми втрати стійкості від значень узагальненого геометричного параметра. Проте, не були запропоновані аналітичні вирази, що визначали б значення узагальненого геометричного параметра, при переході через які відбувається зміна характеру деформування або форми втрати стійкості.

Виходячи з цього, отримання аналітичних розв'язків вказаного класу задач нелінійного деформування, які б описували поведінку оболонки в області як до- так і закритичного деформування і дозволяли б точно визначати критичні значення навантаження, чому присвячена дисертація, являє собою актуальну задачу. Такі аналітичні розв'язки, отримані для типових умов навантаження та закріплення поздовжніх країв оболонки, не тільки мають безпосереднє власне значення, але й можуть використовуватися для оцінки точності різних наближених та чисельних методів, що розроблені для задач більш широкого класу. Окремо необхідно відзначити відсутність результатів, які б відносилися до аналітичних умов, що визначають зміну характеру деформування оболонок. Отримання таких умов для характерних законів навантаження оболонки і типів закріплення її поздовжніх країв має теоретичний інтерес і є важливим для використання на практиці.

У другому розділі наведено основні рівняння теорії гнучких ізотропних оболонок, що базується на гіпотезі Кірхгофа-Лява, а саме рівняння геометрично нелінійної теорії тонких оболонок у квадратичному наближенні. Також наведено основні рівняння спрощеного варіанту теорії гнучких оболонок - теорії пологих оболонок Муштарі-Донелла-Власова. Виведено розв'язувальні рівняння для гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок.

Виходячи з основних співвідношень геометрично нелінійної теорії гнучких пологих оболонок, отримано розв'язувальну систему диференціальних рівнянь в частинних похідних у переміщеннях, звідки виведено два розв'язувальні рівняння для задачі про деформування гнучкої нескінченно довгої в напрямку вісі пологої некругової циліндричної оболонки в припущенні, що тангенціальна та згинна жорсткості змінюються за напрямною і оболонка знаходиться під дією нерівномірного нормального поверхневого навантаження :

(1)

(2)

де - ортогональні координати, до яких віднесено серединну поверхню оболонки, - товщина оболонки; - тангенціальне і нормальне переміщення; - кривизна; - навантаження; - тангенціальна та згинна жорсткості, - коефіцієнт Пуассона, - модуль пружності.

Розв'язувальна система (1), (2) є нелінійною системою звичайних диференціальних рівнянь шостого порядку.

В системі (1), (2) можна отримати перший інтеграл

(3)

де - зусилля за напрямною. Застосування інтегралу (3) дозволяє звести рівняння (1), (2) до вигляду:

, (4)

. (5)

Для випадку оболонок постійної товщини (), приймаючи, що (стиск) і позначаючи , рівняння (4) та (5) записано у вигляді:

(6)

, , (7)

де .

Отже, задача про деформування гнучкої довгої пологої некругової циліндричної оболонки сталої товщини описується розв'язувальною системою (6), (7) з відповідними граничними умовами.

У відповідності з порядком цієї системи на кожному поздовжньому краї оболонки треба задати по три граничні умови, які слід формулювати у переміщеннях. В роботі розглянуто три види граничних умов:

1) жорстке закріплення поздовжніх країв оболонки:

при ; (8)

2) шарнірне закріплення поздовжніх країв оболонки

при ; (9)

3) на поздовжніх краях оболонки задані згинаючі моменти:

при . (10)

У третьому розділі отримано точні аналітичні розв'язки нелінійних крайових задач деформування гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок сталої товщини в докритичній та закритичній областях деформування при квадратичному законі розподілу навантаження вздовж напрямної та при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів та при одночасній дії рівномірного нормального поверхневого навантаження та згинаючих моментів, прикладених по краях оболонки.

При жорсткому закріпленні поздовжніх країв математичний опис відповідної крайової задачі складається з системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь (6), (7) та граничних умов (8). Граничну умову на одному краї можна замінити еквівалентною умовою

(11)

яка означає, що зближення між краями відсутнє.

Прийнято, що кривизна і навантаження змінюються за такими законами:

, . (12)

Введено безрозмірні величини:

(13)

В безрозмірних величинах крайова задача (6) - (8) набула вигляду:

(14)

, (15)

(16)

Рівняння (15) за виглядом є лінійним диференціальним рівнянням з постійним коефіцієнтом , який являє собою безрозмірне внутрішнє зусилля за напрямною оболонки. Проте, залежність від є нелінійною, оскільки , а отже і , є нелінійними функціями .

