Механика, механические колебания. Основы термодинамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Муниципальное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

Южно-Уральский профессиональный институт

Кафедра Информатика и вычислительная техника

Контрольная работа

по дисциплине: Физика

Г. Урай 2014



1. Механика

1. Поезд движется со скоростью 36 км/ч. Если выключить ток, то поезд, двигаясь равнозамедленно, остановится через 20 с. Каково ускорение поезда? На каком расстоянии до остановки надо выключить ток?

Дано:

?0 = 36 км/ч = 10 м/с

t = 20 c

? = 0

---------------------------

a -? s -?

Решение:

Уравнение зависимости пути от времени в проекции на ось х:

(1)

Уравнение зависимости скорости от времени в проекции на ось х:

(2)

Так как поезд останавливается, то конечная скорость равна нулю: ? = 0.

Поэтому (2) примет вид:

Откуда получим формулу расчета ускорения:

(3)



Подставим (3) в (1):

(4)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (3) и (4), произведем вычисления:

Ответ: a = 0,5 ; s = 100 м.

2. Тело брошено под углом к горизонту. Оказалось, что максимальная высота подъема h = s/4 (s -- дальность полета). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определить угол броска к горизонту.

Дано:

h = s/4

s

----------

? -?

Решение:

Проекции вектора начальной скорости 0 на координатные оси х и у:

(1)

(2)

Время подъема и время всего полета тела соответственно равны:

и

Максимальная высота подъема тела в равноускоренном движении по оси у:

(3)

При свободном падении тела с этой высоты прошло бы такое же время:

(4)

Подставим (1) и (4) в (3):

>

Откуда выразим время подъема тела:



(5)

Подставим (5) в (4) и найдем максимальную высоту подъема тела:

(6)

По условию задачи и с учетом (6):

(7)

Движения тела вдоль оси х - равномерное, поэтому c учетом (1) и (5):

(8)

Приравниваем правые части (7) и (8):

>

Поделим обе части на sin ?, получим:

Откуда найдем угол броска к горизонту:

Ответ: ? = 45°

3. Автомашина движется равномерно по горизонтальному пути, имеющему форму синусоиды y = a•sin , где a и ? -- некоторые постоянные. Коэффициент трения между колесами и дорогой равен k. При какой скорости движение автомашины будет происходить без скольжения?



Дано:

y = a•sin

k

---------------

? -?

Решение:

На автомашину действуют две силы: сила трения тр и центробежная сила цб, выраженные соотношением:

(1)

Силу трения и центробежную силу найдем по формулам:

(2)

(3)

Подставим (2) и (3) в (1):

Откуда выразим скорость движения автомобиля без скольжения:

(4)

Воспользуемся формулой из аналитической геометрии:



(5),

где R0 - радиус дуги окружности.

(6) (7)

Из условий экстремумов функции, находим х0:

> > > (8)

Подставим (8) в (6) и (7):

(9)

(10)

Подставим (9) и (10) в (5):

(11)

Подставим (11) в (4):



Ответ:

4. Камень, пущенный по поверхности льда со скоростью 3 м/с, прошел расстояние 20,4 м. Найти коэффициент трения камня об лед.

Дано:

?0 = 3 м/с

s = 20,4 м

? = 0

------------

? -?

Решение:

Применим закон сохранения энергии для диссипативных систем:

(1),

где ?W - изменение кинетической энергии камня:

(2)

А - работа, совершенная силой трения:

(3)

Подставим (2) и (3) в (1):

(4)

Сила трения камня о лед:



(5)

Сила реакции опоры:

(6),

где g = 9,81 - ускорение свободного падения.

Подставим (6) в (5):

(7)

Подставим (7) в (4):

Откуда выразим коэффициент трения камня об лед:

(8)

Проверка размерности:



Подставляя числовые значения величин в (8) произведем вычисление:

Ответ: ? ? 0,0225

5. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью ? = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы m = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью ?' = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии r = 30 см от оси вращения.

Дано:

? = 6,0 рад/с = 6,0 с-1

m = 0,50 кг

?' = 50 см/с = 0,5 м/с

r = 30 см = 0,3 м

---------------------------

F -?

Решение:

На тело действует центробежная сила, сила Кориолиса и сила тяжести:

(1)

(2)

(3),



где g = 9,81 - ускорение свободного падения.

