Динамика твердого тела

Размещено на http://www.allbest.ru/

Динамика твердого тела

1. Момент инерции

Определение момента инерции

Момент инерции тела относительно неподвижной оси - физическая величина, равная сумме произведений элементарных масс на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси и являющаяся мерой инертности тела во вращательном движении

. (1)

Суммирование производится по всем элементарным массам _, на которые можно разбить тело.

Момент инерции -- величина аддитивная: момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей.

Момент инерции тела в случае непрерывного распределения масс

где с - плотность тела в данной точке; dm=сdV - масса малого элемента тела объемом dV, отстоящего относительно оси вращения на расстоянии r.

Интегралы берутся по всему объему тела, причем величины с и r являются функциями точки (например, декартовых координат х_, у и z).

Момент инерции сплошного цилиндра

Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r + dr. Момент инерции каждого полого цилиндра , (), объем элементарного цилиндра 2рrh dr, его масса dm = 2рrhс dr и dI=2рhсr³ dr (с - плотность материала). Момент инерции сплошного цилиндра

.

Поскольку - объем цилиндра, его масса

, а

.

Теорема Штейнера

Момент инерции тела I относительно любой оси вращения равен моменту его инерции I_c относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы m тела на квадрат расстояния а между осями. кинетический энергия инерция масса

Моменты инерции однородных тел

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела

Тело вращается вокруг неподвижной оси . Мысленно разбиваем это тело на элементарные массы находящиеся на расстоянии . При вращении твердого тела элементарные объемы массами опишут окружности радиусов .

Кинетическая энергия -й элементарной массы

. (5)

Линейная скорость элементарной массы равна (угловая скорость вращения всех элементарных объемов одинакова).

Кинетическая энергия вращающегося твердого тела.

(6)

Учли, что

- момент инерции тела относительно оси

. (7)

Из сравнения формул

и

следует, что момент инерции - мера инертности тела при вращательном движении.

Плоское движение твердого тела

Плоским называется такое движение, при котором все точки тела движутся в параллельных плоскостях. Произвольное плоское движение можно представить как совокупность поступательного движения и вращения. Разбиение движения на поступательное и вращательное можно осуществить множеством способов, отличающихся значениями скорости поступательного движения, но соответствующих одной и той же угловой скорости . Поэтому можно говорить об угловой скорости вращения твердого тела, не указывая через какую точку проходит ось вращения. Тогда формула для скорости точек относительно неподвижной системы отчета будет иметь вид:

,

где - скорость центра масс тела, - угловая скорость тела. Кинетическая энергия тела при плоском движении - складывается из энергии поступательного движения со скоростью, равной скорости центра масс, и энергии вращения вокруг оси, проходящей через центр масс тела.

, (8)

где - масса тела; - момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс.

2. Момент силы. уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Момент силы

Момент силы относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки в точку приложения силы, на силу

- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Модуль вектора момента силы

, (9)

где - угол между и , - кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой - плечо силы.

Момент силы относительно неподвижной оси - скалярная величина , равная проекции на эту ось вектора момента силы, определенного относительно произвольной точки данной оси .

Значение момента не зависит от выбора положения точки на оси .Если ось совпадает с направлением вектора , то момент силы представляется в виде вектора, совпадающего с осью:

.

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела

Сила приложена к точке , находящейся от оси на расстоянии , - угол между направлением силы и радиусом-вектором (смотри рисунок 6). Так как тело абсолютно твердое, то работа этой силы равна работе, затраченной на поворот всего тела.

При повороте тела на бесконечно малый угол точка приложения силы проходит путь и работа равна произведению проекции силы на направление смещения на величину смещения: . Учитывая, что , получаем

(10)

Уравнение динамики вращательного движения твердого тела:

. (11)

Момент сил твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловое ускорение.

Работа вращения тела идет на увеличение его кинетической энергии:

, , .

,

.

Так как угловая скорость

, то .

Момент импульса

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной точки - физическая величина, определяемая векторным произведением радиуса-вектора материальной точки, проведенного из точки , на импульс этой материальной точки

(12)

Модуль вектора момента импульса

, (13)

где б - угол между векторами и ; - плечо импульса. Перпендикуляр опущен из точки на прямую, вдоль которой направлен импульс частицы.

- осевой вектор (псевдовектор), его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к .

Момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси z - скалярная величина L_iz, равная проекции на эту ось вектора момента импульса, определенного относительно произвольной точки данной оси z.

Значение момента импульса L_iz не зависит от положения точки О на оси z.

Момент импульса отдельной точки вращающегося абсолютно твердого тела

. (14)

При вращении абсолютно твердого тела вокруг неподвижной оси z каждая отдельная точка тела движется по окружности постоянного радиуса с некоторой скоростью . Скорость и импульс перпендикулярны этому радиусу, т. е. радиус -- плечо вектора . Тогда момент импульса отдельной частицы и направлен по оси в сторону, определяемую правилом правого винта.

Момент импульса абсолютно твердого тела относительно неподвижной оси z - сумма моментов импульса отдельных его частиц относительно той же оси.

, (15)

равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость

. (16)

Учтем, что

,

где - момент инерции тела относительно оси z, - угловая скорость.

Аналогия в описании поступательного и вращательного движений

Закон сохранения момента импульса

Еще одна форма записи уравнения динамики вращательного движения твердого тела - производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту силы относительно той же оси

. (17)

Продифференцировав

по времени, получим записанное выражение:

. (18)

Производная вектора момента импульса твердого тела равна моменту (сумм е моментов) внешних сил

. (19)

Закон сохранения момента импульса:

. (20)

Момент импульса замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.

В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда .

Закон сохранения момента импульса -- фундаментальный закон природы.

Закон сохранения момента импульса - следствие изотропности пространства.

Изотропность пространства - инвариантность физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол).

Некоторые демонстрации закона сохранения момента импульса

Человек, сидящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси) и держащий в вытянутых руках гантели, приведен во вращение с угловой скоростью . Если человек прижмет гантели к себе, то момент инерции системы уменьшится. Поскольку момент внешних сил равен нулю, момент импульса системы сохраняется () и угловая скорость вращения возрастает. Человек, стоящий на скамье Жуковского (она с малым трением вращается вокруг вертикальной оси), держит в руках колесо, вращающееся вокруг горизонтальной оси. Начальный момент импульса . Если поднять вращающееся колесо (рисунок 9б), то остается равным нулю (поворот колеса осуществляется за счет внутренних сил) и скамья начнет вращаться в направлении, противоположном направлению вращения колеса с угловой скоростью , удовлетворяющей равенств

( - момент инерции колеса; - угловая скорость колеса; - момент инерции системы «человек + скамья»).

Гимнаст во время прыжка через голову поджимает к туловищу руки и ноги, чтобы уменьшить свой момент инерции и увеличить тем самым угловую скорость вращения.

Размещено на Allbest.ru