Основы электростатики
Теорема Гаусса для потока вектора напряженности. Работа сил при перемещении зарядов. Потенциальный характер электростатического поля. Потенциал и эквипотенциальные поверхности. Энергия и плотность энергии поля. Изучение основных задач электростатики.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 13.08.2015 |
| Размер файла | 217,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Содержание
- Введение
- 1. Электризация тел. Электрический заряд. Элементарный заряд
- 2. Точечный заряд. Закон Кулона
- 3. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Однородное поле и поле точечного заряда
- 4. Электрический диполь. Поле диполя
- 5. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для потока вектора напряженности
- 6. Работа сил при перемещении зарядов. Потенциальный характер электростатического поля. Потенциал и эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
- 7. Потенциал поля системы зарядов и заряженной сферы
- 8. Проводники в электростатическом поле
- 9. Электроемкость. Конденсаторы
- 10. Диэлектрики. Связанные заряды. Поляризация диэлектриков. Вектор электрического смещения
- 11. Общая задача электростатики
- 12. Метод электрических изображений
- 13. Энергия и плотность энергии электростатического поля
- 14. Сегнетоэлектрики. Пьезоэлектричество. Электрострикция. Пироэлектричество. Электреты
- Использованная литература
Введение
Современные представления об электрических и магнитных явлениях есть результат длительного развития знаний человечества об окружающей природе. Еще в VII в. до н.э. древнегреческий ученый Фалес Милетский указал на способность янтаря, натертого шелком, притягивать легкие предметы. С древнейших времен людям было известно о существовании магнита, уже в античности знали, что кусок магнита и кусок железа притягиваются друг к другу. Первые упоминания об использовании магнитной иглы в мореплавании относятся к началу XII в. Начиная примерно с 1380г. компас, основной частью которого являлась магнитная игла, получает всеобщее распространение.
Впервые наиболее полное описание электрических и магнитных явлений дал английский ученый У. Гильберт (1544 - 1603) в работе «О магните, магнитных телах и большом магните - Земле», где он на основании своих исследований магнитных и электрических явлений построил первые теории электричества и магнетизма. Гильберт установил, что магнит всегда имеет два полюса - северный и южный и, распиливая магнит, никогда нельзя получить магнит только с одним полюсом; что одноименные полюса отталкиваются, а разноименные - притягиваются, и что железные предметы под действием магнита приобретают магнитные свойства. Гильберту мы обязаны зарождением науки об электрических явлениях, именно он обнаружил, что притягивает к себе предметы не только натертый янтарь, но и алмаз, сапфир, опал, берилл, горный хрусталь, стекло и другие тела, которые он назвал электрическими телами. Благодаря Гильберту наука об электричестве была обогащена многочисленными новыми явлениями, точными наблюдениями и инструментальной техникой, и он справедливо заслуживает титула "отца науки об электричестве".
После Гильберта электрические и магнитные явления изучались очень медленно, и на протяжении почти 100 лет было получено очень мало новых данных. Лишь в 1729 г. англичанин С. Грей (1666 - 1736) показал, что электричество может распространяться по некоторым телам и ввел понятие проводника и изолятора. Он открыл также явление электростатической индукции и подтвердил его многочисленными опытами. После множества опытов французский физик Ш. Дюфе (1698 - 1739) в 1733г. показал существование двух видов электричества, которые он назвал "стеклянным" и "смоляным". Он обнаружил, что не только тела, указанные Гильбертом, но и все остальные, за исключением металлов и влажных тел (впоследствии это ограничение было снято), электризуются при трении. В 1745г. лейденский (Голландия) физик П. Мушенбрук (1692 - 1761) изобрел первый конденсатор - лейденскую банку. Для увеличения эффекта И. Винклер (1703 - 1770) в Германии и Б. Франклин (1706 - 1790) в Америке соединили банки параллельно, получив мощные батареи.
Сходство между электрической искрой и молнией было замечено уже при первых экспериментах. Применение лейденских банок позволило более убедительно установить это сходство. Франклин предлагал установить на высокой башне длинный железный шест с острием и наблюдать, не удастся ли извлечь искры при прохождении над ним грозовых облаков. В 1752г. такой опыт был поставлен во Франции: из шеста, воздвигнутого вертикально, была извлечена искра во время прохождения грозовых облаков. Аналогичный опыт поставил и Франклин. В результате многочисленных наблюдений он пришел к выводу, что грозовые облака заряжены большей частью отрицательным электричеством, хотя иногда и оказывались заряжены положительно. В том же 1752г. во Франции было открыто новое явление - наэлектризованность атмосферы даже при безоблачной погоде. В эти же годы исследованиями атмосферного электричества занимался русский физик Г. Рихман (1711 - 1753), устроив у себя дома "громовую машину", и погиб во время проведения опыта от удара молнии. Подтверждение наличия атмосферного электричества способствовало сооружению громоотводов. В 1770г. была предложена конструкция громоотвода со щеткой.
В период с 1745г. по 1750г. был предложен ряд теорий электричества, объединяемых одной общей чертой: наличием некоего флюида. В 1747г. Франклином была сформулирована теория, надолго ставшая общепризнанной. Согласно ей существовал один электрический флюид, содержащийся во всех телах. Электризация состояла в извлечении из одного тела части находящегося там флюида и его переходе в другое тело. Следовательно, тело наэлектризовано либо потому, что в нем имеется избыток электрического флюида, либо потому, что наблюдается его недостаток. В первом случае Франклин считал тело положительно наэлектризованным, во втором - отрицательно. В 1759г. англичанин Р. Симмер выдвинул идею, в соответствии с которой электрические явления обусловлены двумя различными электрическими флюидами. В каждом теле имеются оба эти флюида, но в неэлектризованном состоянии они содержатся в равном количестве, и потому эффект электризации отсутствует. Тело оказывается наэлектризованным положительно или отрицательно в зависимости от того, какого флюида в нем больше. В 1753г. итальянец Д. Беккариа (1716 - 1781) ввел в физику понятие электрического сопротивления. До него физики делили тела на два класса: проводники, одинаково проводящие и изоляторы, одинаково изолирующие. Беккариа установил, что "сопротивление проводника пропорционально длине пути, который пробегает в них искра". Первые измерения электрического сопротивления были произведены знаменитым английским ученым Г. Кавендишем (1731 - 1810). Беккариа первым выдвинул гипотезу о существовании тесной связи между циркуляцией электрического флюида и магнетизмом, т.е. по сути дела выдвинул гипотезу о существовании тесной связи между электрическими и магнитными явлениями.
