Реология полимерных расплавов

Размещено на http://www.allbest.ru/

РЕОЛОГИЯ ПОЛИМЕРНЫХ РАСПЛАВОВ



Содержание

1. Реология как наука

1.1 Деформация при течении полимеров

1.2 Ньютоновские жидкости

1.3 Вязкопластичные жидкости (тело Шведова -- Бингама)

1.4 Дилатантные жидкости

1.5 Псевдопластичные (псевдовязкие) жидкости

1.6 Явления переноса

2. Уравнения

Литература



1. Реология как наука

Реология -- наука, изучающая деформацию и течение в материалах под воздействием внешних сил.

При приложении внешних сил (например, гидростатического давления) или при движении поверхностей, контактирующих с расплавом полимера, возникает течение, основная особенность которого заключается в том, что одновременно развиваются три вида деформации: мгновенная упругая, высокоэластическая (запаздывающая упругая) и пластическая (необратимая).

Характер течения жидкостей оценивается с помощью зависимости напряжения сдвига от скорости сдвига или скорости деформации. Эта зависимость может быть представлена графически или в виде аналитической функции -- реологическим уравнением состояния.

Применимость его для анализа реологических свойств наиболее просто проследить на примере рассмотрения вязких жидкостей.

Вязкие жидкости по характеру течения, а точнее в зависимости от соотношения напряжения и скорости сдвига, подразделяются на четыре вида: ньютоновские, вязкопластичные, дилатантные и псевдопластичные (псевдовязкие) (рис. 41б). Для несжимаемых, вязких жидкостей реологическое уравнение состояния имеет вид:

Напряжение сдвига выражается величиной силы, действующей на единицу площади сдвига. реология деформация сдвиг уравнение

Физический смысл скорости сдвига можно понять при рассмотрении простого течения жидкости. Если поместить жидкость между движущейся и неподвижной пластинами, расстояние между которыми равно h, то при течении возникает простой сдвиг (рис. 39). Скорость сдвига в этом случае будет равна:

dv_z /dy =?v/?y = v_пл /h (26)

Таким образом, скорость сдвига, -- это интенсивность изменения скорости одного слоя потока относительно второго, расположенного на некотором расстоянии ?у.

Рисунок 39 - Схема течения и эпюра скорости при течении жидкости за счет движения пластины (простой сдвиг)

1.1 Деформация при течении полимеров

Существует большой класс жидкостей, у которых скорость сдвига увеличивается быстрее, чем напряжение сдвига. Графически изменение скорости сдвига в зависимости от напряжения сдвига для жидкостей такого типа изобразится кривой 2 на рисунке 41.

Вязкостные свойства таких жидкостей уже нельзя охарактеризовать постоянной величиной. Можно по аналогии с ньютоновскими жидкостями считать, что в любой точке кривой 2 скорость сдвига по - прежнему определяется уравнением (28). При этом коэффициент вязкости утрачивает значение константы, а сам, в свою очередь, зависит от скорости (или напряжения) сдвига. В этом случае его принято называть эффективной вязкостью и обозначать м_эф .

Жидкости, вязкость которых зависит от режима течения, принято называть аномально - вязкими жидкостями, а само явление -- аномалией вязкости. Для аномально - вязких жидкостей чисто формально можно представить связь между скоростью сдвига и напряжением сдвига в виде выражения:

или (28)

Графики, подобные представленным на рисунке 40, обычно называют кривыми течения.

Опыт показывает, что большинство полимеров и их растворов в условиях переработки обладает аномалией вязкости, что сильно усложняет задачу построения количественных теорий процессов переработки.

На полной кривой течения (рис. 40) можно выделить три характерных участка: начальный участок (область I), в пределах которого скорость деформации прямо пропорциональна напряжению сдвига (течение с наибольшей ньютоновской вязкостью); переходной участок (область II), в пределах которого скорость деформации возрастает быстрее, чем напряжение сдвига (эффективная вязкость уменьшается с увеличением напряжения сдвига), и последний участок (область III), в пределах которого скорость деформации вновь растет пропорционально напряжению сдвига (течение с минимальной ньютоновской вязкостью).

Кривые течения, имеющие все три участка, удается наблюдать для полимеров. В случае расплавов обычно можно получить только первые два участка.

