Аналитические методы теории теплопроводности

Размещено на http://www.allbest.ru/

Аналитические методы теории теплопроводности

1. Вывод уравнения теплопроводности

,

где - вектор теплового потока, который направлен в сторону противоположную температуру.

В некотором теле выделим произвольный объем ограниченный замкнутой поверхностью , через которую осуществляется тепловое взаимодействие выделенного объема с окружающей средой - остальной части тела.

Количество тепла, подведенное к телу через поверхность по средствам теплопроводности и полученные за счет действия внутренних источников (стоков) тепла = изменению внутренней энергии выделенного объема.

,

- тепло полученное путем теплопроводности, - внутренней теплопроводности.

Сделаем два предположения:

1. Изменение размеров тела вызванное тепловым расширением много меньше размеров тела.

2. Макроскопические частицы тела неподвижны друг относительно друга.

Количество тепла поступившего через элемент площади , за время равное:

,

полное поступление тепла через поверхность

=: .

Воспользуемся формулой Остроградского-Гауса , перейдем от объемного интеграла к проекции . Для определение тепла поступившего за счет внутреннего источника введем функцию плотности тепловых источников:

.

Функция плотности тепловых источников такая функция, когда за время в выделенном поступает тепло:

.

Согласно первому закону термодинамики изменение внутренней энергии тепла

,

- интегральная теплоемкость всего тепла, - изменение температур. Изменение температуры

.

Для того чтобы телу массой сообщить тепло необходимо изменить его внутреннюю энергию или проинтегрировав по всему объему можно найти изменение внутренней энергии тела за время :

(1).

(2).

Прировняем (1) и (2) получим

(3),

учитывая, что выделенный объем был произвольным в (...) в уравнение (3) д/б =0. В место из закона Фурье получим уравнение:

(4)

- дифференциальное уравнение теплопроводности. Если предположить, что теплофизические свойства среды постоянны, т.е. среда в тепловом отношение однородно придем к такому уравнению:

(5),

где - коэффициент температуропроводности с размерностью . Аналогичный вид имеет уравнение диффузии, где вместо будет коэффициент диффузии, а вместо , концентрация. Коэффициент в отличие коэффициента теплопроводности характеризующего теплопроводящие свойства среды характеризует теплоэнерционые свойства материалов и является мерой скорости выравнивания температурного поля. Оператор Лапласа в правой части (5) характеризует скорость изменения теплового потока и является мерой кривизны изотермической поверхности в некоторой точке. Для этого чтобы найти температурное поле необходимо знать начальное распределение температуры, форму и геометрические размеры тела, а также закон теплового взаимодействия поверхности тела с окружающей средой. Тем самым приходим к постановке краевых задач для уравнения теплопроводности. В предельном случае краевой задаче является задача Коши. Рассматривается уравнение (5) в неограниченном пространстве с начальным условием

(6)

причем функции и ограничены и непрерывны во всем пространстве. В задаче Коши необходимо найти ограниченные решения уравнения (5) удовлетворяющие условию (6).

Граничные условия: при х=0, 1-го рода:

,

2-го рода:

к такому граничному условию приходят когда задан тепловой поток при

,

где - интенсивность теплового потока.

;

3-го рода:

,

т.е. задан конвективный теплообмен со средой температура которого окружающей среды. - коэффициент теплообмена.

2. Единственность решения краевых задач для уравнений параболического типа

Рассмотрим ДУ вида:

(1),

где оператор (конвективный перенос) - отвечает за кондуктивный перенос тепла. Начальные условия:

(2).

Граничные условия:

 (3)

точка . Краевая задача (1)-(3).

Th: Решение задач (1)-(3) вместе с частными производными 1-го и 2-го порядка по пространственным координатам и частных производных 1-го порядка по времени - единственно.

Д-во: Пусть , не которые решения краевой задачи (1)-(3). Рассмотрим функцию , очевидно если докажем, что , то Th будет доказана. Для доказательства воспользуемся 1-й формулой Грина:

.

Очевидно, что краевая задача (1)-(3) для функции скорости однородна:

. (4).

Для 1-й и 2-й краевых задач , интеграл по поверхности будет равен 0. для 3-й краевой задачи можно выразить . Уравнение (4) проинтегрируем по времени получим с учетом…….

Для функции :

(5)

левая часть (5) не отрицательна, а правая часть не положительна следовательно , т.к - произвольный момент времени, то функция в любой момент времени и в любой точке пространства =0. ().

3. Принцип максимума для уравнения теплопроводности

Рассмотрим не который объем , ограниченный замкнутой поверхностью и промежуток времени , , к данному условию соответствует область , для двумерной области . представляет собой некий цилиндрический объем с образующими параллельными оси времени

Для одномерной области область будет прямоугольником. Рассмотрим уравнение теплопроводности вида:

(1).

Th: Решение уравнения (1) в области достигает наибольшего (наимень-шего) значения либо на нижней границе области (при начальных условиях), либо на боковой поверхности области (в граничных условиях).

Док-во: Рассмотрим доказательство для наибольшего значения, в случае наименьшего значения можно использовать данное доказательство, взяв величины со знаком минус.

Очевидно, в случае доказывать ничего не нужно.

Введем обозначения: - максимальное значение во всем объеме .

- максимальное значение на границе области .

. Предположим, что >. Введем в рассмотрение функцию

,

где < (-)/2, функция во все объеме функции по построению. . Функция непрерывна всюду в области , следовательно, в некоторой точке , она достигает максимума. Эта точка не может принадлежать границе области . Покажем:

<<.

На боковой поверхности:

<<.

Следовательно, максимумом функции точки является внутренняя точка области , для этой точке должно выполнятся уравнение теплопроводности (1). , т.к max следовательно , , т.к функции и связаны.