В 1756г. член Петербургской Академии наук Ф. Эпинус (1724 - 1802), исследуя свойства кристаллов турмалина, обнаружил, что они электризуются при нагревании, причем один конец заряжался положительно, а другой - отрицательно. Позже было обнаружено, что такой же эффект достигается и при охлаждении. Несколько позже было обнаружено, что свойством турмалина обладает также бразильский топаз и другие драгоценные камни. Было доказано, что возникающие при нагревании турмалина заряды равны по величине и противоположны по знаку, и что некоторые кристаллы могут электризоваться и под действием давления. Таким образом, были открыты явления пиро- и пьезоэлектричества. В 1782г. итальянский физик А. Вольта (1745 - 1827) изобрел электроскоп, основанный на связи между зарядом, емкостью и напряжением.
В течение второй половины XVII в. физики пытались установить закон взаимодействия электрических зарядов, а также закон магнитного взаимодействия. В 1784г. французский физик Ш. Кулон (1736 - 1806) сконструировал прибор, известный под названием крутильные весы, с помощью которого в 1785г. установил закон взаимодействия электрических зарядов, распространив его в 1788г. на взаимодействие магнитных полюсов. Он же исследовал распределение электричества на проводниках и пришел к выводу, что оно распределяется равномерно по поверхности изолированной проводящей сферы, цилиндра и других геометрически правильных тел, и что наэлектризованное тело индуцирует на проводнике равные количества противоположного электричества. Так как электрические силы оказались такого же типа, что и ньютоновские (закон обратных квадратов), то в электростатику были перенесены свойства полей ньютоновских сил, в частности, понятие потенциала было распространено на электрические и магнитные поля.
В 1792г. Вольта устанавливает закон контактных напряжений: два разнородных металла создают разность потенциалов между обоими металлами. Вольта располагает металлы в ряд, построенный таким образом, что большее напряжение возникает между металлами, более удаленными друг от друга в этом ряду. Он обнаруживает, что в цепи из металлических проводников напряжение между крайними металлами равно напряжению, которое устанавливается при непосредственном контакте этих металлов. Расположив столбиком одинаковые контактные пары металлов, ориентированные одинаково и разделенные влажными дисками из ткани, Вольта получил между двумя крайними металлами напряжение, пропорциональное количеству примененных пар. Этот прибор получил название вольтового столба. Одним из первых явлений, наблюдавшихся Вольта в его батарее, было разложение солей и окисление металлических пластинок, в частности, цинка.
В 1801г. английский ученый У. Волластон (1766 - 1828) сформулировал химическую теорию вольтова столба, согласно которой источником электродвижущей силы является химическое взаимодействие металлов с жидкостью, в которую они погружены.
В 1807г. английскому ученому X. Дэви (1778 - 1829) удалось разложить едкий калий (КОН), а чуть позже - едкий натр (NaOH), получив два новых металла, названных им калием и натрием.
До открытия явления электромагнитной индукции М. Фарадеем (1791 - 1867) единственными источниками тока были батареи Вольта и термоэлектрические батареи. В начале XIX в. были установлены тепловые действия тока. Уже в 1802г. было замечено, что в момент замыкания цепи батареи с помощью железного проводника, соприкасающегося с куском угля, появлялись яркие искры. В 1810г. Дэви провел опыт с кусками угля, включенными в цепь батареи: после замыкания цепи проскочила искра, и куски угля накалились добела. Когда же оба куска угля стали удалять друг от друга, образовался непрерывный разряд в виде яркой широкой световой дуги. Температура этой дуги была настолько велика, что в ней плавилась платина.
В 1820г. датский физик Г.Х. Эрстед (1777 - 1851) описал опыт по электромагнетизму, который доказывал, что ток в прямом проводнике, расположенном вдоль меридиана, отклоняет магнитную иглу от направления меридиана. Из этого опыта следовало, что сила, действующая между магнитным полюсом и элементом тока, направлена не по прямой, соединяющей их, а по нормали к этой прямой, т.е. речь шла о силе "неньютоновского типа". В том же 1820г. французский ученый Д. Араго (1786 - 1853) изготовил установку с вертикальным проводником с током, проходящим сквозь горизонтально расположенный кусок картона, на котором были рассыпаны железные опилки. Араго отметил, что "проводник облепливается железными опилками так, как если бы это был магнит" и сделал заключение, что "ток вызывает магнетизм в железе, которое не подвергалось предварительному намагничиванию". Все в том же 1820г. французские физики Ж. Био (1774 - 1862) и Ф. Савар (1791 - 1841) открыли закон, устанавливающий зависимость величины электромагнитной силы от расстояния (закон Био - Савара).
Другой французский ученый, П. Лаплас (1749 - 1827) установил, что действие тока можно рассматривать как результат действий на полюса магнитной стрелки бесконечного числа бесконечно малых элементов, на которые можно разбить ток, и пришел к выводу, что каждый элемент тока действует на каждый полюс магнитной стрелки с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния этого элемента от полюса. Обобщив результаты опытов Био и Савара, Лаплас придал общий вид закону Био - Савара, который нам известен как закон Био - Савара - Лапласа.
Одновременно с Био и Саваром экспериментальные и теоретические исследования проводил А. Ампер (1775 - 1863). В 1820г. Ампер сформулировал правило для определения направления действия магнитного поля тока на магнитную стрелку (правило Ампера), обнаружил влияние магнитного поля Земли на движущиеся токи, открыл взаимодействие электрических токов и установил закон этого взаимодействия - закон Ампера. Согласно его теории электромагнетизма все магнитные взаимодействия сводятся к взаимодействию существующих в телах круговых электрических молекулярных токов, каждый из которых эквивалентен плоскому магниту (гипотеза Ампера). Согласно Амперу, большой магнит состоит из большого числа таких элементарных плоских магнитов. В 1822г. он установил, что соленоид с током является эквивалентом постоянного магнита, и что при помещении внутрь соленоида сердечника из мягкого железа происходит усиление магнитного поля.
