Моделирование динамических систем на сфере

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема: Моделирование динамических систем на сфере



Введение

Динамические системы - это системы, которые под действием внешних и внутренних сил изменяют во времени свои состояния. Представления о динамических системах возникли как обобщение понятия механической системы, поведение которой описывается законами динамики. В современной науке понятие динамической системы охватывает системы практически любой природы--физические, химические, биологические, экономические, социальные и др. При этом системы характеризуются различной внутренней организацией--жестко-детерминированные, стохастические, нелинейные, системы с элементами самоорганизации, самоорганизующиеся. Современная теория динамических систем является собирательным названием для исследований, где широко используются и эффективным образом сочетаются методы из различных разделов математики: топологии и алгебры, алгебраической геометрии и теории меры, теории дифференциальных форм, теории особенностей и катастроф.

Актуальность рассматриваемой проблемы в том, динамические системы широко применяются в современных разделах естествознания как неравновесная термодинамика, теория динамического хаоса, синергетика. Этим обуславливается выбор темы для данной курсовой работы.

Объектом исследования являются динамические системы на сфере.

Предметом исследования данной курсовой работы является компьютерное моделирование динамических систем на сфере.

Цель курсовой работы заключается в следующем:

1. Исследовать характер поведения динамической системы на сфере.

2. Разработать алгоритмы на Maple для решения данной системы.

3. Изучить решение полученной динамической системы, в зависимости отначальной точки.

Поставленная цель подразумевает решение следующих задач:

1. изучить и проанализировать литературные источники по теме курсовой работы;

2. произвести компьютерное моделирование динамических систем на сфере.

Для решения поставленных задач в курсовой работе использовалась современная система компьютерной алгебры (Maple), для решения динамической системы, анализируются полученные решения.

Структура исследования состояла в изучении динамических систем и методов их исследования. Затем была выбрана динамическая система на сфере с простейшим координатным покрытием. Разработка алгоритмов для решения динамической системы на Maple, далее решаем выбранную динамическую систему, анализируем полученную систему и накладываем полученные траектории на сферу.

Практическая значимость данной курсовой работы заключается в возможности использования полученных решений динамических систем в дальнейших научных исследованиях в рамках базового курса «динамические системы и теория устойчивости» для студентов технических специальностей.

Цели и задачи курсовой работы определили ее структуру. Курсовой работа состоит из введения, трех разделов, заключения, списка литературы.



1. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ

В настоящем параграфе дается определение динамической системы на сфере и устанавливаются некоторые ее основные свойства.

Динамические системы на сфере вводятся в рассмотрение вследствие того, что они, с одной стороны, сохраняют все существенные черты плоских систем, а с другой стороны, освобождены от некоторых их свойств, вносящих осложнения: именно, при изучении плоских динамических систем, определенных в открытой плоской области G,возникают трудности, связанные с тем, что такая область некомпактна. Если же рассматривать систему в замкнутой ограниченной плоской области G,возникают осложнения из-за неравноправности точек такой области -- наличия внутренних н граничных точек. Сфера же компактна, и все ее точки равноправны.

Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы на замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода . К рассмотрению динамических систем на поверхностях непосредственно приводит многие прикладные задачи. Так, например, к рассмотрению динамических систем па цилиндре приводят задача Жуковского о динамике симметричного полета самолета, задача об автоподстройке частоты и многие другие. К рассмотрению динамической системы на торе приводит, например, задача об устойчивости параллельной работы синхронных машин и др. Необходимость рассмотрения динамических систем на поверхности, естественно, возникает также при изучении свойств динамических систем в пространстве трех и большего числа измерении. Определение всякой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства плоских систем: только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры -- на ориентируемых поверхностях рода , а также на не ориентируемых, обладают некоторыми свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем.

Так, например, у систем на поверхности рода 1 (на торе) могут существовать траектории, всюду плотно заполняющие всю поверхность. Пак мы увидим, итого не может быть у динамических систем на плоскости и на поверхности рода нуль.