Так как вектора этих сил ортогональны (рисунок), то сила, действующая со стороны диска на тело, равна:

(4)

Подставим (1), (2) и (3) в (4):

(5)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (5) произведем вычисление:

Ответ: F ? 7,9 Н

2. Механические колебания и волны

6. Определить период малых колебаний математического маятника - шарика, подвешенного на нити длины l = 20 см, если он находится в жидкости, плотность которой в ? = 3,0 раза меньше плотности шарика. Сопротивление жидкости считать пренебрежимо малым.



Дано:

l = 20 см = 0,2 м

? = = 3,0

-------------

Т -?

Решение:

На шарик, колеблющийся в жидкости, действует сила тяжести m, сила Архимеда A и сила упругости нити y (рис.). Шарик вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса маятника. Движение маятника описывается уравнением:

(1),

где I - момент инерции маятника, ? - угловое ускорение.

Поскольку линия действия силы упругости проходит через ось вращения, то ее момент относительно этой оси равен нулю. Момент силы тяжести будет равен M1 = m•g•l•sin?, момент силы Архимеда: М2 = FA•l•sin? (здесь l - длина нити). Моменты силы тяжести и силы Архимеда раскручивают шарик в противоположные стороны, поэтому в уравнение движения (1) они войдут с противоположными знаками. Момент инерции шарика относительно оси вращения будет равен m•l2.

С учетом всего сказанного уравнение движения шарика (1) запишется в виде:



(2)

Сила Архимеда: FA = ?ж•g•V, где ?ж - плотность жидкости, V - объем шарика.

Масса шарика равна m = ?•V, где ? - плотность материала шарика.

Подставим эти данные в (2) и учтем, что для малых углов sin? ? ?, тогда:

> (3)

Уравнение (3) - типичное уравнение колебательного процесса с частотой ?0:

(4)

С учетом (4) период колебаний шарика равен:

(5)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (5) произведем вычисление:

Ответ: Т ? 1,1 с

7. К невесомой пружине подвесили грузик, в результате чего она растянулась на ?x = 9,8 см. С каким периодом будет колебаться грузик, если ему дать небольшой толчок в вертикальном направлении? Логарифмический декремент затухания ? = 3,1.

Дано:

?x = 9,8 см = 9,8•10-2 м

? = 3,1

-----------------------------

Т -?

Решение:

На растянутую пружину действуют две равные по модулю и противоположные по направлению силы: сила тяжести и сила упругости.

Сила тяжести м сила упругости соответственно равны:

(1) (2)

Приравниваем правые части (1) и (2):

Откуда выразим жесткость пружины:

(3)

Циклическая частота собственных колебаний пружинного маятника без затухания:



(4)

Подставим (3) в (4):

(5)

Логарифмический декремент затухания:

(6)

Период затухающих колебаний:

(7)

Исключая из соотношений (6) и (7) неизвестный коэффициент ?, найдем период:

Подставляя числовые значения величин в (8) произведем вычисление:

Ответ: Т = 0,7 с

8. На пути плоской звуковой волны, распространяющейся в воздухе, находится шар радиуса R = 50 см. Длина звуковой волны ? = 20 см, частота ? = 1700 Гц, амплитуда колебаний давления в воздухе ?pm = 3,5 Па. Найти средний за период колебания поток энергии, падающей на поверхность шара.

Дано:

R = 50 см = 0,5 м

? = 20 см = 0,2 м

? = 1700 Гц

?pm = 3,5 Па

--------------------------

Ф -?

Решение:

Интенсивность звуковой волны:

(1),

где ? = 1,293 - плотность воздуха;

? - скорость звуковой волны:

(2)

Подставим (2) в (1):

(3)

Средний за период колебания поток энергии, падающей на поверхность шара:

(4),



где S - площадь поверхности шара:

(5)

Подставим (3) и (5) в (4):

(6)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (6) произведем вычисление:

Ответ: Ф ? 43,7 мВт

3. Молекулярная физика и термодинамика

9. В сосуде находится смесь m1 = 7,0 г азота и m2 = 11 г углекислого газа при температуре Т = 290 К и давлении р0 = 1,0 атм. Найти плотность этой смеси, считая газы идеальными.

Дано:

N2; CO2

m1 = 7,0 г = 7•10-3 кг

m2 = 11 г = 11•10-3 кг

Т = 290 К

р0 = 1,0 атм = 1,01•105 Па

---------------------------------

? -?

