Комплексные числа для расчета цепей синусоидального тока
Теоретические сведения о комплексных числах, которые используются в электротехнике для расчета электрических цепей символическим методом. Понятие комплексной амплитуды синусоидальной функции времени и ее представление вектором на комплексной плоскости.
| Рубрика | Физика и энергетика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 24.01.2015 |
| Размер файла | 258,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ ВОЛГОГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ КАФЕДРА "ЭЛЕКТРОТЕХНИКА”
С.И. Николаева
Комплексные числа для расчета цепей синусоидального тока
Методические указания к самостоятельной работе
Волгоград 2013
Рецензент: канд. техн. наук, доц. Поляков С.В.
Печатается по решению редакционно-издательского отдела
Волгоградского государственного технического университета
Комплексные числа для расчета цепей синусоидального тока: метод. указания к самостоятельной работе / сост. С.И. Николаева/ ВолгГТУ. - Волгоград, 2013. - 16 с.
В методических указаниях изложены краткие теоретические сведения о комплексных числах, используемые в электротехнике для расчета электрических цепей символическим методом. Приводятся примеры расчета. Вводится понятие комплексной амплитуды синусоидальной функции времени и ее представление вектором на комплексной плоскости.
Работа предназначена для самостоятельного изучения темы и применения комплексных чисел в электротехнических расчетах. Методические указания рекомендованы к использованию при изучении курсов "Общая электротехника", "Электротехника и электроника" студентами всех технических специальностей.
Ил.8. Библиогр.2 назв.
@ Волгоградский государственный технический университет, 2013
Светлана Ивановна Николаева
Содержание
- 1. Комплексные числа для расчета цепей синусоидального тока
- Методические указания к самостоятельной работе
- Понятие комплексного числа
- Представление комплексных чисел на плоскости
- Модуль и фаза комплексного числа
- Показательная форма записи комплексного числа
- Формы записи комплексного числа
- Вычитание комплексных чисел
- Умножение комплексных чисел
- Комплексно-сопряженные числа
- Деление комплексных чисел
- Понятие комплексной амплитуды синусоидальной функции
- Список рекомендуемой литературы
1. Комплексные числа для расчета цепей синусоидального тока
Методические указания к самостоятельной работе
План выпуска внутривузовских заказных изданий на 2013 г. Поз. №
Подписано в печать. Формат 60х84 1/16. Бумага газетная.
Гарнитура Times. Печать офсетная. Усл. печ. л.
Тираж экз. Заказ
Волгоградский государственный технический университет.
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп.1.
Отпечатано в типографии ВолгГТУ
400131, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, корп.7.
Понятие комплексного числа
Комплексные числа являются расширением множества действительных чисел. В результате расширения множества действительных чисел было введено понятие мнимой единицы , которая существует на множестве комплексных чисел, но не существует на множестве действительных. Мнимая единица удовлетворяет равенству:
. (1)
Комплексное число можно представить в виде:
(2)
комплексное число синусоидальный ток
где носит название действительной (или реальной) части и обозначается , а носит название мнимой части и обозначается как .
Совокупность всех чисел вида называется множеством комплексных чисел.
Пример 1. Для каждого из заданных комплексных чисел найти действительную и мнимую части.
1). .
Действительная часть: ; мнимая часть: .
2). .
Действительная часть: ; мнимая часть: .
3). .
Действительная часть: ; мнимая часть: .
4) .
Действительная часть: ; мнимая часть: .
5). .
Действительная часть: ; мнимая часть: .
Представление комплексных чисел на плоскости
Графически все множество действительных чисел можно представить на бесконечной числовой прямой. Комплексные числа можно трактовать как расширение числовой прямой до комплексной плоскости, а каждое комплексное число можно представить как точку на комплексной плоскости (рис. 1). При этом все множество действительных чисел будет представляться прямой на комплексной плоскости.
Рис. 1: Представление комплексного числа на плоскости
Комплексная плоскость делится осями координат (прямой действительных чисел и прямой мнимых чисел ) на четыре четверти.
Любое комплексное число будет представляться точкой на комплексной плоскости с координатами и . Если число не содержит мнимой части, то оно действительное и находится на прямой, а если число не содержит реальной части, то оно называется чисто мнимым и находится на оси .