Таким образом, желая рассмотреть динамические системы на поверхностях, сохраняющих все основные черты плоских систем, мы должны были бы рассмотреть динамические системы на произвольных поверхностях рода нуль. Мы ограничимся только случаем сферы ввиду того, что при этом мы можем использовать элементарные аналитические средства.

1.1 Определение динамической системы на сфере

Будем для простоты предполагать, что рассматривается сфера, расположенная в трехмерном пространстве R3и имеющая уравнение x2+y2+z2=1.

Пусть на сфере введено некоторое регулярное координатное покрытие класса г. Это означает, что задано некоторое покрытие сферы областями, g1, g2, …, gn, гомеоморфными плоским областям, и в каждой области этого покрытия введена система координат с помощью функций

(1)

удовлетворяющих следующим условиям:

а) функции (1) дают топологическое отображение некоторой области плоскости на область сферы ,

б) являются функциями класса Сг или аналитическими;

в) ни в одной точке области функциональные определители

не обращаются одновременно в нуль.

Уравнения (1) мы можем рассматривать так же, как параметрические уравнения области сферы, а-- как криволинейные координаты, введенные в области сферы.

Если две области заданного покрытия и имеют общие точки и, следовательно, общую область

то в области введены как координаты , так и координаты . Тогда функции

, (2)

выражающие одни координаты через другие, определяют в области регулярное преобразование координат класса Сг.

Определение 1. На сфере задана динамическая система класса , если при некотором координатном покрытии сферы класса выполняется следующее:

1. В каждой области покрытия задана динамическая система

(3)

где - локальные координаты, введенные в области .

2. В точках, общих двум областям покрытия и, динамические системы переходят друг в друга путем преобразования координат, переводящего одну координатную систему в другую. Если

(4)

Динамическая система (4) задана в области , тогда в области эта система получается из системы (5), заданной в области , путем преобразования координат [1-3,5].

(5)

Таким образом, получим:

(6)

1.2 Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере

Совершенно аналогично случаю системы в плоской области задание динамической системы на сфере может быть интерпретировано как задание векторного поля на сфере.

Пусть -- координаты в области рассматриваемого покрытия сферы, и

-- динамическая система в этой области. Будем записывать параметрические уравнения

(7)

областиgсферы в векторной форме

где -- радиус-вектор произвольной точки М области gв пространстве (x,y,z).

Рассмотрим в каждой точке области сферы вектор



Этот вектор, как линейная комбинация векторов лежит в плоскости касательной к сфере в точке М. Нетрудно видеть, что этот вектор не зависит от системы координат, введенной на сфере. Действительно, пусть в некоторой области сферы наряду с координатамирассматриваются координаты , связанные с uиvсоотношениями вида

Тогда по определению тождественности динамических систем на сфере в области динамическая система в координатах будет иметь вид

где выражаются через по формулам

Если -- векторное параметрическое уравнение части сферы в координатах, то для определенного выше вектора v,очевидно, будет иметь место соотношение



Таким образом, динамическая система в каждой точке сферы определяет вектор, касательный к сфере, т. е. задает сфере векторное поле. Очевидно, в точках, в которых одновременно u=v=0, вектор v имеет нулевую длину. Эти точки являются особыми точками векторного поля.

Определение 2. Система непрерывных функций или эквивалентная им непрерывная вектор-функция , определенная на интервале значений , называется решением динамической системы на сфере, если:

1. В каждой области покрытия сферы

(8)

где - вектор-функция, дающая при выбранных координатах параметрические уравнения части сферы, а функции и удовлетворяют в соответствующей области системе, так что

(9)

2. Решение рассматривается на максимальном возможном интервале значений .

динамический система сфера моделирование



2. РЕШЕНИЯ И ТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ

Определим, что называется решением динамической системы на сфере. Сделаем сначала некоторые предварительные замечания.

