Размещено на http://www.allbest.ru/

Дніпропетровський національний університет імені Олеся Гончара

УДК 620.179.18

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Відновлення профілю діелектричної проникності шаруватих структур за значенням коефіцієнта відбиття

01.04.03 - радіофізика

Алексін Сергій Геннадійович

Дніпропетровськ -- 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті імені Олеся Гончара Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Дробахін Олег Олегович Дніпропетровський національний університет ім. О. Гончара, завідувач кафедри прикладної і комп'ютерної радіофізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Колчигін Микола Миколайович Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, завідувач кафедри теоретичної радіофізики, м. Харків;

доктор фізико-математичних наук, професор Масалов Сергій Олександрович Інститут радіофізики та електроніки ім. О. Я. Усикова, завідувач відділу радіоінтроскопії, НАН України, м. Харків.

Захист буде проходити “ 8 ” квітня 2011 р. о 1415 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 08.051.02 при Дніпропетровському національному університеті ім. О. Гончара (49010, м. Дніпропетровськ, вул. Наукова, 10, корп. 11, ауд. 300).

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Дніпропетровського національного університету ім. О. Гончара (49010, м. Дніпропетровськ, вул. Казакова, 8). діелектричний параметричний частотний

Автореферат розісланий “ 28 ” лютого 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Спиридонова І. М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Визначення профілю діелектричної проникності є важливою практичною задачею, яка виникає при підповерхневому зондуванні почвоґрунтів, неруйнівному контролі будівельних конструкцій, промислових виробів тощо. З математичної точки зору така задача набуває формулювання у вигляді зворотної задачі електродинаміки. Оскільки в багатьох випадках односторонній доступ до досліджуваного зразка є єдино можливим, найбільший розвиток отримали методи відновлення, вихідними даними для яких є частотна залежність коефіцієнта відбиття (ЧЗКВ). Методи відновлення профілю, основані на даних вимірювання частотної залежності коефіцієнта пропускання (ЧЗКП) являють меншу практичну цінність. При неруйнівному контролі промислових виробів досліджувана структура часто може бути адекватно представлена одновимірною шаруватою моделлю. Відновлений профіль діелектричної проникності (ПДП) дозволяє встановити існування міжшарових та внутрішарових дефектів, засвідчити відхилення електричних властивостей шарів від норми, судити про такі фізико-механічні властивості шарів, як вологість, пористість, температура, щільність, міра полімеризації, наявність того або іншого компонента внаслідок кореляції між і відповідними параметрами.

Для відновлення ПДП шаруватих структур було розроблено низку методів, однак вони в переважній більшості не відповідають адекватній моделі вимірювань коефіцієнта відбиття (КВ), оскільки не враховують розбіжність зондувального пучка. Серед даних методів -- метод квазірозв'язку, дискретний аналог методу Гельфанда-Левітана (ДАМГЛ), ітераційна схема Ньютона-Канторовича (ІСНК) розв'язання диференціального рівняння Рікатті, метод динамічної деконволюції (МДД). Незважаючи на те, що методи відновлення отримали початкову розробку в припущенні зондування імпульсними сигналами, розвиток методів параметричного спектрального аналізу (ПСА) дозволив перенести існуючі методи відновлення ПДП на випадок вимірювань на сітці частот в мікрохвильовому діапазоні. Серед актуальних напрямків вдосконалення існуючих методів: покращення стабільності ітераційних схем відновлення за умови високого або низького контрасту діелектричної проникності матеріалів шарів структури; зменшення чутливості результату відновлення до шумів, наявних у рефлектометричних даних; пришвидшення процесу відновлення профілю тощо. Із актуальності вдосконалення методів, що безпосередньо виконують відновлення ПДП, випливає актуальність вдосконалення методів розв'язання допоміжних задач, що виникають на одному з етапів відновлення. Серед них -- методи ПСА та методи оцінювання електричних глибин залягання меж шарів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами і темами. Дисертаційна робота виконана відповідно до плану науково-дослідних робіт Дніпропетровського національного університету імені Олеся Гончара у рамках держбюджетних тем “Радіофізичні явища в структурах з імпедансними, нелінійними та фрактальними неоднорідними елементами” (№ д/р 0106U000808) та “Аналіз радіофізичних явищ в структурах із неоднорідними елементами частотно-часовими методами” (№ д/р 0109U000152), де автор брав участь як виконавець.

Мета та задачі дослідження. Метою роботи є підвищення точності, стабільності, швидкості відновлення ПДП шаруватих структур за даними рефлектометрії.

Для досягнення цієї мети було поставлено наступні задачі:

1. Підвищення точності та швидкості методу параметричного спектрального аналізу при дослідженні частотних залежностей коефіцієнта відбиття від шаруватих діелектричних структур з кусково-сталим профілем для отримання значень глибин залягання меж шарів.

2. Модифікація дискретного аналога методу Гельфанда-Левітана (ДАМГЛ), яка передбачає врахування розходження зондувального пучка, прискорення ітераційної процедури відновлення.

3. Модифікація ітераційної процедури методу динамічної деконволюції (МДД), яка передбачає врахування розходження зондувального пучка.

4. Розроблення нового більш стабільного варіанту ітераційної схеми Ньютона-Канторовича (ІСНК) для відновлення ПДП шаруватих структур з втратами, який забезпечує прискорення процесу відновлення.

5. Реалізація розроблених методів відновлення профілю структур за даними про частотну залежність коефіцієнта відбиття, який отримано експериментально.

Об'єктом дослідження є відновлення профілю діелектричної проникності шаруватих діелектричних структур за частотною залежністю коефіцієнта відбиття.

Предметом дослідження є електрофізичні параметри матеріалів шарів та геометричні параметри шарів шаруватих діелектричних структур.

Методи дослідження. Математичний апарат теорії функцій комплексної змінної, диференціального та інтегрального числення, інтегральних та диференціальних рівнянь, лінійної алгебри, теорії ймовірностей та кореляційного аналізу.

Наукова новизна отриманих результатів.

1. Вперше модифіковано ітераційну схему Ньютона-Канторовича (ІСНК) для відновлення профілю діелектричної проникності (ПДП) шаруватих діелектричних структур з кусково-сталим профілем на основі:

— аналітичного розрахунку низки інтегралів, числовий розрахунок яких передбачений базовим методом;

— переходу в рівнянні Рікатті до нової комплексної координати, для якої проводиться відновлення профілю, що дозволило отримати більш стійкий варіант ІСНК.

