Усереднення спектральних і еволюційних задач на ріманових многовидах складної мікроструктури

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ФІЗИКО-ТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ НИЗЬКИХ ТЕМПЕРАТУР ім. Б.І.ВЄРКІНА

УДК 517.95

01.01.03 - математична фізика

АВТОРЕФЕРАТ дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

УСЕРЕДНЕННЯ СПЕКТРАЛЬНИХ І ЕВОЛЮЦІЙНИХ ЗАДАЧ НА РІМАНОВИХ МНОГОВИДАХ СКЛАДНОЇ МІКРОСТРУКТУРИ

Храбустовський

Андрій Володимирович

Харків

2010



ДИСЕРТАЦІЄЮ Є РУКОПИС

Робота виконана у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України

Хруслов Євген Якович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

імені Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків),

заступник директора

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник

Котляров Володимир Петрович,

Фізико-технічний інститут низьких температур

імені Б.І. Вєркіна НАН України (м. Харків),

завідувач відділу математичної фізики

кандидат фізико-математичних наук, доцент

Головатий Юрій Данилович,

Львівський національний університет

імені Івана Франка,

доцент кафедри диференціальних рівнянь

Захист відбудеться 31 серпня 2010 р. о 15⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д64.175.01 у Фізико-технічному інституті низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: 61103, м. Харків, просп. Леніна, 47.

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України за адресою: м. Харків, просп. Леніна, 47.

Автореферат розісланий липня 2010 р.

Вчений секретар Спеціалізованої вченої ради Горькавий В.О.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота належить до теорії усереднення диференціальних рівнянь в частинних похідних. Об'єктом досліджень теорії усереднення є математичні моделі, які описують різноманітні фізичні процеси в сильно неоднорідних середовищах. Задача теорії усереднення - побудувати усереднені моделі, які є адекватними апроксимаціями вихідних моделей і дають глобальні описи фізичних процесів в сильно неоднорідних середовищах.

Теорія усереднення інтенсивно розвивається із середини 60-х років. Перші результати були отримані в роботах В.О.Марченка і Є.Я.Хруслова. Впродовж останніх сорока років з'явилась велика кількість робіт і монографій з теорії усереднення, авторами яких є українські і зарубіжні математики - В.О.Марченко, Є.Я.Хруслов, Е.Де Джорджи, С.Спаньоло, Н.С.Бахвалов, Г.П.Панасенко, Ж.-Л.Ліонс, О.А.Олійник, В.В.Жиков, Ф.Мюра, Л.Тартар, І.В.Скрипник, Г.Нгуетсенг, Г.Аллер та інші. Поступово розширюється коло задач, які розв'язуються методами теорії усереднення. У середині 90-х років з'явились роботи, присвячені усередненню диференціальних рівнянь в частинних похідних на ріманових многовидах складної мікроструктури. Під останніми розуміються ріманові многовиди, які залежать від малого параметру таким чином, що при їх мікроструктура суттєво ускладнюється: метрика стає швидко осцилюючою, і/або топологічний рід многовиду зростає.

Вперше задача такого типу була досліджена в роботі Є.Я.Хруслова і Л.Буте де Монвель в роботі "Averaging of the diffusion equation on Riemannian manifolds of complex microstructure" (1997), в якій вивчалась асимптотична поведінка рівняння дифузії на многовидах, які складаються з кількох екземплярів базового многовиду з великою кількістю малих дірок, а також набору трубчатих і сферичних поверхонь, які приклеюються до країв цих дірок. При кількість приєднаних поверхонь прямує до нескінченності. В роботі було знайдене усереднене рівняння на базовому многовиді, до розв'язків якого прямують при розв'язки вихідного рівняння дифузії.

Подальші дослідження в цій області проводились в роботах Є.Я.Хруслова, Л.Буте де Монвель, І.Д.Чуєшова, Л.Нотарантоніо, А.П.Рибалко, Д.Даль Масо, У.Моско, Р.Галлівера. Дисертаційна робота присвячена подальшому узагальненню і розвитку цих результатів.

Зазначимо, що згідно концепції американського фізика Дж.Вілера многовиди, які описані вище, можуть виступати у якості моделей нашого Всесвіту. В опис багатьох фізичних процесів у такому Всесвіті входить оператор Лапласа-Бельтрамі. Вивчення усередненої поведінки спектральних і еволюційних задач для цього оператора дає відповідь на питання - як мікроструктура простору впливає на глобальний опис фізичного процесу.