Загальний розв'язок диференціального рівняння (15) має вигляд:

(17)

(18)

Сталі інтегрування знаходяться з перших двох умов (16), що приводять до системи алгебраїчних рівнянь, визначник якої відмінний від нуля при , . При , тобто при , з'являється несиметрична складова прогину. Метою даної роботи було дослідження лише симетричних форм рівноваги, отже вважалося, що параметр внутрішнього зусилля , де .

Розв'язок рівняння (15) отримано в явному вигляді:

(19)

де (20)

Враховуючи (19) в рівнянні (14) та задовольняючи останню граничну умову (16), отримуємо залежність між і у вигляді квадратного рівняння:

. (21)

Отже, точний аналітичний розв'язок крайової задачі (14)-(16) отримано у вигляді залежностей (19), (21). Залежність при фіксованому значенні координати отримується шляхом виключення з виразу для (19) за допомогою (21). Графіки функцій та , побудовані за допомогою виразів (19), (21) при і для різних значень , наведено на рис. 1, 2.

Дійсні розв'язки рівняння (21) існують, якщо його дискримінант . Дискримінант квадратного рівняння (21) можна подати у вигляді:

, (22)

(23)

Досліджуючи (23), встановлено, що для заданої геометрії оболонки існує певне граничне значення параметра внутрішнього зусилля , для якого при при , при (рис.1). Таким чином, при аналізі розв'язку задачі про рівновагу оболонки доцільно розглядати такі випадки: 1) , 2) , 3) , реалізація яких визначається значенням узагальненого геометричного параметра . З огляду на дослідження лише симетричних форм рівноваги (), третій випадок детально не розглядався.

Отримано аналітичний вираз для значення узагальненого геометричного параметра , яке розділяє перші два випадки, що відповідають двом різним типам деформування оболонки. При () залежності є монотонними і існує лише одна стійка форма рівноваги оболонки, при () залежності мають точки максимуму і мінімуму (верхнє і нижнє критичні значення навантаження) і існують дві несуміжні форми стійкої рівноваги, перехід між якими відбувається за рахунок хлопка (рис. 2). При навантаженні оболонки перехід від однієї форми рівноваги до іншої відбувається в точці максимуму залежності , а при розвантаженні - в точці мінімуму цієї залежності. При жирна крива розділяє зазначені випадки, а дотична до неї в точці перегину паралельна вісі абсцис. На рис. 1-3 значенню () відповідають жирні криві.

Вираз для отримання значення знаходиться з умови і має вигляд:

(24)

При умові шарнірного закріплення поздовжніх країв оболонки крайову задачу записано у вигляді системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь (14), (15) з граничними умовами

(25)

Кривизна і навантаження оболонки змінюються за законами (12).

Загальний розв'язок диференціального рівняння (15) записано у вигляді (17), (18). Сталі інтегрування знаходяться з перших двох умов (25), що приводять до системи алгебраїчних рівнянь, визначник якої відмінний від нуля при , . Параметр внутрішнього зусилля, при якому вперше з'являється несиметрична складова прогину, має значення .

Точний аналітичний розв'язок нелінійної крайової задачі (14), (15), (25) отримано у параметричному вигляді:

(26)

, (27)

де і визначаються за формулами (20).

За допомогою виразів (26), (27) побудовані залежності та для різних значень геометричного параметра при і (рис. 4, 5).

Дискримінант квадратного рівняння (27) може бути поданий у вигляді:

, (28)

(29)

Аналогічно до випадку жорсткого закріплення, при аналізі розв'язку задачі про рівновагу оболонки при шарнірному закріпленні поздовжніх країв доцільно розглядати такі випадки: 1) , 2) , 3) , реалізація яких визначається значенням параметра (рис. 4). З огляду на дослідження лише симетричних форм рівноваги (), третій випадок детально не розглядався.

Отримано аналітичний вираз для значення узагальненого геометричного параметра , яке розділяє перші два випадки, коли оболонка є стійкою і коли вона може втратити стійкість за рахунок хлопка (на рис. 4-6 - жирні криві). При () існує лише одна стійка форма рівноваги оболонки, в той час як при () існують дві несуміжні форми стійкої рівноваги.

