Исследование изображения динамических систем фрактальными методами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Введение

Актуальность выбранной мной темы заключается в том, что количественное описание пространственной структуры динамических систем с использованием фрактального подхода позволяет, провести анализ динамической системы. В настоящее фрактальные методы имеют место быть в геологии, медицине, энергетике, строительстве. Когда мы всматриваемся во фрактальную форму, то видим одну и ту же структуру независимо от степени увеличения. Такое подобие можно увидеть в природе, рассматривая при разном приближении горы, облака, береговые линии. Природа есть неразрывная паутина. Фрактальная геометрия - геометрия природы. Сама природа пользуется её достижениями и примеры этого можно найти повсюду: от спиралей раковины и цветков маргаритки до симметрии шестиугольных пчелиных сот. «Самоподобие» можно встретить, исследуя формы молекул или галактик. Все объекты во Вселенной взаимопроникают друг в друга. Фрактальная геометрия предопределяет формы молекул и кристаллов, которые составляют наши тела и Космос. Фактически она есть ключ к пониманию Вселенной. Фрактальная структура - это генетический код Вселенной. Широкий круг актуальных проблем современной науки и техники, включая материаловедение, связан с разработкой все усложняющихся методов получения и исследования твердых тел со сверхсложной структурой, во многом определяющей прочностные, физические и др. свойства. Задача описания связи структуры со свойствами требует привлечения нетрадиционных методов исследования и обработки информации. Традиционные количественные методы описания структур твердых тел используют статистический подход. Большинство структур, поддающихся статистическому описанию, являются неоднородными, и этой неоднородностью в большинстве случаев определяется пригодность конкретных изделий для тех или иных целей. Современные методы описания структур еще не используют в полной мере универсальное свойство самоподобия (фрактальности) стохастических структур, которое наблюдается в определенном диапазоне масштабов, причем границы этого диапазона несут важную информацию о физических свойствах. Привлечение концепции фракталов, основанной на использовании общего понятия меры, позволяет одновременно описывать универсальным образом как самоподобие вместе с его границами, так и неоднородность структур твердых тел самой различной природы, причем неоднородность даже стабильных структур может нести информацию о динамике их формирования или изменения. Структуры современных материалов с новыми необычными свойствами формируются в сильно неравновесных условиях, проходя через несколько стадий чередования устойчивых и неустойчивых (критических) состояний, и при этих переходах (бифуркациях) могут образовываться и распадаться, оставляя реликты, сильно неоднородные промежуточные фрактальные структуры. Использование концепции фракталов позволяет давать адекватную количественную оценку не только конфигурации исследуемой структуры в целом, но так же неоднородности распределения на ней геометрических, физических, химических и др. характеристик, соответственно природе изучаемой структуры, что невозможно достигнуть обычными методами. Имеющийся опыт в области численного фрактального описания изображений структур самой различной природы показывает его эффективность при анализе скрытых процессов в металлах и сплавах, т.е. таких процессов, которые нельзя наблюдать непосредственно, но при этом они существенно влияют на характеристики изучаемых систем. Еще более длительный опыт проведения испытаний на прочность, так же как экспериментальных исследований многих других свойств металлов и сплавов, показывает, что очень часто нельзя соотнести изменения структурно зависимых свойств конкретного материала с изменениями традиционных количественных характеристик его структуры. В связи с этим, возникла проблема разработки универсальной методологии проведения фрактальной параметризации фактических структур материалов, наблюдаемых в реальных экспериментах (поры, зерна, фазы и их границы, поверхности разрушения, реликтовые структуры различной природы и пр.) при помощи стандартных средств их представления - (микро)фотографий.

Усталостное разрушение является основным видом разрушения деталей машин и конструкций и составляет 70% всех случаев разрушения. Для его профилактики необходима разработка моделей усталостного разрушения, позволяющих прогнозировать повреждаемость материалов при циклическом нагружении. Модели микропроцессов разрушения на основе методов молекулярной динамики, не позволяют следить за динамикой макроскопических усталостных трещин в силу больших затрат машинного времени. Поэтому для решения основной задачи физики разрушения - установления связи микроскопических характеристик материала с его прочностными свойствами - требуются модели мезоскопического уровня, основанные на статистическом описании повреждения материала при усталостном разрушении. Это требует разработки физически обоснованного подхода к моделированию динамики макроскопических усталостных трещин, который позволил бы объяснить надежно установленные к настоящему времени эмпирические закономерности усталостного разрушения. Накопленный к настоящему времени опыт говорит, что в практическом плане данные фрактальной параметризации нужны не только для решения задач, связанных с прочностью материалов, но и для управления их свойствами, оптимизации технологических условий получения, диагностики качества изделий, прогнозирования остаточного ресурса конструкций на основе количественной оценки степени деградации структуры материала в процессе эксплуатации и т.д. Но главные перспективы фрактальной параметризации структур видятся в использовании информационных свойств фракталов в связи нарушения фрактальной симметрии с геометрической асимметрией при разработке интеллектуальных технологий синтеза и обработки материалов, включая оптимизацию процессов, сенсорное восприятие микроструктур и управление технологическими процессами на основе единого процессорного блока.