В дисерт роботі вивчено асимптотичну поведінку спектру оператора Лапласа-Бельтрамі для многовидів різних типів. Зазначимо, що у переважній більшості робіт по усередненню на многовидах вивчалась асимптотична поведінка резольвенти цього оператора, де доводились її сильна або слабка збіжності (точніше, деякі їх аналоги). Однак, як відомо, навіть із сильної збіжності резольвент не випливає збіжність спектрів. Ця задача потребує окремого аналізу.

Також, в роботі вивчено асимптотичну поведінку задачі Коші для хвильового рівняння (яке також можна трактувати як рівняння Клейна-Гордона, що описує рух квантової безмасової частинки) на псевдорімановому многовиді складної мікроструктури зі спеціальною метрикою, коефіцієнти якої зростають на деякій частині многовиду. Показано, що у результаті усереднення, у рівнянні виникає ненульова маса.

Нарешті, остання частина роботи присвячена застосуванням методів теорії усереднення на многовидах: для систем інтегро-диференціальних рівнянь, які моделюють процеси дифузії і реакції часток кількох видів, доведено принцип максимуму, принцип збереження позитивності, а також стабілізацію розв'язків при великих часах. Метод доведення базується на можливості апроксимувати вихідну систему простішим рівняння, але на деякому рімановому многовиді складної мікроструктури.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, які склали зміст дисертації, проведені у відповідності до тематичного плану Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України з відомчої тематики за темою "Побудова усереднених моделей фізичних процесів у мікронеоднорідних середовищах", державний реєстраційний номер 0106U002559.

Мета та задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є усереднення спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах складної мікроструктури; усереднення хвильового рівняння на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; отримання якісних властивостей (принцип максимуму, збереження позитивності, стабілізація) систем інтегро-диференціальних рівнянь, що моделюють процеси дифузії і реакції часток кількох видів.

Об'єкт дослідження. Спектр оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах; задача Коші для хвильового рівняння на псевдоріманових многовидах; початково-крайова задача для системи реакції-дифузії.

Предмет дослідження. Асимптотична поведінка спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах складної мікростуктури; усереднений опис розв'язків задачі Коші для хвильового рівняння на псевдоріманових многовидах складної мікроструктури; принцип максимуму, позитивність та стабілізація розв'язків початково-крайової задачі для систем реакції-дифузії.

Методи дослідження. Варіаційні методи теорії усереднення, методи функціонального аналізу і теорії функцій комплексної змінної, методи спектральної теорії операторів у гільбертових просторах.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі розглянуто спектральні та еволюційні задачі на ріманових і псевдоріманових многовидах складної мікроструктури, які залежать від малого параметру, а також методами теорії усереднення на многовидах складної мікроструктури проведено якісний аналіз систем реакції-дифузії. У роботі вперше:

· Описано асимптотичну поведінку спектру оператора Лапласа Бельтрамі на ріманових многовидів трьох типів:

1. многовид, що складається з базового компактного многовиду і приєднаних до нього сферичних поверхонь, кількість яких зростає при ;

2. многовид, що складається з базового компактного многовиду і приєднаних до нього трубчатих поверхонь, кількість яких зростає при ;

3. многовид, що складається з базового компактного многовиду і приєднаної до нього трубчатої поверхні, яка стягується до деякого графу при .

Для всіх трьох типів знайдено усереднений оператор, до спектру якого при збігається спектр оператора Лапласа-Бельтрамі. Також для всіх типів, окрім деякого "критичного" випадку многовидів першого типу, описано поведінку власних функцій.

· Описано асимптотичну поведінку розв'язків хвильового рівняння при на псевдорімановому многовиді складної мікроструктури зі спеціальною метрикою, коефіцієнти якої зростають на деякій частині многовиду при . Отримано результат усереднення задачі Коші.

· Досліджено якісні властивості систем реакції-дифузії: методами теорії усереднення на ріманових многовидах доведено принцип максимуму, принцип збереження позитивності розв'язків, стабілізацію розв'язків до константи, яку знайдено в явному вигляді.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, отримані в роботі, мають теоретичний характер і можуть бути використані при досліджені задач усереднення на ріманових многовидах. Методика, застосована для дослідження властивостей систем реакції-дифузії, може бути застосована для якісного аналізу інших рівнянь математичної фізики.

