Неустановившееся движение жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://allbest.ru

Неустановившееся движение жидкости

Введение

Неустановившимся движением жидкости называется такое движение, при котором скорости в точках пространства, занятого жидкостью, изменяются со временем.

С неустановившимся движением воды часто сталкиваются при проектировании трубопроводов, расчёте каналов, водопроводных сетей, истечении жидкости при переменном уровне, расчёте гидравлического удара в трубах.

В рассматриваемом курсе для примера выполним исследование гидравлического удара в трубах и истечения жидкостей при переменном уровне.

1. Гидравлический удар в трубах

Если при напорном движении жидкости в трубе мгновенно закрыть кран, то движущаяся жидкость остановится, кинетическая энергия потока израсходуется на сжатие жидкости и расширение стенок трубы.

Вследствие сжатия жидкости и расширения стенок трубы любое сечение А-А, взятое в жидкости, сместится по направлению движения в положение В-В.

Аналогичные явления произойдут и со всеми остальными сечениями. Таким образом, вся жидкость в трубе по окончанию деформации окажется сжатой, а поэтому обладающей большей энергией, чем жидкость в баке.

В результате этого начинается обратное движение жидкости и сечение В-В, пройдя своё первоначальное положение А-А, займёт место С-С. Аналогичное движение совершают и все остальные сечения, вследствие чего в трубе создаётся пониженное давление и жидкость двинется от сосуда к крану. Затем все явление повторяется, и будет повторяться снова, пока под влиянием сопротивления оно постепенно не прекратится.

Частицы жидкости будут совершать затухающие колебания, одновременно с которыми будет изменяться и давление. Изменение давления в жидкости при напорном движении, вызываемое резким изменением скорости течения за весьма малый промежуток времени, называется гидравлическим ударом.

Увеличение давления при гидравлическом ударе может привести к разрыву стенок трубы. Это увеличение давления в первый момент происходит непосредственно у крана, а затем оно передаётся через соседние слои по всей длине l трубы до её начала с некоторой скоростью c. Эта скорость носит название скорости распространения ударной волны.

По истечении времени ударная волна дойдёт до начала трубы, и вся жидкость в трубе остановится.

Определим величину повышения давления в трубе при гидравлическом ударе.

Пусть давление в горизонтальной трубе в сечении 1 равно p₁, а в сечении 2 - p₂, площадь поперечного сечения трубы S, расстояние между сечениями 1-1 и 2-2 - l.

Воспользуемся теоремой об изменении количества движения, согласно которой приращение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме проекций импульсов сил на направление движения.

Применим теорему к массе жидкости, заключённой между сечениями 1-1 и 2-2. В момент закрытия крана количество движения жидкости равнялось mv, где m - масса жидкости, равная lS, v - скорость. Через промежуток времени , т.е. когда вся жидкость в трубе остановится и скорость будет равна нулю, количество движения также будет равно нулю.

Следовательно, за время приращение количества движения равно -lSv.

В течении этого времени на жидкость действовали следующие силы, не считая сил трения, которыми пренебрегаем:

1) в сечении 1-1 сила p₁S,

2) в сечении 2-2 сила p₂S,

3) сила тяжести жидкости G.

Первые две силы горизонтальны, третья вертикальна.

Сума проекций импульсов этих сил на направление движения, т.е. на горизонтальную ось равна

.

Согласно теореме об изменении количества движения получаем

.

Сокращая на Sl, имеем

.

Откуда

.

Обозначив повышение давления p₂-p₁ буквой p, находим

.

Соотношение называется формулой Н.Е. Жуковского, который первый дал теорию гидравлического удара.

Разделим последнее соотношение на g, получим

 или .

Из формулы видно, что при гидравлическом ударе повышение напора в трубопроводе равно.

Численное значение величины c также выведено Н.Е. Жуковским и определяется по следующей формуле

,

где - плотность жидкости, E₁ - модуль упругости жидкости, E₂ - модуль упругости стенок трубы, D - внутренний диаметр трубы, - толщина стенки трубы.

Рассмотрим пример.

Пример. Определить повышение напора при гидравлическом ударе в чугунной трубе диаметром D=0.2 м, если толщина стенки трубы = 0.001 м, модуль упругости воды Е₁ = , модуль упругости чугуна Е₁=, а скорость течения .