Вираз для отримання значення знаходиться з умови і має вигляд:

(30)

Розглянуто задачу про нелінійне деформування некругової нескінченно довгої пологої циліндричної оболонки прикладеними на поздовжніх краях згинаючими моментами. Вихідні рівняння записано у вигляді:

(31)

де . (32)

Граничні умови в цьому випадку мають вигляд:

. (33)

Загальний розв'язок диференціального рівняння (32) записано у вигляді:

(34)

Визначник системи алгебраїчних рівнянь для знаходження сталих інтегрування відмінний від нуля при , . Параметр внутрішнього зусилля, при якому вперше з'являється несиметрична складова прогину, має значення .

Точний аналітичний розв'язок нелінійної крайової задачі (31) - (33) отримано у параметричному вигляді:

(35)

. (36)

Залежності та , побудовані за допомогою (35), (36) для різних значень геометричного параметра і наведено на рис. 7, 8.

Дискримінант квадратного рівняння (36) подано у вигляді:

, (37)

(38)

Аналогічно попереднім задачам, розглянуто такі випадки: 1), 2), реалізація яких визначається значенням параметра (рис. 7). В першому випадку існує лише одна форма стійкої рівноваги, тоді як в другому можливі дві несуміжні форми стійкої рівноваги, перехід між якими відбувається за рахунок хлопка (рис. 8). Вираз для отримання значення узагальненого геометричного параметра , яке розділяє ці два випадки, знаходиться з умови і має вигляд:

(39)

Застосовуючи аналогічний підхід, розв'язано задачу про нелінійне деформування оболонки при сумісній дії рівномірного поверхневого навантаження та згинаючих моментів, прикладених по поздовжніх краях. Крайову задачу в цьому випадку записано у вигляді системи нелінійних звичайних диференціальних рівнянь

(40)

де (41)

з граничними умовами (33).

Загальний розв'язок диференціального рівняння (41) записано у вигляді:

(42)

де (43)

Точний аналітичний розв'язок нелінійної крайової задачі (40), (41), (33) отримано у параметричному вигляді:

(44)

. (45)

Залежності та , побудовані за допомогою (44), (45) при значенні і для різних значень , наведено на рис. 10 - 12.

Дискримінант квадратного рівняння (45) подано у вигляді:

, (46)

(47)

Аналогічно до попередніх задач, було розглянуто такі випадки: 1) , 2) , реалізація яких визначається значенням узагальненого геометричного параметра . Вираз для отримання значення , яке розділяє ці випадки, що відповідають двом різним типам деформування оболонки, має вигляд:

(48)

У четвертому розділі на основі отриманих точних аналітичних розв'язків проведено аналіз напружено-деформованого стану гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, а також при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів та при сумісній дії рівномірного поверхневого навантаження і згинаючих моментів. Для кожного варіанту граничних умов проведено аналіз впливу зміни параметрів , що характеризують геометрію оболонки та закон поверхневого навантаження, на її поведінку та напружено-деформований стан в усій області деформування. Побудовано і проаналізовано залежності , , і , , та знайдено критичні значення навантаження.

Типові графіки залежностей , при , , що описують поведінку оболонки при жорсткому закріпленні поздовжніх країв, наведені на рис. 2, 3. Критичні значення навантаження та прогину при різних значеннях параметрів навантаження та кривизни і наведені у таблиці 1.

Таблиця 1

	6,105	0,216	5,477	0,387
	7,639	0,219	6,963	0,382
	10,19	0,226	9,562	0,371
	10,441	0,206	6,134	0,58
	12,466	0,215	7,999	0,573
	15,611	0,234	11,458	0,573
	14,466	0,211	7,394	0,749
	16,7	0,233	9,721	0,739
	20,248	0,269	14,113	0,716

Наведені результати свідчать, що при фіксованому значенні нижні і верхні критичні значення навантаження зменшуються при збільшенні , що є наслідком збільшення інтегрального навантаження на оболонку. При цьому різниця між відповідними верхніми і нижніми критичними значеннями зменшується, тобто відбувається звуження діапазонів зміни параметра навантаження , в яких рівновага оболонки є нестійкою. При збільшенні також спостерігається звуження області стійкого деформування за рахунок зменшення значень узагальненого геометричного параметра . Оскільки , то це означає, що зі збільшенням втрата стійкості відбувається для більш пологих оболонок і оболонок з більшою товщиною. При фіксованому значенні зі збільшенням верхні і нижні критичні значення збільшуються, при цьому різниця між ними також збільшується, тобто відбувається розширення діапазонів зміни параметра навантаження , в яких рівновага оболонки є нестійкою. Також зі збільшенням параметра величина зменшується, тобто більш круті при наближенні до країв оболонки характеризуються більш вузькими областями стійкого деформування.