Особистий внесок здобувача. Результати, що виносяться на захист, одержані дисертантом самостійно [1-4] і у співавторстві з Х.Штефаном [5]. У роботі [5] Х.Стефану належить постановка задачі, а дисертанту - доведення основних результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати були представлені на семінарах відділу математичного моделювання фізичних процесів Фізико-технічного інституту низьких температур ім. Б.І. Вєркіна НАН України (керівник - академік НАН України Є.Я. Хруслов), семінарах кафедри диференціальних рівнянь Технічного університету м.Дармштадт (керівник - професор Х.-Д. Альбер), семінарі відділу обчислювальної математики та інформатики Інституту прикладної математики і стохастики ім.К.Веєрштраса м.Берлін (керівник - професор Ф.Йон), семінарі "Математична фізика і геометрія" Інституту математики Жусьє м.Париж (керівник - професор А.Буте де Монвель) і на міжнародних конференціях "Конференція молодих учених - Фізика низьких температур" (Харків, 2007, 08 р.р.), "Lyapunov memorial conference" (Харків, 2007 р.), "Міжнародна школа-конференція КРОМШ" (Ласпі, 2007,08 р.р.), "Тараповські читання" (Харків, 2008 р.), "CIMPA Summer School "Nonlinear analysis and geometric PDE" (Цахкадзор, Вірменія, 2008 р.), "Ювілейна підсумкова наукова конференція ФТІНТ, присвячена 90-річчю НАН України" (Харків, 2008 р.), "First Winter School on PDEs and inequalities" (Мадрид, Іспанія, 2009 р.), "Геометрія "в цілому", топологія і застосування" (Харків, 2009 р.), "Український математичний конгрес" (Kиїв, 2009 р.), "International Conference on Elliptic and Parabolic Equations" (Берлін, Німеччина, 2009 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 5 статтях у наукових фахових виданнях і 5 тезах доповідей на міжнародних наукових конференціях.

Структура та об'єм роботи. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 111 найменувань. Повний обсяг роботи складає 161 стор., з них список використаних джерел займає 14 стор.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, визначено мету і задачі дослідження, вказано на наукову новизну та практичне значення роботи.

У першому розділі зроблено літературний огляд результатів, що стосуються теми роботи, зроблено стислий опис результатів роботи, а також наведено деякі теореми асимптотичного аналізу, що суттєво використовуються в роботі.

У другому розділі розглянуто задачу про асимптотичну поведінку спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах складної мікроструктури.

Теорема 1. Спектр збігається за Хаусдорфом до спектру Збіжність за Хаусдорфом до означає, що виконані наступні умови:

(A) Якщо і , то ; (B) : . самоспряженого оператора , який визначається операцією

і крайовою умовою

Дослідження структури спектру оператора проводиться в Пункті 2.1.2. Показано, що має непорожній істотний спектр, зокрема, він містить відрізок . Доведення Теореми 1 проводиться в Пунктах 2.1.3-2.1.4. В Пункті 2.1.3 перевіряється виконання умови (A) хаусдорфової збіжності, при цьому окремо розглядається випадок, коли нормована власна функція, що відповідає , прямує на до ненульової функції (в цьому випадку - власне значення оператора ), і коли нормована власна функція, що відповідає , прямує на до нуля (в цьому випадку

).

Перевірка умови (B) проводиться в 2.1.4.

В Пункті 2.1.5 аналогічні результати отримуються для многовиду, який складається з двох екземплярів області і системи "бульбашок" , які отримуються вирізанням з -вимірної сфери радіусу двох малих сегментів.

У Підрозділі 2.2 розглядається ріманів многовид

,

описаний в Підрозділі 2.1. Як і раніше точки розташовані -періодично в і , а радіуси дірок і бульбашок задовольняють умовам:

(9)

де (10)

а також умовам (5), (8). Умова (9) виконувалась і в Підрозділі 2.1, а умова (4) замінюється умовою (10), яка означає, що при (якщо ) або (якщо ).

Позначимо через власні значення задачі (1), занумеровані з урахуванням їх кратності, через - відповідну їм систему ортонормованих в власних функцій.

Сформулюймо основні результати Підрозділу 2.2.

Теорема 2. Для довільного : де - занумеровані з урахуванням кратності власні значення задачі

визначається формулами (3), (8).

Теорема 3. Нехай. Нехай - власний підпростір, що відповідає . Тоді для довільного існує лінійна комбінація власних функцій така, що

де - середнє значення від по кубу .

Доведення Теорем 2, 3 проводиться в Пункті 2.2.2.

У Підрозділі 2.3 розглядається 2-вимірний компактний ріманів многовид , який складається з базового многовиду і приєднаних до нього трубчатих поверхонь, кількість яких прямує до нескінченності при .

Теорема 4. Для довільного : де - занумеровані з урахуванням кратності власні значення самоспряженого оператора , який визначається операцією

і крайовою умовою Неймана на .