Пусть по-прежнему g-- некоторая область заданного покрытия сферы, в которой введены координаты uи v,

т. е. даны параметрические уравнения области gсферы, которые мы будем как и выше записывать в векторной форме

Пусть

- система, соответствующая области g,

u = u(t), v=v (t) (13)

- какое-нибудь решение этой системы. Рассмотрим функции

или эквивалентную им вектор-функцию

(14)

При всех t,при которых определено решение (13), функция (14) непрерывна. Эту вектор-функцию, естественно, считать решением или «частью решения» динамическойсистемы на сфере. Может случиться, что при некоторомзначении t0точка M0сферы с координатамибудет принадлежать области заданногопокрытия сферы, пересекающейся с областью (рис. 1).

Рис. 1

Пусть

-- координаты в области ,связанные в области с координатами ииvсоотношениями

а

(15)



-- динамическая система, соответствующая области. Рассмотрим решение системы (15) при ,принимающее значения

и обозначим его через

.

Очевидно, что в точках области мы имеем

(16)

Пусть

- параметрические уравнения области gсферы, которые мы будем записывать в векторной форме

Рассмотрим вектор-функцию

(17)

Нетрудно видеть, что при всех значениях t,при которых точка с координатами и (t), v (t) (или соответственно )принадлежит области , имеет место тождество

. (18)

Это непосредственно вытекает из того, что по самому определению вектор-функций в точках области имеют место тождества

,

а также из равенств (16). В частности, может случиться, что функции

определены не только в точках области со, но и в отличных от точек точках области.

Определим тогда вектор-функцию

r=F(t)

так, чтобы

-при тех значениях t, при которых точка принадлежит области gсферы, и



при тех значениях t, при которых точка принадлежит области g. Вектор-функция r=F(t)

является в силу (18) непрерывной вектор-функцией, которую естественно считать «решением» или частью решения динамической системы на сфере. Можно сказать, что вектор-функция является продолжением на область вектор-функции, определенной в области g. После этихпредварительных замечаний дадим определение решения динамической системы на сфере.

Система непрерывных функций или эквивалентная ил непрерывная вектор-функция , определенная на интервале значений t, называется решением динамической системы D на сфере, если:

а) в каждой области g покрытия сферы

где-- вектор-функция, дающая при выбранных координатах параметрические уравнения части g сферы, а функции u(t)и v (t)удовлетворяют в соответствующей области g системе, так что

;

б) не существует непрерывной вектор-функция r=F(t), определенной на интервале более широком, чем , удовлетворяющей условию а) и совпадающей с функцией F (t)на интервале.

Последнее условие означает, что решение рассматривается на максимальном возможном интервале значений t.

Принимая во внимание правила замены переменных и соотношения вида (18), нетрудно убедиться в том, что решение динамической системы на сфере не зависит от выбора координатного покрытия сферы. Из теоремы о существовании и единственности решения и самого определения решения динамической системы па сфере непосредственно вытекает следующая теорема:

Теорема 5. Для всякой точки М0 на сфере и для любого t0 существует одно и только одно решение r=F (t), удовлетворяющее начальному условию

r0 = F(t0)

где r0 -- радиус-вектор точки М0.

Траекторией динамической системы на сфере называется множество точек на сфере, определяемое уравнениями или эквивалентным векторным уравнением r=F (t). Каждому решению соответствует вполне определенная траектория L. Решение, которому соответствует траектория L, будем, как и в случае динамической системы на плоскости, называть решением, соответствующим данной траектории.

Решение будем также называть движением, соответствующим траектория, или движением на траектории.

В каждой точке M0 сферы, не являющейся особой точкой того векторного поля, которое определяется на сфере задапием динамической системы, соответствующий вектор является касательным вектором в точке M0 к траектории, проходящей через эту точку. Действительно, пусть r = F(t)

-- какое-нибудь решение рассматриваемой системы D и L -- соответствующая траектория. Пусть при значении t0 точка М0 сферы с радиусом-вектором r0 = F (t0)принадлежит области покрытия gсферы с координатами u, v. Обозначим через u0, r0координаты точки М0. Пусть

-- соответствующая области gсистема. Мы имеем

, очевидно, является касательным вектором к траектории L0 вточкеМ0.