Типові графіки залежностей , , при ; , що описують поведінку оболонки при шарнірному закріпленні поздовжніх країв, наведені на рис. 5, 6. Критичні значення навантаження та прогину в залежності від значень параметрів навантаження та кривизни при наведені в таблиці 2. Характер результатів є аналогічним характеру результатів, отриманих у випадку жорсткого закріплення.

Таблиця 2

	3,044	0,253	1,044	0,68
	3,329	0,254	1,144	0,681
	3,674	0,256	1,266	0,682
	3,83	0,268	0,706	0,768
	4,184	0,27	1,775	0,769
	4,609	0,272	0,859	0,77
	4,742	0,286	0,269	0,856
	5,171	0,288	0,296	0,857
	5,682	0,292	0,329	0,858

Типові графіки залежностей , при , що описують поведінку оболонки з діючими на поздовжніх краях згинаючими моментами, наведені на рис. 8, 9. Критичні значення згинаючого моменту та прогину в залежності від параметра кривизни при наведені в таблиці 3.

Таблиця 3

	1,038	0,2383	0,567	0,581
	1,335	0,231	0,456	0,673
	1,703	0,236	0,297	0,764
	2,149	0,24	0,107	0,856

Дослідження поведінки оболонок в залежності від параметра кривизни дозволило зробити висновок, що при навантаженні по поздовжніх краях згинаючими моментами критичні значення навантаження зростають при збільшенні параметра . Отже, збільшення крутизни оболонки при наближенні до поздовжніх країв підсилює її несучу здатність. Такі ж висновки можна зробити і у випадку дії на оболонку нерівномірного поверхневого навантаження при жорсткому та шарнірному закріпленнях поздовжніх країв.

Типові графіки залежностей при ; , що описують поведінку оболонки при сумісній дії рівномірного поверхневого навантаження і згинаючих моментів, прикладених по поздовжніх краях оболонки, наведені на рис. 11, 12. Критичні значення згинаючого моменту та прогину в залежності від значень параметрів навантаження та кривизни при наведені у таблиці 4.

Таблиця 4

	1,72	0,226	0,864	0,665
	1,529	0,228	0,659	0,669
	1,14	0,234	0,256	0,677
	0,943	0,236	0,057	0,68
	2,085	0,23	0,687	0,757
	1,895	0,233	0,491	0,761
	1,509	0,239	0,105	0,767
	1,312	0,242	-0,085	0,077
	2,525	0,233	0,475	0,85
	2,338	0,237	0,29	0,853
	1,957	0,244	-0,073	0,858
	1,763	0,248	-0,253	0,861

Як випливає з наведених результатів, при додатному поверхневому навантаженні рівновага оболонки у недеформованому стані можлива за умов від'ємності прикладених на краях згинаючих моментів (рис. 11), абсолютне значення яких збільшуватиметься разом зі збільшенням . Значення та критичні значення зменшуються зі збільшенням (табл. 4). При від'ємному навантаженні рівновага оболонки у недеформованому стані можлива за умов додатності прикладених на краях згинаючих моментів (рис. 12), абсолютне значення яких збільшуватиметься разом зі збільшенням абсолютного значення . Значення та критичні значення збільшуються зі збільшенням абсолютного значення .

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі розроблено ефективний підхід до визначення критичних значень навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу під дією нерівномірного навантаження на основі точних аналітичних розв'язків відповідних нелінійних крайових задач. Досліджено задачі деформування оболонок вказаного типу при різних умовах закріплення та навантаження, встановлено умови, що визначають потенційну здатність оболонок до втрати стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги. Проаналізовано вплив параметрів, що характеризують геометрію оболонки та закон навантаження, на її поведінку та напружено-деформований стан в усій області деформування та визначено критичні значення навантаження при різних значеннях вказаних параметрів.

При цьому отримано такі конкретні результати:

На основі співвідношень геометрично нелінійної теорії гнучких пологих оболонок побудовано розв'язувальну систему нелінійних звичайних диференціальних рівнянь шостого порядку в переміщеннях, яка описує напружено-деформований стан гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок змінної товщини в докритичній та закритичній областях деформування.

Проведено аналітичне дослідження та отримано точні аналітичні розв'язки задач нелінійного деформування гнучких довгих пологих циліндричних оболонок сталої товщини некругового поперечного перерізу в докритичній та закритичній областях деформування при квадратичному законі розподілу вздовж напрямної нормального навантаження та при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів та при одночасній дії рівномірного нормального поверхневого навантаження та згинаючих моментів, прикладених по краях оболонки.

