Вивчення обертового руху за допомогою маятника Обербека

Размещено на http://www.allbest.ru/

Лабораторна робота №5

Вивчення обертового руху за допомогою маятника Обербека

Мета роботи: перевірити основний закон динаміки обертального руху твердого тіла.

Теоретичні відомості

Тверде тіло можна розглядати як систему жорстко пов'язаних між собою матеріальних точок. Нехай, наприклад, деяке тверде тіло обертається навколо осі (рис. 1). Розіб'ємо в нашій уяві це тіло на окремі часточки з масами ,що знаходяться від осі обертання на відстанях. Одержані часточки будемо розглядати як матеріальні точки. Нехай на кожну з них по дотичній до кіл, по яких вони рухаються, діють відповідно сили . Ці сили підібрані так, що надають однакові кутові прискорення.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.Схема твердого тіла.

Розглядаємо спочатку рух лише однієї матеріальної точки з масою , яка рухається по колу з радіусом . Під дією сили точка набуває лінійного прискорення ,яке визначається із співвідношення

. (1)

Відомо, що , де _ кутове прискорення, а тому на підставі рівності (1) можна написати:

.

Помноживши обидві частини останньої рівності на , дістанемо

. (2)

Ліву частину цієї рівності називають моментом сили, що діє на точку , а величину , тобто масу матеріальної точки, помножену на квадрат її відстані від осі обертання, _ моментом інерції течи відносно цієї осі.

Отже,

, (3)

. (4)

З рівнянь (2) - (4) одержимо:

. (5)



Це - основне рівняння динаміки обертового руху, або ІІ законНьютона для обертового руху матеріальної точки.

Повернімось тепер до розгляду твердого тіла. Міркуючи так само, ми можемо для будь-якої з точок тіла записати формулу, аналогічну формулі (3).Тому для всього твердого тіла вірною буде рівність

. (6)

Сталу величину винесемо з-під знака суми,враховуючи, що в лівій частині рівності стоїть сума моментів сил, прикладених до окремих точок, на які було розбите тіло, і ця сума дорівнює моментовісили , прикладеної до тіла:. Величинаявляє собою суму моментів інерції всіх матеріальних точок, на які було розбите тіло. Ця сума називається моментом інерціївідносно осі обертання . Отже,

. (7)

Останнє рівняння аналогічне співвідношенню , яке виражає другий закон Ньютона для поступального руху тіла. Отже,формула (4) являє собою другий закон динаміки Ньютона для обертального руху тіла.

У разі зміни моменту сили від до , якщо залишається сталим, кутове прискорення зміниться від до , на підставі цього можна записати рівняння

. (8)



Одним із завдань даної роботи є перевірка цього співвідношення.

Опис приладу

Маятник Обербека (рис.2) являє собою металевий циліндр, який може обертатися навколо горизонтальної осі (тертя дуже мале,і його не враховують). На поверхні циліндра вирізано дві заглибини прямокутного перерізу 1 і 2, кожна з них виконує роль шківа (рис. 3). Радіуси одержаних таким чином шківів різні. Вздовж кожної спиці можна пересувати регулюючі металеві циліндрики однакової маси . Гвинтом їх закріплюють.

На шків намотується тонка,але міцна нитка. Якщо до її вільного кінця прикріпити тягар і надати йому змогу падати, він приведе в обертовий рух маятник Обербека.

На падаючий тягар діють дві сили: сила тяжіння і сила натягу нитки , яка діє вздовж нитки по дотичній до поверхні шківа маятника. Різниця цих двох сил, напрямлених у протилежні боки, і зумовлює прискорення падаючого тіла,, тобто:

. (9)

Звідси .

Момент сили натягу відносно осі обертання

, (10)

де _ радіус відповідного шківа; _ момент інерції маятника; _ кутове прискорення маятника.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.2. Маятник Обербека. Рис.3.Схема установки.