Модуль и фаза комплексного числа
Если из начала координат комплексной плоскости к точке восстановить вектор, то можно вычислить длину этого вектора как
(3)
где ? действительное число, характеризующее длину вектора, называется модулем комплексного числа. Сам вектор комплексного числа повернут относительно оси на некоторый угол, называемый фазой (аргументом) комплексного числа. Связь реальной и мнимой частей комплексного числа с его амплитудой и фазой представлено следующим выражением:
(4)
Тогда комплексное число можно представить в тригонометрической форме:
(5)
Связь угла поворота вектора комплексного числа с реальной и мнимой частью комплексного числа можно записать в виде:
(6)
Тогда
, (7)
где учитывает четверть комплексной плоскости, в которой расположено число:
(8)
Для того чтобы понять смысл функции рассмотрим четыре варианта изображения комплексного числа, как это показано на рисунке 2.
а) б)
в) г)
Рис. 2. Вычисление угла поворота вектора комплексного числа
Рисунок 2. а. , и , вектор в первой четверти плоскости. В этом случае .
Рисунок 2. б. , и , вектор во второй четверти плоскости. В этом случае. .
Рисунок 2. в. , и вектор в третьей четверти плоскости. В этом случае .
Рисунок 2. г. , и вектор в четвертой четверти плоскости. В этом случае
.
Показательная форма записи комплексного числа
Существует также показательная форма комплексного числа, связанная с тригонометрической по формуле Эйлера:
. (9)
Рассмотрим более подробно мнимую единицу в четной и нечетной степенях. Выражение (1) задало, тогда, в свою очередь. Таким образом можно рекуррентно записать:
. (10)
Построим аналогичным образом рекуррентное соотношение для нечетных степеней: тогда, в свою очередь, получим:
(11)
Сделаем несколько важных замечаний.
1). . (12)
2). . (13)
3). . (14)
Формы записи комплексного числа
Любое комплексное число можно записать в одной из форм:
· алгебраической: ;
· тригонометрической ;
· показательной .
Перевод из одной формы записи в другую определяется формулами, приведенными выше. Для упрощения перевода из одной формы в другую изобразим комплексное число на комплексной плоскости (рис. 3).
Рис. 3. Различные формы записи комплексного числа
Из рисунка легко получить переход от одной формы записи комплексного числа в другую. Например,
из алгебраической - в показательную:
,
где рассчитываются в соответствии с выражениями (8);
из показательной - в алгебраическую:
Перевод из одной формы записи в другую необходим при аналитических расчетах с комплексными числами.
Пример 2. Задано комплексное число . Представить его в тригонометрической и показательной формах.
Решение
Модуль комплексного числа:
.
Фаза (аргумент):
.
|
Тригонометрическая форма: |
Показательная форма: |
|
Пример 3. Задано комплексное число . Представить его в тригонометрической и показательной формах.
Решение
Модуль комплексного числа:
.
Фаза (аргумент):
.
|
Тригонометрическая форма: |
Показательная форма: |
|
Пример 4. Задано комплексное число . Представить его в тригонометрической и показательной формах.
Решение
Модуль комплексного числа:
.
Фаза:
.
|
Тригонометрическая форма: |
Показательная форма: |
|
Пример 5. Задано комплексное число . Представить его в алгебраической форме.
Решение
Алгебраическая форма: .
1. Операции с комплексными числами
Сложение комплексных чисел.
Сумма двух комплексных чисел и есть также комплексное число:
. (15)
Как следует из выражения (15) при сложении комплексных чисел реальные и мнимые части чисел также складываются.
На комплексной плоскости операцию сложения можно реализовать как сложение векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рис.4).
Рис. 4. Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел
Разность двух комплексных чисел и есть также комплексное число:
. (16)
Как следует из выражения (16) при вычитании комплексных чисел реальные и мнимые части чисел также вычитаются.
Рис. 5. Вычитание комплексных чисел
На комплексной плоскости операцию вычитания можно реализовать как вычитание векторов комплексных чисел по правилу параллелограмма (рис.5). На первом шаге из вектора формируется вектор , после чего вектор складывается с вектором по правилу параллелограмма.
