Спектральний аналіз сигналів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Завдання на курсову роботу з дисципліни «Сигнали і спектри»

1. Згідно заданому варіанту (таб. 1, номер варіанту відповідає номеру у списку студентів) записати математичну модель сигналу u(t), обравши значення затримки t_з =n ?? та t_з = 2·??, n=1,2.

2. Спектральний аналіз неперіодичних сигналів.

2.1.В результаті спектрального аналізу неперіодичних сигналів u(t-??) та u(t-2·??) розрахувати модуль та аргумент дійсну та уявну частини спектральної щільності і енергетичний спектр W_i(щ)^* сигналу та побудувати всі залежності в одному масштабі.

2.2. Оцінити ширину спектра заданого сигналу за критеріями 90 % та 95 % енергії. Відновити сигнал u(t-??) та u(t-2·??) за критеріями 90 %, 95 % та 99 % енергії**.

3. Спектральний аналіз періодичних сигналів.

3.1.Провести спектральний аналіз сигналу u(t+k·T). Ввести нормування періоду сигналу у часі. Побудувати спектри амплітуд (A_n) та фаз (ш_n) періодичних сигналів u(t+T₁) та u(t+T₂). Обрати T₁ = 10·?? та T₂ = 20·??. По даним, одержаним у пункті 3 для |S(j·щ)| обчислити величини коефіцієнтів A_n. Порівняти результати розрахунків коефіцієнтів A_n спектрів двома методами.

3.2.За отриманими у пункті 3.1 даними провести синтез сигналів u_i(x)^* при n = 6, 25, 50, 100^**.

4. Модульовані сигнали.

4.1.Записати вирази для АМ та БАМ носійної за законом заданого (у пункті 1) керувального сигналу.

4.2.Розрахувати і побудувати спектрограми амплітудо-частотного (АЧС) і фазо - частотного (ФЧС) спектрів періодичних радіоімпульсів з АМ та БАМ, описаних в пункті 4.1, прийнявши, що тривалість ?? імпульсів в 100 разів більше періоду T₀ коливань носійної частоти.

5. Кореляційний аналіз сигналів.

5.1.Розрахувати та побудувати АКФ сигналу, дослідженого у пункті 1.

5.2.Побудувати ВКФ синхронізованих (при ??=0) сигналів u(x,??) та прямокутного імпульсу, однакової тривалості.

5.3.Побудувати ВКФ синхронізованих (при ??=0) сигналів u(x,??) та сигналу для вашого варіанту, що заданий у таблиці 2.

6. Розглянути проходження детермінованого сигналу, дослідженого у пункті 1, через лінійні системи з постійними параметрами (RC - ФНЧ та ФВЧ за умов, що постійна часу кола ??_c: а) ??>>??₀, б) ??<<??₀, в) ??=??₀, де ??₀ - тривалість імпульсу). Привести графіки вхідного та вихідного сигналів для випадків 6а, 6б та 6в.

Примітки:

* Тривалість заданого відеоімпульсу у всіх варіантах прийняти за 100 мксек.

* Розраховувати і будувати спектрограми доцільно використовуючи нормовану частоту.

Вся робота виконана по методичним вказівкам до виконання курсової роботи з дисципліни: «Сигнали та спектри».



ЗМІСТ

ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ

1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИГНАЛУ

2. СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ НЕПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

2.1 Спектральні характеристики сигналу

2.2 Ширина спектра заданого сигналу

3. СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ ПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

3.1 Спектри періодичного сигналу

3.2 Синтез періодичного сигналу

4. МОДУЛЬОВАНІ СИГНАЛИ

4.1 Амплітудна та балансно-амплітудна модуляція

4.2 Спектрограми радіоімпульсів з АМ та БАМ

5. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ СИГНАЛІВ

5.1 Автокореляційна функція сигналу

5.2 Взаємно кореляційна функція сигналу

5.3 Взаємно кореляційна функція заданого сигналу та сигналу з лабораторної роботи

6. ПРОХОДЖЕННЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ СИГНАЛІВ ЧЕРЕЗ ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ З ПОСТІЙНИМИ ПАРАМЕТРАМИ (СТАЦІОНАРНІ ФНЧ ТА ФВЧ)