Кутові прискорення обертального руху маятника можна знайти з таких міркувань. Нехай тягар за час падає з висоти . Тоді прискорення його руху визначається за відомою формулою:

. (11)

Вважатимемо, що нитка змотується з шківа маятника без тертя і ковзання, тому лінійне прискорення точок його поверхні також дорівнює . Тоді прискорення знаходимо за формулою

. (12)

Підставляючи у формулу (7) значення з рівності (11) і значення з рівності (9), отримуємо вираз для моменту інерції маятника:

, (13)



. (14)

Завдання 1. Перевірка прямо пропорційної залежності кутового прискорення від моменту сили, що діє на обертальну систему

Хід роботи

1. Встановіть металеві циліндрики так, що система вільно оберталася.

2. Штангенциркулем виміряйтерадіуси обох шківів.

3. На технічних терезах визначають масу тягарця.

4. Намотайте нитку на один зі шківів маятника і до її вільного кінця підвішайте цей тягарець. Відпускайте його і одночасно увімкніть секундомір. Коли тягарець торкнеться підлоги, секундомір вимкніть. Висоту його падіння знаходять за вертикальною шкалою.

5. Дослід повторюють декілька разів, без будь-яких змін і, користуючись формулами (12)-(14), визначають середнєзначення і для тягарця (індекс "нуль" стосується тих випадків, коли обертальна система позбавлена регулюючих циліндриків).

6. Так само чином знаходять та в наступних дослідах, в яких використовують другий шків і решту тягарців.

7. Для кожного тягарця розраховують відношення

, , ...,

і порівнюють їх між собою. Рівність цих відношень між собою і буде свідчити про пропорційність залежності між і ,тобто про правильність формули (8). Оскільки коефіцієнт пропорційності залишиться сталим, можна зробити висновок, що він залежить лише від обертальної системи і характеризує її. Таким чином, підтверджується пропорційність між моментом сили і кутовим прискоренням, тобто рівність .

8. Результати вимірювання та обчислення заносимо в табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислень

№ п/п	,	,	,	,	,	,	,
1 2 3



Вивчення основного закону динаміки обертового руху

Мета роботи: експериментально перевірити основний закон динаміки обертального руху твердого тіла, що має закріплену вісь обертання.

Теоретичні відомості

Основний закон динаміки обертального руху (другий закон Ньютона для обертального руху, або рівняння моментів):

. (1)

Завданням роботи є перевірка співвідношення:

. (2)

На падаючий тягарець діють дві сили_сила тяжіння і сила натягу нитки , яка діє вздовж нитки по дотичній до поверхні шківа маятника (рис. 1):

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Схема установки.



. (3)

Звідси

. (4)

Момент сили натягу відносно осі обертання:

, (5)

де _ радіус відповідного шківа, _ момент інерції, _ кутове прискорення.

Кутове прискорення обертального руху маятника можна знайти з таких міркувань. Нехай тягарець за час падає з висоти . Тоді прискорення його руху визначається за відомою формулою:

. (6)

Вважатимемо, що нитка розмотується із шківа маятника без тертя і ковзання, тому лінійне прискорення точок його поверхні також дорівнює . Тоді прискорення знаходимо за формулою

. (7)

Підставляючи у формулу (5) значення з рівності (6) і значення з рівності (7), отримаємо вираз для моменту інерції маятника:



. (8)

Підставляючи у рівняння (1) рівняння (8) і рівняння (7), одержимо:

. (9)

Основною частиною установки (рис. 2) є маятник Обербека. Він складається з вала, на якому запресовані два шківи різних діаметрів і та чотири стержні у вигляді хрестовини. На стержнях можна закріплювати додаткові тягарці однакової маси . Маятнику надає обертового руху тягарець , підвішений до нитки, другий кінець якої намотується на один із шківів. Висоту опускання тягарців визначають за шкалою, а час опускання - за лічильником часу (механічним, електромеханічним чи електронним секундоміром), який вмикається і вимикається автоматично або вручну.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Схема установки.

Хід роботи

1. Під'єднайте установку до електромережі та натисніть кнопку „Сеть”.

2. Виміряйте відстань за шкалою, радіуси шківів і _ штангенциркулем. Визначте масу тягарця за допомогою технічної ваги.