Умножение комплексных чисел
Для того чтобы получить формулу для умножения комплексных чисел и , необходимо перемножить два комплексных числа по правилу умножения многочленов:
(17)
Таким образом, получили также комплексное число. Умножать в явном виде комплексные числа не очень удобно, гораздо проще представить их в показательной форме и перемножить:
(18)
При перемножении в показательной форме модули комплексных чисел перемножаются, а фазы складываются.
Из выражений (12) - (14) следует, что умножение комплексного числа на чисто мнимое число приводит к повороту вектора на против часовой стрелки, умножение комплексного числа на приводит повороту вектора на угол , а умножение комплексного числа на приводит к повороту вектора на по часовой стрелке. Это очень важное замечание для расчета электрических цепей, так как емкости и индуктивности имеют чисто мнимые сопротивления и служат для поворота вектора комплексного тока или напряжения.
Комплексно-сопряженные числа
Числа и называются комплексно-сопряженными. Комплексно-сопряженное число обозначается звездочкой . У комплексно-сопряженных чисел модули равны, а фазы равны по величине и имеют противоположные знаки:
. (19)
Произведение комплексно-сопряженных чисел (16) равно:
(20)
Произведение комплексно-сопряженных чисел есть действительное число, равное квадрату модуля этих чисел. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел представлено на рис. 6.
Рис. 6. Векторное представление комплексно-сопряженных чисел
Из этого представления можно записать комплексно-сопряженные числа в показательной форме:
и . (21)
Деление комплексных чисел
Последняя операция, которую осталось рассмотреть, - операция деления комплексных чисел. Рассмотрим деление в показательной форме:
, (22)
где .
Таким образом, при делении комплексных чисел их модули делятся а фазы вычитаются. При делении необходимо, чтобы .
Отметим, операции сложения и вычитания удобнее выполнять в алгебраической форме, тогда как умножать и делить комплексные числа быстрее и легче в показательной форме.
Пример 6. Рассчитать выражение, представив результат в алгебраической и показательной форме:
.
Решение.
Последовательно будем преобразовывать комплексные числа из одной формы записи в другую. При этом, если производится умножение или деление комплексных чисел, то все числа переводим в показательную форму, а если производится сложение или вычитание чисел, то переводим в алгебраическую форму.
Понятие комплексной амплитуды синусоидальной функции
Расчет цепей синусоидального тока облегчается, если изображать синусоидально изменяющиеся во времени величины векторами или комплексными числами.
Пусть, например, ток электрической цепи изменяется по синусоидальному закону:
(23)
В прямоугольной системе координат расположим вектор , длина которого равна амплитуде , под углом относительно положительного направления оси OX (рис. 7) (положительные углы откладываются против, а отрицательные - по направлению движения часовой стрелки).
Рис. 7. Представление синусоидальной величины на комплексной плоскости
Пусть, начиная с момента времени , вектор вращается вокруг начала координат с постоянной угловой скоростью . Его проекция на ось OY равна мгновенному значению .
Таким образом, между мгновенным значением и вектором устанавливается однозначная связь.
Если считать ось OX осью действительных чисел (обозначим ее (+1)), а ось OY - осью мнимых чисел (обозначим ее ()), то вектор соответствует комплексному числу с модулем и аргументом (фазой) . Это комплексное число называется комплексной амплитудой синусоидальной величины.
Если вектор , начиная с момента времени , вращается против движения часовой стрелки с угловой скоростью , то ему соответствует комплексная функция времени:
(24)
Мнимая часть этой функции (без ) равна рассматриваемой синусоидальной величине. Таким образом, между мгновенным значением и ее изображением на комплексной плоскости устанавливается однозначная связь.
Метод расчета электрических цепей, основанный на изображении синусоидальных функций комплексными числами, называется методом комплексных амплитуд или символическим методом.
При исследовании цепей синусоидального тока приходится суммировать, вычитать, умножать и делить синусоидальные функции одинаковой частоты, но с различными амплитудами и начальными фазами. Непосредственно совершать эти операции с гармоническими функциями связано с трудоемкими тригонометрическими преобразованиями. Значительно проще решается эта задача при помощи векторной диаграммы или аналитически с использованием метода комплексных амплитуд.
