Основы гидростатики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Основы гидростатики. Силы, действующие на покоящуюся жидкость

Гидростатикой называется раздел гидравлики, в котором изучается равновесие жидкостей и воздействие покоящихся жидкостей на погруженные в них тела и поверхности, ограничивающие жидкости.

Одна из основных задач гидростатики - изучение распределения давления в жидкости и определение на этой основе сил, действующих со стороны жидкости на соприкасающиеся с ней твердые тела.

Знание законов гидростатики позволяет рассчитать силы, действующие на дно и стенки сосудов различной формы и назначения (балки, емкости, цистерны), на тела, погруженные в жидкость (под. лодки, корабли), и вывести условия плавания тел на поверхности и внутри жидкости.

На все физические тела, в том числе и на жидкости, обладающие массой, действуют силы. Их можно разделить на внешние, действующие из внешнего пространства, например, силы тяжести, центробежные, магнитные, давление стенок сосудов, и внутренние, действующие между молекулами, внутри атомов. Внутренние силы, как правило, полностью уравновешены и поэтому не входят в расчетные формулы, которые мы будем рассматривать. В дальнейшем мы будем иметь дело только с внешними силами.

Внешние силы делят на массовые и поверхностные.

Массовые силы действуют на все частицы данного тела и пропорциональна его массе. К ним относятся силы тяготения, силы инерции - действующие на жидкость при относительном ее покое. В случае однородной жидкости, т. е. жидкости, имеющей всюду одинаковую плотность, массовые силы будут пропорциональны также объему жидкости, поэтому при с=const , массовые силы можно называть объемными силами.

Поверхностные силы действуют на поверхности тела и пропорциональны его площади. К ним относятся силы воздействия на данное жидкое тело со стороны соседних объемов жидкости или соприкасающихся с данной жидкостью твердых либо газообразных тел.

Следует отметить, что на жидкость в состоянии равновесия могут действовать только поверхностные силы нормальные к ее поверхности, т. е. отсутствуют какие - либо касательные силы вызывающие касательные напряжения. Касательные напряжения в жидкости могут возникать только в случае ее движения.

Гидростатическое давление и его свойства

гидростатика жидкость давление равновесие

Рассмотрим некоторый объем покоящейся жидкости (рис. 2.1). Выберем внутри него какую-либо точку А и проведем через нее секущую плоскость S-S, которая рассечет объем жидкости на два отсека I и II. Через плоскость S-S на отсек II со стороны отсека I будет действовать сила Р, называемая силой гидростатического давления.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила Р будет нормальной силой. Выделим у т. А на поверхности S-S элементарную площадку ?щ, на которую будет приходиться часть силы Р, которую обозначим ?Р. Мысленно уменьшая размеры площадки ?щ, мы получим гидравлическое давление в данной точке, покоящейся жидкости Р, или короче гидростатическое давление

Р=lim ?Р/?щ, (?щ>0),или Р=dР/dщ.

Итак, гидростатическое давление есть предел отношения сжимающей силы ?Р к элементарной площадке ?щ при уменьшении размеров последней до 0.

Гидростатическое давление обладает следующими свойствами:

1. Гидростатическое давление действует нормально к площадке действия и является сжимающим, т.е. оно направлено внутрь того объема жидкости, который мы рассматриваем.

2. Гидростатическое давление Р в любой точке одинаково по всем направлениям (т.е. не зависит от угла наклона площадки действия).

Для доказательства этого положения выделим внутри покоящейся жидкости произвольную точку А и выделим у этой точки элементарный объем жидкости в виде прямой призмы (рис. 2.2),в основании которойлежит прямоугольный треугольник АВС.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Заменим действие жилкости на призму силами гидростатическоего давления dРх, dРz, dPn, под действием которых призма находится в равновесии. Сила dG-объемная внешняя сила, которой можно пренебречь в силу ее малости.