Проведено аналіз поведінки оболонки при вказаних умовах закріплення і навантаження в докритичній та закритичній областях деформування. В практично цікавих діапазонах зміни геометричних параметрів оболонки побудовано та проаналізовано залежності прогину оболонки, внутрішнього зусилля за напрямною і напружень на внутрішній поверхні оболонки від параметра навантаження та прогину від координати за напрямною.

Отримано аналітичні вирази, якими визначаються граничні значення узагальненого геометричного параметра, що розділяють випадки, коли оболонка є стійкою і коли вона може втратити стійкість за рахунок хлопка.

Визначено критичні значення навантаження, при яких відбувається втрата стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів та при сумісній дії рівномірного нормального поверхневого навантаження і згинаючих моментів, прикладених по краях оболонки.

Виявлені ефекти і отримані закономірності представлено на графіках і в таблицях.

Отримані у роботі аналітичні результати можуть використовуватися вченими-фахівцями з теорії оболонок для перевірки точності нових наближених методів розв'язання задач нелінійного деформування оболонок. Встановлені умови, що визначають здатність оболонки до втрати стійкості, а також визначені критичні значення навантаження можуть бути використані в науково-дослідних організаціях та конструкторських бюро для проведення розрахунків з оцінки міцності, стійкості і деформативності оболонкових елементів конструкцій сучасної техніки.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Григоренко Я.М. К определению критических значений нагрузки при деформировании гибких некруговых цилиндрических оболочек с жестко закрепленными краями / Я.М. Григоренко, Л.В. Харитонова // Прикл. механика. 2005.-Т. 41, №11. С. 78-87.

2. Григоренко Я.М. Анализ напряженного состояния гибких некруговых цилиндрических оболочек при различных критических значениях нагрузки с шарнирно закрепленными краями / Я.М. Григоренко, Л.В. Харитонова // Прикл. механика. 2006.-Т. 42, №2. С. 43-50.

3. Григоренко Я.М. Решение задачи о деформировании гибких некруговых цилиндрических оболочек с действующими на краях изгибающими моментами / Я.М. Григоренко, Л.В. Харитонова // Прикл. механика. 2006.-Т. 42, №11. С. 93-100.

4. Григоренко Я.М. Деформирование гибких некруговых цилиндрических оболочек при совместном действии двух видов нагружения / Я.М. Григоренко, Л.В. Харитонова // Прикл. механика. 2007. Т. 43, №7. С. 58-65.

5. Григоренко Я.М. Вплив граничних умов на стійкість та закритичне поводження гнучких некругових довгих циліндричних панелей / Я.М. Григоренко, Л.В. Харитонова // Доп. АН УРСР. 1995. №7. С. 35-37.

6. Харитонова Л.В. Аналіз розподілу прогину довгих гнучких циліндричних оболонок змінної кривизни в докритичній та закритичній областях / Л.В. Харитонова // Вісник Київського університету. Серія: Фізико-математичні науки. 2006. Вип. №1. С. 116-122.

7. Харитонова Л.В. Дослідження стійкості та закритичної поведінки гнучких некругових циліндричних оболонок / Л.В. Харитонова // Тези доповідей міжнар. конф. “Моделювання та дослідження стійкості динамічних систем”. Київ, 2005. С. 341.

8. Харитонова Л.В. Аналітичний розв'язок нелінійних крайових задач про докритичну та закритичну деформацію некругових циліндричних оболонок / Л.В. Харитонова // Матеріали міжнар. наук. конф. “Математичні проблеми технічної механіки”. Дніпродзержинськ, 2006. С. 62-63.

9. Харитонова Л.В. Застосування нелінійних диференціальних рівнянь для визначення критичних значень навантаження гнучких некругових циліндричних оболонок / Л.В. Харитонова // Матеріали ХІІ міжнар. наук. конф. імені академіка М. Кравчука.К.: ТОВ „Задруга”, 2008. С. 413.

10. Харитонова Л.В. Аналітичне дослідження умов стійкості гнучких некругових циліндричних оболонок при різних умовах закріплення поздовжніх країв / Л.В. Харитонова // Тези доповідей міжнар. конф. „Аналітичні методи механіки і комплексного аналізу”, присвяченої 100-річчю з дня народження М.О. Кільчевського та В.А. Зморовича. Київ, 2009. С. 77-78.

