Задачі спостереження у майже консервативних динамічних системах

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 531.383:62:50.

01.02.01 - теоретична механіка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ЗАДАЧІ СПОСТЕРЕЖЕННЯ У МАЙЖЕ КОНСЕРВАТИВНИХ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМАХ

Коломійчук Олег Петрович

Київ - 2010

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Новицький Віктор Володимирович, Інститут математики НАН України, завідувач відділу аналітичної механіки.

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник, МАЗКО Олексій Григорович, Інститут математики НАН України, пров. науковий співробітник відділу динаміки та стійкості багатовимірних систем;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник ШАТИРКО Андрій Володимирович, старший науковий співробітник науково- дослідної лабораторії моделювання та оптимізації факультету кібернетики КНУ ім. Т. Шевченка.

Захист відбудеться “21” вересня 2010 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий “16” серпня 2010 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Г.П. Пелюх



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

калман луінбергер спостереження консервативний

Актуальність теми. При розв'язанні практичних задач механіки та навігації зустрічаються математичні моделі, які часто є майже консервативними динамічними системами (мало відрізняються від консервативних). Дослідженню таких систем присвячена значна кількість робіт Ф.Л. Черноуська, Л.Д. Акуленка, В.Б. Ларіна, К.І. Науменка, В.В. Новицького та ін. На сьогодні для майже консервативних динамічних систем (МКДС) актуальною є задача визначення стану системи. В багатьох випадках координати вектора стану не можуть бути безпосередньо виміряними, або на їх вимірювання впливають випадкові процеси (шуми), які призводять до помилок. Тому задачу визначення стану системи за її виходом (змінною на виході) вивчали багато дослідників (Н. Вінер, Р. Калман, Д. Луінбергер, Х. Квакернак, А.І. Мороз, Н.Т. Кузовков та ін.).

Для визначення стану будується допоміжна динамічна система, яка називається спостережником (естіматором) або фільтром. Вихід досліджуваної спостережуваної системи несе інформацію про стан цієї системи і визначає необхідність побудови (синтезу) одного з таких спостережників:

спостережника повного порядку,

спостережника пониженого порядку (фільтра Луінбергера),

оптимального спостережника (фільтра Калмана).

Для синтезу спостережника будують його матрицю підсилення, яка забезпечує асимптотичну стійкість системі рівнянь похибки оцінки стану. При цьому слід розв'язати матричне рівняння Ляпунова або Ріккаті, що виникають при побудові відповідного спостережника. Найпростіший випадок - це оцінка стану стаціонарної лінійної динамічної системи.

Проблема побудови спостережників не є дослідженою для МКДС, а також для майже консервативних механічних і гіроскопічних систем. Виявляється, що для майже консервативних динамічних систем задача спостереження (чи задача оцінки стану) може бути значно спрощена і навіть виникає можливість розв'язати її в аналітичному вигляді.

Тому дослідження, які містяться в дисертаційній роботі є актуальними і полягають в ефективному застосуванні загальних методів побудови спостережників до майже консервативних динамічних систем.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами.

Дисертація виконана у відділі аналітичної механіки Інституту математики НАН України згідно із загальним планом науково-дослідних робіт в рамках держбюджетної теми № І-14-06 "Математичні проблеми стійкості та керування у задачах аналітичної механіки" (номер держ. реєстрації 0106U000440), а також в межах науково-дослідної теми № ІІ-23-07 "Сучасні математичні моделі динаміки та стійкості фізичних процесів в складних механічних та біомеханічних структурах" (номер держ. реєстрації 0107U002198) за програмою "Сучасні методи дослідження математичних моделей в задачах природознавства та суспільних наук".

Мета і завдання дослідження. Метою дисертаційної роботи є застосування теорії спостережуваності до майже консервативних динамічних систем, що включає в себе моделі спостережників Калмана, Луінбергера та повного порядку, а також виявлення особливостей при побудові цих спостережників для МКДС.

Об'єктом дослідження є системи диференціальних рівнянь для МКДС та моделі спеціальних майже консервативних механічних та гіроскопічних систем.

Предметом дослідження є спостережники для майже консервативних динамічних систем.

Завдання дослідження. Дослідити процес побудови спостережників для МКДС, а також для майже консервативних механічних і гіроскопічних систем. Застосувати загальні методи побудови спостережників до майже консервативних динамічних систем і створити алгоритми побудови спостережників: повного порядку, Луінбергера та Калмана.