, т.к (max) =0,

следовательно, для функции в точке не выполняется уравнение теплопроводности (1) тем самым сделанное предположение о том, что < не верно и =т.е. max значение достигается на границе области.

Принцип max-ма иллюстрирует простой физический факт, что тепло их более нагретой области распространяется в менее нагретую.

4. Автомодельное решение уравнений теплопроводности. Функция Грина

Функцию Грина для уравнения теплопроводности на неограниченной прямой получим с помощью 3-х специально поставленных тепловых задач.

Задача 1: Имеется неограниченный стержень с теплоизомерной боковой поверхностью, часть стержня находиться при температуре , другая часть при температуре . Найти распределение температуры в стержне.

Математическая постановка задачи:

, , (1). (2).

Функцию можно записать . Найдем решение уравнения (1) в классе функций , где - автомодельная переменная, т.е.

(3),

подставим решение вида (3) в (1).

, ,

подставим в (1) (4),

 (4).

Чтобы (4) было тождественно относительно переменной необходимо чтобы - параметр автомодельности. Разрешим (4) относительно :

, , ,

, , пусть .

- найденное решение является общим решение уравнения теплопроводности (1). Найдем константы и из начального условия. При , , при , . , . Подставим в общее решение:

(5).

Проанализируем решение (5):

Найдем значение в 0:

,

найдем тепловой поток .

Задача 2. (задача о тепловом импульсе)

, , . , или ,

Количество тепла . Решение задачи №2 легко можно получить из решения задачи №1. Согласно (5) решение задачи о тепловом импульсе имеет вид:

(6).

Задача 3. (о точечном тепловом импульсе).

, , . Решение этой задачи можно получить путем предельного перехода из решений предыдущей задачи. Положим в (6): и это означает, что это означает, что источник тепла точечный и единичный. Получим решение:

.

Пусть ,

. Найденное выражение является функцией Грина на прямой:

(7).

Если взять

 (8).

Выражение (8) - фундаментальное решение уравнения теплопроводности.

Функцией Грина для уравнения теплопроводности на прямой называется решение задачи Коши вида , , , .

5. Решение задачи Коши на бесконечной прямой

(1),

- произвольная кусочная непрерывная прямая.

Для решение задачи (1), дается интеграл следующего вида:

(2),

интеграл Пуассона для теплопроводности. Дадим физическую интерпретацию формулы (2) в физической плоскости. задает начальное распределение температуры. Возьмем (произвольную) выделим ей элементарный участок . Предположим, что этому элементарному участку соответствует мгновенный точечный источник тепла . Тепло

,

а распределение температуры определяется функцией Грина.

,

очевидно, что действие всех элементарных источников распределенных по оси определяется интегралом. Докажем справедливость (2): Покажем, что функция определяемая выражением (2) действительно является решением задачи 1. кроме этого необходимо показать сходимость интеграла в (2), а т.же интегралов вида:

, , .

Решение определен-ном (2) подставим в задачу 1: /по определению функции Грина это функция//по свойству функции/, подставим в само уравнение:

,

функция Грина является решением уравнения теплопроводности . Доказательство сходимости интегралов рассмотрим в предположение, что ограничена не которым значением в формуле (2).

.

можно получить из решения теплопроводности (1)

//.

Докажем, что

и это интеграл сходиться.

//

,

оба интеграла сходятся. Сходимость , доказывается аналогично сходимости производной от интеграла по . отсюда следует сходимость интеграла Пуассона (2) обладает 3-мя следствиями:

Следствие 1. Скорость распространения тепла бесконечна (это свойство решения всех уравнений параболического типа).

Следствие 2. Если функция четная , тогда .

Следствие 3. Если функция не четная - .

6. Решение неоднородного уравнения теплопроводности на бесконечной прямой

(1),

где функция - функция плотности тепловых источников, она непрерывна, ограничена.

Решение задачи (1) найдем в виде:

(2),

где функция является решением задачи:

(3),

где - параметр.

Решение задачи (3) дается в виде интеграла Пуассона:

, решение задачи (1) имеет вид:

 (4).

Докажем (4):

. ,

т.к , т.к - решение однородности.

7. Решение уравнения теплопроводности в полуограниченной области (на полупрямой)

Граничные условия первого рода (однородные)

(1).

Для решения (1) воспользуемся следствием 3 из интеграла Пуассона. Для этого функцию продолжим нечетным образом по отрицательной части, прямой. - можно записать интеграл Пуассона:

-//(), в (…), - функция Грина 1-ой краевой задачи.

(-); -.

Решение задачи (1):

(2).

Рассмотрим задачу: имеется стержень, температура стержня =, боковая поверхность теплоизолирована. Температура на левой границе =0. Подставим значение .

-

)//(

).

8. Граничные условия второго рода (однородные)

(1)

- поток тепла =0, т.е. тепло не переходит, адиабатическое. Для решения задачи (1) функцию продолжим четным образом. по следствию 2 производная на границе =0. воспользуемся интегралом Пуассона на прямой:

(), т.к. .

В (…)(+)+.

Рассмотрим физическую задачу: имеется полуограниченный стержень, боковая поверхность полуизолированная.

.

9. Решение уравнения теплопроводности с неоднородными граничными условиями второго рода

(1),

- интенсивность теплового потока падающего на границу х=0. решение задачи (1) будем искать в виде:

+,

- частное решение, удовлетворяющее неоднородному граничному условию, а функция - решение вспомогательной задачи:

, , (1').

Решение задачи (1') находиться с помощью функции Грина решение задачи (1) в целом будет иметь вид:

+.

=А,

=В.