Т.к. призма находится в равновесии, то треугольник сил будет замкнутым и подобен треугольнику АВС, и тогда из закона подобия следует, что

dРх = dPn= dРz или dРх = dPn= dРz

АВ ВС АС d z d ? d x

Разделим все части этого равенства на длину призмы dy:

dРх = dPn= dРz

dzdy d?dy dxdy

В знаменателе каждого из этих выражений площади соответствующих граней призмы. Если размеры dz, dy, d?, dx будут стремиться к 0, то в соответствии с выражением для определения гидростатического давления можно записать

px=рn=рz=р.

Следовательно, можно считать, что положение о равенстве давления в одной точке по всем неравенствам доказано.

Давление может быть различно в разных точках жидкости, тоесть является функцией координат р=ѓ(k,y,z),следовательно, функция давления диференциируема и интегрируема.

В единицах СИ давление выражается в паскалях (Па), килопаскалях (кПа). Связь этих единиц с технической атмосферой следующая:

1 кгс/см2=98100 Н/м2=98100 Па=98,1 кПа=0,0981 МПа

Основное дифференциальное уравнение равновесия жидкого тела (уравнения Эйлера)

Пусть какой-либо жидкое тело массой М и плотностью с находится в равновесии под действием внешних сил, проекции которых на соответствующие координатные оси x,y,z.

Выделим у произвольной т. А бесконечно малый объем жидкости в виде прямоугольного параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям. Мысленно отбросив окружающую выделенный объем жидкость, заменим ее действие силами. Это будут сжимающие силы, нормальные к каждой из плоских граней. Так, например, к граням параллельным плоскости yOz будут приложены силы dР1 и dР2, направленные навстречу друг другу, вдоль оси Ох (рис. 2.3).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Поскольку жидкое тело находится в равновесии, то условие равновесия всех действующих в направлении оси Ох сил можно записать так :

dFx+dP1-dP2=0

где dFx- проекция на ось Ох элементарной массовой силы.

dFx=dМ*Х

Но элементарную массу dМ можно выразить через произведение плоскости на объем :

dМ=сdxdydz

Силы гидростатического давления на грани параллелепипеда :

dР1=р1dydz

dР2=р2dydz,

где р1 и р2 - давление в точках 1и2.

Считая давление в т. А в центре параллелепипеда равным р, и учитывая, что изменение гидростатического давления, приходящееся на единицу длинны в направлении координатной оси Ох, может быть представлено частной производной рр/рх, будет иметь :

р1=р- рр/рх*1/2*dх,

р2=р+ рр/рх*1/2*dх.

Подставляя полученные выражения в уравнение равновесия (2.1) будем иметь:

сХdxdydz+( р- рр/рх*1/2*dх) dydz-( р+ рр/рх*1/2*dх) dydz=0 (2.2)

Поскольку dy?0 и dz?0, то разделим обе части уравнения (2.2) на dydz, т.е. отнесем к единице площади, и раскрыв скобки, получим :

сХdx- рр/рх*dх=0

Аналогично можно проделать для двух других координатных осей и получить дифференциальное уравнение вида :

сХdx- рр/рх*dх=0

сYdy- рр/рy*dy=0

сZdz- рр/рz*dz=0

Учитывая, что с?0 и dx?0, разделим обе части уравнений (2.3) на сdх, сdу и сdz

Х-1/с* рр/рх=0

Y-1/с* рр/рy=0

Z-1/с* рр/рz=0

Эти дифференциальные уравнения равновесия жидкого тела были выведены в 1755г. Действительным членом Российской Академии наук Л. Эйлером и носят его имя. Они позволяют решать всевозможные задачи, связанные с равновесием жидкости.

Сложив почленно все три уравнения, получим:

рр/рх*dх+ рр/рy*dy+ рр/рz*dz=с(Хdx+Ydy+Zdz).

Левая часть этого уравненияпредставляет полный дифференциал, т.е. :

dр=с(Хdx+Ydy+Zdxz).

Интегрируя это уравнение и считая, что плотность с постоянна, получим гидростатическое давление в любой точке жидкости

р=с?( Хdx+Ydy+Zdxz).

Т.о., зная проекции внешних сил x,y,z, можно определить давление в любой точке жидкости.

Если вдоль какой-либо поверхности давление неизменное, т.е. р=const или dр=0, то такая жидкость называется поверхностью равного давления или поверхностью уровня.

Размещено на Allbest.ru