Уравнения Навье-Стокса для движения вязкой несжимаемой жидкости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Казанский национальный исследовательский технологический университет

Казанский межвузовский инженерный центр «Новые технологии»

(ФГБОУ ВПО «КНИТУ»)

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине: Гидрогазодинамика

на тему: «Уравнения Навье-Стокса для движения вязкой несжимаемой жидкости».

2013

Содержание

Введение

1. Историческая справка

2. Вязкость

3. Несжимаемая жидкость

4. Уравнения Навье -- Стокса

5. Несжимаемые течения

Заключение

Список использованной литературы

Введение

В конце XIX столетия наука о движении жидкости распалась на два ветви, почти не связанные между собой. С одной стороны, достигла большого совершенства теоретическая гидродинамика, исходившая из уравнений, составленных Эйлером для движения жидкости без трения.

Однако результаты этой так называемой классической гидродинамики во многом резко противоречили опыту. Особенно резкое противоречие получалось в весьма важных вопросах о потере давления в трубах и каналах и о сопротивлении, которое оказывает жидкость движущемуся в ней телу. Поэтому классическая гидродинамика имела для практики лишь небольшое значение, что побудило инженеров создать свою собственную науку о движении жидкости, так называемую гидравлику. Эта наука, принявшая резко выраженный эмпирический характер, опиралась на большое число экспериментальных результатов и очень сильно отличалась от теоретической гидродинамики как своими методами, так и своей целью.

В начале ХХ столетия Л. Прандтль нашел путь, позволивший вновь соединить в одно целое указанные выше далеко отошедшие друг от друга ветви науки о движении жидкости. Кроме того, связав теорию с практикой, Л. Прандтль положил начало направлению, дальнейшее развитие которого в современной гидродинамике привело на протяжении первой половины ХХ столетия к неожиданным успехам. В этом состоит большая заслуга Л. Прандтля. Правда, уже давно было известно, что резкое расхождение между результатами классической гидродинамики и действительностью возникало в очень многих случаях вследствие пренебрежения в теоретических исследованиях трением жидкости.

Тогда же были составлены уравнения движения жидкости с учетом трения (так называемые уравнения Навье -- Стокса). Однако эти уравнения вследствие больших математических трудностей не удалось применить к теоретическому исследованию движений жидкости с трением (за исключением немногих частных случаев). Между тем для воды и воздуха, т. е. для жидкостей, особенно важных в технике, коэффициент вязкости весьма мал, и, следовательно, силы трения, обусловленные вязкостью, получаются в целом очень небольшими по сравнению с остальными силами (силою тяжести и силами давления); поэтому в течение долгого времени не удавалось понять, каким образом малые силы трения, которые в классической теории считалось возможным отбрасывать, оказывали тем не менее решающее влияние на процесс движения.

1. Историческая справка

Навье Луи Мари Анри - французский ученый в области математики и механики, один из основоположников теории упругости, член Парижской АН (с 1824). Родился в Дижоне. Окончил в Париже Политехническую школу (1804) и Школу мостов и дорог (1806). С 1819 работал в Школе мостов и дорог, с 1831--в Политехнической школе.

· Издал сочинение своего дяди инженера Готэ «Трактат о построении мостов» (т. 1--3, 1809, 1813, 1816), который снабдил многими дополнениями и примечаниями. Дал здесь полную теорию изгиба призматического бруса (с существенной ошибкой в вопросе о положении нейтральной линии). Ошибка была им исправлена в 1826.

· Переиздал работы Б. Ф. Белидора «Наука инженерного дела» (1813) и «Гидравлическая архитектура» (1819), снабдив их примечаниями и дополнениями, среди которых первое решение задачи о расчете маховика.

· В 1820 опубликовал мемуар об изгибе пластинок, в 1821-- работу, в которой сформулировал основные уравнения математической теории упругости.

· Вывел дифференциальные уравнения с частными производными движения вязкой жидкости и нашел их частное решение с помощью метода Фурье.

· Сформулировал уравнения, получившие название уравнений Навье--Стокса.

· Дал метод расчета висячих мостов.

· На основании исследований в области теории машин (1814--1818) создал концепцию количества действия (работа по Г. Г. Кориолису).

· Опубликовал (1826) первый курс сопротивления материалов.

· Занимался также практическим мостостроением.

Стокс Джордж Габриель (1819-1903), английский физик и математик. Родился 13 августа 1819 в Скрине (Ирландия). В 1841 окончил Кембриджский университет, с 1849 - профессор математики этого университета. Работы Стокса относятся к области гидродинамики, оптики, спектроскопии, математической физики.

· В 1845 он разработал теорию вязкости жидкостей, математическую теорию движения вязких жидкостей (уравнение Навье - Стокса).

· Вывел формулу (1851) для силы сопротивления, действующей на твердый шар малого размера при его движении в бесконечно вязкой среде (закон Стокса).