Методи дослідження. Використовуються теорія керування та спостережності, другий метод Ляпунова, методи лінійної алгебри, теорії диференціальних рівнянь.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Розвинуто підхід який дає можливість спростити процедуру побудови спостережників для МКДС в порівнянні з загальним випадком. Побудовано асимптотично стійкі спостережники: повного порядку, Луінбергера та Калмана.

2. Теорію побудови спостережників МКДС застосовано до задач слабкої спостережності гіроскопічних систем. Розроблено алгоритми побудови спостережників Луінбергера, Калмана та повного порядку для цих систем.

3. На основі другого метода Ляпунова розвинуто методику аналітичної побудови матриці підсилення у моделі спостережників, яка забезпечує асимптотичну стійкість системі похибок спостережень.

4. Досліджено параметричні системи нескінченних матричних рівнянь, що виникають при розв'язанні рівнянь Ляпунова та Ріккаті.

5. Виявлено нові випадки побудови спостережників, які полягають в тому що істотним є наявність парної або непарної кількості спостережень.

6. Застосовано теорію побудови спостережників майже консервативних динамічних систем до механічної моделі гіроскопічного компаса, як представника МКДС, для покращення його характеристик.

Практичне значення одержаних результатів. Отримані результати мають як теоретичне, так і практичне значення. Вони доповнюють відомі факти, які стосуються побудови спостережників для динамічних систем і можуть бути використані для подальшого розвитку теорії спостережуваності, а також до розв'язування конкретних прикладних задач теоретичної механіки.

Особистий внесок здобувача. Всі основні наукові результати одержано здобувачем особисто. У спільних роботах [1, 2] В.В. Новицькому належить постановка задач, підбір методів їх дослідження та обговорення результатів, автору дисертації - проведення досліджень та створення алгоритмів.

Апробація результатів дисертації.

Результати дисертації доповідались і обговорювались на міжнародних конференціях: IV Міжнародна науково-технічна конференція "Гіротехнології, навігація, керування рухом і конструювання авіаційно-космічної техніки" (м. Київ 2007р.), 10th International Conference "Stabilyty, Control and Rigid Bodies Dynamics" (Donetsk - 2008), Кримська міжнародна математична школа "Метод функцій Ляпунова і його застосування" (м. Алушта 2008р.), International Conference "Dynamical system modelling and stability investigation" (Kyiv - 2009), Український математичний конгрес - 2009 (до 100 річчя від дня народження М. Боголюбова), (м. Київ, 2009р.) та на семінарі "Математичні проблеми механіки та обчислювальної математики" Інституту математики НАН України (2009р.)

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 8 роботах. Серед них 3 статті [1, 2, 3] - в наукових періодичних фахових виданнях та 5 тез доповідей [4, 5, 6, 7, 8] - на міжнародних наукових конференціях.

Структура роботи. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 85 найменувань.

При нагоді хочу висловити щиру подяку моєму науковому керівнику В.В. Новицькому та всім співробітникам відділу аналітичної механіки за постійну увагу і допомогу при роботі над дисертацією.



ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми, виділено мету і задачі дослідження, наведено основні результати, визначено їх новизну та практичне значення, зазначено особистий внесок здобувача, апробацію роботи та публікації.

У першому розділі наведено огляд літератури, пов'язаної з темою досліджень, що проводились здобувачем, а також стислий огляд фундаментальних робіт, тематика яких є близькою до проблем, що досліджуються у дисертаційній роботі.

У другому розділі дисертації досліджуються проблеми побудови спостережників для майже консервативних динамічних систем. Спочатку розглядаються спостережні моделі таких систем у формі Коші без урахування вхідних і вихідних зовнішніх збурень:

де - початковий момент часу, - вектор стану, - кососиметрична невироджена матриця, - матриця-збурення, - вектор керування, - матриця при керуванні, - малий параметр, - вихідний сигнал об'єкта, - матриця спостережень.

В системі (1) при матриці малий параметр означає, що корисний сигнал є слабшим, ніж зовнішні збурення, які в загальному випадку можуть бути присутні у вихідному сигналі.

В підрозділі 2.1 для моделі (1) будується майже консервативний спостережник повного порядку, який описується таким співвідношенням:



де - відновлений вектор стану.

