Симетрiї лi та точнi розв’язки деяких нелiнiйних еволюцiйних систем рiвнянь з поперечною дифузiєю

Размещено на http://www.allbest.ru/

Нацiональна академiя наук України

УДК 517.95

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Симетрiї лi та точнi розв'язки деяких нелiнiйних еволюцiйних систем рiвнянь з поперечною дифузiєю

01.01.03 - математична фізика

Миронюк Лілія Павлівна

Київ - 2011

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Волинському національному університеті імені Лесі Українки. алгебра інваріантність рівняння

Науковий керівник

доктор фiзико-математичних наук Чернiга Роман Михайлович, Iнститут математики НАН України, провiдний науковий спiвробiтник вiддiлу прикладних дослiджень

Офiцiйнi опоненти:

доктор фiзико-математичних наук, професор Бiлоколос Євген Дмитрович, Iнститут магнетизму НАН та МОН України, завiдувач вiддiлу теоретичної фiзики

кандидат фiзико-математичних наук Плюхiн Олексiй Геннадiйович, Полтавський нацiональний технiчний унiверситет iменi Юрiя Кондратюка, старший викладач кафедри вищої математики

Захист відбудеться “7” червня 2011 р. о 15 годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “6” травня 2011 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради А.C. Романюк

Загальна характеристика роботи

Актуальнiсть теми. Розвиток методiв iнтегрування (точного розв'язання) нелiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними (ДРЧП) та їх систем є однiєю з найбiльш актуальних проблем сучасної математичної фiзики (МФ). Це зумовлено тим, що абсолютна бiльшiсть явищ та процесiв, притаманних живiй i неживiй природi, моделюється ДРЧП та системами таких рiвнянь. Водночас добре вiдомо, що класичнi лiнiйнi рiвняння МФ (рiвняння теплопровiдностi та дифузiї, хвильове рiвняння тощо) та системи таких рiвнянь є лише лiнiйними апроксимацiями тих нелiнiйних рiвнянь та систем, якими адекватно описуються вiдповiднi явища та процеси. Оскiльки всi класичнi методи iнтегрування лiнiйних ДРЧП та їх систем ґрунтуються на принципi лiнiйної суперпозицiї розв'язкiв, вони стають непридатними для застосування до нелiнiйних ДРЧП та їх систем. Це, зокрема, означає, що класичнi методи (метод Фур'є, метод iнтегральних перетворень, метод функцiї Ґрiна тощо) неможливо застосувати до таких рiвнянь.

Отже, переважна бiльшiсть нелiнiйних ДРЧП та їх систем для свого iнтегрування вимагає зовсiм iнших методiв та пiдходiв. Нинi не iснує достатньо загальних методiв точного розв'язання нелiнiйних ДРЧП. Найбiльш вiдомими є метод оберненої задачi розсiювання (МОЗР) та метод Лi, а також їх узагальнення. Перший iз них запропоновано в 60-х роках минулого столiття, i вiдтодi вiн iнтенсивно розвинувся та успiшно застосовувався до низки нелiнiйних рiвнянь. У розвиток МОЗР та створення на його основi нових методiв великий внесок зробили українськi математики, зокрема Є. Д. Бiлоколос, В. О. Марченко, Л. П. Нижник. Проте цей метод є ефективним для досить обмежених класiв рiвнянь - переважно для двовимiрних.

Найбiльш унiверсальним методом для побудови точних частинних розв'язкiв нелiнiйних ДРЧП є метод Лi. Вiн ґрунтується на знаходженнi та застосуваннi операторiв алгебри iнварiантностi (симетрiй Лi) певного нелiнiйного рiвняння для побудови його точних розв'язкiв. Хоч базовi теореми цього методу сформульовано понад столiття тому, однак вiн постiйно розвивається, унаслiдок чого з'являються науковi роботи, у яких ученi висвiтлюють новi результати для нелiнiйних рiвнянь iз широкою симетрiєю Лi. Зокрема, значний внесок у розвиток методу Лi та його застосувань до рiвнянь МФ зробили вiдомий український математик В. I. Фущич Фущич В. И. Симметрийный анализ и точные решения нелинейных уравнений математической физики / В. И. Фущич,