Основная особенность течения полимеров заключается в одновременном развитии трех видов деформации: упругой г_у, высокоэластической г_в и пластической г_п. Деформации первых двух видов носят обратимый характер, деформации третьего вида являются необратимыми

Пластическая деформация представляет собой вязкое течение, связанное с необратимым перемещением молекул или их групп на расстояние, превышающее размеры самой молекулы. Скорость развития пластической деформации, так же как и высокоэластической, сильно зависит от температуры.

Одновременное развитие всех этих трех видов деформации приводит к тому, что в условиях установившегося течения полимеры обладают свойствами так называемых аномально - вязких, или неньютоновских жидкостей. Это означает, что при весьма малых напряжениях сдвига реологические свойства расплава характеризуются постоянной ньютоновской вязкостью. В этой области скорость накопления высокоэластических деформаций оказывается меньше скорости их релаксации, быстро увеличивающейся с ростом деформации. Вследствие этого накопленная обратимая деформация оказывается очень малой, а материал течет с постоянной ньютоновской вязкостью м (область I на рис. 40). Дальнейшее увеличение напряжения (или скорости деформации) приводит к тому, что накапливающаяся деформация уже не успевает релаксировать полностью, поэтому какая - то часть деформации носит высокоэластический характер. Внешне это проявляется в интенсивном уменьшении сопротивления деформации или, иначе говоря, в уменьшении коэффициента вязкости системы (область II на рис. 40). Наконец, если скорость деформации настолько велика, что высокоэластическая деформация полимерных молекул остается неизменной, то коэффициент вязкости перестает уменьшаться, достигая некоторого минимального значения з_? (область III на рис. 40).

Рисунок 40 -- Кривая течения аномально - вязкой жидкости



1.2 Ньютоновские жидкости

Ньютоновские жидкости характеризуются прямо пропорциональной зависимостью изменения напряжения сдвига ф от скорости сдвига (рис. 41а). Вязкость жидкости на графической зависимости пропорциональна тангенсу угла наклона м=цtg(б₂)=const, a реологические свойства описываются уравнением Ньютона:

В последующем вязкость ньютоновских жидкостей будем обозначать буквой м, а ненъютоновских з. К ньютоновским жидкостям относятся низкомолекулярные жидкости, у которых диссипация энергии вязкого течения обусловлена перемещением небольших молекул и не зависит от скорости сдвига.

Вязкость ньютоновских жидкостей изменяется только от температуры или строения вещества. Изменение вязкости достаточно хорошо отображается графически: чем выше вязкость, тем больше угол наклона линейной зависимости б (рис. 41а).

а б

1 -- вязкопластичная (тело Шведова-Бингама);

2 -- псевдопластичная;

3 -- ньютоновская;

4 -- дилатантная

Рисунок 41 - Зависимость от скорости сдвига напряжения сдвига (а -- кривые течения) и вязкости (6) для различных жидкостей

1.3 Вязкопластичные жидкости (тело Шведова -- Бингама)

Для вязко - пластичных жидкостей характерно наличие предельного напряжения сдвига при течении. Течение таких жидкостей происходит лишь в том случае, когда напряжение сдвига при приложении силы больше предельного напряжения текучести ф_т (рис. 41а). Такое поведение жидкостей, вероятно, объясняется тем, что они способны к образованию пространственных структур, которые препятствуют сдвигу слоев, т.е. при определенных небольших напряжениях такие жидкости проявляют свойства упругого тела. После того, как под действием внешних сил эти структуры разрушатся, появляется вязкое течение, при этом сдвиг происходит только в тех слоях, где напряжения сдвига больше ф_т. Данные структуры являются обратимыми и после снятия деформации в статическом состоянии через некоторое время восстанавливаются. По характеру течения к вязкопластичным жидкостям относятся буровые растворы, шламы, масляные краски. Так, при нанесении краски под действием внешних сил (движение кисти) происходит ее течение и равномерное распределение по поверхности. Если краска нанесена тонким слоем и напряжения, возникающие под действием сил гравитации, меньше, чем напряжение текучести, краска со стены не стекает. При нанесении толстого слоя соотношение напряжений изменяется, появляется течение краски и образуются подтеки. При течении вязкопластичных жидкостей по трубам, в центральных слоях, где напряжения сдвига меньше предела текучести, сдвиг слоев жидкости отсутствует. Жидкость течет, как бы имея центральное твердое ядро с прямоугольным профилем скорости.