При цьому знаходимо таку матрицю , яка забезпечує асимптотичну стійкість системі рівнянь

де - похибка відновлення спостережника.

Далі, матрицю обираємо такою, щоб матричне рівняння Ляпунова

де

для (3) мало матрицю-розв'язок .

З розкладів матриць та за малим параметром

та з матричного рівняння Ляпунова (4), випливає така нескінченна система параметричних матричних рівнянь:

де , - відповідні коефіцієнти у розкладі (5).

З (6) та першого рівняння (7) достатньо знайти одночасно матриці та симетричну додатно визначену .

Для випадку різних власних значень матриці знайдемо та таким чином. А саме, матрицю записуємо через парні степені з незалежними параметрами :

Після цього, враховуючи (7) та той факт, що слід кожної з лівих частин отриманих матричних рівнянь (6) нульовий, матимемо

і у матричній формі

Побудовано алгоритм, визначення матриці , яка забезпечує додатну визначеність матриці , а отже, і .

Система (1) із спостережником повного порядку (2) набуде вигляду

В підрозділі 2.2 будується спостережник пониженого порядку (фільтр Луінбергера) для МКДС.

Розглядається спостережна майже консервативна динамічна система вигляду

де - початковий момент часу, - вектор стану, - кососиметрична невироджена матриця, - матриця-збурення, - вектор керування, - матриця при керуванні, - малий параметр, - вихідний сигнал об'єкта, - матриця спостережень.

До системи (13) застосуємо ортогональне перетворення вектора стану

та перетворення вектора виходу

такі, що з (13) отримуємо майже консервативну динамічну систему вигляду (1)

де , , ,



де - одинична матриця.

Для зручності розіб'ємо , та на блоки

де , , .

З (16), (17) та (18) випливає, що слід відновити тільки координат вектора стану .

Далі, спостережник пониженого порядку для системи (16) матиме вигляд:

де - оцінка координат вектора, , .

Для знаходження матриці підсилення застосовано той же алгоритм, що і в підрозділі 2.1. Для диференціального рівняння

з помилкою відновлення

матричне рівняння Ляпунова спостережника пониженого порядку (19) матиме вигляд:



звідки треба знайти і разом з матрицею підсилення .

Ввівши позначення та , де записана з точністю до першого наближення за , в результаті отримуємо:

При розв'язанні (23) досліджено два випадки.

Випадок 1. Кількість лінійно незалежних спостережень - парна (спостережник парного порядку)

У цьому випадку _ невироджена парного рангу, а спостережник є майже консервативним.

Тоді система (9), (10) для спостережника пониженого порядку матиме вигляд

де та .

З (24), (25) знаходимо таку матриця , яка забезпечує єдиність розв'язку та додатну визначеність матриці , що є свідченням асимптотичної стійкості рівняння похибки спостережника (20).

Випадок 2. Кількість лінійно незалежних спостережень - непарна

У цьому випадку кососиметрична матриця _ вироджена і нехай, для простоти, має одне нульове власне значення. Спостережник не є майже консервативним.

За допомогою відповідної ортогональної матриці перетворення проводимо декомпозицію системи (23). Це дозвояє виділити в ній майже консервативну динамічну підсистему з матрицею таку, що:

де , .

Помноживши (23) зліва на матрицю та справа на матрицю матимемо

де , , .

Розбиваємо матриці , та на підматриці, узгоджуючи розміри з (26), тоді одержуємо

і рівняння (27) записуємо у вигляді системи:



Матриця підсилення спостережника знаходиться з нульового наближення системи (29) через розклади , , , , та у ряди за степенями .

Розв'язуючи друге рівняння (29), отримуємо для нульове наближення

З першого рівняння (29) знаходимо

І нарешті, з (31) аналітично визначаємо таку , яка забезпечує додатну визначеність .

Для останнього рівняння з (29) система (10), (11) матиме вигляд, аналогічний (24), (25). З неї знаходимо , яка забезпечує додатну визначеність .

Система (16) із спостережником пониженого порядку (19) набуде вигляду

В підрозділі 2.3 будується оптимальний спостережник (фільтр Калмана) при наявності збурень типу білого шуму в системі та спостереженнях.

Розглядається спостережна модель майже консервативної динамічної системи вигляду (1) зі збуреннями

де - вхідний випадковий вектор збурень з матрицею коваріацій , - вихідний випадковий вектор збурень з матрицею коваріацій .