Слагаемое А соответствует неоднородному начальному условию . Слагаемое В соответствует неоднородности в самом уравнение для функции . Интеграл из В возьмем по частям:

+.

Первые три слагаемых обращаются в 0.

.

/берем по частям/

.

Решение задачи (1) имеет вид:

.

Краевая задача (1) рав-носильна следующей краевой задачи: (2)

(2).

Тем самым осуществлен перенос неоднородности из граничного условия в само уравнение.

Получим формулу решения задачи (1) удобным для практических расчетов.

/, ,

/.

10. Неоднородные граничные условия первого рода

(1).

Решение задачи (1) найдем с помощью решения 2-й краевой задачи сделаем замену:

,

задачу для функции заменим следующим образом:

(2).

Решение задачи (2) согласно предыдущей задачи имеет вид:

решение задачи (1) = производной со знаком минус.

,

т.к. учитывая тождество

.

. Последнее выражение указывает на то, что неоднородность из граничного условия задачи (1) можно перенести в само уравнение задача (1) будет равносильна следующей краевой задачи:

.

Получим формулу удобную для практических задач:

.

Т.к. этот интеграл свертки, то можно поменять аргумент на .

/,

/.

11. Решение уравнения теплопроводности в трех мерном пространстве

Рассмотрим задачу Коши для уравнения:

(1).

Определение: Функции Грина задачи Коши для уравнения (1) называется такое его решение которое:

1) удовлетворяет начальному условию .

2) непрерывна всюду в области :

,

кроме точки .

Чтобы построить функцию Грина докажем вспомогательную Лемму:

Лемма: Решение задачи Коши для уравнения с начальными условиями

,

где представима в виде = имеет вид:

,

где - решения соответствующих одномерных задач Коши, т.е.

, .

Доказательство:

++++

, - не зависят от х можно внести под знак х.

, т.е. решение удовлетворяет уравнению теплопроводности. Проверим начальные условия:

.

Доказано.

Учитывая, что функция функцию Грина для уравнения (1) по условию Леммы можно представить в виде:

,

решение задачи Коши в 3-х мерном пространстве будет иметь вид:

- интеграл Пуассона, причем функция начальное распределение температур, функций необязательно удовлетворяет условию переменной.

12. Классификация функции Грина

Функция влияния мгновенного точечного единичного источника энергии:

,

в трех мерном пространстве является линейным источником тепла , . Для решения двумерной задачи это будет точечный источник: .

13. Функция влияния мгновенного цилиндрического источника тепла

Используя для решения радиальной симметрии:

, ,

оператор Лапласа в круговой симметрии . Предположим, что в начальный момент времени на цилиндрической поверхности радиуса мгновенно выделилось единиц тепла. Найти температурное поле, вызванное действием такого источника. Проведем сечение в плоскости перпендикулярной оси цилиндра . На окружности полученной в сечение выделим элементарный участок .

На поверхности цилиндра, ему будет соответствовать не которые образующие линии. Эта линия определяет линейный источник тепла в трех мерном пространстве. Действие всех таких линейных источников будут определяться интегралом по окружности, т.е.:

/

распределение плотности по окружности// интегральная форма функции Бесселя нулевого порядка мнимого аргумента/, пусть , , - функция Грина цилиндрического источника тепла. Ранее написанную постоянной задачи Коши дается интеграл Пуассона вида:

.

Частный случай: , это функция влияния мгновенного источника в виде бесконечной тонкой нити.

14. Функция влияния мгновенного сферического источника тепла

Эта функция позволяет решать следующую задачу Коши:

, , .

Предположим, что в начальный момент времени на сферической поверхности радиуса мгновенно выделилось равномерно распределенных единиц тепла. Найдем распределение температуры, обусловленное действием такого сферического источника. Рассмотрим участок площадью равный . . Этому элементарному участку в пространстве будет соответствовать точечный источник тепла. Очевидно, что температурное поле, обусловленное действием всех таких точечных источников, определяется интегралом по поверхности сферы.

/

в силу сферической симметрии задачи решение не зависит от угловых координатах.

/////

(-).

Введем обозначение

, .

(-).

Решение задачи Коши дается интеграл:

.

Частный случай:

..

15. Задача о фазовом переходе (задача Стефана)

С изменением температуры тела возможно изменение его агрегатного состояния так при переходе через точку плавления происходит переход из жидкой фазы в твердую или наоборот. (т.е. процесс кристаллизации в плавление). Эти фазовые перехода называют фазовыми переходами первого рода. Фазовые переходы второго рода связаны на пример с изменением вида кристаллической решетки. На поверхности раздела фаз температура всегда остается не изменой. При движение межфазовой поверхности происходит выделения или поглощения тепла.

Найдем дополнительные условия для уравнения теплопроводности, задаваемые на поверхности раздела фаз. Предположим, что поверхность раздела фаз это плоскость = . В этом случае задача формируется как одномерная. Пусть за время поверхность раздела фаз перемещается с координатой:

, .

За этот же момент времени кристаллизация масса жидкости и выделяется тепло , где - теплота плавления (или скрытая теплота фазового перехода) чтобы выполнилось балансовое соотношение по теплу разность потоков тепла переходящих через группы и .

(-).

В предельном переходе при получим условия:

- (1).

- скорость движения поверхности раздела фаз. Кроме условия (1) на поверхности раздела фаз выполняется

(2) .

Условия (1), (2) - дополнительные условия на поверхности раздела фаз.

Задача о замерзании воды: Рассмотрим полуограниченный объем, заполненный водой находящийся при , . Граница этого объема в плоскости поддерживается при температуре , тогда задача о замерзании воды (задача Стефана) может быть сформулирована в виде:

(3).

Уравнение теплопроводности твердой фазы.

(4), (5). (6).