В. М. Штелень, Н. И. Серов. - Киев : Наук. думка, 1989. - 336 с. Фущич В. И. Симметрия уравнений квантовой механики / В. И. Фущич, А. Г. Никитин. - Киев : Наук. думка, 1990. -

400 с. та його учнi А. Г. Нiкiтiн, Р. М. Чернiга, М. I. Сєров, Р. З. Жданов, В. А. Тичинiн, I. М. Цифра, В. I. Лагно.

Проте давно помiчено, що низка добре вiдомих рiвнянь та систем таких рiвнянь МФ, особливо математичної бiологiї, допускає лише найпростiшi симетрiї Лi, а тому для них метод Лi є малоефективним і для знаходження точних розв'язкiв рiвнянь чи їх систем потрiбно використовувати iншi методи.

1969 року опублiковано роботу Дж. Блумана (G. Bluman) i Дж. Коула (J. D. Cole), у якiй було запропоновано новий метод для пошуку анзацiв i точних розв'язкiв ДРЧП, що ґрунтувався на введеннi нового типу симетрiй, названих згодом Q-умовними симетрiями, або некласичними симетрiями. Застосування цього методу до розв'язання низки вiдомих нелiнiйних рiвнянь другого порядку дало змогу побудувати новi розв'язки, якi неможливо знайти згаданими вище методами. Значний внесок у розвиток методу умовних симетрiй зробили В. I. Фущич та його учнi.

У 90-х роках минулого столiття дослiдники, зокрема, В. А. Галактiонов i С. Р. Свiрщевський; А. C. Фокаш (A. S. Fokas) і К. М. Лiу (Q. M. Liu); Р. М. Чернiга та Р. З. Жданов незалежно запропоновали декiлька нових пiдходiв для побудови точних розв'язкiв нелiнiйних рiвнянь, якi дають змогу редукувати певне нелiнiйне ДРЧП до деякої системи звичайних диференцiльних рiвнянь (ЗДР). Хоч жоден iз цих пiдходiв не можна трактувати як абсолютно новий унiверсальний метод iнтегрування нелiнiйних ДРЧП, однак їх застосування до розв'язання низки вiдомих нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь (передусiм другого порядку) дало змогу побудувати новi розв'язки, якi часто неможливо знайти iншими методами. Водночас слiд зазначити, що зовсiм небагато робiт присвячено застосуванню цих методiв до систем нелiнiйних ДРЧП.

Отже, розвиток нових пiдходiв до розв'язання нелiнiйних ДРЧП, особливо нелiнiйних систем, та побудова широких класiв точних розв'язкiв нелiнiйних рiвнянь та систем, якi застосовуються при моделюваннi реальних процесiв, є актуальною проблемою сучасної МФ.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацiйну роботу виконано на кафедрi диференцiальних рiвнянь та математичної фiзики Волинського нацiонального унiверситету iменi Лесi Українки згiдно з планом наукових робiт за науковою темою “Теорiя функцiй та диференцiальнi рівняння”.

Мета i завдання дослiдження. Мета дисертацiйної роботи - побудова симетрiй Лi, знаходження умов редукцiї до систем ЗДР, побудова точних розв'язкiв для нелiнiйних систем еволюцiйних диференцiальних рiвнянь; дослiдження властивостей та iнтерпретацiя отриманих розв'язкiв.

Об'єктом дослiдження є системи нелiнiйних еволюцiйних диференцiальних рiвнянь, що моделюють деякi фiзичнi та бiологiчнi процеси.

Предмет дослiдження -- побудова симетрiй Лi, знаходження лiївських та нелiївських редукцiй до систем ЗДР та точних розв'язкiв таких систем.