В 1876г. американский физик Г. Роуланд (1848 - 1901) доказал, что движущийся по окружности электрический заряд оказывает на магнитную стрелку такое же действие, как и круговой ток, и что с увеличением скорости заряда увеличивается и сила, действующая на каждый полюс стрелки.
Немецкий физик Г. Ом (1787 - 1854) в своих теоретических исследованиях исходил из работы французского математика и физика Ж. Фурье (1768 - 1854) "Аналитическая теория тепла". Ом предположил, что механизм "теплового потока" можно уподобить электрическому току в проводнике. Подобно тому, как Фурье объясняет возникновение теплового потока между двумя телами или двумя точками одного и того же тела разницей температур, Ом объясняет возникновение электрического тока между двумя точками проводника разницей "электроскопических сил". Придерживаясь этой аналогии, Ом проводит экспериментальные исследования для определения относительных величин проводимости различных проводников. На основании своих опытов Ом приходит к формуле, известной сейчас как закон Ома для замкнутой цепи.
Еще в XVIII в. возникает мысль об использовании электричества для передачи сигналов на расстояние. Впервые проект телеграфа описал А. Вольта. В 1820г. А. Ампер предлагал использовать электромагнитные явления для передачи сигналов. В 1833г. немецкие ученые К. Ф. Гаусс (1777 - 1855) и В. Вебер (1804 - 1891) построили в Геттингене простейшую телеграфную линию. Практическое применение телеграф получил после изобретения в 1832г. американцем Морзе (1791 - 1872) телеграфного алфавита, буквы которого состояли из комбинаций точки и тире.
Изучением и усовершенствованием телеграфа занимался и английский физик Ч. Уитстон (1802 - 1875). Кроме того, он разрабатывал наиболее простые и точные методы измерения электрических сопротивлений и уже в 1840г. нашел способ измерения сопротивления независимо от постоянства электродвижущей силы. В статье, вышедшей в 1843г. он дал описание знаменитого "мостика", получившего название мостик Уитстона, который позволил, помимо сопротивлений, измерять электродвижущие силы. Мостик Уитстона не потерял своей актуальности и в наши дни.
В 1834г. французский физик Ж. Пельтье (1785-1845) обнаружил, что в местах спаев двух различных металлов, в зависимости от направления тока, происходит выделение или поглощение тепла. Термоэлектрический эффект, им обнаруженный, получил название "эффекта Пельтье". В 1841г. английский физик Д. Джоуль (1818 - 1889) начал экспериментальные исследования теплоты, выделяемой проводником при прохождении через него электрического тока. Им было установлено, что при одной и той же силе тока количество выделяемой теплоты пропорционально сопротивлению проводника. Многие ученые повторили опыты Джоуля, видоизменяя их. Среди них был и русский физик Э. X. Ленц (1804 - 1865). Опыты Ленца подтвердили выводы Джоуля, и в результате был установлен закон Джоуля - Ленца.
Опыты, поставленные после открытия Эрстеда, показали, что электрический ток изменяет намагниченность магнита. Фарадей предположил, что и магнит должен оказывать влияние на электрический ток. В 1831г. он делает великое открытие - явление электромагнитной индукции. В результате многочисленных опытов Фарадей устанавливает закон электромагнитной индукции. В 1834г. Ленц устанавливает правило для определения направления индукционного тока, носящее его имя.
Пытаясь выяснить природу электрического тока, Фарадей поставил опыты, связанные с прохождением тока через растворы кислот, солей и щелочей. Результатом этих работ было открытие в 1833г. законов электролиза.
Еще со времен Ньютона многие ученые задавали себе вопрос, каким образом осуществляется взаимодействие между двумя телами - на расстоянии или же посредством некоторой среды. Многие физики, в том числе Г. Кавендиш и Ш. Кулон, верили в действие на расстоянии (теория дальнодействия). Фарадей занялся этим вопросом в 1837г. Во - первых, думал Фарадей, «действие на расстоянии должно проявляться только по прямой линии, тогда как действие опосредованное должно быть способным проявляться и по кривой», во - вторых, «если среда не участвует в процессе распространения электрического действия, то природа промежуточного вещества не должна влиять на это явление; если же действие опосредовано, то такое влияние должно проявиться».
Руководствуясь этими представлениями, Фарадей поставил многочисленные опыты, их которых следовало, что электрическое действие проявляется и по кривым линиям, и что промежуточная среда оказывает влияние на это действие.
В результате многочисленных опытов Фарадей выдвигает идею теории близкодействия, согласно которой действие одних тел на другие передаются через окружающую среду с определенной скоростью.
Фарадей не раз задавался вопросом, существует ли связь между электрическими и магнитными явлениями и светом. В 1845г. он поместил параллелепипед из тяжелого стекла между полюсами электромагнита и пропустил через него поляризованный луч света параллельно силовым линиям поля, обнаружив при этом, что плоскость поляризации света поворачивалась (это явление получило название эффекта Фарадея). Фарадей считал, что в свете присутствует некий магнетизм. Он обнаружил, что многие другие вещества, кроме тяжелого стекла, обладают такими же свойствами. В 1884г. немецкий физик А. Кундт (1839 - 1894) установил, что металлические пленки обладают способностью магнитного вращения плоскости поляризации. Этим можно было бы объяснить магнитооптический эффект, открытый в 1877г. Д. Керром (1824 - 1907). Наблюдая магнитооптические явления, Фарадей приходит к выводу, что при помещении тела в магнитное поле изменяется его внутренняя структура. В результате длительных исследований Фарадей установил, что все тела делятся на парамагнетики и диамагнетики.
