Вероятностно-статистический анализ расходных характеристик технологического оборудования

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования Республики Беларусь

Белорусский национальный технический университет

Кафедра: ”Электроснабжение”

КУРСОВАЯ РАБОТА

По курсу: ”Математические задачи энергетики”

Тема: ”Вероятностно-статистический анализ расходных характеристик технологического оборудования”

Выполнил: студент группы 106311

Коледа И.А.

Проверила: Козловская В.Б.

Минск-2013

Содержание

1. Построение и анализ “мгновенных” гистограмм СВ ?W. Очистка исходных данных СВ ДW с использованием “мгновенных” гистограмм и по правилу “трёх сигм”. Построение итоговой гистограммы СВ ДW

2. Выравнивание статистического распределения СВ ДW итоговой выборки нормальным законом , проверка справедливости такого выравнивания с помощью критерия ч² Пирсона

3. Выравнивание статистического распределения СВ ДW итоговой выборки нормированным нормальным законом , проверка справедливости такого выравнивания с помощью критерия ч² Пирсона

4.Аппроксимация статистического распределения ДW(ДП) функциями вида: ДW(ДП)=аДП+b; ДW(ДП)=аДП^-b; ДW(ДП)=ае^bДП. Определение параметров и выбрать наилучший вид аппроксимирующей функции

5. Мониторинг точечной оценки удельного электропотребления ?W по выборкам. Определение его оптимального значения при ?П=?Пср на каждом этапе мониторинга

6. Мониторинг интервальной оценки удельного электропотребления по выборкам. Определение располагаемого диапазона регулируемой активной мощности при ?П=?Пср на каждом этапе мониторинга

Литература

1. Построение и анализ “мгновенных” гистограмм СВ ?W. Очистка исходных данных СВ ДW с использованием “мгновенных” гистограмм и по правилу “трёх сигм”. Построение итоговой гистограммы СВ ДW

гистограмма мгновенный энергопотребление удельный

Исходные данные ?W, кВт•ч/м³:

N=12

Выборка 1 Выборка 2

ДW	ДW+N/50	ДW-N/50		ДW	ДW+N/50	ДW-N/50
4,78	5,02	4,54		3,85	4,09	3,61
4,18	4,42	3,94		3,84	4,08	3,6
4,55	4,79	4,31		3,3	3,54	3,06
4,26	4,5	4,02		4,26	4,5	4,02
4,57	4,81	4,33		3,82	4,06	3,58
4,88	5,12	4,64		3,89	4,13	3,65
4,6	4,84	4,36		3,97	4,21	3,73
3,81	4,05	3,57		4,6	4,84	4,36
4,42	4,66	4,18		3,77	4,01	3,53
4,12	4,36	3,88		3,85	4,09	3,61

Выборка 3 Выборка 4

ДW	ДW+N/50	ДW-N/50		ДW	ДW+N/50	ДW-N/50
3,51	3,75	3,27		3,59	3,83	3,35
3,28	3,52	3,04		3,42	3,66	3,18
3,52	3,76	3,28		3,78	4,02	3,54
3,37	3,61	3,13		3,44	3,68	3,2
3,43	3,67	3,19		3,47	3,71	3,23
3,59	3,83	3,35		3,46	3,7	3,22
3,12	3,36	2,88		3,54	3,78	3,3
3,16	3,4	2,92		3,52	3,76	3,28
4,1	4,34	3,86		4,03	4,27	3,79
3,36	3,6	3,12		4	4,24	3,76

Сортированные значения ?W, кВт•ч/м³ по возрастанию

Выборка 1 Выборка 2 Выборка 3 Выборка 4

3,57	75.98	3,06	63.84	2,88	59	3,18
3,81	75.98	3,3	63.84	2,92	59	3,2
3,88	75.98	3,53	63.84	3,04	59	3,22
3,94	75.98	3,54	63.84	3,12	59	3,23
4,02	75.98	3,58	63.84	3,12	59	3,28
4,05	75.98	3,6	63.84	3,13	59	3,3
4,12	75.98	3,61	63.84	3,16	59	3,35
4,18	75.98	3,61	63.84	3,19	59	3,42
4,18	75.98	3,65	63.84	3,27	59	3,44
4,26	75.98	3,73	63.84	3,28	59	3,46
4,31	75.98	3,77	63.84	3,28	59	3,47
4,33	75.98	3,82	63.84	3,35	59	3,52
4,36	75.98	3,84	63.84	3,36	59	3,54
4,36	75.98	3,85	63.84	3,36	59	3,54
4,42	75.98	3,85	63.84	3,37	59	3,59
4,42	75.98	3,89	63.84	3,4	59	3,66
4,5	75.98	3,97	63.84	3,43	59	3,68
4,54	75.98	4,01	63.84	3,51	59	3,7
4,55	75.98	4,02	63.84	3,52	59	3,71
4,57	75.98	4,06	63.84	3,52	59	3,76
4,6	75.98	4,08	63.84	3,59	59	3,76
4,64	75.98	4,09	63.84	3,6	59	3,78
4,66	75.98	4,09	63.84	3,61	59	3,78
4,78	75.98	4,13	63.84	3,67	59	3,79
4,79	75.98	4,21	63.84	3,75	59	3,83
4,81	75.98	4,26	63.84	3,76	59	4
4,84	75.98	4,36	63.84	3,83	59	4,02
4,88	75.98	4,5	63.84	3,86	59	4,03
5,02	75.98	4,6	63.84	4,1	59	4,24
5,12	75.98	4,84	63.84	4,34	59	4,27

Для построения гистограмм выборки разбиваем на интервалы (разряды), по следующей формуле:

h = , (1.1)

где h-длина разряда; r-количество разрядов.