Теорема 5. Нехай . Нехай - власний підпростір, що відповідає Тоді для довільного існує лінійна комбінація власних функцій така, що

Теореми 4, 5 доводяться в Пункті 2.3.2. Доведення здійснюється варіаційними методами. В Пункті 2.3.3 дається приклад розташування точок , для якого функцію знайдено у явному вигляді.

В Підрозділі 2.4 розглядається 2-вимірний компактний ріманів многовид , який складається з базового многовиду і приєднаної до нього трубчатої поверхні, яка стягується до деякого графу при .

Многовид конструюються так. Нехай - обмежена область з гладкою межею. Нехай - система замкнутих шарів в з центрами в точках і радіусу ( - не залежать від ). Позначимо

Нехай - граф в , тобто множина, що складається із сукупності точок (вершин) і відрізків (ребер), які з'єднують ці точки. Позначимо через () вершини , через - ребра (ребро з'єднує вершини і ). Для довільних введемо числа такі, що , якщо вершини і з'єднані ребром, і в іншому разі. Припускається, що вершини - кінці графу (тобто ). Нехай - натуральний параметр на ребрі , , - довжина ребра . Через позначимо точку на , яка відповідає параметру (так, що,).

Нехай

- 2-вимірна поверхня, що складається з

циліндрів радіусу , довжини (де ) і з віссю

,

сферичних поверхонь , які отримуються вирізанням зі сфери з центром в точці і радіусу

кількох "дірок" - геодезичних кругів з центрами у точках перетину сфери і ребер () і радіусу (число достатньо велике для того, щоб вирізані дірки не перетинались). Кількість дірок дорівнює кількості ребер, що виходять з . Таким чином "бульбашка" з'єднує всі циліндри для яких .

При поверхня стягується до графу . Введемо на циліндричні координати . Край складається з компонент : , . Ми приклеїмо до , ототожнивши відповідні точки і . Отримуємо многовид

Введемо на ріманову метрику , що співпадає з евклідовою метрикою на , а на - з метрикою, що індукується з 3-вимірного евклідового простору.

Позначимо через власні значення задачі (1), занумеровані з урахуванням їх кратності, через - відповідну їм систему ортонормованих в власних функцій.

Нехай

- оператор, який визначається операцією на ребрах графу , його область визначення складається з функцій, що належать , задовольняють умові Діріхле у кінцевих вершинах , а також умові неперервності і умові спряження Кірхгофа в некінцевих вершинах . Нехай - оператор, який визначається операцією Лапласа і крайовою умовою Неймана. Позначимо .

Нехай :

і нехай - власні значення оператора , занумеровані з урахуванням їх кратності.

Сформулюємо основні результати Підрозділу 2.4.

Теорема 6. Для довільного :

Отримані в Підрозділі 2.4 результати узагальнюють результати роботи К.Ане "Spectre du Laplacien et ecrasement d'anses" (1987), в якій поверхня стягувалась до відрізку.

Третій розділ дисертації присвячено задачі усереднення хвильового рівняння на многовидах складної мікроструктури.

У Підрозділі 3.1 розглядається ріманів многовид , що складається з двох екземплярів евклідового простору (листів) з великою кількістю дірок попарно з'єднаних за допомогою тонких трубок. При їх кількість зростає, а радіуси прямують до нуля. Крім того при на одному з листів коефіцієнти метрики прямують до нескінченності.

Дамо більш точний опис многовиду . Нехай

- система замкнутих областей в , яка залежить від малого параметру . Позначимо

Розглянемо дві копії множини

- і . Будемо називати і верхнім і нижнім листами, відповідно. Через і позначимо екземпляр на і , відповідно.

Нехай - 3-вимірний многовид, край складається з двох компонент і , які є дифеоморфними до . Згідно цих дифеоморфізмів ми приклеїмо до листів і , ототожнивши відповідні точки і , і ототожнивши відповідні точки і . Отримуємо многовид :

Позначимо через точки цього многовиду. Якщо точка , ми поставимо їй у відповідність пару , де - відповідна точка .

Нехай - найменший шар, що містить , і - його центр і радіус. Позначимо

.

Введемо на ріманову метрику , через позначимо компоненти метрики у локальних координатах. Припускається, що на і в декартових координатах компоненти мають вигляд:

(12)

Таким чином на листах метрика є евклідовою, однак на коефіцієнти метрики прямують до нескінченності при .