1.4 Дилатантные жидкости

Течение дилатантных жидкостей характеризуется увеличением вязкости с ростом скорости сдвига. Это хорошо видно по увеличению угла наклона касательной к кривой на графической зависимости (рис. 41а, кривая 4). При увеличении скорости течения подобных жидкостей напряжение сдвига опережает рост скорости сдвига, т.е. отношение напряжения сдвига к скорости сдвига, численно характеризующее вязкость, непрерывно увеличивается. Такой тип течения был впервые обнаружен Рейнольдсом в суспензиях при большом содержании твердой фазы. Некоторые исследователи считают, что когда подобные материалы подвергаются сдвигу с небольшой скоростью деформации, вероятно, жидкость служит как бы смазкой, уменьшающей трение частиц, а при больших скоростях сдвига плотная упаковка частиц нарушается, и материал несколько увеличивается в объеме. При новой структуре жидкости уже недостаточно для смазки трущихся друг о друга частиц и напряжения сдвига увеличиваются значительно быстрее, чем градиент скорости, поэтому вязкость возрастает, и угол наклона касательной к кривой а, увеличивается.

1.5 Псевдопластичные (псевдовязкие) жидкости

Для псевдопластичных жидкостей характерно уменьшение вязкости с увеличением скорости сдвига (рис. 41а, кривая 2). В данном случае напряжение сдвига растет медленнее, чем скорость сдвига. К псевдопластичным жидкостям относятся некоторые суспензии, содержащие асимметричные частицы. Проявление аномалии вязкости, в данном случае уменьшение ее с ростом скорости сдвига, объясняется тем, что с увеличением скорости течения асимметричные частицы постепенно ориентируются. При этом вязкость убывает до тех пор, пока сохраняется возможность дальнейшего ориентирования частиц, а затем зависимость напряжения от градиента скорости становится линейной, т.е. в дальнейшем течет как ньютоновская жидкость.

Свойствами псевдопластичных жидкостей обладают также растворы и расплавы большинства полимеров. Однако для них аномалия вязкости обусловлена строением макромолекул, характером межмолекулярных связей и межмолекулярных образований, возникающих в расплаве. Для расплавов полимеров характерно также изменение степени аномалии вязкости в зависимости от скорости сдвига, т.е. интенсивность изменения вязкости при различных скоростях сдвига неодинакова. При высокой скорости сдвига вязкость уменьшается более значительно. Заметить это в обычных координатах ф??() очень сложно, поэтому для анализа кривых течения применяют графическую зависимость, построенную в логарифмических координатах. Как видно из рисунка 42, для ньютоновской жидкости характерна линейная зависимость lgф от lg с постоянным наклоном, равным 45°, (пунктирные линии). При уменьшении вязкости реологическая зависимость сдвигается вправо и вниз. Вязкость псевдопластичных жидкостей уменьшается от скорости сдвига, поэтому угол наклона линий меньше чем 45° и для описания реологических зависимостей применяют степенное уравнение:

Преимущество степенного уравнения заключается в том, что оно содержит два коэффициента, которые легко определяются графически или аналитически по данным реологических исследований. Представим уравнение (33) в логарифмическом виде:

lg? = lgK + nlg (34)

Из этого уравнения видно, что К = ф при = 1 , a n = tgв, т.е. равен тангенсу угла наклона на логарифмической графической зависимости. Для ньютоновских жидкостей угол наклона равен 45°, а n = 1. Коэффициенты уравнения находятся из экспериментальных данных, полученных на вискозиметрах.

Если зависимость в логарифмических координатах линейная, показатель степени можно рассчитать по формуле:

, (35)

где ₂ и ₁ -- скорости сдвига, соответствующие двум точкам реологической зависимости;

ф₂ , ф₁ -- напряжения сдвига при этих скоростях.

Реологические кривые для псевдопластичных жидкостей располагаются под меньшим углом, чем ньютоновские жидкости. При этом, чем большей аномалией вязкости обладает жидкость, т.е. чем сильнее уменьшается вязкость от скорости сдвига, тем сильнее это отклонение и меньше угол наклона кривой.