Методи дослiдження. Для реалiзацiї завдань дослiдження використовувалися такi методи:

класичний метод Лi, сучасний метод групової класифiкацiї нелiнiйних ДРЧП, метод додаткових

породжуючих (ґенеруючих) умов (МДПУ), класичнi методи iнтегрування лiнiйних та нелiнiйних ЗДР.

Наукова новизна одержаних результатiв. Основнi результати, якi визначають наукову новизну та виносяться на захист, такi:

1. Зроблено вичерпний опис симетрiй Лi класичної системи Шiґесади-Кавасакi-Терамото (ШКТ) та встановлено, що iснує 16 нееквiвалентних випадкiв, коли ця система залежно вiд значень коефiцiєнтiв допускає розширення основної алгебри iнварiантностi.

2. Знайдено новi нелiївськi редукцiї системи ШКТ до систем ЗДР та побудовано широкi класи точних розв'язкiв системи ШКТ. Для окремих розв'язкiв наведено бiологiчну інтерпретацію.

3. Знайдено точнi розв'язки системи типу Лотки-Вольтерa (ЛВ) зi степеневими коефiцiєнтами дифузiї, а також системи ЛВ iз пористою дифузiєю та дослiджено їх властивостi.

4. Проведено групову класифiкацiю узагальненої системи рiвнянь тонких плiвок (РТП). Результати класифiкацiї застосовано для побудови iнварiантних розв'язкiв.

5. Побудовано багатопараметричнi сiм'ї нелiївських розв'язкiв РТП iз квадратичними нелiнiйностями та наведено фізичну iнтерпретацiю деяких зi знайдених розв'язкiв.

Практичне значення одержаних результатiв. Бiльшiсть результатiв має теоретичний характер. Однак точнi розв'язки, отриманi для окремих систем рiвнянь, можуть практично застосовуватися пiд час математичного моделювання вiдповiдних бiофiзичних процесiв. Результати роботи, а також запропонованi в нiй пiдходи можуть бути використанi у поцесi подальшого вивчення iнших нелiнiйних рiвнянь МФ та математичної бiологiї.

Особистий внесок здобувача. За темою дисертацiї опублiковано чотири роботи. Роботу [2] автор написав самостiйно. У роботах [1], [3], [4] спiвавторовi Р. М. Чернiзi належить написання вступних частин, у яких сформульовано постановки задач. Отримав та довiв усi результати дисертацiї, винесенi на захист, дисертант самостiйно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи доповiдалися й обговорювалися на семiнарах вiддiлу прикладних дослiджень Iнституту математики НАН України (2007-2010 рр., керiвник семiнару - професор А. Г. Нiкiтiн), на конференцiї “Симетрiя i iнтегрованiсть рiвнянь математичної фізики” (Київ, 2006), на II Мiжнароднiй науково-практичнiй конференцiї студентiв і аспiрантiв “Волинь очима молодих науковцiв: минуле, сучасне, майбутнє” (Луцьк, 2008), на VII Мiжнароднiй конференцiї “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 2007), на VIII Мiжнароднiй конференцiї “Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics” (Київ, 2009), на XVI International Congress on Mathematical Physics (Prague, 2009), на ХIII Мiжнароднiй науковiй конференцiї iменi академiка М. Кравчука (Київ, 2010).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в статтях [1-4] наукових фахових видань та тезах конференцiй [5], [6].

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертацiя складається зi змiсту, вступу, чотирьох роздiлiв, висновкiв та списку використаних джерел, що мiстить 119 найменувань. Змiст дисертацiї викладено на 146 сторiнках, iз них список використаних джерел займає 14.

Основний змiст роботи

У вступi обґрунтовано актуальнiсть теми, проаналiзовано сучасний стан означених проблем, сформульовано завдання дослiдження та стисло викладено його основнi результати.

Основна частина роботи складається з чотирьох роздiлiв. На початку кожного роздiлу стисло викладено його змiст (за пiдроздiлами).

Перший роздiл присвячено огляду лiтератури за темою дисертацiї, у який включено роботи, що стосуються систем рiвнянь реакцiї-дифузiї (РД) iз поперечною дифузiєю, а також методiв побудови точних розв'язкiв таких систем.

