Несвободное и относительное движение точки

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

1. Несвободное движение точки

Движение материальной точки будет несвободным, когда в силу наложенных связей она вынуждена двигаться по заданной поверхности или кривой. Ограничимся рассмотрением второго» случая.

Движение точки по заданной неподвижной кривой.

Рассмотрим материальную, точку, движущуюся по заданной гладкой неподвижной кривой под действием активных сил и реакции связи N (рисунок 1). Выберем на кривой начало отсчета О' и будем определять положение точки М криволинейной координатой s=O'M. Проведем из точки М оси т.е. касательную в сторону положительного отсчета координаты s), главную нормаль Мп. Так как кривая гладкая, то реакция перпендикулярна кривой, т.е. лежит в плоскости Мbn, потому В результате получим следующие дифференциальные уравнения движения точки по заданной кривой:

(1)

(2)

Уравнение (1) не содержит неизвестной реакции N и позволяет непосредственно определить закон движения точки вдоль кривой, т. е. зависимость Этим уравнением можно пользоваться и в случае, когда кривая не является гладкой, присоединив к силам силу трения Но так как , то в этом случае в уравнение (1) через силу трения войдет еще и реакция N.

Уравнения (2) служат для определения реакции связи N. Из уравнений видно, что при криволинейном движении динамическая реакция в отличие от статической кроме действующих активных сил и вида связи зависит еще от скорости. Эту скорость (если она не задана) можно найти или проинтегрировав уравнение (1), или же, что обычно проще, с помощью теоремы об изменении кинетической энергии точки; в уравнение, выражающее эту теорему для случая связей без трения, реакция N тоже не входит.

Рисунок 1

2. Относительное движение точки

Второй закон динамики и полученные ив него выше уравнения и теоремы верны только для так называемого абсолютного движения точки,- т. е. движения по отношению к интернациональной («неподвижной») системе отсчета. Обратимся теперь к изучению относительного движения точки, т. е. движения по отношению к неинерциальным, произвольно движущимся по отношению к инерциальной системам отсчета. Рассмотрим материальную точку М, движущуюся под действием приложенных к ней сил являющихся результатом взаимодействия тачки с другими материальными телами. Будем изучать движение этой, точки по отношению к осям; Oxyz, которые в свою очередь, каким-то известным нам образом движутся относительно инерциальной системы отсчета (неподвижных осей)

Найдем зависимость между относительным ускорением точки вот и действующими на нее силами. Для абсолютного движения основной закон динамики имеет вид:

(3)

Но из кинематики известно, что:

где -- относительное, переносное и кориолисовое ускорения точки. Подставляя это значение в равенство (3) и считая в дальнейшем , так как эта величина представляет собой ускорение изучаемого нами относительного движения, получим:

Введем обозначения:

Величины имеют размерность силы. Назовем их соответственно переносной и кориолисовой силами инерции. Тогда предыдущее уравнение примет вид:

 (4)

Уравнение (4) выражает основной закон динамики для относительного движения точки. Сравнивая равенства (3) и (4), приходим к выводу: все уравнения и теоремы механики для относительного движения точки составляются так же, как уравнения абсолютного движения, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами прибавить переносную и кориолисову силы инерции. Прибавление сил учитывает влияние на относительное движение точки перемещения подвижных осей.

Рисунок 2

Чтобы уяснить характер этого влияния, рассмотрим, например точку В, неподвижную в инерциальной системе отсчета (рис. 2), и допустим, что подвижные оси перемещаются относительно осей поступательно с ускорением . Тогда по отношению к осям точка В будет иметь ускорение и причина появления этого ускорения будет кинематическая -- движение подвижной системы отсчета. Таким образом, если в инерциальной системе отсчета материальная точка, как это видно из уравнения (3), может получить ускорение только за счет действия на нее сил то в неинерциальной системе отсчета точка получает ускорение еще и в результате ускоренного движения самой системы отсчета.

Это другое выражение закона относительного движения точки, которым можно непосредственно пользоваться при решении задач. В его правой части первое слагаемое выражает ускорение, которое точке сообщают действующие силы , а два других слагаемых являются ускорениями, которые точка получает вследствие движения подвижной системы отсчета.

Из уравнения (4) видно также, что данные силы сообщают точке ускорение, равное в любой системе отсчета, но в инерциальной системе отсчета это будет все ускорение точки, а в неинерциальной -- только его часть.

Математически уравнения (3) и (4) эквиваленты. Но для приложений уравнение (4) более удобно, так как по виду совпадает с уравнением (3), что позволяет использовать при изучении относительного движения все результаты, полученные ранее для движения в инерциальной системе отсчета (например, общие теоремы).

Рассмотрим некоторые частные случаи.

1. Если подвижные оси движутся поступательно, то так как в этом случае ( -- угловая скорость вращения подвижных осей Oxyz), и закон относительного движения принимает вид:

2. Если подвижные оси перемещаются поступательно, равномерно и прямолинейно, то и закон относительного движения будет иметь такой же вид, как и закон движения по отношению к неподвижным осям. Следовательно, такая система отсчета также будет инерциальной.

Из полученного результата вытекает, что никаким механическим экспериментом нельзя обнаружить, находится ли данная система отсчета в покое или совершает поступательное, равномерное и прямолинейное движения. В этом состоит открытый еще Галилеем принцип относительности классической механики.

3. Если точка по отношению к подвижным осям находится в покое, то для нее а=0 и a следовательно, и , так как кориолисово ускорение . Тогда равенство (4) принимает вид:

(5)

Уравнение (5) представляет собой уравнение относительного равновесия (покоя) точки. Из него следует, что уравнения относительного равновесия составляются так же, как уравнения равновесия в неподвижных осях, если при этом к действующим на точку силам взаимодействия с другими телами добавить переносную силу инерции.

4. При составлении уравнений относительного движения в случаях, когда , надо иметь в виду, что:

Следовательно, сила перпендикулярна , а значит, и касательной к относительной траектории точки. Поэтому: а) проекция кориолисовой силы инерции на касательную Мх к относительной траектории точки всегда равна нулю и первое из уравнений в относительном движении будет иметь вид:

 (6)

дифференциальный кориолисовый инерция динамика

б) работа кориолисовой силы инерции на любом относительном перемещении равна нулю, и теорема об изменении кинетической энергии точки в относительном движении будет иметь вид (v1 и v0 -- значения относительных скоростей, А -- работа на относительном перемещении):

(7)

Последние слагаемые в правых частях равенств (6) и (7) учитывают влияние движения подвижных осей на изменение величины v. Во все остальные уравнения относительного движения будут в общем случае входить и переносная, и кориолисова силы инерции.

Размещено на Allbest.ru