ВИСНОВКИ



ПЕРЕЛІК СКОРОЧЕНЬ

АМ - амплітудна модуляція

АЧХ - амплітудно-частотна характеристика

БАМ - балансна амплітудна модуляція

ФВЧ - фільтр високих частот

АКФ - автокореляційна функція

ВКФ - взаємокореляційна функція

ФНЧ - фільтр низьких частот

ФЧХ - фазочастотна характеристика

АЧС - амплітудно-частотний спектр

ФЧС - фазочастотний спектр



1. МАТЕМАТИЧНА МОДЕЛЬ СИГНАЛУ

Для варіанту сигнал u(t) виглядає наступним чином:

Рис. 1.1 - Початковий сигнал u(t)

Запишемо математичну модель сигналу u(t) :

Проведемо нормування сигналу u(t) , перейшовши до змінної . Отримаємо:

Рис. 1.2 - Графіки заданих нормованих сигналів: u(x), u(x-??₀)



2. СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ НЕПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ

2.1 Спектральні характеристики сигналу

Для знаходження спектральної густини сигналу u(t) використаємо формули (2.1;2.2) та розрахуємо його АЧС, ФЧС та енергетичний спектр .

Для t₁=ф₀:

(2.1)

Для t₁=2ф₀:

(2.2)

Для х₁=ф₀ отримуємо відповідні спектрограми , і представлені на рис. 2.1-2.4:

Рис. 2.1 - Амплітудо-частотний спектр (модуль спектральної густини) сигналу u(x-ф₀)

Рис. 2.2 - Фазово-частотний спектр заданого сигналу u(x-ф₀)



Рис. 2.3 - Дійсна та уявна частини спектральної щільності сигналу u(x-ф₀)

Рис. 2.4 - Спектральна густина енергії сигналу u(x-ф₀)

Для х₁=2ф₀ відповідні спектрограми , і представлені на рис. 2.5-2.8:



Рис. 2.5 - Амплітудо-частотний спектр зміщеного сигналу u(x-2ф₀) (модуль спектральної густини)

Рис. 2.6 - Фазово-частотний спектр зміщеного у часі сигналу u(x-2ф₀)



Рис. 2.7 - Дійсна та уявна частини спектральної щільності зміщеного у часі сигналу u(x-2ф₀)

Рис. 2.8 - Спектральна густина енергії зміщеного у часі сигналу u(x-2ф₀)

Проведемо аналіз отриманих даних. Для цього побудуємо залежності модулів та аргументів спектральної щільності, A(щ), B(щ), W(щ) для сигналів u(x) та u(x-??) на одному графіку (рис. 2.9 - 2.12).

Для спрощення аналізу на рис. 2.11 - 2.12 представлено фрагменти аргументів спектральних щільностей, A(щ) та B(щ) сигналів u(x-ф₀) та u(x-2ф₀) на інтервалі щ є [0; 40].

Рис. 2.9 - Порівняння графіків АЧС для заданого u(x-ф₀) та зміщеного у часі u(x-2ф₀) сигналів

Рис. 2.10 - Порівняння графіків ФЧС для заданого u(x-ф₀) та зміщеного у часі u(x-2ф₀) сигналів



Рис. 2.11 - Порівняння графіків дійсної частини спектральної щільності для заданого u(x-ф₀) та зміщеного у часі u(x-2ф₀) сигналів

Рис. 2.12 - Порівняння графіків уявної частини спектральної щільності для заданого u(x-ф₀) та зміщеного у часі u(x-2ф₀) сигналів



Рис. 2.13 - Порівняння графіків енергетичного спектра для заданого u(x-ф₀) та зміщеного у часі u(x-2ф₀) сигналів

Як бачимо, АЧС, для початкового сигналу u(x-ф₀), і зсунутого в часі u(x-2ф₀) (рис. 2.9) ідентичні, тоді як ФЧС (рис. 2.10) відрізняються. Це пояснюється тим , що за теоремою про запізнення добавляється множник еxp(-jщt₁) різний для різних t₁ , що впливає тільки на ФЧС.

2.2 Ширина спектра заданого сигналу

Оцінку ширини спектру сигналу u(x) проведемо графічно-аналітичним методом. Для цього спочатку знайдемо повну енергію сигналу:

(2.3)

Верхня межа інтегрування вибрана рівною 100, після аналізу залежності представленої на рис. 2.4 (W₁(100)>0).