Так как r = F(t)есть решение системы D, то по самому определению

и, следовательно, мы имеем

Но выражение в правой части и есть вектор v, который в точке М0задается рассматриваемой динамической системой.

Таким образом, получается следующая «кинематическая» интерпретация динамической системы на сфере и ее решений, не связанная ни с какими координатами на сфере: динамическая система -- заданное на сфере ноле касательных векторовv(M),называемых фазовыми скоростями точек М; решение динамической системы-- движение r= F(t) на сфере, обладающее тем свойством, что скорость точки в момент ее прохождения через произвольное положение М0равна фазовой скорости в точке М0; траектория динамической системы -- путь, описываемый точкой при движении.

Имеет место следующая теорема, доказательство которой, полностью аналогичное доказательству такой же теоремы для системы в плоской области, мы опускаем;

Теорема 6.Через каждую точку сферы проходит одна и только одни траектория динамической системы.

Сделаем еще некоторое замечание, касающееся траектории динамической системы на сфере.

Рассмотрим яри некотором заданном координатном покрытия какую-нибудь траекторию L динамической системы D на сфере.

Возможны два случая: I) траектория L лежит целиком и одной и той же области покрытия; 2) у траектории L существуют точки в различных областях покрытия g,и т.д.

Пусть в первом случае », v -- координаты в области g и

(19)

-- система, соответствующая области g. Будем рассматривать uи vкак прямоугольные координаты на плоскости и предположим, что система (19) определена в области hплоскости (u,v). Тогда согласно и. 2 функции (1) задают отображение Т области h плоскости (u, v)на область gсферы, обладающее свойствами а), б) и в), сформулированными в п. 2, При этом из самого определения траектории системы Dочевидно, что в рассматриваемом случае траектория Lдинамической системы па сфере является отображением некоторой траектории L' системы (19) плоскости (u,v).

Теорема 7. Каждая траектория па сфере является целой траекторией, т. е. всякое решение динамической системы па сфере, определено для всех значений t от .

Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что какое-нибудь решение определено лишь для значений

где -- некоторое конечное число. Обозначим через L траекторию, соответствующую решениюF(t).

Рис. 2

Рассмотрим последовательность значении, стремящихся к . Обозначим через М1, M2, ..., Мn, . .. точки траектории L, соответствующие указанным значениям t. В силу компактности сферы мы можем считать, что последовательность Мnявляется сходящейся. Пусть последовательность {Мп}сходится к точке M0. Рассмотрим какую-нибудь содержащую точку M0область gсферы, в которой введены координаты u, v; и пусть Т--отображение области hв (рис. 2). Обозначим через Mn*точки плоскости(u,v),которые отображаются в точку Мn, Мn*=Т-1(Мn) (п =0, 1, 2, . . .), и через un, vn -- координаты точки Мn*.

Рассмотрим какую-нибудь замкнутую область К*, лежащую вhи содержащую точку Мn*внутри себя (рис. 26, б). Cуществует такое число что всякое решение u=u(t) системы вида (20) (соответствующей области g), проходящее при t = t0через точку области К*, определено для всех значений t в интервале . Выберем n настолько большим, чтобы выполнялось неравенство

(21)

Такое nсуществует в силу соотношений

.

Мы пришли к противоречию с предположением, что решение F(t)определено только для значений . Теорема доказана.

В силу теоремы 6 динамическая система на сфере определяет разбиение сферы на траектории, причем в силу теоремы 7 все траектории являются целыми.