Другий роздiл висвiтлює пошук симетрiй Лi та побудову точних розв'язкiв системи рiвнянь ШКТ.

У пiдроздiлi 2.1 знайдено всi можливi максимальнi алгебри iнварiантностi (МАI) системи рiвнянь ШКТ Shigesada N. Spatial segregation of interacting species / N. Shigesada, K. Kawasa-ki, E. Teramoto // J. Theoret. Biol. - 1979. - Vol. 79. - P. 83-99.:

причому аналiзуємо тiльки тi системи ШКТ, якi не є та не зводяться до систем без поперечної дифузiї (), систем з рiвнянням першого порядку чи систем без реактивних членiв.

Теорема 1. Усi можливi МАI (з точнiстю до їх еквiвалентних зображень, отриманi пiдстановками вигляду (2)) системи рiвнянь (1) наведено в таблицi 1. Будь-яка iнша система вигляду (1), iнварiантна вiдносно МАI розмiрностi три i бiльше, зводиться пiдстановками вигляду

до однiєї з тих, що наведено в таблицi 1 (сталi визначаються конкретним виглядом системи).

У таблицi 1 введено такi позначення операторiв МАI:

Пiдроздiл 2.2 присвячено побудовi точних розв'язкiв системи рiвнянь ШКТ. Зокрема, за допомогою МДПУ Cherniha R. A constructive method for construction of new exact solutions of nonlinear evolution equations / R. Cherniha // Rep. Math. Phys. - 1996. - Vol. 38. - P. 301-312. Чернiга Р. М. Застосування одного конструктивного методу для побудови нелiївських розв'язкiв нелiнiйних еволюцiйних рiвнянь / Р. М. Чернiга // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49. - С 814-827. установлено, що розв'язками системи

є

якщо ; якщо ж, то

У пiдроздiлi 2.3 дослiджено асимптотичну поведiнку (при ) отриманих розв'язкiв, що дало змогу одержати умови, за яких цi розв'язки наближаються до стацiонарних точок дослiджуваної системи, а також отримано новi просторово-неоднорiднi стацiонарнi розподiли, що виникають як граничнi випадки деяких знайдених розв'язкiв при виконаннi певних обмежень на коефiцiєнти системи.

Таблиця 1 Симетрії Лі системи (1)

Зокрема, для розв'язку (3) маємо:

1) , , тоді , .

Отримуємо приклад розв'язку, який описує змагання мiж двома видами, коли вид повнiстю домiнує, а вид зникає;

2) , , тоді при маємо:

де , є довільними сталими, оскiльки обмежень на сталi та немає. Маємо приклад розв'язку, який описує спiвiснування видiв через прагнення їх до так званого просторового вiдокремлення (spatial segregation).

3) властивостi розв'язку (3) є суттєво iншими при . Зокрема, якщо, розв'язок (3) “вибухає”, тобто необмежено зростає, за скiнченний промiжок часу .

Третiй роздiл присвячено нелiнiйнiй системi рiвнянь РД вигляду

та її важливому частинному випадку - системi ЛВ iз пористою дифузiєю:

У пiдроздiлi 3.1 система (6) зi степеневими нелiнiйностями замiною залежних змiнних , зводиться до системи з квадратичними нелiнiйностями:

Отримана система МДПУ редукована до систем ЗДР.

У пiдроздiлi 3.2 знайдено окремi випадки, для яких побудовано розв'язки отриманих систем ЗДР у термiнах елементарних функцiй. Для цих випадкiв отримано в явному виглядi точнi розв'язки вiдповiдних систем РД. Зокрема, розв'язками системи

є функцiї

Важливо вiдзначити, що розв'язок (9) є прикладом “вибухаючих” розв'язкiв спецiального типу - неодночасно вибухаючi (non-simultaneous blow-up), якi порiвняно недавно стали вивчатися. Справдi, при компонента в (9) перетворюється в нескiнченнiсть вiдповiдно за скiнченний промiжок часу та , а компонента залишається обмеженою. Якщо ж , то за скiнченний промiжок часу “вибухає” компонента , а компонента залишається обмеженою. Зрештою, при цей ефект неодночасного “вибухання” зникає.