Із (2.3) одержимо:

Введемо функцію W₁₁(y) = W(y)/W_poln, що показує у відсотках відношення енергії у смузі частот 0 - y до повної енергії W₁₁(?) сигналу u(x-ф₀):

За графіком оцінимо ширину енергетичного спектру:

Рис. 2.14 - Графік залежності енергії спектру від ширини полоси

Як бачимо із графіка (рис. 2.14) 90% енергії зосереджена у смузі (0 до 4.86) рад/с. 95% енергії зосереджено в смузі від (0 до 8.4) рад/с.

Перейдемо від нормованих величин до розмірних.

За критерієм 90%:

Дщ = 4.86 рад/мкс;



Дf = Дщ/(2???);

Дf = 4.86/(2•3,14·10^-6) = 0.77·10⁶ Гц = 0.77 МГц.

За критерієм 95%:

Дщ = 8.4 рад/мкс;

Дf = Дщ/(2???);

Відновимо сигнал u(x), виконавши обернене перетворення Фур'є, підставляючи у якості верхньої межі інтегрування значення, одержані при розрахунках W₁₁(y) (y_i, де i = 90 %, i = 95 % та i = 99 %).

Вид відновлених сигналів представлено на рис. 2.15 - 2.18.

Рис. 2.15 - Відновлений сигнал u(x-ф₀) при y₉₀ = 4.86

Рис. 2.16 - Відновлений сигнал u(x-ф₀) при y₉₅ = 8.4

Рис. 2.17 - Відновлений сигнал u(x-ф₀) при y₉₉ = 35

Аналогічно визначимо вид сигналу u(x-2ф₀) тільки при y₉₉ = 35.



Рис. 2.18 - Відновлений сигнал u(x-2ф₀) при y₉₉ = 35

В обох випадках в результаті синтезу отримали заданий сигнал, на рис. 2.17, 2.18 спостерігаємо явище Гіббса, це результат того що сигнал має різкі переходи.



3. СПЕКТРАЛЬНИЙ АНАЛІЗ ПЕРІОДИЧНИХ СИГНАЛІВ.

3.1 Спектри періодичного сигналу

При проведенні спектрального аналізу періодичного сигналу спочатку необхідно записати вирази для періодичних сигналів u_i(t+k·T_i) (i = 1;2) з періодами T₁ = 10?ф та T₂ = 20?ф, та побудувати їх графіки. Розрахунки доцільно проводити для нормованого часу x = t/T_i.

Нормування проводимо, прирівнюючи змінну часу t = x·T_i + k·T_i. Отже, записуємо математичні моделі сигналів:

де ??₀ - затримка сигналу.

Графіки нормованих періодичних сигналів з періодами T₁ та T₂ представленні відповідно на рис. 3.1 та 3.2.



Рис. 3.1 - Періодичний сигнал u₁(x)

Рис. 3.2 - Періодичний сигнал u₂(x)

Як видно з графіків, представлених на рисунках 3.1 та 3.2 відношення тривалості імпульсів при постійному періоді T для сигналів u₁(x) та u₂(x) дорівнює двом.

Проведемо розрахунки коефіцієнтів A_n та ш_n розкладу сигналів u₁(x) та u₂(x) у ряд Фур'є :

для сигналу u₁(x):

Отримані коефіцієнти представлені у таблиці 3.1:



Таблиця 3.1 - Коефіцієнти ряду Фур'є для сигналу u₁(x)

Для сигналу u₂(x):



Отримані коефіцієнти представлені у таблиці 3.2:

Таблиця 3.2 - Коефіцієнти ряду Фур'є для сигналу u₂(x)

Амплітудний та фазовий спектри для сигналу u₁(x) представлені на рис. 3.3 - 3.4, а сигналу u₂(x) рис. 3.5 - 3.6.



Рис. 3.3 - АЧС періодичного сигналу u₁(x)

Рис. 3.4 - ФЧС періодичного сигналу u₁(x)



Рис. 3.5 - АЧС періодичного сигналу u₂(x)

Рис. 3.6 - ФЧС періодичного сигналу u₂(x)

Розрахуємо значення для коефіцієнтів A_n за допомогою модулів спектральних щільностей за формулами:



3.2 За отриманими у пункті 3.1 даними провести синтез сигналів u_i(x).