Выше мы указали некоторые основные элементарные свойства траектории динамических систем на плоскости. Теми же свойствами обладают и траектории на сфере. Траектории на сфере так же, как и на плоскости, являются либо состояниями равновесия, либо незамкнутыми, либо замкнутыми траекториями. Это доказывается в точности так же, как и в плоской области.

Состояния равновесия соответствуют особым точкам векторного ноля па сфере, т. е. точкам, в которых соответствующий вектор . Далее, для траектории на сфере справедлива теорема о непрерывной зависимости от начальных значений. Ее можно сформулировать в точности в такой же геометрической форме, как в случае плоскости.



3. ПРИМЕРЫ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА СФЕРЕ

Во всех приводимых ниже примерах мы будем предполагать, что рассматривается простейшее координатное покрытие сферы. Будем обозначать области этого простейшего покрытия через и ( состоит из точек всей сферы, за исключением одной точки , a g -- из точек всей сферы, за исключением точки , диаметрально противоположной точке ).

Переход от локальных координат и, v в области g к локальным координатам в области задается формулами (9) и (10)

Рассмотрим динамическую систему заданную уравнениями

(10)

в области (рис.3),



Рисунок3 - Решение динамической системы (10)

и уравнениями

(11)

в области (рис.4).



Рисунок 4 - Решение динамической системы (11).

(12)

в области (рис.5),



Рисунок5 - Решение динамической системы (12):

a=0, a=1, a=-1, a=2, a=-2, a=5, a=-5, a=10, a=-10.

и уравнениями



(13)

в области (рис.6).

Рисунок 6 - Решение динамической системы (13):

a=1, a=-1, a=2, a=-2, a=5, a=-5, a=10, a=-10.



Перенос траекторий на сферу будем производить с помощью векторов.

Полученные решения (рис.7-9) характеризуют траектории динамических систем на сфере

Рисунок 7 - Решение динамической системы (14) на сфере при a=0 и а=0.5

Рисунок 8 - Решение динамической системы (15) на сфере при a=1 и а= -1



Рисунок 9 - Решение динамической системы (16) на сфере при a=5 и а= -5



ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, мы рассмотрели особенности построения динамических систем на сфере с использованием программных пакетов Maple 17. Дополнительно были изучены литературные источники по данной проблеме и приведены примеры и способ моделирования.

Результатом исследования стали траектории при разных начальных данных.

Практическая значимость данной курсовой работы заключается в возможности использования полученных данных для дальнейшего исследования.



СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. А.А. Андронов, Е.А. Леонтович, И. И. Гордон, А.Г. Майер «Качественная теория динамических систем второго порядка» Москва, 1966г.

2. А. М. Ляпунов, «Общая задача об устойчивости движения», 1950 г.

3. В. Милн, «Численное решение дифференциальных уравнений», 1953 г.

4. Е. А. Леонтович и А. Г. Майер, «О траекториях, определяющих качественную структуру разбиения на траектории», 1937 г.

5. Е. А. Леонтович и А. Г. Майер ,«О схеме, определяющей топологическую структуру разбиения на траектории» 1955 г.

6. В. В. Немыцкий, «Качественное интегрирование системы дифференциальных уравнений методом двух изоклин» 1959 г.

7. Р. М. Минц, «О некоторых дифференциальных уравнениях, допускающих понижение порядка» 1957 г.

8. А. Ф. Андреев, «Исследование поведения интегральных кривых одной системы двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки» 1955 г.

9. Г. М. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1951 г.

10. М. А. Красносельский, «Векторные поля на плоскости» 1963 г.

11. С. Левшец, «Геометрическая теория дифференциальных уравнений» 1960 г.

12. И. Бендиксон, «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями» 1941 г.

13. С. Маркосян, «Качественное исследование системы двух дифференциальных уравнений методом «двух изоклин»» 1959 г.

14. С. Е. Савотченко, Т. Г. Кузьмичева. «Методы решения математических задач в Maple» 2001 г.

15. Р. Курант, «Курс дифференциального и интегрального исчисления» 1931

Размещено на Allbest.ur