2. Вперше розроблено модифікації методу динамічної деконволюції (МДД) та дискретного аналога методу Гельфанда-Левітана (ДАМГЛ) для відновлення ПДП шаруватих діелектричних структур з кусково-сталим профілем при врахуванні неплоского характеру зондуючої хвилі.

3. Вперше в ДАМГЛ на основі зв'язку блочних структур матриць СЛАР для кроків k та k + 2 ітераційної процедури отримано рекурентний вираз для невідомої інформативної компоненти вектору розв'язку.

4. Вперше запропоновано метод підвищення точності оцінок електричної глибини залягання меж шарів за результатами параметричного спектрального аналізу на основі:

— відбору сигналів перевідбиття і використання їх для уточнення затримок для сигналів відбиття;

— зіставлення затримок спектральних компонент з положеннями локальних максимумів розподілу , отриманого за допомогою традиційної ІСНК.

5. Реалізовано відновлення ПДП шаруватих структур за даними вимірювань частотної залежності коефіцієнта відбиття, що було отримано за допомогою скалярного рефлектометра в діапазоні частот 17,0-25,5 ГГц при екстраполяції дійсних частотних даних до нульової частоти на основі методу мінімуму тривалості.

Практичне значення отриманих результатів. Результати роботи дозволяють покращити характеристики вимірювально-обчислювальних комплексів (ВОК), які виконують візуалізацію ПДП шаруватих структур із діелектричного матеріалу на основі даних НВЧ-рефлектометрії. Покращення характеристик досягнуто шляхом вдосконалення програмної частини, а саме, впровадження низки ітераційних схем відновлення ПДП та розв'язання допоміжних задач, що виникають на одному з етапів відновлення. Запропоновані ітераційні схеми характеризуються високою стабільністю роботи за умови великого або малого контрасту діелектричної проникності матеріалів шарів, дозволяють підвищити достовірність отриманих результатів при достатньо близькому розташуванні антени та досліджуваного зразка, забезпечують менші затрати часу на виконання відновлення ПДП. Для ВОК, вимірювальна частина яких забезпечує збір рефлектометричних даних в режимі реального часу, стала можливою візуалізація ПДП досліджуваної шаруватої структури також в реальному часі без втрати точності відновленого профілю.

Особистий внесок здобувача. Всі положення, які виносяться на захист, отримані автором особисто. Здобувачем було розроблено модифікацію ДАМГЛ, в якій СЛАР розв'язується з використанням блочної інверсії матриці коефіцієнтів [1, 2, 10, 11, 14]; реалізовано модифікації ДАМГЛ [2, 7, 16] та МДД [16], що враховують розбіжність зондувального пучка; конкретизовано ІСНК у випадку кусково-постійного ПДП [3, 4, 6, 10, 12]; запропоновано нову модифікацію ІСНК для відновлення ПДП шаруватих структур з втратами [4, 16]; запропоновано новий підхід до вибору оптимального порядку спектрального аналізу [4]; запропоновано два нових підходи до оцінювання електричних координат меж шарів шаруватої структури [4, 15]. В роботах [1, 3, 4, 7, 8, 12, 13, 15] автор повністю виконав числове моделювання. В [2, 11, 14] він виконав відновлення ПДП після екстраполяції ЧЗКВ, а в роботах [5, 6] -- заключну частину обробки даних реальних вимірювань ЧЗКВ.

Апробація результатів досліджень. Наукові результати та основні положення дисертаційної роботи були представлені та обговорювались на 8 міжнародних конференціях: “Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory” (Тбілісі, 2006 та 2008; Львів, 2009), “Young Scientist Conference on Radiophysics and Electronics” (Харків, 2007), “Mathematical Methods in Electromagnetic Theory” (Одеса, 2008), “Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals” (Севастополь, 2008 та 2010), “Microwaves, Radar and Remote Sensing” (Київ, 2008).

Публікації за темою дисертації. Матеріали дисертації викладено у 16 наукових працях, у тому числі 5 статтях у наукових фахових журналах [1-5], 2 статтях в збірниках [6, 7] та 9 матеріалах і тезах доповідей на міжнародних конференціях [8-16].

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний об'єм дисертації -- 195 сторінок, з них основного тексту -- 149 сторінок. Список використаних джерел на 26 сторінках нараховує 234 найменування. Усього в дисертації 17 таблиць та 36 рисунків, з яких 10 рисунків повністю займають площу 6 сторінок.

Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертації, показано зв'язок виконаних досліджень з науковими програмами та темами, сформульовано мету роботи, розкрито новизну одержаних результатів та їх практичне значення, наведено дані про публікації і особистий внесок автора в дисертаційну роботу, а також відомості про її апробацію.

Перший розділ присвячено аналізу літератури. Дано огляд існуючих підходів до визначення параметрів шаруватих діелектричних структур. Показано, як із задачі відновлення ПДП багатошарової структури за результатами рефлектометричних вимірювань виокремлюються задачі параметричного спектрального аналізу та оцінювання електричних глибин залягання меж шарів. Приведено модель коефіцієнта відбиття плоскошаруватої структури в плоскохвильовому наближенні та наближенні параксіальної оптики. Сформульовано задачі дослідження.

Другий розділ присвячено методу спектрального аналізу на основі дробово-раціональної інтерполяції у фур'є-спряженій області. Запропоновано полюсний підхід до відбору опорних точок інтерполяції (ОТІ). Даний підхід передбачає, що ОТІ вводяться парами, облямовуючи локальні максимуми модуля різницевого сигналу в часовій області; уточнювання множини ОТІ після введення пари нових опорних точок не виконується. Введення кожної нової пари ОТІ дозволяє оцінити параметри одного імпульсу імпульсної характеристики відбиття (ІХВ). В числовому експерименті продемонстровано перевагу в точності та швидкості такого підходу перед традиційним, який оснований на послідовному введенні ОТІ по одній із умови мінімізації норми сигналу різниці експериментальної та модельної характеристик та передбачає уточнювання множини ОТІ після введення кожної нової опорної точки.