За отриманими у попередньому пункті значеннями A_n та ш_n для сигналів u₁(x) та u₂(x) необхідно провести синтез цих сигналів при врахуванні різної кількості гармонік N (6, 25, 50, 100).

Для сигналу u₁(x) ряд Фур'є запишемо у вигляді:

Результати синтезу сигналу u₁(x) при різних значеннях N приведені на рис. 3.7 - 3.10.

Рис. 3.7 - Вид сигналу u₁(x) при N = 6



Рис. 3.8 - Вид сигналу u₁(x) при N = 25

Рис. 3.9 - Вид сигналу u₁(x) при N = 50



Рис. 3.10 - Вид сигналу u₁(x) при N = 100

Для сигналу u₂(x) ряд Фур'є запишемо у вигляді:

Результати синтезу сигналу u₂(x) при різних значеннях N приведені на рис. 3.11 - 3.14.



Рис. 3.11 - Вид сигналу u₂(x) при N = 6

Рис. 3.12 - Вид сигналу u₂(x) при N = 25



Рис. 3.13 - Вид сигналу u₂(x) при N = 50

Рис. 3.14 - Вид сигналу u₂(x) при N = 100

Як видно з рис. 3.3 и рис. 3.5, при збільшенні періоду періодичного сигналу u₁(x) в два рази, модуль спектральної щільності зменшився в два рази, ширина спектру залишилася незмінною, але збільшилася щільність паличок також у два рази.

Як видно з рис. 3.10 и рис. 3.14, при збільшенні кількості гармонік ми спостерігаємо явище Гіббса, яке простежується в тому, що виникають викиди на краях сигналу.



4. МОДУЛЬОВАНІ СИГНАЛИ

4.1 Амплітудна та балансно-амплітудна модуляція

У загальному випадку для амплітудно-модульованих коливань ми можемо записати :

U_АМ = U_m·[1+m·U_у(t)]·cos(щ_н·t+ц₀), (4.1)

Де U_m - амплітуда, щ_н - носійна частота, ц₀ - початкова фаза носійного коливання, m - коефіцієнт амплітудної модуляції, причому на керувальний сигнал накладається умова |U(t)|<1, [1+m·U_y(t)] - обвідна носійного високочастотного коливання, а для БАМ:

U_БАМ = U_m·m·U(t)·cos(щ_н·t+ц₀). (4.2)

Для спрощення викладок приймаємо, що початкові фази сигналів дорівнюють нулю, а m_i = m. Із умови щ_н>>Щ_ву (де Щ_ву - верхня гранична частота повідомлення, а щ_н = 10·Щ_ву). У якості керувального сигналу використовуємо той, який ми синтезували при 25 гармоніках з врахуванням виду представлення цього сигналу у розділі 3. Згідно (5.1) одержимо (v1(x,25) - це (3.2) при N = 25):

Осцилограми АМ сигналів при m = 0,5 та m = 1 наведені на рис. 4.1 та рис. 4.2 відповідно при нормованій амплітуді керувального сигналу (Uупр/Umу).

Рис. 4.1 - АМ сигнал при m = 0,5

Рис. 4.2 - АМ сигнал при m = 1

Згідно (4.2) для нормованого сигналу u(t) (для керуючого сигналу 3.2 при N = 25) вираз для БАМ сигналу виглядає наступним чином:

Осцилограма сигналу для випадку m = 1 приведена на рис. 4.3.

Рис. 4.3 - БАМ сигнал при m = 1

4.2. Спектрограми радіоімпульсів з АМ та БАМ

Запишемо вираз для АМ сигналу при умові представлення керуючого сигналу сумою двадцяти п'яти гармонік:

U_АМ = U_н•(1 + k_n•(A₀ + A₁?cos(щ₁?t + ц₁) + A₂?cos(2?щ₁?t + ц₂) +

+ A₃?cos(3?щ₁?t + ц₃) + … + A₂₅?cos(25?щ₁?t + ц₂₅)))·cos(щ_н·t + ц_н) =

= U_н•[1 + m₀•A₀ + Уmn·cos(n·щ1·t + цн)25n=1]·cos(щ_н·t + ц_н). (4.3)

АЧС та ФЧС АМ сигналу (4.3) при m = 0,5 та при m = 1 представлені на рис. 4.4 - 4.5 та 4.6 - 4.7 відповідно.