Оптимальний майже консервативний спостережник (фільтр Калмана), вихідний сигнал якого є найкращою в (сенсі мінімуму середньоквадратичного відхилення) оцінкою вектора стану об'єкта , описується рівнянням:

В цьому рівнянні :

де - матриця-розв'язок алгебраїчного рівняння Ріккаті:



З розкладу матриці за малим параметром (5) випливає наступна нескінченна система матричних рівнянь типу Ріккаті:

З цієї системи для знаходження застосуємо викладений вище підхід. З (37) та першого рівняння (38) знаходиться симетрична додатно визначена . Внаслідок симетричності для випадку різних власних значень матриці , матриця записується у вигляді (7) через парні степені з незалежними параметрами .

Враховуючи (7) та факт, що слід кожної з лівих частин отриманих матричних рівнянь (38) нульовий, з першого рівняння (38) матимемо

Аналогічно, із другого рівняння нескінченної системи рівнянь типу Ріккаті (38), які тепер вже лінійні, знаходимо матрицю першого наближення і т. д.

Після побудови потрібного наближення матриці будуємо матрицю підсилення (35) для фільтра Калмана (34).

Таким чином, система (33) із оптимальним спостережником (34) матиме вигляд:

У третьому розділі дисертації показано, яким чином викладені у другому розділі результати можуть бути застосовані до задач спостереження у гіроскопічних системах, рівняння яких записуються у формі Лагранжа другого роду. Після зведення цих рівнянь до форми Коші показано, що у багатьох випадках гіроскопічні системи є представниками МКДС.

Як і в попередньому підрозділі, спочатку розглядаються спостережні моделі таких систем у формі Коші без врахування вхідних і вихідних зовнішніх збурень, для них будуються допоміжні динамічні системи спостережників повного та пониженого порядку (фільтр Луінбергера). Пізніше досліджуються випадок наявності збурень в системі і спостереженнях, а також будується оптимальний спостережник (фільтр Калмана).

В підрозділі 3.1 досліджено при яких умовах стаціонарна гіроскопічна система

є майже консервативною і зводиться до системи вигляду (1). Тут - вектор узагальнених координат, - матриця дисипативних сил, - матриця гіроскопічних сил, - матриця консервативних (потенційних) сил, матриця непотенційних (сил радіальної корекції), - постійна матриця повного рангу , - вектор керувань, , , - матриця спостережень.

У формі Коші (41) має вигляд



, де

, _ симетрична

Так само, як і в підрозділі 2.1, для моделі (42) будується майже консервативний спостережник повного порядку:

і з рівняння Ляпунова

де , , знаходиться матриця підсилення спостережника , де, .

Рівняння (45), з урахуванням (43), зводиться до такої системи:

Отже, для гіроскопічних систем спостережник повного порядку будується шляхом послідовного розв'язування трьох рівняннь системи (46) порядку відносно невідомих матриць , та .

Розв'язуючи перше рівняння (46) отримуємо для нульове наближення

Третє рівняння системи (46) має порядок і аналогічне рівнянню Ляпунова (4), тому матрицю обираємо із системи, аналогічної (9), (10) щоб забезпечити додатну визначеність .

З другого рівняння (46) обираємо , забезпечуючи додатну визначеність .

Система (42) із спостережником повного порядку (44) має вигляд

В підрозділі 3.2 для спостережної гіроскопічної системи (41), зведеної до форми Коші (42), будується спостережник пониженого порядку (фільтр Луінбергера). Такий спостережник можна побудувати у випадку, коли координати виходу дорівнюють певним координатам стану системи . Фільтр Луінбергера дає оцінку координатам вектора стану. Таким чином, для оцінки всього -вимірного вектору стану системи (42) достатньо побудувати спостережник розміру , який характеризується вектором та матрицею , , яку треба обрати такою, щоб виконувалась умова



Виявляється, що, будуючи спостережник Луінбергера для гіроскопічної системи (41), слід враховувати співвідношення розмірів виходу і самої системи. Тому в підрозділі 3.2 досліджено три випадки , та .

У випадку система (41) матиме такий вигляд

, де

В підрозділі 2.2 було показано, що за рахунок ортогонального перетворення вектора стану та перетворення вектора виходу ми завжди можемо забезпечити виконання (52).

Фільтр Луінбергера для (50) описується такою системою:

де,

_ оцінка перших координати вектора стану .