3. Закріпіть чотири тягарці на відстані від осі обертання, яку задасть викладач. При цьому маятник повинен бути в рівновазі.

4. Намотайте нитку на шків радіуса . Після цього натисніть кнопку „Сброс” (обнуліть мілісекундомір).

5. Натисніть кнопку „Пуск”. Внаслідок цього електромагніт відпустить маятник, який почне обертатися. Тягарець, який буде опускатися, автоматично увімкне мілісекундомір, а потім автоматично його вимкне. Запишіть значення часу , протягом якого тягарець опускався на висоту . Дослід повторіть п'ять разів.

6. Намотайте нитку на шків радіуса і визначте час опускання тягарця з висоти (див. пункти 4-5).

7. За формулою (7) обчисліть кутове прискорення.

8. За формулою (9) знайдіть момент сили.

9. Розрахуйте співвідношення і порівняйте їх між собою. Результати вимірювання та обчислення занесіть у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,	,	,	,	,	,
1 2 3 …



Дослідження процесу пружної деформації кручення

Мета роботи: визначення модуля зсуву методом деформації кручення.

Теоретичні відомості

Модуль зсуву визначається за допомогою крутильного маятника (рис. 1). На основі з чотирма ніжками, висоту яких можна регулювати, закріплені колонка та електронний блок , який складається з мілісекундоміра , лічильника періодів , кнопок керування. На колонці закріплені три кронштейни. Верхній і нижній кронштейни мають затискачі, якими закріплюють сталеві підвіси , з рамкою . На середньому кронштейні розміщена сталева плита, що є підставкою для фотоелектронного датчика, електромагніта та кутової шкали.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Крутильний маятник.

Конструкція рамки дає змогу закріплювати в ній тіло правильної геометричної форми. Тіло закріплюється за допомогою рухомої поперечної балки, яку можна переміщати по нерухомих стержнях і фіксувати затискачами та гвинтом.

Час і кількість повних коливань рамки вимірюється в автоматичному режимі. Світловий потік від лампочки падає на фототранзистор. Під час коливань крутильного маятника стрілка рамки перетинає світловий потік, внаслідок чого в схемі транзистора генеруються електричні імпульси, які після підсилення у схемі транзистора подаються на вхід мілісекундоміра і лічильника коливань.

Період крутильних коливань рамки буде визначатися за формулою

, (1)

де _ момент інерції рамки, _ сумарний модуль кручення підвісу.

У цьому випадку модуль кручення підвісу буде складатися із суми модулів кручення верхнього і нижнього підвісів, тобто:

, (2)

де і _ довжина верхньої та нижньої частини підвісу, _ його діаметр, N - модуль зсуву дротини.

Щоб вилучити , у рамку закріплюють тіло з відомим моментом інерції (у нашому випадку - циліндр, момент інерції якого можна визначити за формулою , де _ маса циліндра, _ його діаметр). Тепер період крутильних коливань системи „рамка + циліндр”:

. (3)

Піднесемо до квадрата формули (1) і (3) та розділимо їх почленно:

;

, звідки .

З формули (1)

.

Прирівнявши два останні вирази, вилучимо невідомий момент інерції рамки:

. (4)

Підставивши у формулу (4) вираз для та значення з формули (2), одержимо робочу формулу для модуля зсуву дротини:

. (5)

Хід роботи

обертальний рух твердий тіло

1. Під'єднайте установку до електромережі та натисніть кнопку „Сеть”.

2. Відпустіть кнопку „Пуск” і, повертаючи рамку, притисніть її до електромагніта, який зафіксує її в цьому положенні.

3. Натисніть кнопку „Сброс” (обнуліть мілісекундомір і лічильник кількості коливань).

4. Натисніть кнопку „Пуск”. Внаслідок цього електромагніт відпустить рамку, яка почне виконувати крутильні коливання та ввімкне мілісекундомір і лічильник кількості коливань.

5. Стежте за показами лічильника кількості коливань. Коли на лічильнику з'явиться цифра , натисніть кнопку „Стоп”. Через одне коливання припиниться вимірювання. На лічильнику кількості коливань з'явиться цифра , а на мілісекундомірі час , за який рамка здійснила ці коливання.