Пiдроздiл 3.3 присвячений пошуку точних розв'язкiв cистеми Рівнянь ЛВ із пористою дифузією (7). Зокрема, система

володiє точним розв'язком

причому . У роботi наведено бiологiчну iнтерпретацiю цього розв'язку.

У четвертому роздiлi проаналiзовано клас нелiнiйних диференцiальних рiвнянь четвертого порядку вигляду

де , i - довiльнi гладкi функцiї. Це рiвняння називатимемо узагальненим рiвнянням тонких плiвок (РТП), оскiльки воно мiстить як частинний випадок класичне РТП Bertozzi A. L. The mathematics of moving contact lines in thin liquid films / A. L. Bertozzi // Notices Amer. Math. Soc. - 1998. - Vol. 45, № 6. - P. 689-697. та майже всi вiдомi його узагальнення. Будь-яке рiвняння вигляду (10) еквiвалентне системi рiвнянь з поперечною дифузiєю вигляду

Пiдроздiл 4.1 присвячений пошуку формо-зберiгаючих перетворень (ФЗП) системи рiвнянь (11), тобто пошуку загального вигляду пiдстановок, якими можна звести принаймнi одне рiвняння з певного класу рiвнянь до деякого iншого рiвняння з того ж класу. Отже, наша мета: знайти конкретнi обмеження на вигляд підстановок

де функції , , і гладкими за всiма аргументами і

якi зводять хоч би одну систему вигляду (11) до деякої iншої системи такого ж вигляду, тобто:

Теорема 2. Довiльно вибрана нелiнiйна система РТП вигляду (11) може бути зведена до деякої iншої системи такого ж вигляду (14) за допомогою ФЗП вигляду (12) з гладкими функцiями , , та тодi i тiльки тодi, якщо

і виконуються такi спiввiдношення:

де ФЗП є невиродженим при обмеженнi .

У пiдроздiлi 4.2 проведено групову класифiкацiю для системи рiвнянь (11) та встановлено, що всi ранiше отриманi iншими авторами симетрiї отримуються як частиннi випадки.

Теорема 3. Усi можливi МАI (з точнiстю до їх еквiвалентних зображень, що отримуються ФЗП вигляду (16)) системи рiвнянь (11) для довiльної фiксованої трiйки наведено в таблицi 2. Будь-яка iнша система вигляду (11) з МАI розмiрностi три i бiльше зводиться ФЗП вигляду

до однiєї з тих, що наведено в таблицi 2 (сталi визначаються конкретним виглядом системи).

Таблиця 2 Симетрії Лі системи (11)

У таблицi 2 введено такi позначення операторiв МАI:

У пiдроздiлi 4.3 проведено симетрiйну редукцiю та побудовано класи точних розв'язкiв для тих частинних випадкiв системи рiвнянь (11), якi мiстять степеневi нелiнiйностi. Отриманi результати порiвняно з ранiше вiдомими. Зокрема, РТП iз джерелом

володiє точним розв'язком

У пiдроздiлi 4.4 знайдено нелiївськi розв'язки узагальненого РТП iз квадратичними нелiнiйностями

та дослiджено їх властивостi. Зокрема, побудовано 4-параметричну сiм'ю точних розв'язкiв рiвняння (17) при :

Висновки

Основнi результати дисертацiї можна пiдсумувати таким чином.

Ґрунтовно дослiджено симетрiйнi властивостi класичної системи ШКТ та встановлено, що iснує 16 нееквiвалентних випадкiв, коли ця система допускає розширення основної алгебри iнварiантностi. Знайдено новi нелiївськi анзаци, за допомогою яких було проведено редукцiю системи ШКТ до систем ЗДР та побудовано широкi класи точних розв'язкiв системи ШКТ. Окремим розв'язкам наведено бiологiчну iнтерпретацiю.