Розрахунки спектру АМ сигналу проводимо у наступному порядку.

Для m = 0,5:

Отримані результати представлені у таблиці 4.1.



Таблиця 4.1 - Коефіцієнти ряду Фур'є для сигналу з АМ

У випадку m = 1 розрахунки проводяться аналогічно.

Рис. 4.4 - АЧС АМ сигналу при m = 0,5



Рис. 4.5 - ФЧС АМ сигналу при m = 0,5

Рис. 4.6 - АЧС АМ сигналу при m = 1



Рис. 4.7 - ФЧС АМ сигналу при m = 1

В результаті аналізу спектру амплітудно-модульованого сигналу можна зробити висновок, що у спектрі цього сигналу, окрім носійного коливання присутні групи верхніх та нижніх бокових коливань. При чому спектр верхніх бокових коливань (щ > щ_n = 250) являється масштабною копією спектра керувального сигналу, зміщеного у область високих частот на величину щ_n.

Дослідимо БАМ сигнал для двох випадків. Перший випадок - це сигнал, досліджуваний для БАМ описаний вище, а другий буде побудований таким чином, щоб постійна складова цього сигналу A₀ дорівнювала 0 (тобто площа під цим сигналом за один період має дорівнювати нулю). Це необхідно для того, щоб показати, що в спектрі БАМ сигналу буде відсутнє коливання на носійній частоті:

Побудуємо осцилограму цього сигналу (рис. 4.8).

Рис. 4.8 - БАМ сигнал без A₀

Отже побудуємо АЧС (рис. 4.9) та ФЧС (рис. 4.10) для сигналу Ubam(x) та АЧС (рис. 4.11) та ФЧС (рис. 4.12) для сигналу Ubam2(x).

Для сигналу Ubam(x):



Рис. 4.9 - АЧС БАМ сигналу Ubam(x)



Рис. 4.10 - ФЧС БАМ сигналу Ubam(x)

Для сигналу Ubam2(x):



Отримані результати представлені у таблиці 4.3.

Таблиця 4.3 - Коефіцієнти ряду Фур'є для сигналу з БАМ без постійної складової



Рис. 4.11 - АЧС БАМ сигналу Ubam2(x)

Рис. 4.12 - ФЧС БАМ сигналу Ubam2(x)

Отже, як видно з рис. 4.11 за відсутності постійної складової у спектрі БАМ сигналу відсутня спектральна лінія на частоті щ_n.

Спектр сигналу з балансною АМ (рис. 4.11) відрізняється від спектру сигналу із звичайною АМ (рис. 4.9) відсутністю носійного коливання ( рівністю нулю його амплітуди ) . Бічні ж смуги у них однакові . Так що ширини спектрів АМ і БАМ - радіосигналів однакові.



5. КОРЕЛЯЦІЙНИЙ АНАЛІЗ СИНГАЛІВ

5.1 Автокореляційна функція сигналу

спектр сигнал детермінований лінійний

Для розрахунку АКФ заданого сигналу u(x) необхідно використовувати формулу :

, де ф₁ змінюється в інтервалі [-ф;ф]. (5.1)

Графік АКФ u(x), розрахований для заданого сигналу, представлений на рис. 5.1.

Рис. 5.1 - АКФ сигналу u(x)

Значення АКФ у нулі дорівнює:

Порівнюючи значення B(0) зі значенням повної енергії, отриманим у п. 2.2. спостерігаємо відмінність у значеннях W_poln(щ) та B(0) та особливості ходу графіку B(??) для нашого сигналу.

Враховуючи, що АКФ сигналу та його спектральна щільність зв'язані через обернене перетворення Фур'є, необхідно розрахуємо значення АКФ через W₁(щ) та провести порівняльний аналіз одержаних результатів. У цьому випадку АКФ розраховується за виразом:

Графік B₂(??) при щ_n = 100 приведений на рис. 5.2.

Рис. 5.2 - АКФ сигналу u(x)

Значення АКФ у нулі дорівнює B₂(0) = 1,16:

Відмінність у B₁(0) та B₂(0) пояснюється тим, що щ_n < 100 для B₁(щ).

Підтверджено, що АКФ сигналу парна функція часового зсуву копії сигналу, максимальна при нульовому зсуві, і цей максимум дорівнює енергії сигналу (рис. 5.1-5.2).