Визначено оптимальний спосіб розташування ОТІ відносно максимуму часового сигналу у випадку, коли максимум стає пологим внаслідок значної уявної частини часу надходження імпульсу. Обґрунтування запропонованого способу розташування базується на аналізі отриманих виразів для дисперсій оцінок параметрів імпульсу:

(1)

(2)

де -- дисперсія дійсної та уявної частини шуму, що присутній в частотних даних; N -- кількість відліків сигналу; та -- опорні точки інтерполяції, де i та k -- індекси опорних точок інтерполяції; -- положення полюсу, що відповідає імпульсу с часом надходження , де -- “індекс” полюсу, -- період сітки часу, що нав'язується ОДПФ; , та -- відповідно мінімальна частота та період частотної сітки. Вірність формул (1), (2) підтверджено в статистичному числовому експерименті.

На основі аналізу даних виразів встановлено, що найменші дисперсії та забезпечуються у випадку, коли ОТІ розташовано симетрично відносно максимуму на відстані, яка зростає з ростом . Зазначено, що перше розсунення ОТІ відповідає достатньо великому значенню , внаслідок чого в експериментальних умовах (при типових параметрах частотної сітки вимірювань) стає актуальним лише при значенні . Забезпечення такого малого значення дисперсії шуму в умовах реального експерименту є складною задачею.

Запропоновано нову модифікацію методу вибору оптимального порядку спектрального аналізу сигналу типу “частотна залежність коефіцієнта відбиття багатошарової структури + шум”, основаного на послідовному нарощуванні порядку моделі.

Особливістю підходу є завдання припустимої ймовірності того, що спектральний аналіз дасть хибну породжену шумом спектральну компоненту. Порядок спектрального аналізу нарощується до тих пір, поки наступна оцінювана спектральна компонента не стане з заданою ймовірністю відповідати лише шумовому викиду.

Використання нормалізуючих властивостей ДПФ відносно шуму, наявного в ЧЗКВ, дозволило отримати величину порогу для максимуму квадрату модуля шуму в часовій області в залежності від ймовірності його перевищення :

, де .

Нарощування порядку спектрального аналізу необхідно зупинити в той момент, коли максимум квадрату модуля різницевого часового сигналу стане менше порогу. Параметр p дозволяє регулювати чутливість спектрального аналізу.

Інтерполяційний метод ПСА зіставлено з методом пучка матриць (МПМ) при аналізі ЧЗКВ ряду тестових одношарових структур при послідовному нарощуванні порядку спектрального аналізу. Зазначено, що, незважаючи на перевагу МПМ відносно забезпечуваної норми різницевої ЧЗКВ (аналізованої та тієї, що відповідає отриманій спектральній моделі), метод на основі дробово-раціональної інтерполяції в фур'є-спряженій області забезпечує вищу точністю отримуваних оцінок для параметрів спектральних компонент (рис. 1):

, .

Дана перевага обумовлена тим, що останній метод підбирає модель лише для усіченої частини спектру аналізованого сигналу, а не для всього його спектру, що не може бути адекватно представлений моделлю скінченного порядку. При цьому даний метод ПСА передбачає навмисне відмовлення від намірів мінімізувати різницю частотних характеристик, що і обумовлює перевагу МПМ відносно даної різниці.

Рис. 1 Загальні похибки оцінок параметрів спектральних компонент в залежності від порядку ПСА при аналізі ЧЗКВ тестової одношарової структури з використанням двох методів спектрального аналізу, а саме, основаного на інтерполяції у фур'є-спряженій області (?????) та методу пучка матриць (- -o- -) для 100 реалізацій шуму (зображено результат усереднення для кожного M за сукупністю реалізацій шуму та границі потрійного середньоквадратичного відхилення): а -- похибки затримок спектральних компонент, б -- похибки магнітуд спектральних компонент.

Третій розділ присвячено методу динамічної деконволюції та дискретному аналогу методу Гельфанда-Левітана. Запропоновано нову модифікацію МДД, яка враховує розходження зондувального пучка. В основі ітераційної процедури лежить наступне перетворення ЧЗКВ, що наближено еквівалентне вилученню із структури чергового зовнішнього шару:

,

де k = 1, 2, …, N -- номер ітерації,

,

-- функція, що є оберненою до трансцендентної функції Лерха за змінною ; -- відстань від апертури антени до передньої грані зразка, -- відстань від апертури до фазового центра антени. Комплексна діелектрична проникність матеріалу та товщина кожного нового шару розраховуються за стандартними формулами:

, ,

де -- магнітуда нульового імпульсу ІХВ, -- затримка першого імпульсу ІХВ (верхній індекс позначає номер ітерації), C -- швидкість світла у вакуумі.

Ефективність запропонованого підходу продемонстровано в числовому експерименті на прикладі тестової структури із втратними матеріалами шарів (рис. 2, 3).

Рис. 2 Результат відновлення профілів тестової діелектричної структури за допомогою МДД без урахування скінченної віддаленості прийомо-опромінюючої антени: a -- профіль , б -- профіль . Точний профіль зображено пунктиром, відновлений -- неперервною лінією.



Рис. 3 Результат відновлення профілів тестової діелектричної структури за допомогою МДД при урахуванні скінченної віддаленості прийомо-опромінюючої антени: a -- профіль , б -- профіль .

Для ДАМГЛ, який виходить із моделі безвтратної структури з шарами рівної електричної товщини, розроблено нову модифікацію ітераційної процедури, в якій СЛАР розв'язується з використанням блочної інверсії матриці коефіцієнтів. Метод блочної інверсії використано в нестандартній формі з урахуванням того, що матриця коефіцієнтів СЛАР допускає рекурентне блочне представлення не на двох послідовних ітераціях, а на ітераціях через одну. Так, на ітерації k дана матриця в якості блока включає відповідну матрицю, що відповідає ітерації k - 2:

,

де -- нульовий вектор-стовпець висотою k - 1, -- вектор-стовпець, який містить відліки еквідистантно дискретизованої ІХВ. Застосування блочного представлення дозволило отримати вираз для останнього невідомого СЛАР (заради якого на кожній ітерації методу і необхідно розв'язувати дану СЛАР) в явному вигляді. В модифікованому варіанті ДАМГЛ розрахунок КВ чергової межі шарів виконується за формулою:

,

де було введено параметр на k-ій ітерації, який дається виразом:

,

де -- матриця, що є оберненою до матриці . Рекурентний блочний вираз для має вигляд:

,

де -- нульовий вектор-стовпець висотою k - 3.

Для ряду тестових діелектричних структур модифікований варіант ітераційної процедури продемонстрував принаймні двократний виграш в тривалості процесу відновлення ПДП при порівнянні з базовим варіантом, в якому СЛАР розв'язувалась за допомогою методу виключення Ґаусса.