АНОТАЦІЯ

Харитонова Л.В. Визначення критичних значень навантаження при деформуванні гнучких довгих пологих некругових циліндричних оболонок для різних видів закріплення країв. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико- математичних наук за спеціальністю 01.02.04 - механіка деформівного твердого тіла. - Інститут механіки ім. С.П. Тимошенка НАН України, Київ, 2009.

Дисертація присвячена аналітичному дослідженню напружено-деформованого стану, умов стійкості та поведінки гнучких довгих пологих циліндричних оболонок некругового поперечного перерізу при різних граничних умовах в докритичній та закритичній областях деформування.

В дисертації отримані точні аналітичні розв'язки задач нелінійного деформування гнучких довгих пологих циліндричних оболонок сталої товщини та змінної кривизни під дією нерівномірного поверхневого навантаження при жорсткому і шарнірному закріпленнях поздовжніх країв, при дії на поздовжніх краях згинаючих моментів та при одночасній дії рівномірного нормального поверхневого навантаження і згинаючих моментів, прикладених по краях оболонки.

Для оболонок розглянутого типу при вказаних умовах закріплення і навантаження визначені критичні значення навантаження, що відповідають втраті стійкості з переходом у несуміжне положення рівноваги за рахунок хлопка.

Ключові слова: пологі циліндричні оболонки, геометрична нелінійність, критичні значення навантаження, втрата стійкості, точні аналітичні розв'язки.

АННОТАЦИЯ

Харитонова Л.В. Определение критических значений нагрузки при деформировании гибких длинных пологих некруговых цилиндрических оболочек для разных видов закрепления краев. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. - Институт механики им. С.П. Тимошенко НАН Украины, Киев, 2009.

Диссертация посвящена аналитическому исследованию напряженно-деформированного состояния, условий устойчивости и поведения гибких длинных пологих некруговых цилиндрических оболочек при разных граничных условиях в докритической и закритической областях деформирования.

На основании соотношений геометрически нелинейной теории пологих оболочек в диссертации построена разрешающая система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений шестого порядка в перемещениях, описывающая напряженно-деформированное состояние бесконечно длинных гибких пологих цилиндрических оболочек переменной толщины и кривизны.

Получены точные аналитические решения задач нелинейного деформирования гибких длинных пологих цилиндрических оболочек постоянной толщины и переменной кривизны под действием неравномерной поверхностной нагрузки при жестком и шарнирном закреплениях продольных краев, при действии на продольных краях изгибающих моментов и при совместном действии равномерной нормальной поверхностной нагрузки и изгибающих моментов. Решения получены в параметрическом виде, с безразмерным внутренним усилием в качестве параметра.

Исследовано влияние закона изменения действующих нагрузок и геометрических параметров оболочки на ее поведение, несущую способность и критические значения нагрузки, приводящие к потере устойчивости оболочки при различных условиях закрепления ее продольных краев.

Получены аналитические выражения, которыми определяются предельные значения обобщенного геометрического параметра оболочки, при превышении которых оболочка становится способной к потере устойчивости. Для оболочек рассмотренного типа при указанных условиях закрепления и нагрузки определены критические значения нагрузки, которые соответствуют потере устойчивости с переходом в несмежное положение равновесия.

Результаты работы имеют самостоятельное практическое значение, а также могут использоваться при проверке точности новых приближенных методов решения задач нелинейного деформирования оболочек.

Ключевые слова: пологие цилиндрические оболочки, геометрическая нелинейность, критические значения нагрузки, потеря устойчивости, точные аналитические решения.

SUMMARY

Kharytonova L.V. Determination of the critical values of loading for the deformation of flexible long noncircular cylindrical shells with different types of edge fixing conditions.- Manuscript

Thesis for candidate degree of physical and mathematical sciences on speciality 01.02.04 - Solid Mechanics. - S. P Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2009.

The thesis is devoted to analytical investigation of stress-strain state, stability and behavior of long flexible shallow noncircular cylindrical shells with typical conditions of edge fixing in prebuckling and postbuckling ranges of deformation.

The investigated problems concern nonlinear deformation of long flexible shallow noncircular cylindrical shells under the conditions of hinged and rigid fixing of longitudinal edges, application of bending moments at longitudinal edges and combined application of bending moments and uniform normal loading. An exact analytical solution of the problems has been developed.

The critical values of loading that correspond to buckling conditions have been determined for the considered shells under above boundary and loading conditions.

Key words: noncircular cylindrical shell, geometrical nonlinearity, limiting critical values, exact analytical solution, loss of stability, bending moments applied at edges.

Размещено на Allbest.ru