6. Закріпіть у рамці циліндр і виміряйте час десяти коливань рамки з циліндром (див. пункти 2-5).

7. За формулою обчисліть період коливань і .

8. Штангенциркулем виміряйте довжини верхньої і нижньої частин підвісу, а мікрометром його діаметр .

9. На технічній вазі визначте масу циліндра , а штангенциркулем виміряйте його діаметр .

10. За даними вимірювань обчисліть модуль зсуву та результати вимірювання та обчислень занесіть у табл. 1.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислень

№ п/п

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

1 2 3 …



Вивчення власних коливань пружинного маятника

Мета роботи: вивчення коливальних процесів за допомогою пружинного маятника.

Теоретичні відомості

Коливанням називається процес, в якому деяка його характеристика послідовно відхиляється то в один, то в іншийбік від певного значення. Коливаються температура повітря, гілки дерева, магнітне поле Землі тощо.

Коливання бувають періодичними і неперіодичними. Неперіодичні коливання можна розкласти на періодичні складові, тому важливим є вивчення періодичних коливань.

Періодичними коливними процесами називаються такі, під час яких стан тіла або системи тіл повторюється через певні однакові проміжки часу. Такі процеси описуються періодичною функцією , де найменший час повторення _ період функції, _ довільне ціле число. Таку властивість мають, наприклад, коливання маятника годинника, коливання струни, зміна напруги між обкладками конденсатора в коливальному контурі. На вченні про коливання і хвилі базується акустика, радіотехніка, оптика, машинобудування, та інші розділи науки і техніки.

Велике значення має теорія коливальних процесів і в механіці, особливо при розрахунку на міцність різних машин та конструкцій. Розрізняють коливання за їхньою фізичною природою (механічні, теплові, електричні і т. д.), за способами збудження (власні коливання, вимушені коливання, автоколивання) і за кінематичними ознаками, тобто за характером зміни коливних величин з часом. Описують коливання двома способами: аналітичним, тобто за допомогою рівнянь, і графічним _ наочним зображенням зміни коливної величини з часом. За кінематичними ознаками коливання бувають дуже різноманітні, найважливішими і найпростішими є гармонічні коливання, на які можна розкласти періодичні коливання будь-якої форми.

Розглянемо механічні коливання. У процесі механічних періодичних коливань повторюється положення, швидкості і прискорення тіл або їх частин під дією різних сил: сили тяжіння, пружної сили, капілярної та інших. Силу, під дією якої відбувається коливний процес, називають повертальною силою, оскільки вона намагається тіло, відхилене від положення рівноваги, повернути в це положення.

Залежно від характеру дії на тіло, що коливається, розрізняють вільні (або власні), вимушені коливання та автоколивання.

Вільні (або власні) коливання маємо тоді, коли на тіло діє тільки повертальна сила, і відбуваються вони в системі, яка залишена сама на себе після того, як їй надали поштовху, що вивів її з положення рівноваги.

Вільні коливання є незгасаючими, якщо не відбувається розсіяння енергії в довколишній простір. Однак реальні коливальні процеси є згасаючими,оскільки на тіло, що коливається, діють сили опору руху, в основному сили тертя.

Вимушені коливання здійснюються під дією зовнішньої сили, що змінюється періодично.

Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються дією на систему, що коливається, зовнішніх сил, однак моменти часу, коли здійснюється цей вплив, задаються самою системою _ система сама керує зовнішнім впливом.

Власні коливання є не тільки найбільш поширеними, а й найважливішими в теорії коливних процесів. Умови виникнення й характер вимушених коливань здебільшого суттєво залежать від характеру власних коливань, властивих системі.

Найпростішими періодичними коливаннями є гармонічні _ такі коливання, за яких зміщення тіла від положення рівноваги залежить від часу за законом косинуса або синуса. Цей вид коливань також є важливим з таких причин: по-перше, коливання в природі і техніці часто мають характер, досить близький до гармонічного, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути представлені як накладання декількох гармонічних коливань.