Розглянемо на задачу Коші для хвильового рівняння:

(13)

(14)

де - оператор Лапласа-Бельтрамі на , , - фінітні функції. Наша мета - описати поведінку розв'язку задачі (13)-(14) на при .

Позначимо:,

Розглянемо таку крайову задачу на :

(15)

Нехай - розв'язок (15). Покладемо і введемо узагальнену функцію

.

Будемо говорити, що функція (відп., ) збігається на верхньому листі до (відп., ), якщо для довільного компакту

(відп. ),(16)

де - оператор звуження з на .

Сформулюємо основну теорему цього підрозділу.

Теорема 8. Припустимо, що виконані такі умови:

(i) і , ;

(ii) для довільного компакту



: , ;

(iii)

(iv) існує границя (в )

;

(v) для довільного компакту :

(vi) норм

и , ,

обмежені рівномірно по ; при і збігаються в сенсі (16) до фінітних функцій і , і

Тоді розв'язок задачі (13)-(14) збігається в сенсі (16) до розв'язку задачі

(17)

(18)



Теорема 8 доводиться у Пункті 3.1.2. Спочатку за допомогою перетворення Лапласа задача (13)-(14) зводиться до стаціонарної задачі. Асимптотична поведінка її розв'язків досліджується варіаційними методами. Доведення завершується переходом до нестаціонарних задач за допомогою оберненого перетворення Лапласа.

В Пункті 3.1.3 приведено приклад многовиду , для якого функція знайдена у явному вигляді.

Зауважимо, що оператор

^е

є оператором Лапласа-Бельтрамі на многовиді

, я

кий оснащено псевдорімановою метрикою, що задається формулою

Четвертий розділ присвячений застосуванням методів усереднення на ріманових многовидах до деяких задач якісного аналізу рівнянь математичної фізики. Об'єктом дослідження є система реакції-дифузії, яка описує перенос часток декількох видів, а також перетворення часток з одного виду в інший. Перенос здійснюється як шляхом локальної, так і нелокальної взаємодії часток із середовищем. Крім того, перенос і реакція можуть бути нелокальними за часом. Для цієї системи доводиться принцип максимуму, принцип збереження позитивності розв'язків, і описується стабілізація розв'язків при великих часах. Доведення базується на можливості апроксимувати вихідну систему рівнянням дифузії на деякому рімановому многовиді складної мікроструктури.

Сформулюймо основні результати Підрозділу 4.1.

Теорема 10. (Принцип максимуму)

1) Якщо

, то для майже всіх

2) Якщо , то для майже всіх

Теорема 11. (Збереження позитивності) Нехай , . Тоді для майже всіх .

Теорема 12.(Стабілізація) При збігається в до константи

Для доведення застосовується наступний метод. Будується ріманів многовид складної мікроструктури , який складається з екземплярів області з великою кількістю малих дірок, а також набору трубчатих і сферичних поверхонь, які приклеюються до країв цих дірок.

На розглядається початково-крайова задача для рівняння дифузії

(24)

(25)

де - деяка гладка функція, - оператор Лапласа-Бельтрамі. Ми доводимо, що можна вибрати такий многовид і таку початкову функцію , що при розв'язок задачі (24)-(25) збігається (у деякому сенсі) до розв'язку

задачі (21)-(23). Оскільки властивості принципу максимуму, збереження позитивності, стабілізації мають місце і для (зокрема, константою стабілізації є

),

то, використовуючи збіжність до , ми можемо перенести ці властивості на задачу (21)-(23).

Цей підхід дозволив, зокрема, легко вгадати вигляд константи стабілізації . А саме, інтуїтивно ясно, що . Ми виберемо так, щоб

.

Отже для знаходження достатньо підрахувати об'єм многовиду і знайти границю цього об'єму при .

Побудова многовиду здійснюється в Пунктах 4.1.2-4.1.5. Доведення Теорем 10-12 проводиться в Пункті 4.1.6.

В Підрозділі 4.2 описана вище схема доведення проілюстрована на прикладі доведення стабілізації розв'язків рівняння теплопровідності у середовищі з несталою теплоємністю.



ВИСНОВКИ

У роботі розглянуто спектральні та еволюційні задачі на ріманових і псевдоріманових многовидах складної мікроструктури, які залежать від малого параметру , а також методами теорії усереднення на ріманових многовидах проведено якісний аналіз деяких систем математичної фізики.

Отримані результати дозволяють зробити такі висновки.