5.2 Взаємно кореляційна функція сигналу

Як приклад, розглянемо сигнал у вигляді прямокутного імпульсу f(x) та побудуємо на одному графіку сигнал u(x) та сигнал f(x) (рис. 5.3).

Представимо прямокутний імпульс через функції Хевісайда

Рис. 5.3 - Сигнали u(x) та f(x)

Запишемо функції для визначення ВКФ сигналів для випадків зміщеного сигналу f(x) відносно u(x) - B₁₂(??) та u(x) відносно f(x) - B₂₁(??):



(5.2)

(5.3)

Графіки B12(??1) та B21(??1), розраховані за (5.2) та (5.3) представлені на рис. 5.4 та 5.5 :

Рис. 5.4 - ВКФ сигналів u(x) та f(x)



Рис. 5.5 - ВКФ сигналів f(x) та u(x)

Для проведення аналізу ходу графіків побудуємо B₁₂(??₁) та B₂₁(??₁) на одному графіку (рис. 5.6).

Рис. 5.6 - Функції В₁₂(ф₁) та В₂₁(ф₁)



Із графіку, показаному на рис. 5.6 можна зробити висновок, що залежності B₁₂(??₁) та B₂₁(??₁) - ідентичні, це зумовлено тим що обидва сигнали є симетричними відносно осі їх симетрії .

5.3 Взаємно кореляційна функція заданого сигналу та сигналу з лабораторної роботи

Побудуємо на одному графіку сигнал u(x) та сигнал f₁(x), який є сигналом з лабораторної роботи (рис. 5.7).

Рис. 5.7 - Сигнали u(x,ф0) та f₁(x)



Графіки B₁₁₂(??₁) та B₁₂₁(??₁) наведені на рис. 5.8 та 5.9 відповідно.

Рис. 5.8 - ВКФ сигналів u(x,ф0) та f₁(x)

Рис. 5.9 - ВКФ сигналів f₁(x) та u(x,ф0)

Побудуємо функції В₁₁₂(ф₁) та В₁₂₁(ф₁) на одному графіку (рис. 10).

Рис. 5.10 - Функції B₁₂(ф₁) та B₂₁(ф₁)

З рис. 5.10 бачимо, що ВКФ не обов'язково є парною функцією відносно зсуву в часі, та не обов'язково максимальна при нульовому зсуві .

ВКФ взаємно оберненні відносно початку відліку ф=0, тобто В21(ф)=В12(-ф) і навпаки, тому , досить знайти лише одну із них , а іншу - записати , змінивши знак ф₁ на протилежний.



6. ПРОХОДЖЕННЯ ДЕТЕРМІНОВАНИХ СИГНАЛІВ ЧЕРЕЗ ЛІНІЙНІ СИСТЕМИ З ПОСТІЙНИМИ ПАРАМЕТРАМИ (СТАЦІОНАРНІ ФНЧ ТА ФВЧ)

Розглянемо проходження детермінованих сигналів через лінійні системи з постійними параметрами (стаціонарні ФНЧ та ФВЧ) за умов, що постійна часу кола ??_c: а) більше ??>>??₀, б) менше ??<<??₀, в) дорівнює ??=??₀ тривалості імпульсу).

Розрахунок відгуку лінійної системи (ЛС) у випадку дії сигналу u(x) проведемо спектральним методом:

S_вих(j·щ) = K(j·щ)·S_вх(j·щ), (6.1)

де S_вх(j·щ) - спектральна щільність заданого сигналу u(x), K(j·щ) - комплексний коефіцієнт передачі ЛС (розділ 3.1).

По розрахованій спектральній щільності вихідного сигналу ЛС, використовуючи обернене перетворення Фур'є визначимо залежність вихідного сигналу від нормованого часу u_вих(x). Вихідний сигнал розраховується за формулою:

U_вих(x) = (6.2)

Визначимо коефіцієнт передачі RC ФНЧ , схема якого приведена на рис. 6.1.



Рис. 6.1 - ФНЧ на RC

Комплексний коефіцієнт передачі ФНЧ визначається за наступним виразом:

де ф_с = R·C.