В работах Фарадея самым важным является введение им понятия поля. По мнению А. Эйнштейна (1879 - 1955), идея поля была самой оригинальной идеей Фарадея, самым важным открытием со времен Ньютона. Велико было практическое значение открытий Фарадея. Все машины современной электрической промышленности - электромоторы, генераторы, трансформаторы - основаны на явлении электромагнитной индукции. Первый генератор электрического тока был построен самим Фарадеем. В 1831г. С. Негро (1768 - 1839) построил первый электромотор, а в 1838г. русский физик и электротехник Б. С. Якоби (1801 - 1874) впервые с помощью электромотора привел в движение лодку.
В 60-х гг. XIX в. английский физик Д. К. Максвелл (1831 - 1879) обобщил учение Фарадея об электрических и магнитных полях, создав единую теорию электромагнитного поля, которую он сформулировал в виде системы нескольких уравнений (уравнения Максвелла), выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений. В своей теории Максвелл ввел новое понятие - ток смещения, дал определение электромагнитного поля и предсказал существование в свободном пространстве электромагнитных волн и их распространение со скоростью света, что дало ему основание считать свет одним из видов электромагнитного излучения.
В 1887г. Г. Герц (1857 - 1894) экспериментально доказал, что колебательный разряд вызывает в пространстве волны, состоящие из электрического и магнитного колебаний, поляризованных перпендикулярно друг другу. Герц также установил отражение, преломление и интерференцию этих волн. Опыты Герца имели большое значение для признания теории Максвелла и ее утверждения. На использовании электромагнитных волн было основано изобретение радио в 1895г. А. С. Поповым (1859 - 1906) и Г. Маркони (1874 - 1937).
Теория Максвелла, обобщающая опытные законы, не раскрывала связи электричества с внутренним строением вещества и по этой причине не могла объяснить многие явления. Почти до конца XIX в. электричество представлялось как некая невесомая жидкость. Основываясь на законах электролиза, открытых Фарадеем, немецкий физик Г. Гельмгольц (1821 - 1894) в 1881г. высказал идею атомарного строения электричества. С этого времени берет начало электронная теория, объяснившая и предсказавшая ряд явлений. Экспериментальным основанием электронной теории строения вещества явились такие явления, как термоэлектронная эмиссия, катодные и каналовые лучи, фотоэффект и др. Основателем электронной теории является голландский физик X. Лоренц (1853 - 1928). Лоренц органически связал максвелловскую теорию электромагнитного поля с электрическими свойствами вещества, рассматриваемого как совокупность элементарных электрических зарядов.
В настоящее время считается установленным, что и положительные и отрицательные заряды состоят из элементарных порций электричества, получивших название элементарного заряда. Частицы, являющиеся носителями элементарного отрицательного электрического заряда, носят название электронов. Протоны, являющиеся ядрами атома водорода, обладают элементарным положительным зарядом. По абсолютной величине положительные и отрицательные элементарные заряды равны.
Современное учение об электричестве и магнетизме является наукой о свойствах и закономерностях поведения электромагнитного поля, осуществляющего взаимодействие между электрически заряженными телами.
Электромагнитное взаимодействие постоянно встречается в нашей жизни. Значение теории электромагнитных явлений чрезвычайно велико. Эта теория является первой релятивистски инвариантной теорией. Она сыграла решающую роль в возникновении и обосновании специальной теории относительности. В рамках электромагнитных явлений отчетливо проявляются особенности полевой формы существования материи, хорошо прослеживаются взаимопревращения ее различных форм. Впечатляющим является широкое техническое и практическое применение электричества и магнетизма.
1. Электризация тел. Электрический заряд. Элементарный заряд
электростатика гаусс заряд эквипотенциальный
Еще в VII в. до н. э. древнегреческий ученый Фалес обнаружил способность янтаря, натертого шелком, притягивать легкие предметы. Позже было установлено, что таким же свойством обладают многие тела, предварительно натертые кожей, сукном и т.д. Это явление было названо электризацией (от гр. электрон - "янтарь"). Было установлено, что электризация бывает двух родов: положительная и отрицательная и объясняется существованием электрических зарядов. Внешне электризация проявляется в механических взаимодействиях (притяжении или отталкивании). Заряды одного знака отталкиваются, заряды противоположных знаков - притягиваются. Электрический заряд не может быть сколь угодно малым. Это было обнаружено в ряде классических опытов (первым был опыт Милликена в 1909г.). Наименьший электрический заряд, положительный или отрицательный, равный величине заряда электрона , называется элементарным электрическим зарядом. Все элементарные частицы или обладают элементарным электрическим зарядом или являются незаряженными. Частицы с дробным элементарным зарядом не наблюдались.
Основными свойствами электрических зарядов являются: сохранение заряда и дискретность (квантование) заряда.
Полный заряд электрически изолированной системы есть величина постоянная - закон сохранения заряда:
. (1)
Электрически изолированной называется система, через границы которой не могут проникать заряженные частицы. Закон сохранения заряда выполняется и тогда, когда в электрически изолированной системе появляются, либо исчезают электрические заряды. Заряженные частицы всегда появляются или исчезают парами с равными и противоположными зарядами. Закон сохранения заряда связан с релятивистской инвариантностью заряда. Это означает, что величина заряда в различных инерциальных системах отсчета одинакова, т.е. она не зависит от того, движется ли этот заряд или же покоится.
Дискретность заряда проявляется в том, что любой заряд есть совокупность элементарных зарядов, т.е. является целым кратным элементарного заряда e.
, (2)
где N - 1, 2,3, ... - целое число.
Задания для самоконтроля
1.1. Если заряженную стеклянную палочку держать вблизи конца изолированного металлического стержня, то электроны, в нем находящиеся, соберутся у одного из его концов. Почему же движение электронов прекращается, несмотря на то, что в металлическом стержне их имеется бесчисленное множество?
1.2 Величина элементарного электрического заряда (квант заряда) равна . Существует ли соответствующий ему квант массы?
1.3. Следует ли из закона сохранения заряда, что суммарные заряды всех положительно и всех отрицательно заряженных частиц должны, каждый в отдельности, сохраняться?
1.4. Положительно заряженная стеклянная палочка притягивает подвешенное на нити тело. Можно ли утверждать, что тело заряжено отрицательно?