1. Вивчення асимптотичної поведінки спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на рімановому многовиді, що складається з базового компактного многовиду і приєднаних до нього сферичних поверхонь ("бульбашок"), кількість яких зростає при , показує, що вид усередненого оператора (тобто оператора на базовому многовиді, до спектру якого збігається при спектр оператора Лапласа-Бельтрамі) істотно залежить від діаметрів поверхнонь склейки бульбашок і базового многовиду. У деякому "критичному" випадку усереднений оператор є матричним і, на відміну від оператора Лапласа-Бельтрамі, його істотний спектр є непорожнім.

2. Вивчення асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій оператора Лапласа-Бельтрамі на 2-вимірному рімановому многовиді, що складається з базового компактного многовиду і приєднаних до нього трубчатих поверхонь, кількість яких зростає при , показує, що усереднений оператор є сумою оператора Лапласа-Бельтрамі на базовому многовиді і деякого інтегрального оператора. Побудовано приклад, для якого ядро цього оператора знайдене в явному вигляді.

3. Вивчення асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій оператора Лапласа-Бельтрамі на 2-вимірному рімановому многовиді, що складається з базового компактного многовиду і приєднаної до нього трубчатої поверхні, яка стягується до деякого графу при , показує, що спектр оператора Лапласа-Бельтрамі збігається до об'єднання спектрів оператора Лапласа-Бельтрамі на базовому многовиді і оператора на графі, який визначається операцією Лапласа на ребрах графу, крайовою умовою Діріхле у кінцевих вершинах, а також умовою неперервності і умовою спряження Кірхгофа у некінцевих вершинах графу.

4. Аналіз асимптотичної поведінки розв'язків хвильового рівняння (яке можна трактувати, як рівняння Клейна-Гордона, що описує рух квантової безмасової частинки) на псевдорімановому многовиді складної мікроструктури показує, що у результаті усереднення в рівнянні виникає додатковий член типу потенціалу. У випадку періодичної структури многовиду цей потенціал обчислюється в явному вигляді і дорівнює додатній константі . Отже у результаті усереднення в рівнянні виникає ненульова маса .

5. Дослідження початково-крайової задачі типу Неймана для системи реакції-дифузії показує, що її розв'язки задовольняють принципу максимуму, принципу збереження позитивності, а при великих часах стабілізуються до константи, яку знайдено в явному вигляді. Метод доведення базується на можливості апроксимувати вихідну систему простішим рівнянням, але на деякому рімановому многовиді складної мікроструктури. Цей метод дозволив, зокрема, легко вгадати явний вигляд константи стабілізації.



ПУБЛІКАЦІЇ ЗДОБУВАЧА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Khrabustovskyi A. Asymptotic behaviour of spectrum of Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds with complex microstructure/ A.Khrabustovskyi// Applicable Analysis. - 2008. - Т.87, №12. - С.1357-1372.

2. Khrabustovskyi A. Homogenization of eigenvalue problem for Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifold with complicated "bubble-like" microstructure/ A.Khrabustovskyi// Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2009. - Т.32, №16. - С.2123-2137.

3. Khrabustovskyi A. On the spectrum of Riemannian manifolds with attached thin handles/ A.Khrabustovskyi// Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2009. - Т.5, №2. - С.145-169.

4. Khrabustovskyi А.V. Klein-Gordon equation as a result of wave equation averaging on the Riemannian manifold of complex microstructure/ A.Khrabustovskyi// Journal of Mathematical Physics, Analysis, Geometry. - 2007. - Т.3, №2. -С.213-233.

5. Khrabustovskyi A. Positivity and time behavior of a linear reaction-diffusion dystem, non-local in space and time/ Andrii Khrabustovskyi, Holger Stephan// Mathematical Methods in the Applied Sciences. - 2008. - Т.31, №15. - С.1809-1834.

6. Khrabustovskyi A. Homogenization of the Klein-Gordon equation on the Riemannian manifolds with complicated microstructure/ A.Khrabustovskyi// Тези доповідей конференції молодих вчених "Фізика низьких температур". - Харків. - 5-7 червня. - 2007. - C.48.

7. Khrabustovskyi A. Maximum principle and stabilization of the solution for the diffusion system/ Аndrii Khrabustovskyi, Holger Stephan// Тези доповідей міжнародної конференції "Lyapunov Memorial Conference" . - Харків, Україна - 24-30 червня. - 2007. - С.65.

8. Khrabustovskyi A. Homogenization of the spectrum of the Laplace-Beltrami operator on Riemannian surfaces with complex microstructure/ A.Khrabustovskyi// Тези доповідей конференції молодих вчених "Фізика низьких температур". - Харків. - 20-23 травня. - 2008. - C.159.