В тех случаях, когда зависимость в логарифмических координатах не является линейной, показатель степени является переменной величиной. Для нахождения коэффициента K реологическую зависимость интерполирует на ось ординат при =1, а показатель степени в данном случае рассчитывается по уравнению:

, (36)

где ф_i и _i -- текущие значения напряжения и скорости сдвига на реологической кривой.

Таким образом, в логарифмических координатах тангенс угла наклона кривой не пропорционален вязкости, а отражает лишь степень уменьшения вязкости от скорости сдвига.

Степень изменения аномалии вязкости системы отражается отклонением от прямолинейной графической зависимости. На рисунке 42 видно, что такое изменение отсутствует для жидкости с прямолинейной зависимостью (кривая 4).

1-- ньютоновская (угол наклона равен 45?);

2 -- псевдопластичная с одной ньютоновской областью течения;

3 -- псевдопластичная с двумя ньютоновскими областями течения:

4 -- псевдопластичная с малой вязкостью и постоянной степенью аномалии вязкости (линейная зависимость, n = const)

Рисунок 42 - Графическое изображение реологических зависимостей вязких жидкостей в логарифмических координатах

Кривая 2 при малых скоростях сдвига идет параллельно прямой 1, что характерно для ньютоновской жидкости, а затем отклоняется. Это указывает на то, что для такой жидкости характерно наличие первой ньютоновской области, когда аномалия вязкости отсутствует, т.е. при малых градиентах вязкость постоянна и имеет максимальное значение. Такое значение называют наибольшей ньютоновской вязкостью и обозначают з₀ , т.е. значение вязкости при очень малых скоростях сдвига. Большинство растворов полимеров имеют две ньютоновские области (кривая 3), при этом вязкость для второй области обозначают з_?, т.е. вязкость соответствует большим скоростям сдвига. Таким образом, анализ реологических зависимостей в логарифмических координатах дает достаточно подробную качественную характеристику течения и широко используется для оценки реологических свойств расплавов полимеров.



1.6 Явления переноса

Прикладная наука о транспортных явлениях рассматривает перенос массы, количества движения и энергии. Она включает в себя те теоретические правила, с помощью которых инженеры решают задачи, связанные с течением жидкостей, теплопереносом и диффузией в многокомпонентных средах. Ниже приводится краткий обзор законов переноса, поскольку процессы переработки полимеров включают в себя транспортные процессы.

Применительно к процессам течения вязкой жидкости эти уравнения формулируются следующим образом. Если выделить внутри занятого движущейся жидкостью объема произвольный элемент и ограничить его воображаемой замкнутой поверхностью, то такой элемент будет представлять собой термодинамически замкнутую систему (т.е. такую систему, которая может обмениваться с окружающей средой только энергией).

Отметим, что такие характеристики жидкости, как плотность с, давление Р и температура Т, являются скалярными величинами, скорость жидкости v - это величина векторная, а напряжение сдвига ф, возникающее в результате действия вязких сил, - симметричный тензор второго ранга.

Несмотря на компактность векторной формы записи, при решении конкретных задач, связанных с исследованиями течения полимеров, приходится выбирать систему координат и определять в ней компоненты векторных и тензорных величин.

Ниже приведены уравнения неразрывности, движения и энергии, представленные в векторной форме, в прямоугольных (х, у, z) и цилиндрических (r, и, z) координатах (рис. 43).

Рисунок 43 - Системы координат



2. Уравнения

УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ

Простейшее из уравнений баланса -- уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы. Рассмотрим область пространства, например, в декартовых координатах х, у, z (или х₁, х₂, х₃), а короче x_i, где i = 1,2,3, через которую со скоростью v (x_i, t) протекает однородная жидкость плотностью с (x_i, t). Принцип сохранения массы в фиксированном объеме пространства ?V= ?x?y?z (рис. 44) может быть записан в виде:

Если плотность внутри объема с, то скорость накопления массы равна

.

Это выражение равно алгебраической сумме потоков массы (сv_i), входящих и выходящих через шесть граней куба (рис. 44).

Рисунок 44 - Элемент объема

В результате:

(37)

Каждая скобка в правой части уравнения представляет собой чистый приток массы через три главные плоскости куба.

Разделив обе части уравнения на ?V, при условии, что размеры куба будут стремиться к нулю, в пределе получим:

(38)

Или после преобразований:

(39)

В этих уравнениях символом ? (набла) обозначен дифференциальный оператор, который в прямоугольной системе координат имеет вид:

, (40)

где д₁ - единичные векторы.