Решение задач (1), (3)-(6) найдем в виде фундаментальность о решение уравнения теплопроводности.

, .

Найдем , подставляя в начальные граничные условия.

, . ,

.

Два последних уравнения выполняются для любых значениях . Это возможно, если (8), - некоторая которую нужно найти. Выражение (8) - закон движения поверхности раздела фаз ; - найдем . ; .

Выпишем решение:

,

+.

+ (9)

- уравнение является нелинейным

(трансцендентным) уравнением для нахождения . Рассмотрим случай когда . (в (9) второе слагаемое =0 и сделаем замену , ) уравнение (9) примет вид:

(9'), где - т.к .

16. Интегральные уравнения (ИУ)

Интегральным уравнением называется уравнение, в котором искомая функция входит под знак интеграла.

Классификация интегральных уравнений.

.

Линейным ИУ называются уравнения, в которой искомая функция входит линейная.

(1) - ИУ Фредгольма 2-го рода.

(2) - ИУ Фредгольма 1-го рода.

Если , то уравнение называется однородным и наоборот , то уравнение неоднородное.

- искомая функция, - численный параметр, - заданная функция, называется ядром ИУ, - заданная функция.

На функции и накладываются ограничения

, ; (3),

Ядро ИУ удовлетворяющие условию (3) называется Фредгольма

Уравнение вида:

(4)

- называется уравнение Вольтерра (это частный случай ИУ Фредгольма). Если ядра ИУ (4) доопределить

,

то можно написать в место уравнения (4), уравнение Фредгольма

Решение уравнения Вольтерра проще, чем уравнение Фредгольма. Нелинейные уравнения Вольтерра.

.

17. Задачи, приводящие к ИУ

При решение задач Неймана и Дирихле на плоскости методом потенциала необходимо решать ИУ Фредгольма для плотности () заряда. Другим примером является задача обращения:

, - функция не известная.

, формулы обращения Фурье.

18. Связь задачи Коши для обыкновенного ДУ с ИУ Вольтера

Рассмотрим линейное ДУ n - го порядка:

(1)

Начальные условия

, , … , (2).

Линейное обыкновенное ДУ (1) с начальными условиями (2) может быть сведено к линейным ИУ Вольтерра с помощью замены: для простоты выводов положим , получим:

. ,.

интегрируем:

+,

использовалась формула n-кратного интеграла

.

Подставим найденное выражение в исходное интегральное выражение (1).

.

(3)

- является ИУ Вальтера 2 - го рода и ~ задачи Коши для уравнение (1) с начальными условиями (2).

Если в уравнение (1) коэффициенты постоянны, то ИУ будут с ядром типа свертки

.

19. Задача Абеля

ИУ Абеля называется ИУ Вольтера вида:

.

К ИУ Абеля приводит задача о брахистохроне.

Суть задачи: материальная точка движется в вертикальной плоскости под действием силы тяжести по некоторой кривой без трения. Найти вид этой кривой, если точка начинает движение при и за определенное время достигает свое min значения (касается оси ) начиная

Скорость точки =0, ,.

Рассмотрим проекцию скорости на ось :

,

т.к. координаты изменяются. Введем угол :

.

, , , , получение ИУ Абеля.

.

Пусть удалось найти решение уравнения Абеля , и явно удалось выразить

,

- параметрическая формула записи кривой.

20. Задача Штурма - Лиувилля и ИУ Фредгольма

Рассмотрим задачу Ш-Л:

- задача на собственное значение, т.е. тех значений при которых существует нетривиальные решения.

Пусть известна функция Грина: дифференциального оператора с соответствующими граничными условиями по 1-ой теореме Гильберта, решение уравнения (1) представляется интеграл вида:

(2)

Выражение (2) можно расписать, как ИУ Фредгольма с ядром .

Решение Фредгольма с вырожденным ядром.

 (1).

Ядро ИУ называется вырожденным, если может быть представлена в виде конечной суммы произведений функций одна из которых зависит от t, а другая от S. (2), причем функция линейно независимые и функция также линейно независимые, иначе количество слагаемых в сумме можно уменьшить.

Подставим (2) в ИУ (1):

(3),

введем обозначения:

, уравнение (3) может быть в виде:

(4).

Таким образом, для нахождения решения ИУ (1) с вырожденным ядром необходимо найти . В уравнение (4) поменяем индекс суммирования с на , домножим на и проинтегрируем в пределах от до по переменой .

,

с учетом принятых обозначений:

(5).

Выражение (5) в развернутом виде для всех значениях является системой линейных алгебраических уравнений относительно . (СЛАУ). Система (5) имеет решение для любых функций , если определитель

.

Если , то система (5) ЛАУ для любых функций имеет решение. Определитель назовем знаменателем Фредгольма. он для вырожденных ядер ИУ является полиномом относительно порядка не выше , - число слагаемых в вырожденном ядре ИУ.

21. Метод последовательных приближений решений ИУ Фредгольма

(1).

Решение уравнения (1) найдем в виде степенного ряда относительно

. (2).

Функции являются коэффициентами ряда (2) найдем, подставив решение (2) в уравнение (1) и прировняв слагаемые при одинаковых степенях

. , , ,…

.

Ряд (2) сходится не при всех значениях , т.к. функции , непрерывны , то их можно ограничивать некоторыми значениями:

, , тогда , ,

,

тогда член ряда (2).

вытекает условие сходимости ряда (2):

(3).

Т.е. решение Неймана существенно, ограничено значением . Фредгольм получил решение, которое справедливо для любых значений . Введем новое обозначения повторные или интегрированные ядра с помощью рекуррентных формул:

, , т.е.

,

,

.

Интегрированные ядра можно оценить, используя условие .