За допомогою МДПУ проведено редукцiю системи типу ЛВ зi степеневими коефiцiєнтами дифузiї та класичної системи ЛВ iз пористою дифузiєю до систем ЗДР. Знайдено точнi розв'язки цих систем та дослiджено їх властивостi.

Проведено групову класифiкацiю узагальненої системи РТП на основi побудови ФЗП цiєї системи. Отриманi результати застосовано для побудови iнварiантних розв'язкiв у випадку степеневих нелiнiйностей. Побудовано багатопараметричнi сiм'ї нелiївських розв'язкiв узагальненого РТП з квадратичними нелiнiйностями. Окремим розв'язкам надано фiзичну iнтерпретацiю.

Результати дисертацiї можуть бути застосованi в багатьох наукових установах, зокрема у вiддiлi прикладних дослiджень Iнституту математики НАН України, на кафедрi вищої математики Полтавського нацiонального технiчного унiверситету iменi Юрiя Кондратюка, на кафедрi математичної фiзики Нацiонального технiчного унiверситету України “КПI”.

Список опублiкованих праць за темою дисертацiї

1. Миронюк Л. П. Редукцiя та розв'язки одного класу систем нелiнiйних рiвнянь реакцiї-дифузiї зi степеневими нелiнiйностями / Л. П. Миронюк, Р. М. Чернiга // Збірник праць Iнституту математики НАН України. - Т. 3, № 2. - 2006. - С. 217-224.

2. Миронюк Л. П. Точнi розв'язки системи Лотки-Вольтера з поперечною дифузiєю / Л. П. Миронюк // Збiрник праць Iнституту математики НАН України. - Т. 4, № 3. - 2007. - С. 136-147.

3. Cherniha R. New exact solutions of a nonlinear cross-diffusion system / R. Cherniha, L. Myroniuk // J. Phys. A: Math. Theor. - 2008. - Vol. 41. - 395204 (16 pp).

4. Cherniha R. Lie symmetries and exact solutions of a class of thin film equations / R. Cherniha, L. Myroniuk // Journal of Physical Mathematics. - 2010. - Vol. 2. - 100508 (19 pp).

5. Миронюк Л. П. Побудова розв'язкiв системи рiвнянь реакцiї-дифузiї зi змiнною дифузiєю / Л. П. Миронюк // Мiжнародна науково-практична конференцiя аспiрантiв i студентiв “Волинь очима молодих науковцiв: минуле, сучасне, майбутнє”: Тези доповiдей. - Луцьк, 2008. - С 119-121.

6. Миронюк Л. П. Симетрiї Лi та точнi розв'язки одного класу рiвнянь для опису динамiки тонких плiвок / Л. П. Миронюк // Тринадцята мiжнародна наукова конференцiя iменi академіка М. Кравчука: Тези доповiдей. Київ, 2010. - C. 276.

Анотацiї

Миронюк Л.П. Симетрiї Лi та точнi розв'язки деяких нелiнiйних еволюцiйних систем рiвнянь з поперечною дифузiєю. - Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня кандидата фiзико-ма-тематичних наук зi спецiальностi 01.01.03 - математична фiзика. - Iнститут математики НАН України, Київ, 2011.

Дисертацiю присвячено побудовi симетрiй Лi, знаходженню умов редукцiї до систем звичайних диференцiальних рiвнянь, побудовi точних розв'язкiв систем еволюцiйних диференцiальних рiвнянь, дослiдженню властивостей отриманих розв'язкiв, їх iнтерпретацiї.