2. Точечный заряд. Закон Кулона
От элементарных зарядов следует отличать точечные заряды, под которыми понимают заряженные тела, линейными размерами которых можно пренебречь по сравнению с расстояниями между ними. Таким образом, точечный заряд может состоять из множества элементарных зарядов.
Электростатика изучает взаимодействие и условия равновесия электрически заряженных тел. Первые количественные исследования по электростатике были выполнёны Ш. Кулоном, который в 1785 г. экспериментально, с помощью крутильных весов, установил закон взаимодействия точечных зарядов - закон Кулона, основной количественный закон электростатики.
Сила взаимодействия двух точечных зарядов и пропорциональна величине каждого из зарядов, обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними и направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. Для случая взаимодействия зарядов в вакууме (воздухе) закон Кулона имеет вид
, (3)
где - коэффициент пропорциональности. В векторной форме закон Кулона записывается в виде
. (4)
Вектор совпадает с направлением вектора силы .
Коэффициент пропорциональности k в Международной системе единиц СИ полагают равным , где - электрическая постоянная.
Единицей заряда в системе СИ является кулон, измеряется в метрах, тогда сила, вычисленная по формуле (3), измеряется в ньютонах.
С учетом значения k формула (3) принимает вид
. (5)
Если взаимодействие зарядов происходит в какой - либо непроводящей среде (диэлектрике), то закон Кулона имеет вид
, (6)
где
носит название диэлектрической проницаемости среды и показывает во сколько раз сила взаимодействия между двумя точечными зарядами в вакууме больше силы взаимодействия между этими же зарядами в среде.
Закон Кулона справедлив также для равномерно заряженных шаров. В этом случае есть расстояние между центрами шаров. Закон Кулона входит в число основных экспериментальных фактов, на которых построено учение об электричестве. Его обобщение приводит, в частности, к электростатической теореме Гаусса. Проверка справедливости закона Кулона и установление границ его применения являются важнейшими задачами, на решение которых были направлены значительные усилия экспериментаторов. Непосредственными опытами и косвенными экспериментальными методами (в случае больших и малых расстояний) установлено, что закон Кулона можно использовать от расстояний порядка до . Нет оснований сомневаться, что и за пределами этих расстояний закон Кулона также выполняется.
Как показывает опыт, независимо от числа зарядов, закон Кулона можно использовать для вычисления силы взаимодействия каждой пары из этих зарядов. Это положение носит название принципа суперпозиции сил. Суть его состоит в том, что сила, действующая на выбранный заряд со стороны системы зарядов, есть векторная сумма сил, действующих на этот заряд со стороны каждого заряда системы.
. (7)
В качестве примера найдем силу, действующую на положительный заряд со стороны положительных зарядов и . Сила, действующая на заряд со стороны заряда равна , а со стороны - . Результирующая сила равна
и направлена, как указано на рисунке.
Задания для самоконтроля
2.1. Как формула
учитывает то факт, что заряды притягиваются или отталкиваются?
2.2. Какой должна быть масса протона, чтобы сила гравитационного притяжения между двумя покоящимися протонами по величине совпадала с силой их электрического отталкивания? Каково отношение этой массы к обычной массе протона?
2.3. Будет ли устойчивым положение равновесия точечного заряда, находящегося посередине между двумя другими одинаковыми точечными зарядами. Рассмотрите случай, когда заряд, находящийся посередине, противоположен по знаку двум другим зарядам, и когда он того же знака, что и два других.
2.4. Какой физический смысл имеет формула
,
где - радиус - вектор точки, в которой находится заряд ?
2.5. Какой физический смысл имеет выражение
,
где - радиус - вектор точки, в которой находится заряд ? Чему равно это выражение?
3. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Однородное поле и поле точечного заряда
Взаимодействие электрических зарядов осуществляется с конечной скоростью посредством электрического поля. Каждая электрически заряженная частица создает электрическое поле, действующее на другие электрически заряженные частицы. Представление об электрическом (электромагнитном) поле было введено М. Фарадеем в 30-х гг. XIX в. Согласно Фарадею, каждый покоящийся заряд создает в окружающем пространстве электрическое поле. Причем электрические заряды всегда связаны с материальным носителем, и поэтому речь фактически идет об электрически заряженных телах. Поле одного заряда действует на другой заряд, и наоборот. Таким образом, электрическое поле одного заряда может быть обнаружено посредством другого заряда.
Пусть имеется точечный электрический заряд q, вокруг которого существует электрическое поле (электрическое поле неподвижных зарядов принято называть электростатическим полем). Назовем этот заряд источником поля, исследуем это поле посредством так называемого пробного точечного заряда . На пробный заряд , помещенный в некоторую точку поля, действует сила, по величине которой можно судить о поле. Величина этой силы зависит как от величины заряда q - источника поля, так и от величины пробного заряда . Таким образом, на разные пробные заряды , и т.д. действуют разные силы , и т.д. Однако отношение силы к величине пробного заряда для всех зарядов одно и то же и зависит лишь от заряда q - источника поля и расстояния до него. Это отношение используют в качестве количественной характеристики электрического поля и называют напряженностью.
. (8)
Из (8) следует, что
и при , . Таким образом, напряженность электрического поля численно равна силе, с которой поле данного заряда действует на единичный точечный заряд, помещенный в данную точку поля. Направление вектора совпадает с направлением вектора силы , действующей на положительный заряд в данной точке поля. Если поле создано положительным зарядом, то вектор направлен по радиус - вектору от заряда. Если же поле создано отрицательным зарядом, вектор направлен к заряду
За единицу напряженности электрического поля принимается напряженность в такой его точке, где на заряд, равный единице, действует сила, величина которой также равна единице. Единицей измерения напряженности является В/м.
Если поле создано системой зарядов, то вектор равен векторной сумме напряженностей, создаваемых каждым из зарядов в отдельности (принцип суперпозиции полей)
. (9)
Электрическое поле графически изображают с помощью линий напряженности - кривых, касательные к которым в каждой точке поля совпадают с направлением вектора . О величине напряженности судят по густоте линий, т.е. числу линий, проходящих через единичную поверхность, расположенную нормально линиям напряженности. Таким образом, линии напряженности сходятся по мере приближения к области сильного поля и расходятся в области слабого поля.