,

рассмотрим степенной ряд по :

(4).

Функция называется резольвентой ИУ или разрешающим ядром ИУ. - итерированные повторные ядра. Выразим функции через заданную функцию . Т.к. , , .

. Подставим найденные функции в ряд:

. (5)

- дает решение уравнения Фредгольма через резольвенту и называется резольвента.

Причем (5) справедливо для любых значений за исключением некоторых изомерных особых точек являющихся полюсами резольвенты. Для резольвенты справедливы следующие два уравнения:

1. (6).

2. (6).

Не смотря на то, что резольвента была получена методом последующего приближений . Уравнения (6) справедливы для любых значений , при условии существования самой резольвенты.

22. Теорема о существовании и единственности решения интегрального уравнения Фредгольма

Предположим, что для некоторого интегрального уравнения существует резольвента, удовлетворяющая уравнениям (6) справедлива следующая теорема:

Решение интегрального уравнения Фредгольма существует и единственно, если существует резольвента и выполняется условие (6).

При этом решение определяется формулой (5).

(1).

Уравнение (1) домножим и проинтегрируем по .

.

.

получили формулу (5).

Тем самым существования решения интегрального уравнения доказано. Докажем единственность решения, для этого решение согласно (5) подставим в само интегральное уравнение:

;

,

сделаем замену в третьем интеграле:

.

Выражение в […]=0, согласно одному их уравнения (6) для резольвенты. Единственность решения ИУ доказано.

23. Решение Фредгольма

Знаменатель Фредгольма.

Фредгольм предположил, что резольвента представляет собой отношения 2-х целых относительно функций, каждой из которых представляет сходящейся степенной ряд по степени .

теплопроводность уравнение интегральный фредгольм

(1).

Разобьем промежуток интегрирования на частей с шагом , заменим интеграл частичной суммой:

,

где , затем в место переменой рассмотрим с тем же самым шагом , т.е окончательно примет вид:

(2),

где , . Уравнение (2) - система линейных алгебраических уравнений относительно . Согласно теории решения таких уравнений зависит от определителя системы:

 (3).

Определитель (3), разложен по известной из линейной алгебры формулы.

(4)

(сумма Римана).

.

Введем обозначения: последняя сумма в (4):

.

В предельном переходе (5), где - коэффициент ряда.

; ; .

Функция полученная в результате предельного перехода и определителя Крамара естественно назвать - знаменателем резольвенты.

Для оценки сходимости ряда (5) воспользуемся оценкой Адамара для определителей: ; , члены ряда (5) ограничены значениями:

, ряд (5) сходится при всех значениях .

Числитель Фредгольма.

Можно получить, умножая ряд по итерированным ядрам для резольвенты:

,

затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях , можно получить коэффициенты для числителя Фредгольма.

Введем обозначения:

(1).

- числитель Фредгольма. Знакопеременный ряд, где коэффициенты этого ряда являются функциями от переменных и . В отличии от коэффициентов знаменателя:

(2).

Коэффициенты ряда (1) найдем из уравнения для резольвенты предварительно домножим на знаменатель

.;

(3).

Подставляя в уравнение (3) ряды (1),(2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим:

(4)

- определение коэффициента для числителя Фредгольма.

Пример:

: ;

: /объединяя эти интегралы, увидим/ .

:

.

(5).

Вычислить коэффициенты использовать формулу (5) сложно лучше использовать (4), но для этого нужно получить более простую формулу для вычисления коэффициентов знаменателя Фредгольма. В формуле (5) положим и проинтегрируем по .

- коэффициенты ряда знаменателя Фредгольма.

24. Рекуррентные формулы для коэффициентов числителя и знаменателя Фредгольма

2; - ля знаменателя Фредгольма. .

25. Связь между числителем и знаменателем Фредгольма

В формуле 22(1) примем и проинтегрируем по

. (А).

Знаменатель Фредгольма определяемый (2) продифференцируем по , получим:

(В).

Сравнивая (А) и (В) получаем:

- (6).

Получили числитель и знаменатель Фредгольма в виде целых относительно функций:

(7).

Выражение (7) справедливо для значения ,

. (8).

Для оценки сходимости ряда (1) воспользуемся оценкой Адамара, которую искали для знаменателя Фредгольма тогда: ряд (1) будет сходиться аналогично ряду для знаменателя Фредгольма при любых значениях .

Согласно основному принципу аналитического …….функции, если две целые функции совпадают в некотором круге комплексных значений , то они будут совпадать по всей комплексной плоскости. те уравнения для резольвенты которые были получены ранее справедливы для любых значений .

26. Теоремы Фредгольма

Теорема 1. Если не является корнем уравнения , то ИУ Фредгольма имеет решение для любых функций и это решение определяется формулой:

,

где резольвента по Фредгольму:

.

Доказательство: Аналогично доказательству Th о существование и единственности решения ИУ.

Теорема 2. Корни уравнения (нули знаменателя Фредгольма) являются полюсами резольвенты.

Доказательство: Предположим, что , это 0 знаменателя Фредгольма порядка , т.е.

,

где , кроме этого пусть является нулем для числителя порядка , т.е. , т.е. любой корень уравнения является полюсом резольвенты.

Теорема 3. Решение однородного ИУ при одному из корней уравнений нетривиально.

Доказательство.

Т.к. ноль знаменателя Фредгольма является полисом резольвенты, то резольвенту можно представить в виде ряда Лорана в окружности этой особой точки. .

Подставим это выражение в одно из уравнений резольвенты:

,

умножив это уравнение на и принимая получаем:

(*).

Уравнение (*) является однородным ИУ для функции по какой-то одной из переменой. Функция не может быть , иначе резольвента в точке имеет порядок полюса, по крайней мере, на единицу меньше.