· В 1849 опубликовал несколько работ по оптике: исследовал кольца Ньютона, аберрацию, дифракцию, интерференцию и поляризацию света.

· В 1852 установил, что длина волны фотолюминесценции всегда больше длины волны возбуждающего света (правило Стокса).

· Показал, что при отражении света происходит сдвиг фазы на половину длины волны.

· Стокс внес значительный вклад в математику: он исследовал сходимость бесконечных рядов, вывел одну из важнейших формул векторного анализа, которая теперь носит его имя.

· С 1885 по 1890 был президентом Лондонского королевского общества.

2. Вязкость

Рисунок 1 Распределение скоростей в потоке вязкой жидкости между двумя параллельными плоскими стенками (течение Куэтта)

Сущность вязкости жидкости можно проще всего уяснить путем следующего опыта. Рассмотрим течение между двумя очень длинными параллельными плоскими пластинами, из которых одна, например нижняя, неподвижна, в то время как другая движется в собственной плоскости с постоянной скоростью U (рисунок 1). Обозначим расстояние между пластинами через h и предположим, что давление во всем пространстве, занимаемом жидкостью, постоянно. Опыт показывает, что жидкость прилипает к обеим пластинам, следовательно, непосредственно около нижней пластины скорость жидкости равна нулю, а непосредственно около верхней пластины она совпадает со скоростью U верхней пластины. Далее, опыт показывает, что в пространстве между пластинами имеет место линейное распределение скоростей, т. е. скорость течения пропорциональна расстоянию у от нижней пластины и выражается формулой:

Для того чтобы существовало такое состояние движения, к жидкости со стороны верхней пластины должна быть приложена касательная сила в направлении движения, уравновешивающая силы трения жидкости. На основании результатов опыта эта сила (отнесенная к единице площади пластины) пропорциональна скорости U верхней пластины и обратно пропорциональна расстоянию h между пластинами. Следовательно, сила трения ф, отнесенная к единице площади, т. е. касательное напряжение, пропорциональна отношению U/h, вместо которого в общем случае можно взять отношение du/dy. Множитель пропорциональности между ф и du/dy, который мы обозначим через м, зависит от природы жидкости. Он мал для так называемых маловязких жидкостей, например для воды и спирта, и, напротив, велик для очень вязких жидкостей, например для масла и глицерина.

Таким образом, мы имеем элементарный закон трения жидкости в следующем виде:

Величина м представляет собой физическую характеристику жидкости, сильно зависящую от температуры и называемую динамическим коэффициентом вязкости или просто вязкостью жидкости.

Закон трения, выражаемый этим равенством, называют законом трения Ньютона. Так же это равенство можно рассматривать как определение коэффициента вязкости.

Необходимо, однако, подчеркнуть, что рассмотренное нами движение представляет собой весьма простой частный случай. Течение, изображенное на рисунке 1, называется также движением чистого сдвига. Обобщением закона трения Ньютона является закон трения Стокса.

3. Несжимаемая жидкость

Это модель среды, плотность которой остаётся неизменной при изменении давления и является её физической характеристикой.

Для несжимаемой жидкости. скорость распространения малых возмущений (скорость звука) равна бесконечности, поэтому любое возмущение, вносимое в какую-либо точку потока, мгновенно передаётся всему полю течения.

В реальных жидкостях и газах скорость звука имеет конечное значение.

В стационарном потоке достаточным условием для применения модели несжимаемой жидкости является условие малости скорости движения по сравнению со скоростью звука. В нестационарном потоке, кроме этого, необходимо, чтобы время, в течение которого звук, сигнал пройдёт расстояние, равное характерному линейному размеру, было много меньше времени, в течение которого заметно изменяется движение среды.

Поле течения идеальной несжимаемой жидкости определяется неразрывности уравнением и Эйлера уравнениями; энергии уравнение выпадает из рассмотрения из-за постоянства удельной внутренней энергии среды. Для вязкой несжимаемой жидкости обычно предполагается постоянство коэффициента переноса; это позволяет сначала проинтегрировать совмещенное уравнение неразрывности и количества движения уравнение, а затем для найденных полей скоростей и давлений -- уравнение притока теплоты, определяющее поле температуры.

Однако для некоторых несжимаемых жидкостей зависимость коэффициента переноса от температуры является очень сильной, поэтому при исследовании их движения эту систему уравнений необходимо решать совместно.

4. Уравнения Навье -- Стокса

Уравнение движения, в котором можно выделить из нормальных напряжений давление --р, которое не зависит от вязкости примет вид:

Применим теперь закон трения Стокса и выразим составляющие результирующей поверхностной силы р, входящие в правые части уравнений, в виде функций от составляющих u, v, w скорости смещения . Для составляющей силы P в направлении х мы получим следующее выражение:

Аналогичные выражения мы получим и для составляющих Ру и Pz. Коэффициент вязкости м в общем случае движения сжимаемой жидкости следует рассматривать как функцию точки. В самом деле, в сжимаемой жидкости изменения скорости и давления связаны со значительными изменениями температуры, возникающими в результате изменения объема и выделения тепла вследствие трения; коэффициент же вязкости сильно зависит от температуры. Закон изменения вязкости от температуры, т. е. функция м=м (T), определяется путем эксперимента.

