Колебания струны, закрепленной на концах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Колебания струны, закрепленной на концах

Рассмотрим задачу о колебаниях конечной струны, жестко закрепленной на концах. Математически эта задача сводится к отысканию решения волнового уравнения

, (1)

удовлетворяющего начальным условиям

(2)

(3)

и граничным условиям

(4)

. (5)

Здесь , - заданные на отрезке функции, определяющие начальную форму струны и начальные скорости ее точек.

Задача (1)-(5) решается методом разделения переменных (методом Фурье), который принадлежит к числу важнейших методов математической физики.

Решение уравнения (1) отыскивается в виде произведения двух функций

, (6)

одна из которых зависит только от абсциссы точек струны, другая - только от времени.

Так как

, ,

то при подстановке выражения (6) в уравнение (1) получается следующее равенство

.

Разделив его на , получим

. (7)

Равенство (7) должно выполняться для любых значений и . Левая часть равенства зависит только от и не может меняться при изменении , так же как правая часть, зависящая только от , не меняется при изменении . Это справедливо лишь в том случае, если обе части равенства не зависят ни от , ни от , т.е. являются постоянными величинами. Обозначим эту постоянную :

. (8)

Из (8) получаем два обыкновенных линейных однородных дифференциальных уравнения второго порядка, решениями которых являются искомые функции и :

колебание струна математический линейный

, (9)

. (10)

Используя равенства (4)-(5), можно получить дополнительные условия, которым удовлетворяют искомые функции. Подставим (6):

, . (11)

Эти равенства должны выполняться для любого . Одно из решений (11) - функция , но в этом случае и искомое решение уравнения (1) (так как функция входит в нее множителем). Последнее равенство означает, что смещения всех точек струны в любой момент времени равны нулю, т.е. отсутствие колебаний; такие решения не рассматриваются. Следовательно, равенства (11) приводят к условиям, налагаемым на функцию :

, (12)

. (13)

Таким образом, для функции должна быть решена задача (9),(12),(13). Полагая , получаем характеристическое уравнение:

, .

Так как - произвольная постоянная, то рассматриваются три возможных случая:

а) пусть - положительное число. Обозначим , . Тогда , , и общее решение уравнения (9) имеет вид

,

, - произвольные постоянные.

Подставим эту функцию в условия (12), (13) и получим систему для определения , :

.

Выражая из первого уравнения и подставляя во второе, получаем равенство

.

Выражение, стоящее в скобках, не может быть равно нулю при , следовательно, , а значит, и . В этом случае функция , что вновь приводит к равенству нулю искомой функции смещений. Следовательно, при 0 не существует решений, не равных тождественно нулю.

б) пусть . Тогда , , и общее решение уравнения (9) имеет следующий вид:

.

Подставив эту функцию в условия (12), (13), получим систему для определения , :

,

откуда , и вновь получено тождественно равное нулю решение.

в) пусть - отрицательное число; обозначим его , . Тогда , , и общее решение уравнения (9) имеет вид

.

Подставим эту функцию в условия (12), (13) и получим систему для определения , :

,

т.е. , . Второе равенство задает уравнение для определения условий, при которых и будет получено не равное тождественно нулю решение:

,

, - целые числа,

, - целые числа

Итак, если , т.е. , то существуют решения уравнения (9), удовлетворяющие условиям (12), (13), вида

, (14)

не равные тождественно нулю (здесь - произвольные постоянные). Так как решения вида (14) для положительных и отрицательных отличаются лишь знаками, которые можно учесть в произвольных постоянных, то в дальнейшем будем считать, что являются натуральными числами (при =0 получаем нулевое решение - его также учитывать не будем).

Каждому значению соответствует бесконечное множество решений вида (14), отличающихся друг от друга постоянным множителем. Числа называются собственными числами, а функции - собственными функциями дифференциального уравнения (9) с краевыми условиям (12), (13).

Теперь определим второй множитель из (6). Подставив в уравнение (10) уже известное , получим

,

Здесь каждому собственному числу соответствует своя функция и свое уравнение для нее. Общее решение для этого уравнения имеет вид

. (15)

Здесь и - произвольные постоянные.

Подставляя (14) и (15) в (6), получим частные решения волнового уравнения (1), удовлетворяющие граничным условиям (4), (5):

,

Обозначив , , окончательно получим

- (16)

бесконечное множество функций, которые называют собственными функциями задачи (1), (4), (5); соответствующие им колебания струны называются собственными колебаниями.

Т.к. уравнение (1) является линейным однородным дифференциальным уравнением в частных производных второго порядка от функции двух переменных с постоянными коэффициентами, то по соответствующему свойству (лекция 2) сумма ряда, составленного из частных решений этого уравнения вида (16), т.е. функция

(17)

также будет являться его решением. Если этот ряд сходится равномерно, то его можно почленно дифференцировать и интегрировать. Функция удовлетворяет также и граничным условиям (4), (5), т.к. им удовлетворяет каждая их функций .

Удовлетворим начальным условиям (2), (3) за счет выбора произвольных постоянных и . Подставим (17) в (2), (3):

, (18)

. (19)

Умножим равенства (18) и (19) на и проинтегрируем по отрезку :

, (20)

. (21)

Т.к. по соотношению (1.2) (лекция 1)

,

то равенства (20), (21) дают возможность определить коэффициенты ряда (17):

, (22)

, (23)

тем самым завершая построение решения уравнения (1), удовлетворяющего условиям (2)-(5).

Размещено на Allbest.ru