Метод блочної інверсії дозволив не лише прискорити розрахунок КВ чергової межі шарів , але і отримати рекурентний вираз для обчислення визначника матриці коефіцієнтів СЛАР:

.

Показано, що коефіцієнт має смисл добутку перших відліків імпульсних характеристик проходження (ІХП): , де -- для ІХП в прямому напрямку структури, відновленої до k-ої ітерації включно, -- для ІХП в зворотному напрямку структури, відновленої до -ої ітерації включно.

Поведінка числа обумовленості матриці коефіцієнтів була досліджена шляхом числового моделювання на тестових прикладах. Встановлено, що воно стрибкоподібно збільшується на ітераціях, які відповідають відлікам ІХВ з ненульовою амплітудою сигналу (незалежно від того, відповідають дані відліки імпульсам першого відбиття від нових меж або імпульсам луни), а також відлікам з нульовою амплітудою сигналу за умови, що мала місце компенсація імпульсу першого відбиття від межі імпульсом (імпульсами) луни.

Запропоновано спосіб адаптації ДАМГЛ до випадку зондування пучком, що розходиться. Так, на ітерації k в СЛАР з'являється відлік ІХВ , магнітуда якого повинна бути підсилена у відповідності з виразом:

.

Сумування в чисельнику ведеться за всіма шарами, відновленими до даної ітерації.

В числовому експерименті продемонстровано перевагу модифікованого ДАМГЛ перед базовим при відновленні ряду тестових профілів (рис. 4).

Рис. 4 Результати відновлення тестового профілю е за допомогою ДАМГЛ: а -- використовувався стандартний варіант методу; б -- варіант, який враховує розходження пучка, що зондує. Пунктирна лінія зображає точний профіль.

Четвертий розділ присвячено ітераційній схемі Ньютона-Канторовича розв'язання диференціального рівняння Рікатті:

, (3)

яке пов'язує частотно-просторовий розподіл КВ з функцією комплексної діелектричної проникності (ДП) ; -- хвильове число у вакуумі. У відповідності з базовими роботами Міхньова та співавторів, дане рівняння забезпечує кращу точність відновлення у випадку, якщо розглядається не в просторі геометричної координати x, а в просторі електричної z, що вводиться як:

. (4)

Вихідними даними для відновлення ПДП є вектор ЧЗКВ перед структурою , m = 1, 2, …, M. Метод передбачає завдання деякого початкового наближення для профілю і зводиться до розв'язання послідовності інтегральних рівнянь Фредгольма першого роду відносно невідомих поправок до ПДП. Ядро та права частина кожного рівняння задані при дискретних значеннях хвильового числа. На кожній ітерації невідома поправка розкладається в ряд за деяким базисом, що приводить до перевизначеної СЛАР відносно коефіцієнтів при базисних функціях.

В дисертації виконано конкретизацію базового методу на основі ІСНК для випадку кусково-постійного профілю структури. Конкретизація полягає в отриманні виразів для коефіцієнтів СЛАР, що її необхідно розв'язувати на кожній ітерації уточнення профілю. В базовому варіанті методу для отримання даних коефіцієнтів приходилось виконувати числове інтегрування, що значно сповільнювало процес відновлення ПДП. Відповідні інтеграли було взято аналітично в припущенні трьох різних моделей для комплексної діелектричної проникності:

1. -- безвтратна недисперсійна модель;

2. -- втратна, але недисперсійна модель;

3. -- модель, що враховує і втрати, і дисперсію.

-- профіль тангенсу кута діелектричних втрат, Ом -- характеристичний опір вакууму, -- профіль провідності. При адаптації ітераційної схеми даного методу до відновлення дискретного профілю був розроблений варіант вилучення з формул базового методу невизначеності, що виникає на межах шарів при обчисленні інтегралу .

При використанні першої моделі для ДП та розкладанні невідомої поправки до профілю за базисом із Р-подібних функцій (кожна з яких дорівнює одиниці в межах “свого” шару та нулю за його межами) на кожній ітерації методу необхідно розв'язати СЛАР відносно вектора поправок до діелектричних проникностей матеріалів шарів :

.

Вираз для коефіцієнтів матриці (m = 1, 2, …, M, n = 1, 2, …, N) має вигляд:

(5)

де -- електрична товщина шару n; -- задана електрична глибина відновлення; залежність отримується шляхом трансформації вектора вихідної ЧЗКВ перед структурою через однорідні шари та границі шарів з використанням стандартної методики. Відповідний вираз для елементів вектора :

. (6)

Зазначено, що при відновленні за допомогою ІСНК профілів шаруватих структур, діелектрична проникність матеріалів шарів яких описується втратною, але недисперсійною моделлю 2, введення в рівнянні Рікатті (3) електричної координати у формі (4) є неприроднім. Дійсно, прямий оператор задачі, який дозволяє синтезувати ЧЗКВ багатошарової структури на заданій сітці частот, залежить не від профілів та як окремих функцій, а від їх комбінації , тому більш фізично будувати і процедуру розв'язання зворотної задачі таким чином, щоб в усіх проміжних обчисленнях не виконувалось розділення комплексного ПДП на дійсну та втратну частини. В той же час, введення в базовому рівнянні Рікатті замість геометричної координати x електричної z приводить до рівняння

, (7)

в якому з профілю виокремлено втратну частину . Оснований на даному рівнянні варіант ІСНК передбачає розв'язання СЛАР, в векторі невідомих якої окремо враховані дві складові комплексної ДП кожного шару. Це означає введення зайвих ступенів вільності при пошуку розв'язку, що поглиблює некоректність зворотної задачі. Серія числових експериментів показала, що для ІСНК, розробленої для рівняння (7), некоректність проявляється значно гостріше, ніж для відповідної схеми (5), (6), побудованої в припущенні безвтратної моделі для ДП для рівняння

. (8)

При відновленні ПДП багатошарової структури, комплексна ДП матеріалів шарів якої в робочому діапазоні частот добре узгоджується із моделлю 2, запропоновано виконувати перехід в диференціальному рівнянні Рікатті (3), що є базою для розробки ІСНК, до нової комплексної змінної за формулою:

.