9. Khrabustovskyi A. Homogenization of spectrum of Riemannian manifolds with complicated microstructure// Тези доповідей "Українського математичного конгресу" [Електронний ресурс]. - Київ, Україна . - 27-29 серпня. - 2009. - Режим доступу:

http://imath.kiev.ua/~congress2009/Abstracts/Khrabustovskyi.pdf

10. Khrabustovskyi A. Positivity and time behavior of a linear reaction-diffusion system, non-local in space and time// Тези доповідей міжнародної конференції "International Conference on Elliptic and Parabolic Equations" [Електронний ресурс]. - Берлін, Німеччина. - 2009. - 31 листопада - 4 грудня. Режим доступу:

http://www.wias-berlin.de/WCMS/showabstract.jsp?epe09-p-0024



АНОТАЦІЯ

Храбустовський А.В. Усереднення спектральних і еволюційних задач на ріманових многовидах складної мікроструктури. - Рукопис. - Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.03 - математична фізика. - Фізико-технічний інститут низьких температур ім.Б.І.Вєркіна НАН України, Харків, 2010.

Дисертаційна робота присвячена усередненню спектральних і еволюційних задач для оператора Лапласа-Бельтрамі на ріманових многовидах складної мікроструктури, а також застосуванням методів усереднення на многовидах до деяких задач якісного аналізу рівнянь математичної фізики. Досліджено задачу асимптотичної поведінки спектру оператора Лапласа-Бельтрамі на многовидах, які залежать від малого параметру так, що їх структура суттєво ускладнюється при . Для многовидів різних типів знайдено усереднену спектральну задачу, до спектру якої при збігається спектр вихідного оператора. Досліджено асимптотичну поведінку задачі Коші для хвильового рівняння (яке можна інтерпретувати, які рівняння Клейна-Гордона, яке описує рух квантової безмасової частинки) на псевдорімановому многовиді складної мікроструктури. Показано, що у результаті усереднення в рівнянні виникає маса. усереднення многовид асимптотичний коші

Для систем інтегро-диференцальних рівнянь, які моделюють процеси дифузії і реакції часток кількох видів, доведено принцип максимуму, принцип збереження позитивності, а також стабілізацію розв'язків до константи при великих часах. Метод доведення базується на можливості апроксимувати вихідну систему простішим рівняння, але на деякому рімановому многовиді складної мікроструктури.

Ключові слова: ріманові многовиди, оператор Лапласа-Бельтрамі, спектр, хвильове рівняння, система реакції-дифузії, усереднена модель



АННОТАЦИЯ

Храбустовский А.В. Усреднение спектральных и эволюционных задач на римановых многообразиях сложной микроструктуры. - Рукопись. - Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 - математическая физика. - Физико-технический институт низких температур им.Б.И.Веркина НАН Украины, Харьков, 2010.

Задачи усреднения на римановых многообразиях сложной микроструктуры впервые были рассмотрены в работах Е.Я.Хруслова и Л.Буте де Монвель в середине 90-х годов. Под многообразиями сложной структуры понимаются многообразия, которые зависят от малого параметра и состоят из одного или нескольких экземпляров базового многообразия с большим числом вырезанных дыр малого размера и набора трубчатых и сферических поверхностей, которые приклеиваются к краям этих дыр. При количество приклеенных поверхностей стремится к бесконечности. В первой роботе, посвященной усреднению на многообразиях, исследовалось поведение уравнения диффузии: было получено усредненное уравнение на базовом многообразии, к решениям которого стремились решения исходного уравнения при . Дальнейшие исследования в этой области проводились в работах Е.Я.Хруслова, Л.Буте де Монвель, И.Д.Чуешова, Л.Нотарантонио, А.П.Рыбалко и др. Диссертация посвящена дальнейшему изучению и развитию этих результатов.

Первый раздел работы - вводный, в нем сделан обзор литературы, которая касается темы работы, также приведены некоторые известные теоремы асимптотического анализа, которые используются в работе.

Во втором разделе изучается асимптотическое поведение при спектра оператора Лапласа-Бельтрами на различные многообразиясложной микроструктуры. Рассмотрены три типа многообразий:

1. состоит из базового компактного многообразия с большим числом дыр малого размера, к краю которых приклеены сферические поверхности. При количество дыр стремится к бесконечности, а их радиусы - к нулю. В зависимости от скорости стремления к нулю радиусов дыр найден усредненный оператор на базовом многообразии, к спектру которого сходится спектр исходного оператора. Показано, что при некотором критическом размере дыр, существенный спектр усредненного оператора не пуст (в отличие от спектра допредельного оператора).