Теорема 4. Нули знаменателя Фредгольма или кори уравнения являются собственными значениями ИУ.

27. Союзная ИУ

СИУ называется уравнения следующего вида:

(1),

союзное ядро . Очевидно, что знаменатель Фредгольма для союзного уравнения будет тем же самым, что и для исходного ИУ, а числитель Фредгольма: . Рассмотрим теоремы Фредгольма для случая собственному значению ИУ. Запишем ИУ Фредгольма:

(2).

Теорема 5. Если является собственным значением ИУ, то неоднородное уравнение (2) разрешимо только в случае ортогональности функции и любого решения однородного союзного уравнения при этом значение .

Доказательство. Пусть функция решение союзного однородного уравнения для собственному значению. Домножим уравнение (2) на и проинтегрируем по .

(3).

Функция является решением однородного уравнения […] в уравнение (3) будет .

(4).

Выражение (4) означает ортогональность функции и .

Теорема 6. (альтернатива Фредгольма). Имеются две возможности или неоднородные ИУ разрешимые для любой функции , а соответствующее однородное уравнение имеет только нулевое решение или однородное ИУ имеет не тривиальное решение, а не однородное уравнение разрешимо не при всех функциях .

28. Ранг собственного значения

РСЗ будем называть кратность корня уравнения: .

Рангу собственного значения соответствует число, линейно независимых собственных функций.

Теорема 7. Ранг собственного значения ИУ конечен.

Доказательство. Предположим, что некоторому собственному значению ранга , соответствует линейно независимых собственных функций, … которое является решением однородного ИУ , . Разделим на :

(5).

Левая часть выражения (5) представляет собой коэффициенты разложения в ряд Фурье функции по переменой . Для коэффициентов разложения в ряд Фурье справедливо неравенству Бесселя. Предположим, что функции ортогональны и нормированы:

, если .

, если .

Замечание: любую систему линейно независимых функций можно ортогонализировать - процесс ортогонализации Шмидта.

Запишем неравенство Бесселя:

(6).

Неравенство (6) проинтегрируем по переменой :

, , ранг собственного значения конечен.

Теорема 8: Если равно собственному значению и выполняется условие ортогональности (4), то неоднородное ИУ имеет бесконечное число решений.

Доказательство: решение уравнения в этом случае имеет вид:

,

где - собственные функции соответствующие собственному значению ранга , - неопределенные константы, - некоторые частные решения неоднородного уравнения.

29. Теория Гильберта-Шмидта

ИУ с симметричными ядрами.

Комплексное ядро называется симметричным, если выполняется тождество:

.

Замечание: Для вещественных ядер это означает равенство союзных ядер.

Не каждое ядро ИУ имеет собственные значения. Например: полярное ядро (теория потенциалов)

,

где - расстояние от до .

, , также не имеет собственное значение.

Теорема 1. Все собственные значения симметричного ядра вещественны.

Доказательство: Рассмотрим однородное уравнение:

,

домножим его на и проинтегрируем по :

/ т.к. ядро симметрично/

//.

Теорема 2. (о существование собственного значения). Каждое симметричное ядро, по крайней мере, одно собственное значение.

Доказательство: Из теории Фредгольма известно, что решение неоднородного ИУ дается формулой:

 (1).

по крайней мере, в некотором круге значения , где может быть расстоянием до первого полюса резольвенты, тогда в этом круге значения , резольвенту можно представить сходящейся степенным рядом:

(2),

где - коэффициенты разложения, с другой стороны резольвента, получается, по методу последовательных приближений

(3),

где - итерированные ядра. Этот ряд сходиться для значений . Выберем , тогда в круге значения . Ряды (2) и (3) в этом круге значений должны совпадать, т.е.: . Заменим в формуле (2) на , применим и проинтегрируем:

.

Учитывая, что интеграл от числителя Фредгольма: и обозначаем получим:

 (4).

Если удаться показать, что ряд (4) или связанный с ним ряд сходится не при всех значениях , это и будет означать, что симметричное ядро имеет собственное значение, иначе этот ряд должен сходится при всех значениях , сходимость ряда по четным степеням

(5).

. Рассмотрим две леммы для доказательства:

Лемма 1. Все итерированные ядра симметричного ядра симметричны: .

Доказательство: Итерированное ядро

.

Рассмотрим энное итерированное ядро (аргументы переставим местами):

/поменяем переменные интегрирования /

следовательно, доказали симметричность ядер.

Лемма 2. Если суммарное ядро ИУ отлично от тождественного нуля, то и все итерируемые ядра будут не нулевыми.

Доказательство: Предположим, что ядро , причем наименьший индекс нулевых итерированных ядер, т.е.:

,…,

число или , четное: итерированное ядро

следовательно, для любых значений и ядро , следовательно минимальный индекс нулевого итерированного ядра не , а , , что противоречит предположению, следовательно все итерированные ядра отличны от нуля.

Вычислим :

(6).

К выражению (6) применим неравенство Шварца:

. ,

(7), где , , т.к.

числа , , положительные, то можно поделить на знак не поменяется:

(8).

Введем обозначения: ряд по четным степеням

(9).

Найдем радиус сходимости ряда (9). Рассмотрим отношения последнего ряда к предыдущему: /учитывая цепь неравенства (8)/ . Из последнего неравенства ,что если , то , т.е. последний член ряда больше предыдущего, т.е. при этих значениях ряд расходится. При этом существуют такие значения, которые ограничивают область сходимости разложения резольвенты в ряд по степеням , откуда следует существование особых точек, по крайней мере, одной для резольвенты.