, (41)

где t -- время;

??v= div v -- расхождение вектора скорости V.

Уравнение сохранения массы (уравнение неразрывности) в прямоугольных координатах:

(42)

Уравнение сохранения массы в цилиндрических координатах:

(43)

УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ

В соответствии со вторым законом Ньютона скорость изменения количества движения элемента жидкости равна сумме всех действующих на него сил:

, (44)

где g -- главный вектор массовых сил, действующих на жидкость в рассматриваемой точке.

Вследствие высокой вязкости полимеров силы трения при их течении во много раз превышают инерционные и массовые силы. Поэтому членами, учитывающими влияние последних, обычно пренебрегают. В результате этого упрощения уравнения записывается в виде:

(45)

В такой форме уравнение движения вязкой жидкости известно как уравнение Стокса.

Уравнение движения в прямоугольных координатах:

(46)

(47)

(48)

Уравнение движения в цилиндрических координатах:

(49)

(50)

(51)

УРАВНЕНИЕ ЭНЕРГИИ

Из закона сохранения энергии, примененного к элементу жидкости, следует уравнение теплового баланса:

, (52)

где С_v -- удельная теплоемкость жидкости при постоянном объеме, выраженная в единицах механической работы; q -- вектор теплового потока, выраженный в единицах механической работы, связанный с градиентом температуры, законом теплопроводности Фурье:

, (53)

k -- коэффициент теплопроводности жидкости, выраженный в единицах механической работы.

Ниже приведены компоненты вектора теплового потока q в прямоугольной и цилиндрической системах координат.

Прямоугольные координаты:

(54)

(55)

(56)

Цилиндрические координаты:

(57)

(58)

(59)

Уравнение теплового баланса в прямоугольных координатах:

(60)

Уравнение теплового баланса в цилиндрических координатах:

(61)

Расположение индексов в компонентах тензора напряжений подчиняется следующему правилу: первый индекс указывает направление нормали к площадке, на которой действует данное напряжение; второй индекс характеризует направление действия напряжения.

Приведенные выше уравнения движения не описывают связи между напряжением сдвига и соответствующими значениями скоростей деформации. Для того чтобы полностью охарактеризовать поведение деформируемого полимера, необходимо дополнить эти уравнения реологическим уравнением состояния, связывающим компоненты тензора скоростей деформации с компонентами тензора напряжений.

ТЕНЗОР НАПРЯЖЕНИЙ

Рассмотрим точку сплошной среды Р, расположенную на произвольной элементарной поверхности ?S, определяемой нормалью n (рис. 45). Пусть ?f_i - результирующая сила, с которой материал действует через поверхность на среду, расположенную с положительной стороны поверхности. Средняя сила на единицу площади равна ?f_i /?S. Ее величина имеет ненулевой предел, когда AS стягивается в точку Р (принцип Коши). Этот предел называется вектором напряжений или вектором сопротивления Т. Но Т зависит от ориентации площадки элемента поверхности, т.е. от направления нормального вектора n. Таким образом, может показаться, что существует бесконечное количество независимых способов описания напряженного состояния в точке Р. Однако, что оно полностью определяется, если задать компоненты векторов напряжений на трех произвольных взаимно перпендикулярных площадках, проходящих через точку Р, т.е. для полного описания напряженного состояния необходимо знать девять компонент -- по три для каждого вектора. Каждую компоненту можно описать двумя индексами: i и j.

Первый индекс указывает ориентацию площадки, второй -- направление действия силы.

На рисунке 45 изображены три компоненты для трех плоскостей декартовых координат.

Девять компонент векторов напряжения образуют декартов тензор второго порядка - тензор напряжений. Более того, некоторые аргументы, основанные на принципах механики, экспериментальные наблюдения, а также молекулярные теории приводят к заключению, что тензор напряжений симметричен (это справедливо, только для систем в которых отсутствует диффузия, химические реакции и др.):

ф_ij=ф_ji (62)

Рисунок 45 - Компоненты тензора напряжений

Тензор скоростей деформации

В общем случае течения, возможно девять ненулевых направлений градиента скорости.

Каждая из трех компонент скорости может изменяться в трех координатных направлениях, что и дает девять возможных компонент градиента.