Зроблено вичерпний опис симетрiй Лi системи Шiґесади-Кавасакi-Терамото (ШКТ). Знайдено новi нелiївськi редукцiї системи ШКТ до систем звичайних диференцiальних рiвнянь та побудовано широкi класи точних розв'язкiв системи ШКТ. Знайдено точнi розв'язки системи Лотки-Вольтера (ЛВ) iз пористою дифузiєю, систем типу ЛВ зi степеневими коефiцiєнтами дифузiї. Проведено групову класифiкацiю узагальненої системи рiвнянь тонких плiвок (РТП). Результати класифiкацiї застосовано для побудови iнварiантних розв'язкiв. Побудовано багатопараметричнi сiм'ї нелiївських розв'язкiв РТП iз квадратичними нелiнiйностями. Наведено фiзичну та бiологiчну iнтерпретацiю деяких зi знайдених розв'язкiв.

Ключовi слова: симетрiя Лi, нелiнiйне еволюцiйне рiвняння, система рiвнянь реакцiї-дифузiї з поперечною дифузiєю, додаткова породжуюча умова, точний розв'язок, нелiївський розв'язок.

Миронюк Л.П. Симметрии Ли и точные решения некоторых нелинейных еволюционных систем уравнений с поперечной диффузией. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2011.

Большинство явлений и процессов, свойственных живой и неживой природе, моделируются нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных (ДУЧП) и системами таких уравнений. Поэтому развитие методов интегрирования ДУЧП и их систем - актуальная проблема современной математической физики. Известно также, что классические линейные уравнения математической физики (уравнение теплопроводности, диффузии, волновое уравнение и т. п.), а также системы таких уравнений являются лишь линейными аппроксимациями тех нелинейных уравнений и систем, которыми в действительности описываются соответственные явления и процессы. Поскольку все классические методы интегрирования линейных ДУЧП и их систем основываются на принципе линейной суперпозиции решений, они не могут быть применены к нелинейным ДУЧП и их системам, поэтому нелинейные ДУЧП интегрируются другими методами.

Диссертация посвящена построению симметрий Ли, поиску условий редукции к системам ОДУ, построению точных решений систем еволюционных дифференциальних уравнений, исследованию свойств полученных решений, их интерпретации.

Произведено исчерпывающее описание симметрий Ли системы Шигесады-Кавасаки-Терамото (ШКТ). С помощью метода дополнительных генерирующих условий (МДГУ) найдены новые нелиивские редукции системы ШКТ к системам обычных дифференциальных уравнений и построены широкие класы точных решений системы ШКТ. Построены точные решения системы Лотки-Вольтера (ЛВ) с пористой диффузией, систем типу ЛВ со степенными коэффициентами диффузии. Проведено групповую классификацию обобщенной системы уравнения тонких пленок (УТП). Результаты классификации применено к построению инвариантных решений. С помощью МДГУ построены многопараметрические семьи нелиивских решений УТП с квадратическими нелинейностями. Приведена физическая и биологическая интерпретация некоторых из полученных решений.

Ключевые слова: симметрия Ли, нелинейное еволюционное уравнение, система уравнений реакции-диффузии с поперечной диффузией, дополнительное генерирующее условие, точное решение, нелиивское решение.

Myroniuk L.P. Lie symmetries and exact solutions of some nonlinear evolution cross-diffusion systems. - Manuscript.

Thesis for the degree of phylosophy doctor by speciality 01.01.03 - Mathematical Physics. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2011.

The thesis is devoted to constructing Lie symmetries, reductions to ODE systems and exact solutions for evolution systems of differential equations. Properties of the solutions obtained and their interpretation are also investigated.

A complete description of Lie symmetries for the Shigesada-Kawasaki-Teramoto (SKT) system is derived. New non-Lie reductions of SKT system to ordinary differential equation systems and a wide range of exact solutions of this system are constructed. New exact solutions of the Lotka-Voltera (LV) system with the porous diffusivity and LV type systems with power diffusivities are found. The group classification of a generalized system of thin film equations is derived. The results obtained for constructing invariant solutions are applied. The multi-parametric families of non-Lie solutions are also constructed for a thin film equation with the quadratic nonlinearities. Physical and biological interpretation of the solutions obtained are also provided.

Key words: Lie symmetry, non-linear evolution equation, cross-diffusion system, additional generating condition, exact solution, non-Lie solution.

Размещено на Allbest.ru