30. Ортогональность собственных функций симметричного ядра

Каждому собственному значению соответствует, по крайней мере, одна функция. Число собственных функций соответствующих одному собственному значению определяется рангом этого собственного значения.

Теорема. Собственные функции соответствующие двум разным собственным значения, ортогональны.

Доказательство: ортогональность функции означает, что интеграл от произведения этих функций на промежутке ортогональности . Пусть и два собственных значения, которым соответствуют собственные функции и , . Известно, что собственные функции являются решением однородного уравнения:

,

домножим на и проинтегрируем по .

/

т.к. ядро симметричное, то можно поменять местами переменные и из уравнения

, , что интеграл в […] = / ,

, .

Каждому собственному значению симметричного ядра ранга соответствует система линейно независимых ортогональных ненормированных собственных функций числом равный .

Совокупность всех ортогональных и нормированных собственных функций соответствующих всем собственным значениям симметричного ядра называется полной ортогональной системой собственной функции.

31. Процесс ортогонализации Шмидта

Пусть некоторому собственному значению ранга принадлежит линейно независимых собственных функций:

,…,, .

Любая линейная комбинация этих собственных функций также является собственной функцией.

(1).

Подберем коэффициенты в формуле (1) таким образом, чтобы выполнялись свойства нормировки и ортогональности т.е.:

,

если - условие нормировки. Процесс нахождения коэффициентов в формуле (1) называется процессом ортогонализации Шмидта. Он состоит из шагов:

1 шаг: . Потребуем выполнение условия нормировки:

, .

2 шаг:

 (2).

Скалярным произведением двух функций и будем называть интеграл от произведения этих функций.

.

Выражение (2) умножим на и проинтегрируем по .

, т.к. функции ортогональны , , подставим в (2) получим , коэффициент найдем из условия нормировки:

.

3 шаг:

.

Применяем свойства ортогональности и нормировки.

, .

Выражая и через и применяя условия нормировки, получим:

 .

Выполнив последовательно шагов, получим ортогональную систему собственной функции для данного собственного значения ранга . Процедуру ортогонализации необходимо выполнить для всех собственных значений симметричного ядра, чтобы получить полную ортонормальную систему собственной функции.

32. Разложение произвольной функции в ряд по собственным функциям полной ортонормальной системы

Дана функция , непрерывная в промежутке ее можно разложить в сходящейся ряд полной ортогональной системы (сходящейся ряд):

(1).

Умножим выражение (1) на и проинтегрируем по .

Согласно свойствам ортогональности и нормировки получим:

(2).

Выражение (2) является формулой для коэффициентов разложения.

33. Разложение ядра ИУ в ряд по собственным функциям полной ортонормальной системы

Рассмотрим ядро и переменную зафиксируем, тогда функцию можно представлять функцией одной переменой определенной на промежутке . Разложим функцию по собственным функциям ядра , т.е.:

(1).

Умножим (1) на и проинтегрируем по на промежутке :

.

По свойству ортогональности собственной функции правая часть уравнения

; .

Подставляя в (1) получим:

(2).

Выражение (2) называется билинейной формой ядра ИУ.

Теорема: Ядро ИУ в случае бесконечного числа собственных функций может быть представлено в виде сходящегося ряда по этим собственным функциям.

Замечание: Если число собственных функций, конечно, то вопрос о сходимости ряда не ставиться.

Доказательство: введем в рассмотрение функцию:

-

И рассмотрим однородное ИУ с ядром . Предположим, что у этого ИУ есть хотя бы одно собственное значение, назовем его , тогда:

.

Последнее выражение домножим на собственную функцию и проинтегрируем по , получим:

.

Это означает либо функция является собственной функцией ядра (т.к она ортогональна всем функциям) , в других собственных функций у ядра быть не может.

Полная система ортогональной функции тогда , что и собственных значений быть не может и наконец .

34. Собственные значения и собственные функции итерированных ядер

Рассмотрим однородные ИУ с собственными значениями :

(1).

Умножим (1) на ядро и проинтегрируем по :

.

(2).

В выражение (2) заменим и домножим на и интегрируем по :

,

таким образом, собственными функциями итерированных ядер будут собственные функции исходного ядра ИУ, а собственными значениями будут ые степени собственных значений ядра .

35. Теорема Гильберта-Шмидта

Решение ИУ с симметричными ядрами основано на использование теоремы Гильберта - Шмидта, Стеклова (метод раздельных переменных для уравнений частных производных) так же легко доказывается с помощью теоремы Гильберта - Шмидта.

Теорема: Если функция может быть представлена в форме:

(1),

где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся:

(2).

Замечание: функции, которые могут быть представлены выражением (1) называются представимыми через ядро ИУ.

Доказательство: (часть 1: доказательство абсолютной равномерной сходимости). Введем обозначение частичных сумм ряда (2):

(3).

Из общего принципа сходимости рядов следует: ряд (2) сходится абсолютно и равномерно, если для любых сколь угодно малого найдется такое значение , зависящее от но, не от , что , как только ля любых значений . Выражение (1) домножим на собственную функцию и проинтегрируем по :

//,

подставим найденное значение в (3):

(4).

Из выражения (4) следует очевидное неравенство:

(5).

Применим неравенство Коши - Буняковского:

, правой части неравенства:

(6).

Последняя сумма в правой части (6) представляет собой сумму квадратов коэффициентов разложения ядра ИУ по собственным функциям , и согласно неравенству Бесселя запишем:

.

Первая сумма в правой части выражения (6) так же представляет собой сумму квадратов коэффициентов разложения в ряд по собственным функциям и по неравенству Бесселя:

,

функция непрерывна на промежутке , следовательно, интеграл от квадрата этой функции ограничен в некотором значении и зависит от , т.е.: , тем самым сходимость доказана.