Переваги введення комплексної координати замість дійсної (4) обумовлені тим, що рівняння Рікатті набуває того самого вигляду (8), що і у випадку безвтратного ПДП, з точністю до заміни , , тобто містить невідому функцію лише у повній формі . Це вносить реґуляризуючий ефект в процедуру пошуку розв'язку, оскільки дозволяє позбавитися зайвих ступенів вільності при побудові оберненого оператора для прямої задачі. Числові експерименти показали, що використання комплексної змінної покращило стабільність ітераційного процесу та збільшило швидкість відновлення ПДП. Відповідна ітераційна схема передбачає розв'язання СЛАР виду

відносно вектору комплексних поправок до значень комплексної діелектричної проникності матеріалів шарів, причому формули нової модифікації ІСНК отримуються із формул (5), (6) в результаті заміни дійсних параметрів на комплексні: , , .

Пришвидшення ітераційної процедури та покращення стабільності процесу відновлення продемонстровано в числовому експерименті на тестовій структурі з втратними матеріалами шарів. Швидкість відновлювання ПДП оцінювалась на основі залежності наступного параметра від номера ітерації:

.

Параметр виражає в децибелах відношення квадратів -норм векторів КВ, які відповідають перерізам (електрична глибина відновлення) та (переріз, в якому відома ЧЗКВ) або та відповідно у випадку, якщо використовується о-координата. Чисельник дробу відповідає за залишковий КВ за структурою, який отримується шляхом трансформації вектора вихідних даних через структуру, відновлену до даної ітерації. Знаменник виконує лишу нормувальну функцію, даючи нульове значення перед першою ітерацією у випадку, якщо використовується базовий варіант ІСНК.

Залежності від номеру ітерації для базової та запропонованої модифікацій ІСНК приведені на рис. 5. Порівнюючи рис. 5, а та б, зазначимо, що друга модифікація ІСНК забезпечила стрімкий спад параметру , який здобув остаточне значення вже після 4-ої ітерації. Даний рисунок демонструє існування нездоланного порогу, обумовленого рівнем шуму в даних ЧЗКВ. Перша ж модифікація ІСНК була ще далеко від досягнення даного порогу навіть після 20-ої ітерації. При переборі різних значень параметра електричної глибини відновлення ( в першому випадку та в другому) встановлено, що перша модифікація ітераційної процедури не збігається значно частіше, ніж друга.



Рис. 5 Процес збіжності різних модифікацій ІСНК при наборі реалізацій шуму: а -- модифікація, що виконує відновлення профілю в z-координаті; б -- модифікація, що виконує відновлення профілю в о-координаті.

У випадку використання дискретного базису при представленні невідомих поправок до профілю задача відновлення ПДП, фактично, розпадається на дві підзадачі: визначення електричних координат (або ) меж шарів, що необхідні для побудови адекватного базису, та визначення діелектричних проникностей (або ) матеріалів шарів за допомогою ІСНК. Традиційним підходом для розв'язання першої підзадачі є параметричний спектральний аналіз вектору ЧЗКВ. Недоліками даного підходу є хибне зіставлення імпульсів луни з новими межами та проблема компенсації головних імпульсів імпульсами луни. Інший існуючий підхід передбачає попереднє наближене відновлення ПДП за допомогою ІСНК з експоненційним базисом (в даному випадку на кожній ітерації невідома поправка до ПДП розкладається за системою функцій , де n = 1, 2, …, N = M) і подальшу ідентифікацію меж за максимумами просторового розподілу . Після цього підбирається відповідний дискретний базис та виконується дискретна реконструкція. Недоліком даного підходу є низька точність отримуваних оцінок для . На основі даних двох методів розроблено новий гібридний підхід, який, з одного боку, не критичний до зазначених проблем хибних та зникаючих меж, з іншого боку, забезпечує більш високу точність, ніж другий метод. Гібридний підхід передбачає зіставлення отриманих другим методом оцінок для з результатами ПСА. Його роботу продемонстровано в числовому експерименті на прикладі 5-шарової структури, в ІХВ якої одна із головних спектральних компонент повністю компенсована спектральною компонентою луни. Зіставлення показало, що із 30 отриманих спектральних компонент справжнім межам відповідають лише компоненти з номерами 1, 2, 3, 4, 6 і, крім того, між межами 2 та 3 є іще одна, невиявлена спектральним аналізом.

Інший запропонований в дисертації метод дозволяє не лише відібрати необхідні спектральні компоненти, але і підвищити точність оцінок для (або ) шляхом використання інформації, що закладена в затримках імпульсів ІХВ, які відповідають луні. Введемо позначення для затримки імпульсу, що сформувався після того, як зондувальний імпульс разів пройшов шар 1, разів пройшов шар 2 тощо (за одне проходження шару вважається проходження туди й назад). Метод передбачає послідовний перебір всіх отриманих в результаті ПСА спектральних компонент в порядку збільшення електричної координати. Всередині циклу перебору:

1. Визначається тип даної спектральної компоненти (тобто набір індексів в позначенні ) шляхом зіставлення функцій густини ймовірності (ФГЙ) очікування та фактичного розміщення даної спектральної компоненти. ФГЙ очікування та розміщення мають вигляд ґаусових кривих, що обумовлено властивостями використовуваного методу ПСА; їх зіставлення виконується шляхом обчислення коефіцієнта кореляції. Набір ФГЙ очікування будується на основі даних щодо затримок всіх знайдених раніше головних спектральних компонент.

2. Якщо встановлено, що дана спектральна компонента відповідає луні (тобто її ФГЙ розміщення добре корелює з ФГЙ очікування даної компоненти луни), її затримка використовуються для підвищення точності оцінок всіх знайдених раніше затримок головних компонент. В основі методу -- розв'язування перевизначеної СЛАР відносно електричних товщин шарів за допомогою методу найменших квадратів із зважуванням. Матриця коефіцієнтів СЛАР будується із векторів індексів спектральних компонент. Зважування дозволяє врахувати те, що дисперсії затримок спектральних компонент, отриманих в результаті ПСА, є різними (2).

Метод узагальнено на випадок використання комплексної електричної координати о, що дозволило аналізувати рефлектометричні дані структур з втратами енергії.