Решение. По формуле находим скорость распространения ударной волны

.

Найдём повышение напора

.

Гидравлический удар может повредить трубы. Для предотвращения разрушения труб применяются следующие меры.

1. Из формулы видно, что увеличение давления пропорционально скорости течения v, поэтому в трубопроводах не следует допускать больших скоростей без принятия соответствующих предохранительных мер.

2. Причиной гидравлического удара является быстрое закрытие крана. При продолжительности закрытия повышение давления равно (так называемый прямой гидравлический удар). При продолжительности повышение давления меньше (непрямой гидравлический удар).

Продолжительность закрытия t (в секундах) может быть подсчитана по формуле Н.Е. Жуковского

или ,

где - плотность жидкости, v - скорость течения, l - длина трубопровода, H_Д - допустимое повышение напора столба жидкости (в метрах).

Время закрытия трубопровода t прямо пропорционально длине трубопровода l. Т.е. чем длиннее трубопровод, тем длительнее должно быть закрытие кранов и задвижек.

3. Для уменьшения вредного действия давления при гидравлическом ударе ставят предохранительные клапаны, которые, открываясь при определённом давлении, предохраняют трубопровод от разрушения.

4. Кроме предохранительных клапанов, для уменьшения давления применяют воздушные колпаки. В момент повышения давления жидкость входит в колпак и сжимает находящийся в нём воздух, что уменьшает повышение давления.

Пример. Определить продолжительность закрытия задвижки на трубопроводе, если длина трубопровода l = 800 м, , допускаемое давление в трубопроводе 1000000Па, а гидростатическое давление Р= =200000 Па.

Решение. Допускаемое повышение давление от гидростатического удара

.

Продолжительность закрытия задвижки

жидкость гидравлический труба

.

2. Вытекание жидкости при переменном уровне

Рассмотрим случай истечения жидкости из открытого сосуда в атмосферу через отверстие площадью S.

Струя при вытекании через отверстие постепенно сжимается. Ближайшее к отверстию наименьшее живое сечение С-С, в котором движение можно рассматривать плавно изменяющимся, называется сжатым сечением. Обозначим площадь сжатого сечения С-С S_сж.

жидкость гидравлический труба

Отношение

называется коэффициентом сжатия ( = 0.64 для круглого отверстия).

Обозначим через H высоту уровня жидкости над центром тяжести отверстия, v - скорость в сжатом сечении (рис. 54).

Запишем уравнение Бернулли для сечений О-О и сжатого сечения С-С.

,

где v₀ - скорость свободной поверхности, h_м - потери напора при вытекании через отверстие, они определяются из соотношения

.

Пренебрегая величиной (ввиду её малости по сравнению с Н), получаем

,

отсюда скорость истечения

,

где - коэффициент скорости (~0.97).

Для определения расхода надо скорость умножить на площадь сжатого сечения:

,

по формуле , откуда

,

тогда расход, выраженный через напор равен

,

где - коэффициент расхода ( = 0.62).

Рассмотрим вытекание жидкости из ёмкости при переменном уровне. Движение в данном случае является неустановившимся. С достаточной для практики точностью можно считать, что в каждый момент времени скорость вытекания определяется соответствующим этому моменту напором Н так же, как и при установившемся движении.

Определим время, в течение которого жидкость опустится на H₁-H₂.

Рассмотрим промежуточное положение уровня с напором Н. За время dt. вытечет объём жидкости, равный

.

За это время dt напор изменится на (-dН). Объём жидкости, вытекшей из сосуда, равен

,

где - площадь свободной поверхности в сосуде.

Приравнивая выражения, получаем

,

откуда

.

Интегрируя, находим

.

При постоянной площади свободной поверхности

.

Пример. Вычислить продолжительность опорожнения цистерны при eё диаметре D = 2 м и длине L = 5 м, если диаметр сливного отверстия d= 0.1 м, а коэффициент расхода = 0.62.

Решение.

Продолжительность опорожнения

,

Здесь - переменная по высоте горизонтальная площадь сечения цистерны, причём

.

Имеем:

Размещено на Allbest.ru