(часть 2: суммирование). Покажем, что разложение (2) единственно. Введем в обозначение функцию:

(7),

функция - непрерывна, так как непрерывна функция . Ряд (2) так же является непрерывной функцией, следовательно, функция является непрерывной функцией. Если удастся показать, что , то и выражение (2) будет единственно. Умножим (7) на и проинтегрируем по :

,

умножим (7) на и проинтегрируем по :

,

учитывая этот результат получаем:

(8).

Подставим вместо функции , ее представление по формуле (1) получим:

.

Интеграл по переменой равен нулю, так как ядро ИУ может быть представлено билинейной формой определяемой собственными фун-кциями, а функция ортогональна всем собственным функциям. Следовательно, она ортогональна и ядру ИУ, тогда .

Следствия:

1. ;

2. Если функция непрерывна на отрезке , тогда:

,

причем ряд абсолютно и равномерно сходится.

3. Если и непрерывные функции на , то справедлива формула Гильберта:

.

36. Решение ИУ Фредгольма для случая собственному значению (решение Шмидта)

Рассмотрим ИУ вида:

(1).

Введем обозначения:

(2).

Если предположить, что существует непрерывная функция решение уравнения (1), тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Гильберта-Шмидта, т.е. функция представима через ядро ИУ. Согласно, теоремы Гильберта-Шмидта представляя ряд абсолютно равномерного сходящегося:

,

где - собственные функции ядра ИУ. По первому следствию теоремы Гильберта-Шмидта ():

, (3).

Уравнение (1) домножим и проинтегрируем по :

(4),

выражение (4) примет вид: .

(5),

если (собственное значение), тогда , найденное значение подставим в (3):

().

Подставляя вместо во (2) получим решение ИУ:

(6).

Получим связь решения Шмидта с решением Фредгольма:

(7).

Выражение в это резольвента ядра:

 .

Решение в виде (7) предпочитается для решения Фредгольма тем, что определены главные члены разложения во всех особых точках резольвенты. Покажем сходимость ряда в (6):

=.

По теореме Гильберта-Шмидта ряд абсолютно и равномерно сходится. Если число собственных значений ядра бесконечный, то при , тогда , суммируем выше сказанное и делаем выводы, что ряд в (6) сходится.

37. Решение ИУ Фредгольма при =собственному значению

(1).

Введем обозначения:

(2).

Если предположить, что существует непрерывная функция решение уравнения (1), тогда функция удовлетворяет условиям теоремы Гильберта-Шмидта, т.е. функция представима через ядро ИУ.

Согласно, теоремы Гильберта-Шмидта: (Если функция может быть представлена в форме:

,

где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся:

)

представляя ряд абсолютно равномерного сходящегося:

,

где - собственные функции ядра ИУ. По первому следствию теоремы Гильберта-Шмидта

(): , (3).

Уравнение (1) домножим и проинтегрируем по :

(4),

 выражение (4) примет вид:

. (5).

Предположим, что является собственным значением ИУ ранга и ему соответствуют собственные функции ,…,. При , левая часть формулы (5) равна нулю, тогда получаем, что:

(6).

Для того чтобы существовало решение ИУ Фредгольма при = собственному значению необходимо выполнение условий ортогональности (6). Из формулы (5) в случае , следует, что коэффициенты ряда входящего в решение, становятся неопределенными, эти коэффициенты задаются произвольными в решение ИУ. Окончательный вид решений следующий:

(7).

Покажем, что решение определенное формулой (7) действительно удовлетворяет уравнению (1). Введем обозначения:

.

Причем удовлетворяет однородному уравнению (1), так как представляет собой линейную комбинацию собственных функций, которые являются так же собственной функцией. подставим в неоднородное уравнение (1):

[] (8),

/ по следствию 2 из теоремы Гильберта-Шмидта (Если функция непрерывна на отрезке , тогда:

,

причем ряд абсолютно и равномерно сходится.)

.

/ поменяем местами интегрирование и суммирование

()/ =.

Подставим последние два выражения в (8). Затем собирая все ряды в один ряд вынося за скобку получим:

; […]=0,

тем самым показали, что решение определенное формулой (7) действительно является решением уравнения (1) при = собственному значению.

38. Теорема Стеклова

Теорема: Всякая функция из класса А функций представляется рядом Фурье по собственным функциям задачи Штурма-Лиувиля абсолютно и равномерно сходятся.

Класс А функций удовлетворяет следующим условиям:

1. Они непрерывны в промежутке .

2. Имеют непрерывные производные первого порядка.

3. Удовлетворяют краевым условиям.

Доказательство: (была показана эквивалентность задачи Штурма-Ляувильля и ИУ Фредгольма)

Задача Ш-Л:

, (1).

Согласно первой теореме Гильберта (Все собственные значения симметричного ядра вещественны.) решение задачи (1) можно представить в виде:

,

домножим на :

, ,

тогда получим: (2). ИУ (2) эквивалентно краевой задачи (1) тогда собственные значения и собственные функции ИУ (1) определяют собственные значения и собственные функции задачи Ш-Л. Применим дифференциальный оператор в заданной функции , т.е.:

.

Согласно первой теореме Гильберта:

=,

где функция - функция Грина дифференциального оператора с граничными условиями (1). Функция удовлетворяет условиям теоремы Г-Ш (: Если функция может быть представлена в форме:

,

где является непрерывной функцией на промежутке , то функция может быть представлена в виде ряда по собственным функциям ядра абсолютно и равномерно сходящейся:

)

и следовательно может быть представлена рядом Фурье по собственным функциям задачи Ш-Л (или ИУ в силу эквивалентности) абсолютно и равномерно сходящейся:

.

Размещено на Allbest.ru