Если поле создано заряженным телом (не точечным зарядом), имеющим объем V, его можно разбить на элементы объема dV столь малые, чтобы находящийся в них заряд мог бы считаться точечным. Тогда для элементарной напряженности в некоторой точке пространства можно записать
. (10)
Если ввести объемную плотность заряда
,
то напряженность результирующего поля, обусловленного всеми зарядами объема V, согласно принципу суперпозиции полей выражается объемным интегралом
. (11)
В общем случае может являться функцией координат.
В случае поверхностного или линейного распределения зарядов вводят, соответственно, поверхностную
или линейную
плотности зарядов, и результирующая напряженность поля определяется аналогично (11).
Если напряженность поля всюду одинакова по величине и направлению, то такое поле называется однородным. Графически однородное поле изображается системой параллельных линий.
Исследуем поле точечного заряда q с помощью пробного заряда . Сила взаимодействия этих зарядов равна
. (12)
Напряженность поля в том месте, где находится заряд , равна
. (13)
Таким образом, напряженность поля точечного заряда пропорциональна величине заряда источника поля q и обратно пропорциональна квадрату расстояния от заряда до данной точки поля. В векторной форме
. (14)
Линии вектора поля точечного заряда представляют совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положительный, и к заряду, если он отрицательный. Линии одним концом опираются на заряд, другим - уходят в бесконечность. Нетрудно видеть, что поле точечного заряда не является однородным.
Электрические заряды, создающие электрическое поле, являются его источниками, т.е. источниками линий являются те точки, в которых эти линии начинаются или заканчиваются (точки, в которых заканчиваются линии, иногда называют отрицательными источниками или стоками). Так как линии напряженности поля начинаются и заканчиваются на зарядах или в бесконечности, то они никогда не бывают замкнутыми.
Задания для самоконтроля
3.1. Два точечных заряда, неизвестных по величине и знаку, находятся на расстоянии l друг от друга. На прямой, соединяющей эти заряды, имеется точка, в которой напряженность электрического поля равна нулю. Что можно сказать о характере зарядов? Где расположена эта точка?
3.2. Является ли линия напряженности линией, вдоль которой будет двигаться электрический заряд в электростатическом поле?
3.3. Покажите, что число линий на любом расстоянии от заряда одно и тоже.
3.4. N зарядов расположены в точках с радиус -векторами . Как будет выглядеть формула для напряженности в точке с радиус - вектором ?
3.5. Является ли электрическое поле точечного заряда однородным?
3.6. Величина напряженности поля точечного заряда. При , т.е. в окрестностях точечного заряда, напряженность поля . Правдоподобно ли это?
3.7. Кулоновская сила взаимодействия двух точечных зарядов и , расстояние между которыми r, имеет вид. Разобьем эту формулу на две и. Что выражают эти формулы? Проанализируйте область применения этих формул.
3.8. Изобразите линии напряженности поля двух зарядов разных знаков при условии, что один из зарядов в несколько раз больше другого.
3.9. Чтобы представить электрическое поле, необходимо связать вектор с каждой точкой поля. Мы можем изобразить величину и направление вектора в различных точках, нанося стрелки вблизи этих точек и делая стрелки длиннее там, где поле больше. Однако, обычно, поле изображают линиями напряженности (силовыми линиями), которые представляют собой кривые, касательные к которым в любой точке совпадают с направлением вектора (с направлением поля) в этой точке. Почему поле (особенно поле системы зарядов) изображают именно линиями вектора напряженности?
4. Электрический диполь. Поле диполя
Электрическим диполем называется совокупность двух равных разноименных точечных зарядов, находящихся друг от друга на расстоянии, малом по сравнению с расстоянием до точки, в которой определяется напряженность поля, создаваемого диполем. Найдем напряженность поля диполя на продолжении оси диполя, т.е. на продолжении прямой, соединяющей заряды, и в точке, лежащей на нормали из середины оси диполя.
1. Напряженность поля на продолжении оси диполя.
Напряженность поля диполя в точке М направлена вдоль оси диполя и равна разности напряженностей и , создаваемых положительным и отрицательным зарядами.
Обозначим расстояние от точки М до середины оси диполя через . Тогда
, (15)
где l - расстояние между зарядами.
После несложных преобразований, получим
. (16)
Пусть , т.е. точка М поля находится на достаточно большом расстоянии от диполя. В этом случае можно пренебречь членом . Тогда
, (17)
где
- электрический момент диполя.
2. Напряженность поля в точке, лежащей на нормали из середины оси диполя.
Видно, что напряженность поля в точке М равна векторной сумме напряженностей и , создаваемых положительным и отрицательным зарядами
. (18)
Векторы и имеют одинаковые модули вследствие равенства расстояний от заряда.
. (19)
Из подобия треугольников и следует
. (20)
Полагая г, т.е. пренебрегая членом в формулах (19) и (20), получим
. (21)
Нетрудно видеть, что на больших расстояниях от диполя напряженность поля диполя во всех случаях пропорциональна моменту диполя и обратно пропорциональна кубу расстояния от диполя.
Вследствие того, что ось диполя имеет определенную ориентацию в пространстве, момент диполя является вектором. Вектор направлен вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному. Таким образом, , где - радиус - вектор.
Задания для самоконтроля
4.1. Найдите силу взаимодействия двух жестких диполей, расположенных вдоль одной прямой на расстоянии , где l - расстояние между зарядами диполя (плечо диполя).
4.2. Опишите поведение диполя в однородном электрическом поле.
4.3. Найдите напряженность поля диполя в произвольной точке поля.
5. Поток вектора напряженности. Теорема Гаусса для потока вектора напряженности
Пусть в электрическом поле расположена элементарная плоская поверхность dS, в пределах которой поле будем считать однородным, и пусть эта поверхность нормальна полю (вектору ). Ориентацию площадки dS зададим вектором нормали к площадке dS. Число линий, пронизывающих площадку dS будет равно
. (22)
В общем случае вектор напряженности составляет угол с вектором нормали . В этом случае число линий, пронизывающих площадку dS, равно
, (23)
где - проекция вектора напряженности на направление нормали к поверхности. Для определения числа линий напряженности, пронизывающих произвольную площадку, надо проинтегрировать выражение (23).