Таким образом, можно ввести тензор градиентов скорости ?v, который в декартовых координатах записывается в виде:

(63)

ОБЩИЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ И УПРОЩАЮЩИЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ

Смазочная аппроксимация

В процессах переработки полимеров часто встречаются ползущие течения в постепенно сходящихся относительно узких каналах. Эти течения обычно аппроксимируются хорошо известным "смазочным" приближением, рассмотренным Осборном Рейнольдсом в его оригинальной работе, в которой он заложил теоретические основы гидродинамики смазки.

Теория рассматривает гидродинамическое поведение тонких пленок жидкости толщиной от долей микрометра до десятков микрометров. В пленках, в результате относительного движения ограничивающих жидкость поверхностей, могут возникать значительные давления (порядка миллионов ньютонов на квадратный метр). При переработке полимеров толщина "пленок", как правило, на несколько порядков больше, но применение для расчета этих процессов допущений, лежащих в основе теории смазки, достаточно обосновано, поскольку вязкость полимерных расплавов на несколько порядков выше вязкости смазочных масел. Вот почему следует кратко рассмотреть основы гидродинамики смазки.

Допущения, на которых основана теория, заключаются в следующем:

а) течение ламинарное;

б) течение, установившееся во времени ();

в) течение изотермическое;

г) жидкость несжимаема;

д) жидкость ньютоновская;

е) на стенке нет проскальзывания;

ж) инерционные силы в жидкости пренебрежимо малы по сравнению с силами вязкого сопротивления;

з) любое перемещение жидкости в направлении, нормальном к поверхностям, пренебрежимо мало по сравнению с перемещением в направлении, параллельном ограничивающим поверхностям;

и) течение в поперечном направлении отсутствует.

Приведенная выше система допущений и уравнений (неразрывности и движения) представляет собой смазочную аппроксимацию.

Физически это равнозначно утверждению, что, описав локально полностью развившийся поток между параллельными плоскостями с зазором, равным локальному зазору, можно описать фактическое течение.

Однако, применение смазочной аппроксимации при анализе течения вязкоупругих жидкостей не дает достаточной точности.

Тем не менее, подходы и допущения, применяемые в этой теории сильно упрощают решение некоторых практических задач моделирования.

Кроме упомянутых допущений целесообразно ввести еще несколько пунктов:

к) теплоемкость расплава постоянна (не зависит от температуры и давления);

л) теплопроводность расплава постоянна (не зависит от температуры и давления).

В процессах переработки полимеров, где имеют место как теплопередача, так и течение, типичное изменение температуры составляет около 200 °С, а давление изменяется на 50 МПа.

При этих условиях плотность типичного полимера будет изменяться на 10 -- 20 % в зависимости от того, кристаллический он или аморфный, в то время как вариации k и С_р более значительны и составляют 30 -- 40 %.

ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ АНОМАЛЬНО ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ КАНАЛЕ

Рассмотрим течение расплава полимера под действием перепада давления вдоль оси канала с радиусом R и сравнительно большой длиной l. Давление на входе в канал равно р, а на выходе р₀. Так как течение установившееся, то принимаем, что , т.е. начальный входной участок канала, где не рассматривается. Перепады давлений по другим координатам равны нулю:

.

Соответственно скорости и напряжения сдвига также равны нулю ,, .

Поскольку течение установившееся, то скорость вдоль оси z и во времени не изменяется, т.е.

, .

Для решения принимаем следующие допущения:

1) вязкость расплава не изменяется во времени;

2) скольжение на стенках канала отсутствует, т.е. при r = R, v_z = 0;

3)нормальные напряжения при течении остаются постоянными, т.е.

,;



4) гравитационные силы не учитываем, т.к. канал расположен горизонтально: ;

5) инерционные силы равны нулю:

.

Рисунок 46 - Схема течения расплава в цилиндрическом канале

Рассмотрим произвольный элемент жидкости, расположенный внутри цилиндрической поверхности, и запишем для него уравнение движения.

Проекция на направление r:

(64)

Проекция на направление и:

(65)

Проекция на направление z:



(66)

Если проанализировать уравнения с учетом принятых условий и допущений, то видно, что все члены этих уравнений равны нулю, а из уравнения можем записать:

(67)

Для установившегося потока, когда градиент давления имеет постоянное значение:

(68)

Полученное уравнение можно преобразовать в обычное дифференциальное уравнение:

(69)

Интегрируя последнее выражение, находим:

(70)

На стенках канала скорость равна нулю, а в центре при r = 0 она максимальна.