Відомо, що пошук матриці (), зводиться до синтезу закону керування для деякої допоміжної системи:



Система (55) не є майже консервативною, але наявність матриці з багатьма нулями дає можливість істотно спростити пошук матриці . Застосовуючи такий же підхід, як і в підрозділі 2.2, знаходимо .

При матриці та будуть мати вигляд:

, .

Завдяки цьому спрощуються співвідношення (54), (55)

При матриці та будуть такими:

, .

Для них співвідношення (54), (55) можемо записати таким чином



Останній випадок дає можливість побудувати спостережник для рівняння у формі Лагранжа другого роду, не зводячи його до форми Коші.

Система (50) із спостережником пониженого порядку (53) має вигляд

В підрозділі 3.3 будується фільтр Калмана для спостережної майже консервативної гіроскопічної системи вигляду (41) зі збуреннями

де - вхідний випадковий вектор збурень з матрицею коваріацій , - вихідний випадковий вектор збурень з матрицею коваріацій .

Система (61) зводиться до такого вигляду:

де

Майже консервативний оцінюючий пристрій Калмана (фільтр Калмана) описується рівнянням:



В цьому рівнянні

де _ додатно визначена матриця-розв'язок алгебраїчного рівняння Ріккаті

Розбивши матрицю на блоки таким чином:

при , , , матимемо

де .

Розв'язуючи систему (68) знаходимо додатно визначену з бажаною точністю, а за її допомогою, визначаємо матрицю підсилення спостережника .

Система (62),(63) із спостережником Калмана (64) має вигляд:



де

Ефективність розвинених в дисертаційній роботі методик показана на різноманітних практичних задачах відновлення вектора стану гіроскопічного компаса (представника МКДС), які підтверджують теоретичні висновки.



ВИСНОВКИ

Основні результати роботи полягають у наступному:

1. Вперше виконано дослідження, які стосуються побудови спостережників для майже консервативних динамічних систем. При цьому, завдяки особливій формі матриць коефіцієнтів характерної для МКДС, розвинено підхід, що дає можливість спростити процедуру розв'язування параметричних матричних рівнянь типу Ляпунова та Ріккаті для майже консервативних динамічних систем при побудові спостережників. Отримано алгоритми аналітичної побудови матриць розв'язків цих рівнянь.

2. Для моделей майже консервативних динамічних систем побудовано спостережники повного та пониженого (фільтр Луінбергера) порядку.

3. При наявності збурень для моделей майже консервативних динамічних систем побудовано оптимальний спостережник (фільтр Калмана).

4. Розвинений підхід до побудови спостережників для МКДС застосовано до відповідних гіроскопічних систем.

5. Розвинуто методику побудови матриці підсилення, що ґрунтується на другому методі Ляпунова і забезпечує асимптотичну стійкість рівнянню похибки спостережника.

6. Ефективність розвиненого підходу показана на прикладах побудови спостережників для механічної моделі гіроскопічного компаса.

Результати дисертаційної роботи можуть бути використані при розв'язуванні практичних задач керування механічними системами майже консервативної структури та спостереження за ними, а також при дослідженні динаміки складних фізичних об'єктів тощо.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Коломійчук О.П. Фільтр Калмана для лінійної стаціонарної майже консервативної системи / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т.3, № 1. - С. 106-110.

2. Коломійчук О.П. Фільтрація в гіроскопічних системах / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2007. -Т.4, № 2. - С. 72-77.

3. Коломійчук О.П. Фільтр Луінбергера в гіроскопічних системах. / О.П. Коломійчук // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2008. - Т.5, № 2. - С. 165-174.

4. Коломійчук О.П. Фільтр Калмана для гіроскопічного компаса / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // ІV Міжнародна науково-технічна конференція «Гіротехнології, навігація, керування рухом і конструювання авіаційно-космічної техніки», 26-27 квітня 2007р. М. Київ К. НТУУ КПІ2007. - С. 354.

5. Коломійчук О.П. Фільтр Луінгбергера для майже консервативної динамічної системи / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // Х міжнародна конференція «Стійкість, керування та динаміка твердого тіла», 5-10 червня 2008р., м. Донецьк : Тези доповідей. Ін-т. прикл. Математики і механіки НАНУ, 2008. _ С. 48.

