Механизм Хиггса. Бозонные теории

Размещено на http://www.allbest.ru/

Механизм Хиггса. Это механизм возникновения массы у калибровочного поля вследствие спонтанного нарушения локальной симметрии. При спонтанном нарушении локальной симметрии безмассовые голдстоуновские бозоны появляются в калибровочно инвариантном секторе, а безмассовое калибровочное поле становится массивным. Рассмотрим модель обладающую абелеву калибровочной U(1)- симметрией. Лагранжиан выбирем в виде

(1)

где - комплексное скалярное поле, - инвариантная производная, - вектор-потенциал абелева калибровочного поля, которые должны создавать через хиггсовский механизм массу

, .

Мы сразу выбрали отрицательный квадрат массы в потенциале скалярного поля

.

Лагранжиан (1) инвариантен относительно калибровочных преобразований

,

где - произвольная действительная функция.

Для нахождения основного состояния выпишем функционал энергии для полей :

. (2)

Основное состояние - это конфигурация полей , минимизирующая энергию. Видно, что имеется функционалный произвол в выборе основного состояния: энергия калибровочно инвариантна, поэтому если - это основное состояние, то

это тоже основное состояние при любой функции .

Первые два слагаемых под интегралом (2) минимальны (равны нулю), когда электрическое и магнитное поля равны нулю, то есть представляет собой чистую калибровку,

. (3)

Третье и четвертое слагаемые минимальны (равны нулю) при

то есть

, (4)

где не зависит от х (множитель введен для удобства). Константата определяется из минимизации потенциала и равна

(5)

Таким образом, все возможные основные состояния определяются формулами (3), (4), (5); как уже отмечалось, необходимо выбрать из них. Выберем , так что вакуумная конфигурация имеет вид

, . (6)

Рассмотрим теперь возбуждения относительно лсновного состояния. Возбуждения поля описываются самим вектор-потенциалом, а возбуждения скалярного поля - двумя действительными полями и , такими, что

(7)

В аналогичной модели с глобальной U(1)-симметрией поле было безмассовым намбу-голдстоуновским полем, а было массивно.

Найдем спектр малых (линейных) волн над основным состоянием (6). Для этого вычислим лагранжиан в терминах , и в квадратичном приближении по этим полям. Воспользуемся тем, что квадратичном порядке

с точностью до несущественной аддитивной постоянной, а также

С точностью до квадратичных слагаемых по полям , и . Таким образом, квадратичный ланранжиан иммет вид

( изначально квадратично по ). Расписывая квадрат модуля, получим

(8)

Последнее слагаемое в (8) содержит, помимо выражений и , перекрестный член . Чтобы привести квадратичный лагранжиан к каноническому виду (сумме лагранжианов отдельных полей ), произведем замену полевых переменных: вместо полей , введем поля

и . Тогда квадратичный лагранжиан будет иметь вид

, (9)

где .

Лагранжиан (9) представляет собой сумму лагранжиана массивного векторного поля с массой

и лагранжиана массивного скалярного поля с массой

.

Поле вообще не входит в лагранжиан; оно не должно удовлетворять никаким уравнением поля, то есть произвольная функция координат является экстремумом действия по .

Наиболее интересным в лагранжиане (9) является появление массы у векторного поля и исчезновение поля . Поле было бы намбу-голдстоуновским полем, если бы симметрия ?была глобальной, а не калибровочной. Образно говоря, векторное поле «съело» намбу-голдстоуновское поле и приобрело массу. В этом и состоит суть механизма Хиггса. Подчеркнем, что массивное векторное поле появилось в теории с калибровочно инвариантным лагранжианом. хиггс бозон кварк глюон

Помимо векторного поля в спектре возбуждений присуствует скалярное поле . Мы увидим, что оно всегда возникает в моделях, где векторные бозоны приобретает массу посредством механизма Хиггса; это скалярное поле называют хиггсовским полем, в соответствующую частицу - хиггсовским бозоном (термин «хиггсовское поле» применяют и ко всему скалярному полю , вакуумное значение которого нетривиально).

О массе Н-бозонов. В отличие от масс W- и Z-бозонов массы Н-бозонов не фиксируются углом Вайнберга и являются свободным параметром модели. Масса Н-бозонов определяется потенциалом

Где ,

Учитывая , что , запишем:

,

откуда для массы Н-бозона имеем

Рис 1.

.

До сих пор ничего не говорилось о величине безразмерной константы . Чем она меньше, тем легче Н-бозоны. Однако очень малой величина быть не может. Дело в том, что характеризует нелинейное взаимодействие поля , а очень слабым жто взаймодействие быть не может хотя бы из-ща того, что между Н-бозонами должно существовать взаимодействие за счет обмена парами Z-бозонов и W-бозонов (рис.1.А). Так что даже если затравочная константа мала, эффиктивная величина (с учетом квантовых поправок) будет не меньше величины порядка , то есть . И, таким образом, .