Следовательно, вследствие симметрии потока, на равных расстояниях от оси скорости также будут равны, поэтому скорость сдвига в центре канала отсутствует , поэтому ф_rz= 0.

Подставив в уравнение принятые граничные условия, находим, что`C₁= 0, тогда:

(71)

Максимальное значение напряжения будет на стенке канала при r = R и равняется:

(72)

Знак минус указывает на то, что напряжения сдвига направлены в сторону, противоположную направлению оси z.

Для нахождения скорости потока воспользуемся реологическим уравнением (*), в которое вместо вязкости подставим степенное уравнение (**). С учетом принятых условий и допущений все члены уравнения (***), кроме , равны нулю. Поэтому в окончательном виде после подстановки этих значений в уравнение (*) имеем:

(73)

Подставив это значение ф_z в уравнение (****), из нового равенства находим:

(74)

Интегрируя это уравнение, получаем:

(75)

Из условия прилипания расплава к стенкам канала следует, что при r = R, v_z= 0, тогда:

(76)

Подставив вместо С₂ его значение, получаем:

(77)

Из уравнения (*****) при r = 0 можно определить максимальную скорость потока:

(78)

Для вывода уравнения объемного расхода воспользуемся рисунком 47. Взяв в сечении канала элементарное кольцо с радиусом r и толщиной dr, находим его площадь: S = 2nrdr.

Рисунок 47 - Сечение цилиндрического канала с выделенным элементарным кольцом толщиной dr

Обычно расход расплава Q равен произведению площади сечения канала S на скорость потока v_z.

Для полного сечения канала имеем:

(79)

Подставив вместо скорости v_z ее значение из уравнения (*******),

Получаем

(80)

После интегрирования и преобразований получаем уравнение для расхода расплава:

(81)

Для нахождения скорости сдвига продифференцируем уравнение (*******):

(82)

Определение v₀:

(83)



Заменив в уравнении (82)

v₀ его значением, найденным из уравнения (83),

получаем:

(84)

Скорость сдвига на стенке канала при r = R равна:

(85)

Полученные уравнения широко применяются при расчете экструзионных головок, литниковых каналов пресс - форм и в капиллярной вискозиметрии. Уравнение напряжения и скорости сдвига часто используют для определения степени ориентации макромолекул и последующего изменения свойств изделий. Построив эпюры напряжений и скорости сдвига, можно предсказать характер образования кристаллических структур и изменение формы их по толщине экструзионного профиля или литьевого изделия в зависимости от степени ориентации макромолекул.

Если в уравнение (85) подставить n=1, то получаем скорость сдвига для потока ньютоновской жидкости:

(86)

ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ АНОМАЛЬНО ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ МЕЖДУ ВРАЩАЮЩИМИСЯ ЦИЛИНДРАМИ

Рассмотрим движение расплава, вызванное вращением внутреннего цилиндра вокруг своей оси с угловой скоростью щ, когда перепад давления по оси z отсутствует. Для вывода уравнений течения принимаем те же допущения, что были приняты при решении задачи для течения в цилиндрическом канале.

Схема течения показана на рисунке 48.

Канал образуется внутренним цилиндром с радиусом R₁ и внешним цилиндром с радиусом R₂.

Поскольку осевое течение отсутствует, члены уравнений ****, содержащие ф_rz будут равны нулю, а действующим будет напряжение ф_rи, возникающее на концентрических поверхностях, перпендикулярных к радиусу.