. (24)
Это выражение называется потоком вектора напряженности. Поток вектора есть алгебраическая величина, знак которой зависит от выбора направления нормали к площадке. Если поверхность замкнутая, принято вычислять поток, выходящий из охватываемой поверхностью области наружу. Под нормалью к площадке в этом случае подразумевается внешняя нормаль. Таким образом, в местах, где вектор направлен наружу, поток положителен, в местах же, где вектор направлен внутрь, поток отрицателен).
Непосредственное использование закона Кулона и принципа суперпозиции полей даже в случае простой конфигурации зарядов приводит к громоздким вычислениям. Одним из практически важных и простых вспомогательных методов, упрощающих вычисления в случае симметричного распределения зарядов, является применение теоремы Гаусса. Она позволяет найти поток вектора напряженности через замкнутую поверхность, внутри которой находятся электрические заряды.
Рассмотрим наиболее простой случай, когда поле создано положительным точечным зарядом q. Опишем вокруг этого заряда сферу радиуса r и вычислим поток вектора через эту поверхность. Величина вектора в каждой точке поверхности равна , а направление вектора совпадает с наружной нормалью.
. (25)
Из этой формулы видно, что поток не зависит от размеров сферы. Полученный результат справедлив не только для сферической поверхности, но и для любой замкнутой поверхности и не зависит от расположения заряда внутри замкнутой поверхности.
Можно изобразить более сложную поверхность. Для изображенной на поверхности линия вектора трижды выходит из поверхности и дважды входит в нее. В местах выхода она создает положительный поток, в местах входа - отрицательный. Следовательно, для расчета потока вектора напряженности через замкнутую поверхность линия напряженности должна учитываться только один раз. Таким образом, независимо от формы замкнутой поверхности, поток вектора напряженности будет равен . Если же замкнутая поверхность не охватывает заряда, то поток вектора напряженности через нее будет равен нулю, так как число входящих линий равно числу выходящих (в одном случае поток положительный, в другом - отрицательный).
Вычислим теперь поток вектора напряженности системы зарядов через замкнутую поверхность. Пусть внутри замкнутой поверхности находятся n зарядов . Воспользуемся принципом суперпозиции.
. (26)
где - нормальная составляющая напряженности электрического поля заряда. Было показано, что
.
Следовательно,
. (27)
Мы пришли к теореме Гаусса. Поток вектора напряженности через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов внутри поверхности, деленному на .
При доказательстве теоремы Гаусса был использован закон Кулона, и поэтому она - следствие этого закона. Теорема Гаусса является интегральной формулировкой закона Кулона. Ее вывод основан на обратной пропорциональности взаимодействия квадрату расстояния и на принципе суперпозиции. Поэтому эта теорема применима к любому физическому полю, в котором действует закон обратных квадратов, например, к гравитационному полю.
Использование теоремы Гаусса для расчета полей эффективно лишь в тех случаях, где поле обладает специальной симметрией (чаще всего плоской, цилиндрической или сферической). Симметрия, а, следовательно, конфигурация поля должны быть такими, чтобы можно было найти достаточно простую замкнутую поверхность S и свести вычисление потока вектора напряженности к простому умножению на площадь поверхности или ее части. Если этого нет, задачу о нахождении поля приходится решать с помощью других методов.
Задания для самоконтроля
5.1. Точечный заряд находится в центре сферической поверхности. Изменится ли поток вектора напряженности, если:
а) поверхность заменить кубом того же объема, что и сфера;
б) заряд сместить из центра сферы, оставив его внутри сферы;
в) заряд вынести за пределы сферы;
г) вынесенный заряд оставить вблизи сферы и в нее поместить второй заряд;
д) второй заряд поместить внутри этой же сферы?
5.2. Электрический диполь находится внутри замкнутой поверхности. Чему равен поток вектора напряженности через эту поверхность?
5.3. Соблюдалась бы теорема Гаусса, если бы показатель степени в законе Кулона не равнялся в точности двум?
5.4. Используя теорему Гаусса, вычислите напряженности полей:
а) равномерно заряженной сферы;
б) равномерно заряженного шара;
в) равномерно заряженной бесконечной плоскости;
г) равномерно заряженной бесконечной прямолинейной нити и цилиндра;
д) между двумя бесконечными параллельными разноименно заряженными плоскостями (поле конденсатора).
5.5. Соотношение, где, выражает теорему Гаусса в интегральной форме. Выведите эту теорему в дифференциальной форме.
5.6. Если поле создано положительным точечным зарядом q, то поток вектора напряженности через сферическую поверхность, описанную вокруг этого заряда, не зависит от размеров сферы. Покажите, что если вокруг сферы описать вторую поверхность (или оболочку) несферической формы, то полный поток через эту поверхность будет равен потоку через сферу.
6. Работа сил при перемещении зарядов. Потенциальный характер электростатического поля. Потенциал и эквипотенциальные поверхности. Связь между напряженностью и потенциалом электростатического поля
На любой заряд, находящийся в электростатическом поле, действует сила, которая может его перемещать, производя, таким образом, работу. Пусть точечный заряд перемещается в поле точечного заряда q из одной точки поля в другую. Найдем работу сил поля. Разобьем траекторию заряда на элементы и вычислим элементарную работу по перемещению этого заряда на элементе .
, (28)
. (29)
Согласно закону Кулона
. (30)
Подставим (30) в (28)
. (31)
Полная работа определится при интегрировании выражения (31).
. (32)
Из формулы (32) видно, что работа не зависит от формы пути, а определяется начальным и конечным положениями заряда . Силовые поля, удовлетворяющие такому условию, называются потенциальными или безвихревыми. Таким образом, электростатическое поле точечного заряда есть потенциальное поле. При перемещении заряда по любому замкнутому контуру работа равна нулю.