2. состоит из базового компактного многообразия с большим числом дыр малого размера, к краю которых приклеены трубчатые поверхности. При количество дыр стремится к бесконечности, а их радиусы - к нулю. Найден усредненный оператор на базовом многообразии, который является суммой оператора Лапласа и некоторого интегрального оператора. Построен пример, для которого этот оператор найден в явном виде.

3. состоит из базового компактного многообразия с фиксированным числом дыр малого размера, к краю которых приклеена трубчатая поверхность, которая при стягивается к некоторому графу. Показано, что спектр оператора Лапласа-Бельтрами сходится к объединению спектров оператора Лапласа на базовом многообразии и оператора Лапласа на графе с краевыми условиями Дирихле на концах графа.

В третьем разделе диссертации рассмотрена задача Коши для волнового уравнения на римановом многообразии , состоящем из двух экземпляров евклидового пространства (листов) с большим числом дырок, попарно соединенных посредством тонких трубок. При число трубок растет, а их радиусы стремятся к нулю. Кроме того, при на одном из листов коэффициенты метрики стремятся к бесконечности. Исследуется поведение решений задачи при : найдено усредненное уравнение, которое отличается от допредельного добавлением члена типа потенциала. Для периодического расположения дыр этот член найден в явном виде, в случае одинаковых трубок потенциал равен некоторой положительной константе .

В рамках концепции Дж.Уиллера полученный результат допускает такую интерпретацию. Многообразие можно трактовать как Вселенную, состоящую из "нашего мира" и "параллельного мира" (лист с растущей метрикой). Волновое уравнение можно трактовать, как уравнение Клейна-Гордона, описывающее движение квантовой безмассовой частицы. Показано, что в "нашем мире" частица (в результате влияния "параллельного мира") приобретает массу m.

В четвертом разделе исследованы качественные свойства начально-краевой задачи с краевыми условиями типа Неймана для линейной системы интегро-дифференциальных уравнений, моделирующей перенос и реакцию частиц нескольких видов. Система содержит члены, нелокальные по пространственным и/или временной переменным. Для этой системы доказаны (i) принцип максимума, (ii) принцип сохранения положительности решений (т.е. положительность решения, если положительна начальная вектор-функция), описано поведение при больших временах (стабилизация): доказано, что (iii) каждая компонента решения сходиться к константе, которая найдена в явном виде. Метод доказательства основан на следующем подходе: показано, что исходную систему можно аппроксимировать уравнением диффузии, но на некотором римановом многообразий сложной микроструктуры. Поскольку свойства (i)-(iii) верны для этого уравнения, это позволяет перенести их на исходную систему. Этот подход позволил, в частности, легко "угадать" явный вид константы стабилизации.

Метод также проиллюстрирован на примере стабилизации решений уравнения теплопроводности в среде с непостоянной теплоемкостью.

Ключевые слова: римановы многообразия, оператор Лапласа-Бельтрами, спектр, волновое уравнение, система реакции-диффузии, усредненная модель



ABSTRACT

Khrabustovskyi A.V. Homogenization of spectral and evolution problems on Riemannian manifolds of complex microstructure. - Manuscript. - Thesis for scientific degree of candidate in physics and mathematics by speciality 01.01.03 - mathematical physics. - B.Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kharkiv, 2010 The thesis devoted to homogenization of spectral and evolutional problems for Laplace-Beltrami operator on Riemannian manifolds with complex microstructure, and also to applications of the methods of homogenization on the manifolds to some problems of qualitative analysis of mathematical physics equations. The asymptotic behavior of the spectrum of Laplace-Beltrami operator is studied on Riemannian manifolds, which depend on a small parameter in such a way that their structure become essentially complicated as . For manifolds of several types we find the homogenized spectral problem such that the spectrum of Laplace-Beltrami operator converges to its spectrum as . The asymptotic behavior of the Cauchy problem for wave equation (which can be treated as Klein-Gordon equation describing the motion of the quantum massless particles) is studied on pseudo-Riemannian manifolds of complex microstructure. We show that the mass appears as a result of homogenization.

For the systems of integro-differential equations modeling diffusion and reaction processes for particles of several types we prove the maximum principle, conservation of positivity and stabilization of solutions to some constant for large times. The method of proof is based on a possibility to approximate the original system by a simple equation on some Riemannian manifold with complex microstructure.

Key words: Riemannian manifolds, Laplace-Beltrami operator, spectrum, wave equation, reaction-diffusion system, homogenized model

Размещено на Allbest.ru