Отметим, что при анализе электрических цепей часто необходимо знать только действующие значения синусоидальных величин и их сдвиг по фазе относительно друг друга. В этом случае положение начальная фаза одной из рассматриваемых величин выбирается произвольной (например, равной нулю), а модули комплексных чисел (длины векторов) принимаются равными действующим значениям (например, действующее значение тока равно ). Тогда такое комплексной число (или вектор) называют комплексным действующим значением.
Пример 7. Записать мгновенные значения, комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжения и тока, векторы которых представлены на рисунке 8.
Амплитудные значения:
; ; ;
; ; .
Рис. 8. Векторы токов и напряжений на комплексной плоскости к примеру 8.
Решение
Мгновенные значения:
Комплексные амплитуды:
Комплексные действующие значения:
Список рекомендуемой литературы
1. Касаткин, А.С. Электротехника. / А.С. Касаткин, М.В. Немцов. - М.: Издательский центр "Акадения", 2007. - 544с.
2. Зевеке, Г.В. Основы теории цепей. Учебник для вузов. / Г.В. Зевеке, П.А. Ионкин, А.В. Нетушил, С.В. Страхов. ?М.: Энергоатомиздат, 1989. - 528с.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Расчет эквивалентных параметров цепей переменного тока. Применение символического метода расчета цепей синусоидального тока. Проверка баланса мощностей. Исследование резонансных явлений в электрических цепях. Построение векторных топографических диаграмм.
контрольная работа [1,4 M], добавлен 09.02.2013Метод комплексных амплитуд. Напряжение на активном сопротивлении. Применение комплексных величин для расчётов цепей переменного тока. Отношение комплексной амплитуды напряжения к амплитуде силы тока. Определение комплексного сопротивления участка цепи.
реферат [280,7 K], добавлен 20.03.2016Элементы R, L, C в цепи синусоидального тока и фазовые соотношения между их напряжением и током. Методы расчета электрических цепей. Составление уравнений по законам Кирхгофа. Метод расчёта электрических цепей с использованием принципа суперпозиции.
курсовая работа [604,3 K], добавлен 11.10.2013Общие теоретические сведения о линейных и нелинейных электрических цепях постоянного тока. Сущность и возникновение переходных процессов в них. Методы проведения и алгоритм расчета линейных одно- и трехфазных электрических цепей переменного тока.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 01.02.2012Расчет линейной электрической цепи постоянного тока, а также электрических цепей однофазного синусоидального тока. Определение показаний ваттметров. Вычисление линейных и фазных токов в каждом трехфазном приемнике. Векторные диаграммы токов и напряжений.
курсовая работа [1,2 M], добавлен 21.10.2013Основные элементы и характеристики электрических цепей постоянного тока. Методы расчета электрических цепей. Схемы замещения источников энергии. Расчет сложных электрических цепей на основании законов Кирхгофа. Определение мощности источника тока.
презентация [485,2 K], добавлен 17.04.2019Общий анализ линейных электрических цепей постоянного и синусоидального тока в установившемся режиме. Изучение трехфазных цепей при различных схемах соединения нагрузки. Правила расчета мощности и тока для соединения с несинусоидальным источником.
контрольная работа [1,9 M], добавлен 05.07.2014Порядок расчета неразветвленной электрической цепи синусоидального тока комплексным методом. Построение векторной диаграммы тока и напряжений. Анализ разветвленных электрических цепей, определение ее проводимости согласно закону Ома. Расчет мощности.
презентация [796,9 K], добавлен 25.07.2013Применение методов наложения, узловых и контурных уравнений для расчета линейных электрических цепей постоянного тока. Построение потенциальной диаграммы. Определение реактивных сопротивлений и составление баланса мощностей для цепей переменного тока.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 29.07.2013Параметры синусоидальных токов. Алгебра комплексных чисел и законы цепей в символической форме. Фазовые соотношения между напряжением и током. Векторные и топографические диаграммы, передача мощности от активного двухполюсника в цепи синусоидального тока.
реферат [1,3 M], добавлен 24.11.2010