. (33)
Интеграл называется циркуляцией вектора напряженности и выражает работу перемещения единичного заряда по замкнутому контуру. Таким образом, циркуляция вектора напряженности электростатического поля по произвольному замкнутому контуру равна нулю. Из формулы (33) следует, что линии напряженности электростатического поля не могут быть замкнутыми. Они начинаются и заканчиваются на зарядах, уходят в бесконечность, начинаясь на положительных зарядах, или приходят из бесконечности, заканчиваясь на отрицательных зарядах (этот факт мы уже отмечали ранее).
В потенциальном поле работа может быть представлена убыль потенциальной энергии.
. (34)
Сравнивая формулы (34) и (32), находим потенциальную энергию заряда в поле заряда q
. (35)
Значение константы определяется начальным (нулевым) уровнем потенциальной энергии. Обычно значение константы выбирают таким образом, чтобы при удалении заряда на бесконечность () потенциальная энергия обращалась в нуль, т.е. за нулевой уровень потенциальной энергии выбирают бесконечно удаленную точку. В этом случае и потенциальная энергия оказывается равной
. (36)
Будем исследовать поле заряда q с помощью пробного заряда . Из формулы (36) видно, что потенциальная энергия пробного заряда зависит не только от величины пробного заряда и расстояния r, но и от величины заряда q, определяющего поле. Следовательно, разные пробные заряды . будут обладать в одной и той же точке поля различными энергиями . Однако отношение потенциальной энергии к величине пробного заряда будет для всех зарядов одним и тем же. Это отношение называют потенциалом поля в данной точке и используют наряду с напряженностью для описания электростатических полей.
. (37)
Из формулы (37) следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы единичный положительный заряд в данной точке поля. Если известен потенциал некоторой точки поля, то из той же формулы (37) следует, что заряд q, находящийся в этой точке, обладает потенциальной энергией, равной
. (38)
По этой причине работа сил поля над зарядом q может быть выражена следующим образом
, (39)
где - разность потенциалов.
Если заряд q из точки поля, потенциал которой равен , удаляется на бесконечность, где потенциал равен нулю, то работа сил поля равна
. (40)
Таким образом, потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля при удалении единичного положительного заряда из данной точки поля на бесконечность. Такую же по величине работу следует совершить против сил поля при перемещении единичного положительного заряда из бесконечности в данную точку поля. Аналогично разностью потенциалов между точками 1 и 2 называют работу, совершаемую силами поля при перемещении единичного положительного заряда из точки 1 в точку 2 по произвольному пути.
Формула (40) позволяет установить единицу потенциала: за нее принимают потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда, необходимо совершить работу, равную единице. В системе СИ единицей потенциала является вольт (В). Вольт - это потенциал такой точки поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда в , нужно совершить работу в .
Графически распределение потенциала в электростатическом поле изображают с помощью поверхностей равного потенциала - эквипотенциальных поверхностей.
Эквипотенциальные поверхности - это геометрическое место точек равного потенциала, . Для поля точечного заряда эквипотенциальные поверхности представляют собой семейство концентрических сфер. Из формулы (39) следует, что работа перемещения заряда вдоль эквипотенциальной поверхности равна нулю (). Это означает, что линии напряженности поля перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.
Электростатическое поле можно описывать либо с помощью вектора напряженности , являющегося силовой характеристикой поля, либо с помощью скалярной величины (потенциала) - энергетической характеристики поля. Установим связь между этими величинами.
Пусть положительный точечный заряд q перемещается под действием силы электрического поля (кулоновской силы) с эквипотенциальной поверхности на близко расположенную эквипотенциальную поверхность, имеющую потенциал . Напряженность поля Е на малом пути можно считать постоянной, тогда работа перемещения будет равна
Подобные документы
Теорема о циркуляции вектора. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия. Разность потенциалов, связь между ними и напряженностью. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности. Расчет потенциалов простейших электростатических полей.
презентация [2,4 M], добавлен 13.02.2016Предмет, законы и понятия электростатики. Свойства электрических зарядов. Напряжённость электростатического поля. Силовые линии и принцип суперпозиции. Поток вектора напряжённости. Электростатическая теорема Остроградского-Гаусса. Электрические явления.
презентация [413,2 K], добавлен 19.06.2013Работа сил электрического поля при перемещении заряда. Циркуляция вектора напряжённости электрического поля. Потенциал поля точечного заряда и системы зарядов. Связь между напряжённостью и потенциалом электрического поля. Эквипотенциальные поверхности.
реферат [56,7 K], добавлен 15.02.2008Теорема Гаусса для электростатического поля в вакууме. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля. Условия на границе раздела двух диэлектрических сред. Вывод основных законов электрического тока в классической теории проводимости металлов.
шпаргалка [619,6 K], добавлен 04.05.2015Изучение электромагнитного взаимодействия, свойств электрического заряда, электростатического поля. Расчет напряженности для системы распределенного и точечных зарядов. Анализ потока напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной форме.
курсовая работа [99,5 K], добавлен 25.04.2010Свойства силовых линий. Поток вектора напряженности электрического поля. Доказательство теоремы Гаусса. Приложение теоремы Гаусса к расчету напряженности электрических полей. Силовые линии на входе и на выходе из поверхности. Обобщенный закон Кулона.
реферат [61,6 K], добавлен 08.04.2011Описание теоремы Гаусса как альтернативной формулировки закона Кулона. Расчеты электростатического поля заданной системы зарядов в вакууме и вычисление напряженности поля вокруг заряженного тела согласно данных условий. Сравнительный анализ решений.
контрольная работа [474,5 K], добавлен 23.11.2010Силовые линии напряженности электрического поля для однородного электрического поля и точечных зарядов. Поток вектора напряженности. Закон Гаусса в интегральной форме, его применение для полей, созданных телами, обладающими геометрической симметрией.
презентация [342,6 K], добавлен 19.03.2013Понятие и предмет электростатики. Изучение свойств электрического заряда, закона сохранения заряда, закона Кулона. Особенности направления вектора напряженности. Принцип суперпозиции полей. Потенциал результирующего поля, расчет по методу суперпозиции.
презентация [773,6 K], добавлен 26.06.2015Силовые линии электростатического поля. Поток вектора напряженности. Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса. Вычисление электростатических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости.
презентация [2,3 M], добавлен 13.02.2016