П'ятий розділ присвячено відновленню ПДП тестових структур за результатами вимірювань, проведених на багаточастотному скалярному рефлектометрі з робочім діапазоном частот 17,0-25,5 ГГц. Комплексна частотна характеристика виділялась із виміряних даних на основі принципу фур'є-голографії, якій передувала екстраполяція дійсних даних до нульової частоти з використанням методу мінімуму тривалості. Перша досліджувана структура була утворена з використанням двох ідентичних листів оргскла, які розміщувались один за одним із повітряним зазором. Друга структура була утворена з листа склопластику та листа гуми так, що другий лист розташовувався за першим та щільно притискався до нього. Відновлення ПДП було виконано за допомогою МДД, ДАМГЛ та ІСНК (рис. 6). Після відновлення профілів було розраховано похибки отриманих оцінок для параметрів шарів (таблиця 1). Для ДАМГЛ похибка визначення е шарів представлена діапазоном значень внаслідок того, що у ПДП, відновленому з використанням даного методу, шари мають невелику неоднорідність діелектричної проникності, обумовлену імпульсами луни. Як і очікувалось, найгірші оцінки е оргскла (довідкове значення дорівнює 2,6) були отримані при відновленні профілю за допомогою ІСНК. Причина в тому, що даний метод, на відміну від двох інших, здобуває інформацію щодо е шарів безпосередньо з ЧЗКВ, а не з параметрів імпульсів ІХВ. В той же час процедура вимірювань потребує відсікання “хвоста” ІХВ, внаслідок чого всі відліки ЧЗКВ дещо спотворюються, хоча початкова ділянка ІХВ, яка використовується двома іншими методами, не страждає внаслідок відсікання. Для другої структури результати відновлення засвідчили неоднорідність шару склопластику, що виникла на етапі виготовлення матеріалу. Похибки оцінок для діелектричної проникності склопластику та гуми не могли бути обчислені внаслідок відсутності інформації щодо матеріалів, тому про точність відновлення ПДП другої структури дозволяють судити лише оцінки товщин шарів (похибка варіюється в межах 2-23%) та оцінки значення е повітря за структурою (похибка складає 22-149%). Профілі, відновлені без використання екстраполяції, не приведені внаслідок значної неточності. Велике відхилення оцінки е заднього півпростору від 1 для структури “склопластик-гума” обумовлене тим, що процедура екстраполяції не дозволяє врахувати втратний характер матеріалів шарів.

Рис. 6 Результати відновлення ПДП досліджуваних структур при використанні МДД (), ДАМГЛ () та ІСНК (): а -- структура “оргскло-повітря-оргскло”, б -- структура “склопластик-гума”.

Вертикальні пунктирні лінії позначають точні положення меж шарів.

Таблиця 1 Відносні похибки оцінок параметрів шарів структури “оргскло-повітря-оргскло”, %.

Параметр	Метод відновлення	Шар 1	Шар 2	Шар 3	Задній півпростір
	МДД	1	29	3	49
	ДАМГЛ	1	28	0-3	40-50
	ІСНК	7	11	23	10
	МДД	7	3	12
	ДАМГЛ	8	4	13
	ІСНК	5	11	1

Висновки

1. Вдосконалено низку методів, використовуваних для відновлення профілю діелектричної проникності шаруватих структур на основі вимірювань частотної залежності коефіцієнта відбиття.

2. Запропоновано більш точну та швидку модифікацію методу параметричного спектрального аналізу, основаного на дробово-раціональній інтерполяції в спектрально-спряженій області. Модифікація передбачає, що:

— опорні точки інтерполяції вводяться не по одній, а парами;

— вони вибираються не із умови мінімізації норми різниці експериментальної та модельної характеристик, а із умови облямування максимумів модуля різницевого сигналу в часовій області;

— уточнювання множини опорних точок інтерполяції після введення пари нових точок не виконується.

Модифікація дозволяє призначати свідомо занижений порядок спектрального аналізу та вибирати ті спектральні компоненти, параметри яких необхідно оцінити. При використанні модифікованого методу спектрального аналізу спільно з тими методами відновлення профілю діелектричної проникності, що допускають використання суттєво заниженого порядку (зокрема, з методом динамічної деконволюції), досягнуто пришвидшення процесу відновлення при збереженні високої точності отримуваного профілю.

3. Запропоновано нову модифікацію методу вибору оптимального порядку спектрального аналізу сигналу типу “частотна залежність коефіцієнта відбиття багатошарової структури + шум”, основаного на послідовному нарощуванні порядку моделі. Особливістю підходу є завдання припустимої ймовірності того, що спектральний аналіз дасть хибну породжену шумом спектральну компоненту. Порядок спектрального аналізу нарощується до тих пір, поки максимум модуля різниці експериментального та модельного часових сигналів не стане менше порогу, значення якого розраховується на основі заданої ймовірності.

4. В ітераційні процедури методу динамічної деконволюції та дискретного аналога методу Гельфанда-Левітана вбудовано корекцію викривлення профілю діелектричної проникності, що виникає внаслідок розходження зондувального пучка. В числовому експерименті продемонстровано перевагу в точності відновлення модифікованих варіантів методів у порівнянні з базовими при синтезуванні частотної залежності коефіцієнта відбиття в припущенні неплоскохвильової моделі зондування.

5. Розроблено нову модифікацію ітераційної процедури дискретного аналога методу Гельфанда-Левітана, в якій СЛАР розв'язується з використанням блочної інверсії матриці коефіцієнтів. Метод блочної інверсії використано в нестандартній формі з урахуванням того, що матриця коефіцієнтів СЛАР допускає рекурентне блочне представлення не на двох послідовних ітераціях, а на ітераціях через одну. В результаті досягнуто пришвидшення процесу відновлення профілю. В числовому експерименті для ряду тестових діелектричних структур модифікований варіант методу продемонстрував принаймні двократний виграш у часі відновлення профілю в порівнянні з варіантом, в якому для розв'язання СЛАР використовувався метод виключення Ґаусса.

6. Отримано аналітичні вирази для коефіцієнтів СЛАР, яку необхідно розв'язувати на кожній ітерації ітераційної схеми Ньютона-Канторовича. Вирази було отримано в припущенні, що для представлення невідомих поправок до профілю використовується дискретний базис. При адаптації ітераційної схеми даного методу до відновлення дискретного профілю діелектричної проникності був розроблений варіант вилучення з формул базового методу невизначеності, що виникає на межах шарів. Таким чином, при відновленні профілю діелектричної проникності шаруватих структур виключено необхідність числового інтегрування, що пришвидшило процес відновлення у десятки разів.

7. Удосконалено існуючий підхід до локалізації меж шарів багатошарової структури за наявності даних частотної залежності коефіцієнта відбиття в області достатньо низьких частот. Удосконалена методика включає спектральний аналіз частотної залежності коефіцієнта відбиття й зіставлення затримок спектральних компонент з положеннями локальних максимумів розподілу , отриманого за допомогою ітераційної схеми Ньютона-Канторовича при використанні експоненційного базису для представлення невідомих поправок до профілю. Такий гібридний підхід дозволив об'єднати точність спектрального аналізу з можливістю відсіяти імпульси луни, що дають фіктивні межі шарів, і виявити ті межі, імпульси першого відбиття від яких компенсовано імпульсами луни.