Гармонічне коливання матеріальної точки здійснюється під дією повертальної сили ,що пропорційна зміщенню, тобто:

. (1)

Розглянемо систему _ тягарець масою на пружині, масою якої знехтуємо (рис. 1). У стані рівноваги сила зрівноважується пружною силою:

.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1. Пружинний маятник.

При зміщенні тягарця від положення рівноваги відстань видовження пружини стане , а проекція результуючої сили на вісь (позначимо цю проекцію літерою) матиме значення:

. (2)

Враховуючи умову рівноваги , одержимо . Знак "-" означає, що зміщення і сила мають протилежні напрями. Сила пропорційна зміщенню тягарця з положення рівноваги і завжди має напрям до положення рівноваги.

Рівняння другого закону Ньютона для тягарця масою на пружині з коефіцієнтом пружності має вигляд:

, (3)

або

, (4)

оскільки_ прискорення, . Зведеморівняння (4) до вигляду:

. (5)

Рух тягарця під дією сили, що змінюється за законом (2), описується лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку. Розв'язок цього рівняння має вигляд:

, (6)

або

. (7)

При цьому повинна здійснюватись умова: .

Отже, рух систем, що перебувають під дією сили , являє собою гармонічне коливання.

Зміщення матеріальної точки будемо визначати за формулою (6), тоді швидкість її одержимо у вигляді:

. (8)

I прискорення:

. (9)

З порівняння (6) і (8) слідує, що при гармонічному коливальному русі прискорення тіла прямопропорційне зміщенню його від положення рівноваги і має протилежний йому знак, тобто:

. (10)

Виразивши циклічну частоту через період , з (8) і (9) одержимо:

; . (11)



З цих рівнянь зрозуміло, що швидкість і прискорення точки, що коливається, є періодичними функціями, з періодом ,тобто з періодом коливального процесу. З рівняння (10) можна зробити такі висновки: 1) прискорення при гармонічних коливаннях пропорційне зміщенню і протилежне до нього за напрямом: 2) відношення є сталою величиною, оскільки циклічна частота гармонічних коливань даного тіла або системи незмінна.

Розглянемо графіки , , , прийнявши ц=0. Тоді:

, (12)

де відповідає максимальному значенню швидкості і називається амплітудою швидкості,

, (13)

де _ максимальне значення прискорення, називається амплітудою прискорення. Порівнюючи рівняння (12), (13), можна відзначити, що вони змінюються за однаковим гармонічним законом, однак фаза швидкості відмінна від фази зміщення на , а фаза прискорення _на .

На рис. 2 представлені графіки , , , причому час позначається в частках . Період відповідає зміні фази на , а час _ фазі .

Гармонічне коливання може бути задане також за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливань, а напрям утворює з віссю кут, що дорівнює початковій фазі коливання. Таке графічне зображення коливального процесу називається векторною діаграмою.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Графік коливань , і .

Хід роботи

1. Визначити коефіцієнт пружності пружини , виходячи із співвідношення (1), за умови, що пружина має початкове навантаження і видовження , тобто:

;

; ; ,

_ різниця між кінцевим і початковим видовженнями. Вимірювання проводять для кожної пружини трьома різними тягарцями.

2. Визначити залежність періоду власних коливань пружинного маятника від маси тягарця. Для цього вимірюють секундоміром період власних коливань для однієї з пружин з власними тягарцями. Період визначають з 10-15 повних коливань, змінюючи їх кількість: .

3. Розрахувати теоретично, за формулою , і порівняти з експериментальними значеннями. Пояснити розбіжність результатів.

4. Визначити циклічну частоту для різних значень за формулою .

5. Визначити початкову фазу коливань системи за формулою (6) заумови.

6. Побудувати графіки залежностей , , за формулами (6-9).

7. Результати вимірювання таобчисленнязанести у табл. 1, табл. 2.

Таблиця 1

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,	,	,
1 2 3

Таблиця 2

Результати вимірювання та обчислення

№ п/п	,	,		,	,
1 2 3

.

Размещено на Allbest.ru