Если говорить более подробно, то аргументация основывается на графиках не только рис.1.А, но и Б,В и более сложных графиках, содержащих большее число хиггсовских «усов». Можно показать что сумма этих графиков дает эффективный потенциал

Здесь

Параметры и являются перенормировочными константами и должны быть выбраны таким образом, чтобы имело минимум при

. ().

Условие устанавливает связь между и :

.

При выражение имеет также минимум при . Если потребовать, чтобы этот минимум был нестабильным, а стабильным был минимум при , то необходимо, чтобы , откуда следует

или

.

Теперь, какое ограничение это неравенство налагает на массу Н-бозона:

Таким образом,

,

или

.

(это число отвечает .)

Если бы в модели с одним хиггсовским дублетом это неравенство нарушилось, то наш физический вакуум (при ) был бы нестабилен и должен был бы рано или поздно спонтанно взорваться, переходя в стабильный вакуум с .

Взаимодействие Н-бозонов с тяжелыми кварками

Рис. 2

Сейчас уже известны два тяжелых кварка - с (m_с?1,25 ГэВ) и b-кварк (масса - 4,5 ГэВ). Тяжелые кварки образуют связанные состояния - кварконий. В распадах кварконий должна быть монохроматическая фотонная линия, отвечающая распаду , если только разрешен по энергии.

Н-бозон с массой , меньшей массы ?-мезона, мог бы возникать при распаде ?-мезона или более тяжелых мезонов, состоящих из более тяжелых кварков. Ведь чем тяжелее кварк, тем сильнее он взаимодействует с Н-бозоном. Сравним между собой вероятности распадов

(рис.2.А) и (рис.2.В).

Нетрудно показать, что

При , что вполне доступно детектированню. Основными распадами Н-бозона, если его масса лежит в интервале 7-9 ГэВ, должны быть распады и . Последний распад подразумевает образование пары очарованных частиц: , , и т.д. если учесть цветовой фактор 3, то

.

В свою очередь

,

где

.

Взаимодействие Н-бозонов с глюонами

Прямое взаимодействие Н-бозонов с глюонами отсуствует, поскольку масса последних равна нулю. Однако такое взаимодействие должно возникнуть за счет кварковых петель (рис.3). Амплитуда распада равна

где , i=1, 2, a=1, 2, …,8,

а - главное логарифмическое приближение,

- характерный импульс кварков в адроне,

k₁ и k₂ - 4-импульсы двух глюонов,

В₁ и В₂ - их волновые функции ( выражение для приведено здесь в иизшемнеисчезающем порядке по . В общем случае напряженность глюонного поля - нелинейная функция .),

- волновая функция Н-бозона,

- бегущая хромодинамическая постоянная тонкой структуры связи сильного взаимодействия (амплитуда распада определяется значением при ),

- цветовой заряд, является логарифмической функцией переданого импульса,

- число различных сортов (ароматов) тяжелых кварков.

Тяжелыми называем здесь кварки, масса которых удовлетворяет неравенству , где - масса Н-бозона. Очень интересно, что вклады тяжелых кварков не зависят от масс этих кварков. Таким образом, даже сравнительно легкий Н-бозон является своеобразным счетчиком числа тяжелых кварков (даже таких тяжелых, которые не могут быть рождены на будущих ускорителях). Если достаточно велико, то распады адроны - становятся доминирующими. Легко получить, что

И, следовательно,

Заметим, что распад Н-бозона на два глюона через петли легких кварков подавлен допольнительным множителем порядка .

Рис. 3

Приведенную выше амплитуду легко получить, исходя из выражения для вклада кварковой петли (рис-4) в перенормировку цветого заряда. Упомянутый вклад равен

,

где - константа ультрафиолетового обрезания, а - масса кварка. Амплитуды превращения произвольного числа Н-бозонов в два глюона найдем отсюда, сделав замену

(эта замена учитывает хиггсово происхождение массы кварка; мы предполагаем, что ). Разлагая логарифм и ограничиваясь членом, линейным по , получаем для амплитуд :

.

Литература

1. Рубаков В.А. Классические калибровочные поля: Бозонные теории; Учебное пособие. Изд 2-е, испр. и доп.,-М.: КомКнига,2005.-296с.

2. http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4464.html

3. Л.В.Окунь «Лептоны и кварки» изд.ІІ. М.: «Наука» 1990-346с.

4. Хиггсовские частицы. Вайнштейн, Захаров, Шифман//Успехи физических наук, том 131,вып.4, 1980г.

Приложение

Приведены значения параметров Стандартной модели, использованные в расчетах

Размещено на Allbest.ru