Проекция на направление r:

(87)

Проекция на направление и:

(88)

Проекция на направление z:

(89)

Так как перепады давления отсутствуют, то соответственно имеем:

(90)

Проанализировав уравнения движения, получаем:

(91)

После интегрирования этого выражения имеем:

(92)

Рисунок 48 - Схема течения расплава между вращающимися цилиндрами

Реологическое уравнение для данного случая течения с учетом уравнений (19), (23) и (2.22) имеет вид:

(93)

Подставив это выражение в уравнение (92) имеем:

(94)

К) г 56

Разделив оба члена уравнения на r и проинтегрировав, получаем:

(95)

Заменив выражение новой постоянной:

(96)

После подстановки ее в (95), имеем:

(97)

Постоянные интегрирования находим из условий:

при ,;,

Подставив эти значения в уравнение (97), получаем:

(98)

(99)

Решив совместно эту систему уравнений, находим:

(100)

(101)

Подставив вместо С₂ и С₃ их значения в уравнение (97), получаем уравнение профиля скорости:

(102)

Для определения скорости сдвига воспользуемся уравнением (94) и равенством:

(103)

Тогда скорость сдвига будет равна:

(104)

Подставив в это выражение значение из уравнения (96), а вместо С₂ из (100), имеем:

(105)



Скорость сдвига на внутреннем цилиндре определяем из уравнения (105) при r = R:

(106)

На поверхности внешнего цилиндра при r = R₂:

(107)

Напряжение сдвига на поверхности канала можно определить, используя равенство:

(108)

, (109)

где М_кр - крутящий момент, возникающий при вращении цилиндра;

l - длина цилиндра.

Полученные уравнения используются для обработки данных ротационной вискозиметрии, а если при решении учесть наличие dp/dz = const, то для расчета формующих головок экструдеров, если мундштук или дорн вращаются. Подобные решения можно получить также для других случаев течения, принимая соответствующие граничные условия.



Литература

а) Основная литература:

1. Шевченко, А.А. Физико - химия и механика композиционных материалов / А. А. Шевченко. - СПб.: Профессия, 2010. - 224 с.

2. Полимерные композиционные материалы. Структура. Свойства. Технологии / М.Л. Кербер. - СПб.: Профессия, 2008. - 560 с.

3. Лебедева, Т.М. Экструзия полимерных пленок и листов: библиотечка переработчика пластмасс / Т.М. Лебедева. - СПб.: Профессия, 2009. - 216 с.

4. Зелке, С. Пластиковая упаковка : [пер. с англ.] / С. Зелке, Д. Кутлер, Р. Хернандес ; под ред. А.Л. Загорского, П.А. Дмитрикова. - СПб.: Профессия, 2011. - 560 с.

5. Йоханнабер, Ф. Литьевые машины / Ф. Йоханнабер. - СПб.: Профессия, 2010.- 427 с.

6. Росато, Д.В. Раздувное формование / Д.В. Росато. - СПБ.: Профессия, 2008. - 649 с.

7. Ложечко, Ю.П. Литье под давлением термопластов/ Ю.П. Ложечко. - СПб.: Профессия, 2010. - 219 с.

б) Дополнительная литература:

1. Шварц, О. Переработка пластмасс / О. Шварц, Ф.-В. Эбелинг, Б. Фурт . - СПб.: Профессия, 2008. - 315 с.

2. Шерышев, М.А. Пневмо-вакуумформование: библиотечка переработчика пластмасс / М.А. Шерышев. - СПб.: Профессия, 2010. - 192 с.

3. Журнал "Полимерные материалы" (2004-2014)

б) Вспомогательная литература:

1. Основы технологии переработки пластмасс / под ред. В.Н. Кулезнева и В. К. Гусева. - М.: Мир, 2006. - 600 с.

2. Литье пластмасс под давлением / Дж. Бемон, Дж. Боцелли и др., под ред. Т. Оссвальда и др., СПб. : Профессия, 2008. - 707 с.

3. Володин, В.П. Экструзия профильных изделий из термопластов / В.П. Володин. - СПб.: Профессия, 2005. - 480 с.

4. Производство изделий из полимерных материалов / В.К. Крыжановский. - СПб.: Профессия, 2004. - 460 с.

5. Основы технологии переработки пластмасс: учебник для вузов / С.В. Власов, Л.Б. Кандырин, В.Н. Кулезнев. - М.: Мир, 2006. - 600 с.

6. Раувендааль, К. Экструзия полимеров : [пер. с англ.] / К. Раувендааль ; под ред. А.Я. Малкина. - СПб.: Профессия, 2006. - 762 с.

7. Бортников, В.Г. Производство изделий из пластических масс. В 3 т. Т. 1. Теоретические основы проектирования изделий, дизайн и расчет на прочность / В.Г. Бортников. - Казань.: Дом печати, 2001. - 246 с.

Размещено на Allbest.ru