Решение:

Масса смеси газов равно сумме масс газов:

(1)

Учтем (1) и найдем плотность смеси газов через ее массу и объем:

(2)

скорость механический колебание термодинамика

Количество вещества смеси газов равно сумме количества вещества азота и углекислого газа:

(3),

где ?1 - количество вещества азота:

(4)

?1 = 28•10-3 кг/моль - молярная масса азота;

(5)

?2 = 44•10-3 кг/моль - молярная масса углекислого газа.

Подставим (4) и (5) в (3):

(6)



Согласно уравнению состояния идеального газа (уравнению Менделеева - Клапейрона) запишем для смеси газов:

Откуда выразим объем сосуда (значит, и смеси газов), учитывая (1):

(7),

где R = 8,31 - универсальная газовая постоянная.

Подставим (6) в (7):

(8)

Подставим (8) в (2):

(9)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (9) произведем вычисление:

Ответ: ? ? 1,5

10. Какому давлению необходимо подвергнуть углекислый газ при температуре Т = 300 К, чтобы его плотность оказалась равной ? = 500 г/л? Расчет провести как для идеального газа, так и для ван-дер-ваальсовского.

Дано:

СО2

Т = 300 К

? = 500 г/л = 500 кг/м3

------------------------------

р -?

Решение:

а) Рассматриваем углекислый газ как идеальный и воспользуемся уравнением состояния идеального газа (уравнением Менделеева - Клапейрона):

Откуда выразим давление газа:

(1),

где ? = 44•10-3 - молярная масса углекислого газа;

R = 8,31 - молярная газовая постоянная;

m - масса газа:

(2)

Подставим (2) в (1):



(3)

б) Рассматриваем углекислый газ как реальный и воспользуемся уравнением Ван-дер-Ваальса для любой массы газа:

> (4)

Подставим (2) в (4):

(5),

где а = 0,361 ; b = 4,28•10-5 - постоянные Ван-дер-Ваальса для СО2.

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (3) и (5) произведем вычисление:

Ответ: р ? 2,83•107 Па; р ? 8,54•106 Па

11. Вычислить удельные теплоемкости сv и cp для газовой смеси, состоящей из 7,0 г азота и 20 г аргона. Газы считать идеальными

Дано:

N2; Ar

m1 = 7,0 г = 7•10-3 кг

m2 = 20 г = 20•10-3 кг

--------------------------

cv -? cp -?

Решение:

а) Удельная теплоемкость газов при постоянном объеме:

(1) и (2),

где i1 = 5 и i2 = 3 - число степеней свободы молекул азота и аргона соответственно; ?1 = 28•10-3 и ?2 = 40•10-3 - молярная масса азота и аргона соответственно; R = 8,31 - молярная газовая постоянная.

Удельную теплоемкость смеси газов при постоянном объеме сv найдем из следующих рассуждений. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на T, выразим двумя соотношениями:

(3)

где сv = удельная теплоемкость смеси;

m1 - масса азота; m2 - масса аргона.

(4),



где сv1 и сv2 - удельные теплоемкости при постоянном объеме азота и аргона соответственно.

Приравняв правые части (3) и (4) и разделив обе части полученного равенства на T, найдем:

Откуда выразим удельную теплоемкость смеси газов:

(5)

Подставим (1) и (2) в (5):

(6)

б) Удельная теплоемкость смеси газов при постоянном давлении:

(7) и (8),

Удельную теплоемкость смеси газов при постоянном давлении ср найдем из следующих рассуждений. Теплоту, необходимую для нагревания смеси на T, выразим двумя соотношениями:

(9)

где сp - удельная теплоемкость смеси газов при постоянном давлении;

m1 - масса азота; m2 - масса аргона.



(10),

где сp1 и сp2 - удельные теплоемкости при постоянном давлении азота и аргона соответственно.

Приравняв правые части (9) и (10) и разделив обе части полученного равенства на T, найдем:

Откуда выразим удельную теплоемкость смеси газов:

(11)

Подставим (7) и (8) в (11):

(12)

Проверка размерности:

Подставляя числовые значения величин в (6) и (12) произведем вычисление:

Ответ: cv ? 423 ; cp ? 654

Размещено на Allbest.ru