Подставив выражения составляющих Рх, Ру, Рz в основные уравнения мы получим:

Эти дифференциальные уравнения составляют основу всей механики жидкости и газа и называются уравнениями Навъе -- Сшокса. К этим уравнениям следует присоединить еще уравнение неразрывности, которое в раскрытой форме имеет для течений сжимаемой жидкости следующий вид:

уравнение навье стокс жидкость

Однако для исследования сжимаемых течений уравнений Навье -- Стокса и уравнения неразрывности недостаточно. В самом деле, изменения давления и плотности, происходящие в сжимаемых течениях, влекут за собой изменения температуры, что приводит к необходимости ввести в рассмотрение некоторые термодинамические соотношения. Первым таким соотношением является уравнение состояния, связывающее между собой давление, плотность и температуру. Для идеального газа уравнение состояния имеет вид:

где R есть газовая постоянная,

Т -- абсолютная температура.

Далее, если изменение состояния протекает не изотермически, то необходимо использовать еще одно термодинамическое соотношение -- уравнение энергии, которое выражает баланс теплоты и механической энергии (первое начало термодинамики) и представляет собой дифференциальное уравнение для распределения температуры.

Наконец, последнее необходимое соотношение дает эмпирическая связь м (Т) между коэффициентом вязкости м и температурой Т (зависимостью вязкости от давления обычно пренебрегают).

Таким образом, если массовые силы X, Y, Z рассматривать как заданные, то мы имеем семь уравнений для определения семи величин u, v, w, р, с, Т, м.

В случае изотермического изменения состояния вместо семи уравнений остаются только пять уравнений для определения пяти неизвестных величин u, v, w, p, с.

5. Несжимаемые течения

Для несжимаемых течений (с = const) перечисленная выше система уравнений значительно упрощается даже в случае непостоянной температуры внутри жидкости. В самом деле, прежде всего уравнение неразрывности получает более простой вид:

Далее, поскольку в несжимаемых течениях разности температур в общем случае малы, коэффициент вязкости можно рассматривать как постоянную величину и поэтому уравнение состояния и уравнение энергии становятся ненужными для расчета поля течения.

Следовательно, этот расчет может производиться независимо от термодинамических уравнений. В результате уравнения движения и уравнение неразрывности упрощаются и, если члены, содержащие ускорение, выписать в раскрытом виде, принимают вид:

Таким образом, если массовые силы рассматривать как заданные, то остаются четыре неизвестные величины u, v, w, р, и для их определения имеется четыре уравнения.

Уравнения Навье -- Стокса для несжимаемой жидкости могут быть объединены в одно векторное уравнение:

Где есть оператор Лапласа.

От уравнений Эйлера для движения жидкости без трения уравнения Навье -- Стокса отличаются присутствием в них члена м? , учитывающего вязкость.

Для полной физической определенности решений системы уравнений Навье -- Стокса должны быть заданы граничные и начальные условия.

В вязкой жидкости имеет место прилипание частиц жидкости к ограничивающим стенкам, т. е. на стенках исчезают как нормальная, так и касательная составляющие скорости, следовательно, граничными условиями будут:

Заключение

Уравнения Навье -- Стокса нуждаются в проверке, которая возможна только путем эксперимента. Правда, необходимо иметь в виду, что до настоящего времени вследствие больших математических трудностей не получено ни одного общего решения уравнений Навье -- Стокса в их полном виде, т. е. с сохранением всех конвективных членов и всех членов, учитывающих вязкость.

Однако известны некоторые частные решения, например, для ламинарного течения в трубе или для течений в пограничном слое, и эти частные решения столь хорошо совпадают с экспериментальными результатами, что вряд ли можно сомневаться в общей применимости уравнений Навье -- Стокса.

Список использованной литературы

1. Теория пограничного слоя. Шлихтинг Г., перев. с немецкого, Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», Москва, 1974. 1-ая часть 218стр.

2. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ М: Издательство "Мир", 1981. 408 с.

3. Повх И.Л. Техническая гидромеханика. Л.: Машиностроение, 1976. 502 с.

4. Н. А. Эрдеди, А. А. Эрдеди «Теоретическая механика, сопротивление материалов». М.: Высшая школа, 2002.

5. Харитонов В.П.Фундаментальные уравнения механики жидкости и газа. Электронное учебное издание. М.:МГТУ имени Н.Э.Баумана, 2012. 65 с.

Размещено на Allbest.ru