8. Запропоновано новий підхід до оцінювання електричних глибин меж шарів на основі інтерпретації результатів спектрального аналізу. Даний підхід передбачає:

— визначення типу кожної отриманої спектральної компоненти шляхом кореляційного зіставлення функції густини ймовірності її розташування з функціями густини ймовірності розташування очікуваних спектральних компонент луни;

— використання значень затримок спектральних компонент, обумовлених луною, для підвищення точності оцінок затримок головних компонент.

Метод реалізований шляхом розв'язування перевизначеної СЛАР відносно електричних товщин шарів за допомогою методу найменших зважених квадратів.

9. Запропоновано нову більш стабільну та швидку модифікацію ітераційної схеми Ньютона-Канторовича для відновлення профілю діелектричної проникності шаруватих структур з суттєвими втратами енергії, але нехтовно малою дисперсією комплексної діелектричної проникності матеріалів шарів в робочому діапазоні частот. Модифікація основана на переході в базовому рівнянні Рікатті до нової комплексної координати, в той час як традиційно рівняння розглядається в дійсній координаті. Вибір саме комплексної координати вносить реґуляризуючий ефект в процедуру побудови оберненого оператора для прямої задачі, оскільки дозволяє позбавитися зайвих ступенів вільності підчас пошуку невідомого профілю.

10. На основі реальних вимірювань частотної залежності коефіцієнта відбиття на скалярному рефлектометрі в діапазоні частот 17,0-25,5 ГГц відновлено профілі діелектричної проникності шаруватих структур типу “оргскло-повітря-оргскло” та “склопластик-гума”. Комплексна частотна характеристика виділялась із виміряних даних на основі принципу фур'є-голографії, якій передувала екстраполяція дійсних даних до нульової частоти з використанням методу мінімуму тривалості. Відновлення профілів було виконано за допомогою методу динамічної деконволюції, дискретного аналога методу Гельфанда-Левітана та ітераційної схеми Ньютона-Канторовича. Для другої структури результати відновлення засвідчили неоднорідність шару склопластику, що виникла на етапі виготовлення матеріалу.

Основні результати дисертації викладені у працях

1. Алексін С. Г. Метод Гельфанда-Левітана: вдосконалення ітераційної процедури та дослідження визначника і числа обумовленості / С. Г. Алексін, О. О. Дробахін // Вісник ДНУ (Фізика. Радіоелектроніка). - 2008. - Вип. 16, № 2/1. - С. 7-14.

2. Алексин С. Г. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости слоистых структур с использованием метода Гельфанда-Левитана-Марченко С. Г. Алексин, С. Г. Лебедев, О. О. Дробахин // Радіоелектроніка. Інформатика. Управління. - 2009. - № 2. - С. 5-11.

3. Alexin S. G. Modification of the Newton-Kantorovich Iteration Procedure for Piecewise-Constant Real Permittivity Profile Reconstruction / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin, V. O. Tkachenko // Telecommunications and Radio Engineering. - 2009. - No. 68(16). - P. 1411-1421.

4. Alexin S. G. Reconstruction of Permittivity Profile of Stratified Lossy Dielectric using Newton-Kantorovich Iterative Scheme / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin // Telecommunications and Radio Engineering. - 2010. - No. 69(9). - P. 815-837.

5. Alexin S. G. Comparison of the Methods of 1-D Permittivity Profile Reconstruction: Real Measurement Data Processing / S. G. Alexin, O. S. Antropov, O. O. Drobakhin // Telecommunications and Radio Engineering. - 2010. - No. 69(12). - P. 1121-1127.

Результати дисертації додатково висвітлені в статтях та тезах доповідей

6. Алексин С. Г. Метод Ньютона-Канторовича: модификация итерационной процедуры для случая кусочно-постоянного профиля действительной диэлектрической проницаемости / С. Г. Алексин, О. О. Дробахин // Вісник ДНУ (Фізика. Радіоелектроніка). - 2009. - Вип. 16. - № 2. - C. 117-124.

7. Алексин С. Г. Дискретный метод Гельфанда-Левитана восстановления профиля диэлектрической проницаемости слоистых структур при учёте расходимости зондирующего излучения / С. Г. Алексин, О. О. Дробахин, В. Г. Короткая // Системные технологии. - 2009. - № 5(64). - C. 108-114.

8. 1-D Inverse Problem Solution for Dielectric Structure with Discrete Profile of Permittivity: Gel'fand-Levitan Method / M. V. Andreev, S. G. Aleksin, O. O. Drobakhin, V. G. Korotkaya // 11th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems in Electromagnetic and Acoustic Wave Theory : proceedings book. - Tbilisi (Georgia), 2006. - P. 99-102.

9. Alexin S. G. Improvement of Gel'fand-Levitan's Iteration Procedure for Permittivity Profile Reconstruction using Block Matrix Inversion for SLAE Solving / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin // 7th Young Scientist Conference on Radiophysics and Electronics : abstracts book. - Kharkov (Ukraine), 2007. - P. 121.

10. Alexin S. G. Reconstruction of Permittivity profile for Stratified Dielectric Material: Gel'fand-Levitan and Newton-Kantorovich Methods / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin, V. O. Tkachenko // 9th International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory : proceedings book. - Odessa (Ukraine), 2008. - P. 141-143.

11. Alexin S. G. Reconstruction of Permittivity Profile by Gel'fand-Levitan Method Using Reflectometry Data Extrapolation / S. G. Alexin, O. S. Antropov, O. O. Drobakhin // 4th International Conference on Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals : proceedings book. - Sevastopol (Ukraine), 2008. - P. 201-203.

12. Alexin S. G. Modification of Newton-Kantorovich Iteration Procedure for Piecewise-Constant Real Permittivity Profile Reconstruction / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin, V. O. Tkachenko // 2nd International Microwaves, Radar and Remote Sensing Symposium : proceedings book. - Kiev (Ukraine), 2008. - P. 158-161.

13. Alexin S. G. Dielectric Slab Parameters Estimation Using “Quasiduration”-Based Objective Function Minimization with Genetic Algorithm / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin, O. O. Plakhotya // 13th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems in Electromagnetic and Acoustic Wave Theory : proceedings book. - Tbilisi (Georgia), 2008. - P. 53-57.