Так як тривалість нормованого у часовій області сигналу дорівнює 1, то постійні часу кола (ф_c) оберемо наступні: 0,1, 1 та 10. По отриманим результатам побудуємо модулі та аргументи коефіцієнтів передачі, які представлені на рис. 6.2 та 6.3 при різних значеннях постійної часу кола ф_с.



Рис. 6.2 - Залежність модуля коефіцієнту передачі |K(j·щ)| ФНЧ від нормованої частоти при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀

Рис. 6.3 - Залежність аргументу коефіцієнту передачі ФНЧ від нормованої частоти при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀



Спектральні густини вихідного сигналу за різних значень постійної кола представимо як функцію двох змінних щ₁ та ??_c.

(6.3)

Залежності модулів та аргументів спектральної щільності вихідного сигналу від частоти, розрахованих згідно з (6.3) для різних значень ??_c представлені на рис. 6.4 та 6.5, відповідно (враховуючи симетрію |S(j·щ)| графіки побудовано для щ > 0).

Рис. 6.4 - Модулі спектральних щільностей вихідних сигналів при нормованій частоті при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀



Рис. 6.5 - Аргументи спектральних щільностей вихідних сигналів при нормованій частоті при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀

Згідно з (6.2) вихідний сигнал визначається, як дійсна частина оберненого перетворення Фур'є. У виразі для розрахунку модуля спектральної щільності вихідного сигналу (6.2) врахуємо , що функція S(jщ) парна.

Вид вихідного сигналу ФНЧ при різних значеннях ф_с, коли у якості вхідного сигналу вибрано u(x), подано на рис. 6.6.



Рис. 6.6 - Вид вихідного сигналу ФНЧ при різних ф (??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀ )

Верхню межу інтегрування обрано 100, тому що при цьому значенні приріст модуля спектральної щільності прямує до нуля.

Проведемо розрахунки операторним методом, де

U_вих(s) = K(s)·U_вх(s). (6.4)

Вихідний сигнал у часовій області знайдемо за допомогою оберненого перетворення Лапласа :

U_вих(s) = LЇ№{U_вих(s)}.

Коефіцієнт передачі ФНЧ у операторній формі має вигляд:

Запишемо математичну модель вхідного сигналу у формі , що дозволяє спростити розрахунки U_вих(s):

Графік сигналу u_vx(x, ф₀) приведено на рис. 6.7.

Рис. 6.7 - Сигнал u_vx(x, ф₀)

Використовуючи пряме перетворення Лапласа, представимо сигнал u_vx(x, ф₀) у операторній формі :

Вихідний сигнал у операторній формі розраховується згідно з (6.4):

(6.6)

Використаємо обернене перетворення Лапласа для кожного із доданків виразу (6.6). Вихідний сигнал у часовій області отримаємо як суму доданків.

Графіки вихідних сигналів ФНЧ за різних значень постійної часу кола представлено рис. 6.8.

Рис. 6.8 - Вид вихідного сигналу ФНЧ при різних ?? (??<<??0, ??=??0 та ??>>??0) (при вхідному сигналі uvx(x,ф0))

Розрахунок вихідного сигналу u_вих(x) спектральним і операторним методами при проходженні сигналу u(x,ф0) через ФВЧ проводиться по тому ж алгоритму, що і для ФВЧ. Нижче приведено основні результати розрахунків і графіки залежностей.

Коефіцієнт передачі ФВЧ розраховується за формулою:

(6.7)

Так як тривалість нормованого у часовій області сигналу дорівнює 1, то постійні часу кола оберемо наступні: 0,1, 1 та 10. По отриманим результатам розрахунків (за різних значень постійної часу кола) по 6.7 побудуємо модулі коефіцієнтів передачі та аргументи коефіцієнтів передачі, які представлені на рис. 6.9 та 6.10.

Рис. 6.9 - Залежність модуля коефіцієнту передачі |K(j·щ)| ФВЧ від нормованої частоти при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀



Рис. 6.10 - Залежність аргументу коефіцієнту передачі |K(j·щ)| ФВЧ від нормованої частоти при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀

Спектральні густини вихідного сигналу за різних значень постійної кола представимо як функцію двох змінних щ1 та ??_с.

(6.8)

Залежності модулів та аргументів спектральної щільності вихідного сигналу від частоти, розрахованих згідно з (6.8) для різних значень ??_с представлені на рис. 6.11 та 7.12 відповідно (аналогічно 6.4 та 6.5).