В теории фрактальных систем выполнено большое количество работ отечественными учеными. Особенно интересные работы связаны с фрактальным анализом изображений динамических систем выполненных Д В Учаевым, Д м. В. Учаевым, Малиниковым В. А, Никольским А. Е 1. Мультифрактальный математический анализ синергетических структур // Труды Международной научно-практической интернет-конференции «Перспектива и развитие». - М.: МФТИ, 2004. (соавторы Малинников В. А., Никольский А. Е., Учаев Д. В.).

2. Мультифрактальная параметризация геопространственных структур // Труды Международной научно-технической конференции, посвященной 225-летию МИИГАиК. - М.: МИИГАиК, 2004. С. 163-167 (соавторы Малинников В. А., Никольский А. Е., Учаев Д. В.).

3. Современные математические методы параметризации изображений синергетических объектов. Учебное пособие. - М.: МГГИИ, 2005. - 98 с., ил. 20. (соавтор Никольский А. Е.).

4. Мультифрактальные методы исследования речных систем // Труды 7-го международного научно-промышленного форума «Великие реки 2005». (соавторы Савиных В. П., Малинников В. А.).

5. Методика получения канонических спектров при мультифрактальном анализе цифровых изображений. Обозрение прикладной и промышленной математики, 2006, т.13, в. 3, с. 516-517. (соавторы Малинников В. А., Учаев Д. В.).

6. Мультифрактальные методы исследования речных систем // Рациональное природопользование, промышленная экология и дистанционные методы: Сб. науч. Трудов. - М.: ГУЗ, 2006. - С. 98-104..

В настоящее время широкий круг актуальных проблем географии, картографии, геоморфологии и других наук о Земле связан с анализом по данным дистанционного зондирования Земли пространственной структуры сложных природных систем. Используемые при этом методы, в большинстве своем, базируются на приближенном представлении структур геометрическими объектами с целыми размерностями (точками, линиями, поверхностями). Основным недостатком такого рода методов является то, что они характеризуют структуру на одном либо нескольких масштабных уровнях, не позволяя получить масштабно-инвариантного описания природных структур. Таким образом, все эти методы не учитывают одного из важнейших качеств систем - целостности, выражающейся в принципиальной несводимости свойств системы к сумме свойств составляющих ее элементов и невыводимости из последних свойств системы.

Преодолеть указанные трудности позволяет фрактальный подход, уже нашедший применение при описании пространственной структуры таких сложных природных систем, как ландшафты речных долин, лесные экосистемы, горные ландшафты. Количественное описание пространственной структуры природных систем с использованием фрактального подхода позволяет выделять иерархические уровни структурной организации природных систем, строить модели, воспроизводящие иерархическую структуру пространственной организации природных систем, а также формулировать гипотезы о возможных механизмах их генезиса.

Однако, несмотря на достигнутые успехи, связанные с использованием фрактального подхода для количественного описания природных структур, многочисленные исследования продемонстрировали явную ограниченность такого подхода. Причина этого кроется в том, что природные структуры являются сложными стохастическими образованиями, самоподобными в среднем только в определенном диапазоне масштабов. Как следствие, количественная параметризация на основе одной лишь величины фрактальной размерности не способна отразить такие свойства природных структур как неоднородность, пространственная упорядоченность, периодичность, организованность. Широкие возможности в этом отношении предоставляет фрактальный подход, предполагающий переход от исследования масштабно-инвариантных свойств объектов к изучению особенностей тем или иным образом сформированной по изображениям структур меры, отражающей пространственное распределение физических, геометрических, химических и других свойств объектов. фрактальный подход дает возможность ставить в соответствии изучаемой структуре не одну, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае может быть бесконечным и, тем самым, позволяет количественно оценить трудно поддающиеся количественному описанию структурные характеристики сложных природных систем.

Цель - исследовать изображения динамических систем фрактальными методами провести их оценку.

Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:

Ш Фрактальные методы анализа динамических систем

Ш Фрактальная параметризация динамических объектов и исследование изображений динамических объектов

Ш Разработка программы расчета фрактальных характеристик

Ш Методы и алгоритмы фрактальной параметризации изображений структур

Ш Разработка и анализ экспертной системы, оценки динамических систем

1. Классификация Фракталов

В основном фракталы делят на геометрические, алгебраические и стохастические.

· кривая дракона;

· кривая Коха;

· кривая Леви;

К геометрическим фракталам также относят фракталы, получаемые похожими процедурами, например:

· множество Кантора;

· треугольник Серпинского;

· коврик Серпинского;

Алгебраические фракталы

Для построения алгебраических фракталов используются итерации нелинейных отображений, задаваемых простыми алгебраическими формулами.

Все природные объекты создаются по капризу природы, в этом процессе всегда есть случайность. Фракталы, при построении которых в итеративной системе случайным образом изменяются какие-либо параметры, называются стохастическими. Эти фракталы наиболее интересны для физиков, так как находят свое отражение в физических процессах. Соотношение случайности и закономерности может быть разным.

Типичный представитель данного класса фракталов "Плазма". Для ее построения возьмем прямоугольник и для каждого его угла определим цвет. Далее находим центральную точку прямоугольника и раскрашиваем ее в цвет равный среднему арифметическому цветов по углам прямоугольника плюс некоторое случайное число. Чем больше случайное число - тем более "рваным" будет рисунок. Если мы теперь скажем, что цвет точки это высота над уровнем моря - получим вместо плазмы - горный массив. Именно на этом принципе моделируются горы в большинстве программ. С помощью алгоритма, похожего на плазму строится карта высот, к ней применяются различные фильтры, накладываем текстуру и пожалуйста фотореалистичные горы готовы.

Хаусдорфово расстояние между множествами

Хаусдорф придумал оригинальню метрику, которая пременима к множествам из Rn. Она играет важную роль в математике фракталов.

Мы будем руководствоваться интуитивно понятным определением. Так же здесь не будет приведено доказательство, что расстояние Хаусдорфа обладает всеми свойствами метрики.

Пусть Е и F - это 2 непустых компактных подмножества Rn

Пусть число r>0.

Пусть Br- замкнутый шар с центром в начале координат.

Определение: дилатация Eрадиуса r (обозначается E + r) называется векторная сумма E + Br H(F,E) = min{>0 : EF + и FE + }

Расстояние Хаусдорфа

Пример: Пусть А и В - эллипсы

Наименьшее , при котором А B + и B А + составляет 3.5, то есть H(A,B)=3.5.

2. Фрактальные характеристики

Существуют разные размерности для множеств. Привычные со школьной скамьи представления о трехмерном пространстве, двухмерной плоскости, одномерной линии и тд имеют весьма поверхностный и упрощенных взгляд на все многообразие, которое скрывает в себе термин размерность. Далее мы рассмотрим строгие алгебраические теории,филосовские и практические концепции размерности. Зачастую концепции размерности строятся через обнаружение параметров, которые относятся покрывающим множествам. Но это не единственный способ. Так же будут рассмотрены дробные размерности, практическая значимость которых была показана Мадельбротом в 1970x годах.

Размерность сильно зависит от того как ее измерять. Это означает, что кроме формул для подсчета размерности необходимо точно задать и некий операциональный набор способа измерения и интерпретации размерности. Традиционно с размерностью связывают количество независимых параметров, необходимых что бы задать положение точки в пространстве. Положение точки области плоскости, ограниченной квадратом можно задать двумя измерениями, и тогда ее размерность будет равна двум. А можно исхитриться, и представить себе эту область в виде ломаной с очень сильно прижатыми друг к другу звеньями, сложенными наподобие столярного метра, например кривой Пеано. Тогда, для задания положения точки хватит и одного измерения, и размерность будет равна единице. Далее мы постораемся привести различные размерности и способы их измерений а так же дать информацию об их практическом применении.

Фрактальная размерность d0

Выясним теперь, какой физический смысл имеют обобщенные фрактальные размерности dq для некоторых конкретных значений q. Так, при q=0 из выражения

следует, что

С другой стороны

Сопоставляя эти два равенства, мы приходим к соотношению N()~d0 Это означает, что величина d0 представляет собой обычную хаусдорфову размерность множества A. Она является наиболее грубой характеристикой мультифрактала и не несет информации, о его статистических свойствах.

Информационная размерность d1