14. Alexin S. G. The Method of Minimum of Duration in Application to Permittivity Profile Reconstruction / S. G. Alexin, O. S. Antropov, O. O. Drobakhin // 13th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems in Electromagnetic and Acoustic Wave Theory : proceedings book. - Tbilisi (Georgia), 2008. - P. 48-52.

15. Alexin S. G. Inverse Problem Solving for Layered Dielectric Structure using Newton-Kantorovich Iterative Scheme with Increased Accuracy / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin // 14th International Seminar/Workshop on Direct and Inverse Problems in Electromagnetic and Acoustic Wave Theory : proceedings book. - Lvov (Ukraine), 2009. - P. 227-231.

16. Alexin S. G. Reconstruction of Permittivity Profile of Stratified Structures with Losses on Basis of Divergent Beam Probing using Multifrequency Data in Wide Frequency Band / S. G. Alexin, O. O. Drobakhin // 5th International Conference on Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals : proceedings book. - Sevastopol (Ukraine), 2010. - P. 177-179.

Анотації

Алексін С. Г. Відновлення профілю діелектричної проникності шаруватих структур за значенням коефіцієнта відбиття. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.03 - радіофізика. -- Дніпропетровський національний університет імені О. Гончара, м. Дніпропетровськ, 2011.

В дисертації запропоновано нові модифікації трьох добре відомих методів відновлення профілю діелектричної проникності (ПДП) багатошарових структур на основі виміряної частотної залежності коефіцієнта відбиття. Даними методами є метод динамічної деконволюції (МДД), дискретний аналог методу Гельфанда-Левітана (ДАМГЛ), що виходить із моделі структури з шарами рівної електричної товщини, та ітераційна схема Ньютона-Канторовича (ІСНК) розв'язання диференціального рівняння Рікатті, що пов'язує частотно-просторові залежності коефіцієнта відбиття та комплексної діелектричної проникності. Цілями розробки модифікацій було пришвидшення процесу відновлення ПДП (для ДАМГЛ та ІСНК), узагальнення базових методів, розроблених в припущенні плоскохвильового зондування, на випадок зондування розбіжним пучком (для МДД та ДАМГЛ), підвищення стабільності процесу відновлення за наявності втрат енергії в матеріалах шарів (для ІСНК). Крім того, вдосконалено два існуючих методи оцінювання електричних глибин залягання меж шарів. Також вдосконалено метод параметричного спектрального аналізу (ПСА), оснований на дробово-раціональній інтерполяції у фур'є-спряженій області та запропоновано новий підхід до вибору оптимального порядку ПСА.

Ключові слова: зворотна задача, дистанційне зондування, профіль діелектричної проникності, шарувата структура, надвисокі частоти, хвильовий пучок, коефіцієнт відбиття, параметричний спектральний аналіз.

Алексин С. Г. Восстановление профиля диэлектрической проницаемости слоистых структур по значению коэффициента отражения. -- Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.03 - радиофизика. -- Днепропетровский национальный университет имени О. Гончара, г. Днепропетровск, 2011.

В диссертации предложены новые модификации трёх хорошо известных методов восстановления профиля диэлектрической проницаемости (ПДП) многослойных структур на основе измеренной частотной зависимости коэффициента отражения (ЧЗКО). Данными методами являются метод динамической деконволюции (МДД), дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана (ДАМГЛ), который исходит из модели структуры со слоями равной электрической толщины, и итерационная схема Ньютона-Канторовича (ИСНК) решения дифференциального уравнения Рикатти, связывающего частотно-пространственные зависимости коэффициента отражения и комплексной диэлектрической проницаемости. Целями разработки модификаций было ускорение процесса восстановления ПДП (для ДАМГЛ и ИСНК), обобщение базовых методов, разработанных в предположении плосковолнового зондирования, на случай зондирования расходящимся пучком (для МДД и ДАМГЛ), повышение стабильности процесса восстановления при наличии потерь энергии в материалах слоёв (для ИСНК).

Для ДАМГЛ повышение скорости восстановления ПДП достигнуто благодаря использованию блочной инверсии матрицы коэффициентов СЛАУ, которую необходимо решать на каждой итерации метода. Для ИСНК ускорение процесса восстановления достигнуто благодаря тому, что были аналитически взяты интегралы в выражениях для коэффициентов СЛАУ. Вследствие этого отпала необходимость численного интегрирования на каждой итерации метода, как это делалось в базовом варианте ИСНК. Обобщение ДАМГЛ на случай зондирования пучком с конечным фокусным расстоянием достигнуто благодаря введению в исходный алгоритм метода этапа коррекции магнитуды очередного импульса, вовлекаемого в вычислительный процесс. Соответствующее обобщение МДД предполагает замену базовой формулы трансформации ЧЗКО, эквивалентной “изъятию” из структуры внешнего слоя. Для ИСНК повышение стабильности процесса восстановления в случае потерных материалов слоёв достигнуто благодаря переходу в базовом уравнении Рикатти к новой комплексной электрической координате. Использование комплексной координаты внесло регуляризирующий эффект в процедуру построения обратного оператора для прямой задачи, поскольку позволило избавиться от лишних степеней свободы при поиске неизвестного ПДП.

Кроме того, усовершенствованы два существующих метода оценивания электрических глубин залегания границ слоёв , n = 0, 1, …, N. Первый метод предполагает приближённое восстановление ПДП с помощью ИСНК с экспоненциальным базисом и дальнейшую локализацию границ слоёв по локальным максимумам пространственного распределения . Предложенное усовершенствование метода состоит в сопоставлении полученных оценок для с результатами параметрического спектрального анализа (ПСА). Второй метод оценивания предполагает выполнение ПСА, сопоставление модели каждому из полученных импульсов (модель определяет сколько раз зондирующий импульс прошёл каждый из слоёв структуры, прежде чем сформировался соответствующий импульс импульсной характеристики отражения) и использование задержек импульсов эха для уточнения задержек тех импульсов, которые соответствуют первому отражению от границ слоёв. Первое усовершенствование метода состоит в использовании корреляционного анализа функций плотности вероятности ожидания и фактического размещения спектральных компонент, что делает более достоверным сопоставление полученным импульсам моделей. Второе усовершенствование метода состоит в взвешивании задержек спектральных компонент эха в соответствии с их дисперсиями, обусловленными свойствами использованного метода ПСА.