Рис. 6.11 - Модулі спектральних щільностей вихідних сигналів при нормованій частоті при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀

Рис. 6.12 - Аргументи спектральних щільностей вихідних сигналів при нормованій частоті при ??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀



Згідно з (6.2) вихідний сигнал визначається, як дійсна частина оберненого перетворення Фур'є. У виразі для розрахунку модуля спектральної щільності вихідного сигналу (6.2) врахуємо , що функція S(jщ) парна.

Вид вихідного сигналу ФВЧ при різних значеннях ф_c, коли у якості вхідного сигналу вибрано u(x), подано на рис. 6.12.

Рис. 6.12 - Вид вихідного сигналу ФВЧ при різних ф(??<<??₀, ??=??₀ та ??>>??₀ )

Проведемо розрахунки операторним методом, де

U_вих(s) = K(s)·U_вх(s).

Вихідний сигнал у часовій області знайдемо за допомогою оберненого перетворення Лапласа :

U_вих(s) = LЇ№{U_вих(s)}.

Коефіцієнт передачі ФВЧ у операторній формі має вигляд:

Використовуючи пряме перетворення Лапласа, представимо сигнал u_vx(x, ф₀) у операторній формі :

Вихідний сигнал у операторній формі розраховується згідно з (6.4):

Використаємо обернене перетворення Лапласа для кожного із доданків виразу (6.11). Вихідний сигнал у часовій області отримаємо як суму доданків.

Графіки вихідних сигналів ФВЧ за різних значень постійної часу кола представлено рис. 6.13.

Рис. 6.13 - Вид вихідного сигналу ФВЧ при різних ?? (??<<??0, ??=??0 та ??>>??0) (при вхідному сигналі uvx(x,ф0))



Згідно отриманого результату (рис. 6.6, 6.8, 6.12, 6.13, ), при проходженні через ФНЧ спостерігається затягування фронту, а при пропусканні через ФВЧ - сколювання вершини.



ВИСНОВКИ

Згідно з таблицями 3.1 та 3.2 заданий сигнал є загального вигляду.

З отриманих графіків (рис. 2.9-2.13) видно, що затримка сигналу не впливає на АЧС та енергетичний спектр сигналу, але впливає на фазу, тому у ФЧС спостерігаються відмінності, чим доводиться виконання спектральної теореми про запізнювання.

Оцінили ширину спектра даного сигналу по критерію 90% енергії для t₁=ф_{0 .}

Повна енергія

Ширина спектра:

- для 90% ширина спектра склала 0,77 МГц.

Як видно з рис. 3.3 и рис. 3.5, при збільшенні періоду періодичного сигналу u₁(x) в два рази, модуль спектральної щільності зменшився в два рази, ширина спектру залишилася незмінною, але збільшилася щільність паличок також у два рази.

БАМ будується за формулою:

Аналізуючи значення сигналу A0 оцінюємо амплітуду несучої гармоніки. Якщо A0 = 0, амплітуда несучої гармоніки рівна 0, а якщо A0 ? 0, то амплітуда несучої гармоніки рівна A0*m. (рис. 4.9, 4.11).

За часовим представлення використовуємо формулу:

За АКФ можна визначити повну енергію сигналу, що дає змогу нам перевірити результат виконання роботи: B(0) = W_poln. По формі сигналу можна сказати, що АКФ буде симетричною, що підтверджується графіками (рис. 5.1, 5.2).

При дослідженні проходження сигналу відносно прямокутного імпульсу та сигналу з лабораторної роботи , тривалості сигналів були одинакові.

Отримані графіки (рис. 5.6) є симетричні, та повністю ідентичні, а для сигналу з лабораторної роботи (рис. 5.10) дзеркально відображені , це доводить що ВКФ не завжди парна функція .

При проходженні заданого сигналу u(t) через ФНЧ було помічено наступне: чим менша стала часу кола - тим більше схожий вихідний сигнал на заданий, а чим більша стала часу - тим більше спостерігалося затягування фронту сигналу .

У ФВЧ спостерігалась обернена закономірність: чим більша стала часу кола - тим більше схожий вихідний сигнал на заданий, а чим менша стала часу - тим більше спостерігалося сколювання вершини сигналу.

Размещено на Allbest.ru