6. Коломійчук О.П. Побудова спостережника та функції Ляпунова для моделі гіроскопічного компаса / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // ІХ Кримська міжнародна школа «Метод функції Ляпунова та його застосування», 15-21 вересня 2008р. : Тези доповідей. Сімферополь Таврійський національний університет, 2008. _ С. 75.

7. Коломійчук О.П. Спостережники майже консервативних динамічних систем / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // International Conference «Dynamical system modeling and stability investigation», May 27-29, Kyiv 2009 : Тези доповідей. Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2009. _ С. 304.

8. Коломійчук О.П. Застосування другого метода Ляпунова для побудови спостережника майже консервативної динамічної системи / О.П. Коломійчук, В.В. Новицький // І Український математичний конгрес 2009 (до 100-річчя від дня народження М.Боголюбова), 27-29 серпня 2009р. м. Київ : Тези доповідей. - Київ: Інститут математики НАН України, 2009.



АНОТАЦІЇ

Коломійчук О.П. Задачі спостереження у майже консервативних динамічних системах. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.02.01 - теоретична механіка. - Інститут математики НАН України, Київ, 2010.

В дисертаційній роботі виконано дослідження, які стосуються побудови спостережників для майже консервативних динамічних систем. При цьому, завдяки особливій формі матриць системи у формі Коші, яка характерна для МКДС, розвинено підхід до знаходження спрощеного розв'язку матричних рівнянь типу Ляпунова та Ріккаті для майже консервативних динамічних систем при побудові спостережників. Отримано алгоритми аналітичної побудови матриць розв'язків цих рівнянь у загальному випадку. Для моделей майже консервативних динамічних систем побудовано спостережники повного порядку, спостережник пониженого порядку (фільтр Луінбергера) та оптимальний спостережник (фільтр Калмана). Теорію конструювання спостережників МКДС застосовано до гіроскопічних систем. Для підтвердження ефективності отриманих результатів побудовано спостережники для механічної моделі гіроскопічного компаса як представника МКДС.

Ключові слова: майже консервативна динамічна система, механічна система, стійкість, спостережник, матриця підсилення, спостережник повного порядку, спостережник Калмана, спостережник Луінбергера, гіроскопічна система, гірокомпас.



Коломийчук О. П. Задачи наблюдения в почти консервативных динамичных системах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.02.01 - теоретическая механика. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2010.

В диссертационной работе выполнены исследования, касающиеся построения наблюдателей для почти консервативных динамических систем. Благодаря особой форме матриц в форме Коши, которая характерна для почти консервативных динамических систем, была развита теория решения матричных уравнений Ляпунова, Риккати и Сильвестра для почти консервативных динамических систем при построении наблюдателей. Эта теория значительно упрощает построение наблюдателей для таких систем. Результатом исследований являются алгоритмы, которые дают возможность строить наблюдатели в аналитическом виде. Теория построения наблюдателей применена к гироскопическим системам. В работе на примере гироскопического компаса, который является представителем почти консервативных динамических систем, проиллюстрированы возможности развитых методик и алгоритмов.

Ключевые слова: почти консервативная динамическая система, механическая система, устойчивость, наблюдатель, матрица усиления, наблюдатель полного порядка, наблюдатель пониженного порядка (фильтр Луинбергера), оптимальный наблюдатель (фильтр Калмана), гироскопическая система, гирокомпас.



Kolomiychuk O. P. Tasks of observations in almost conservative dynamic systems. _ Manuscript.

The thesis is for obtaining a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in specialіty 01.02.01 _ Theoretical Mechanics. _ Institute of Mathematics of NAS of Ukraine, Kiev, 2010.

The thesis represents the investigations concerning the construction of observers for almost conservative dynamical systems. Due to the special form of matrices in the form of Cauchy, which is characteristic for almost conservative dynamical systems, the theory of solving the matrix equations of Lyapunov and Sylvester, Rikkati for almost conservative dynamical systems in the construction of observers was developed. This theory greatly simplifies the construction of observers for such systems. The results of research are algorithms that allow to build the observers in the analytical way. The theory of constructing observers is applied to gyroscopic systems. In this paper the example of the gyroscopic compass, which is the representative of almost conservative dynamical systems, illustrates the abilities of the developed methods and algorithms.

Keywords: almost conservative dynamical system, mechanical system, stability, observer gain matrix, full-order observer, the observer of reduced order (filter Luinbergera), the optimal observer (Kalman filter), gyroscopic system, gyrocompass.

Размещено на Allbest.ru