Находим длину разрядов выборок:

Выборка 1

h =(5,12-3,57)/5=0,31 кВт•ч/м³

Выборка 2

h =(4,84-3,06)/5=0,356 кВт•ч/м³

Выборка 3

h =( 4,34-2,88)/5=0,292 кВт•ч/м³

Выборка 4

h =(4,27-3,18)/5=0,218 кВт•ч/м³

Число значений, попавших в интервалы:

Выборка 1

Интервал ?W, кВт·ч/ м3	3,57-3,856	3,856-4,172	4,172-4,488	4,488-4,804	4,804-5,12
Значения ni	3	5	9	8	5

Выборка 2

Интервал ?W, кВт·ч/ м3	3,06-3,416	3,416-3,772	3,772-4,128	4,128-4,484	4,484-4,84
Значения ni	2	9	13	3	3

Выборка 3

Интервал ?W, кВт·ч/ м3	2,88-3,172	3,172-3,464	3,464-3,756	3,756-4,048	4,048-4,34
Значения ni	7	10	8	3	2



Выборка 4

Интервал ?W, кВт·ч/ м3	3,18-3,398	3,398-3,616	3,616-3,834	3,834-4,052	4,052-4,27
Значения ni	7	8	10	3	2

Анализ гистограммы выборки 1:

1. По форме гистограмма симметрична, островершинная;

2. Интервал наиболее частых значений (4,172ч4,488) кВт·ч/ м³;

3. Диапазон разброса (3,57ч5,12) кВт·ч/м³;

R=5,12-3,57=1,55 кВт·ч/м³

Анализ гистограммы выборки 2:

1. По форме гистограмма симметричная, островершинная;

2. Интервал наиболее частых значений (3,772ч4,128) кВт·ч/м³;

3. Диапазон разброса (3,06ч4,84) кВт·ч/м³ ;

R=4,84-3,06=1,78 кВт·ч/м³

Анализ гистограммы выборки 3:

1. По форме гистограмма симметрична, островершинная.

2. Интервал наиболее частых значений (3,172ч3,464) кВт·ч/м³;

3. Диапазон разброса (2,88ч4,34) кВт·ч/ м³;

R=4,34-2,88=0,292 кВт·ч/м³

Анализ гистограммы выборки 4:

1. По форме гистограмма симметрична, островершинная;

2. Интервал наиболее частых значений (3,616ч3,834) кВт·ч/ м³;

3. Диапазон разброса (3,18ч4,27) кВт·ч/ м³;

R=4,27-3,18= 1,09 кВт·ч/ м³

Очистка исходных данных СВ ДW по правилу “мгновенных” гистограмм

По итогам мгновенных гистограмм видно, что они не имеют грубых ошибок и локальных выбросов. Следовательно, все значения исходных выборок могут быть использованы в дальнейших расчетах.

Очистка исходных данных СВ ДW по правилу “трёх сигм”

Для очистки исходных данных случайных величин W выборок с помощью правила «трёх сигм» определяем: математическое ожидание M(?W), дисперсию D(?W), среднеквадратичное отклонение у(?W) для каждой выборки.

Расчёты для выборки 1

Математическое ожидание:

M(?W)= кВт·ч/ м³ (1.3)

Дисперсия:

D(?W)= (кВт·ч/м³)² (1.4)

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)=

у(?W)=кВт·ч/ м³ (1.5)

Интервал разброса:

M(?W)-3· у(?W)=4,417-3·=3,318 кВт·ч/ м³

M(?W)+3· у(?W)=4,417+3·=5,516 кВт·ч/ м³

Все значения выборки попали в интервал (3,318 ч5,516) кВт·ч/ м³

Расчёты для выборки 2

Математическое ожидание:

M(?W)= кВт·ч/ м³

Дисперсия:

D(?W)= (кВт·ч/м³)²

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)=

у(?W)=кВт·ч/ м³

Интервал разброса:

M(?W)-3· у(?W)=3,915-3·=2,793 кВт·ч/ м³

M(?W)+3· у(?W)=3,915+3·=5,037 кВт·ч/ м³

Все значения выборки попали в интервал (2,793 ч5,037) кВт·ч/ м³

Расчёты для выборки 3

Математическое ожидание:

M(?W)= кВт·ч/ м³

Дисперсия:

D(?W)= (кВт·ч/м³)²

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)=

у(?W)=кВт·ч/ м³

Интервал разброса:

M(?W)-3· у(?W)=3,444-3·=2,462 кВт·ч/ м³

M(?W)+3· у(?W)=3,444+3·=4,426 кВт·ч/ м³

Все значения выборки попали в интервал (2,462 ч4,426) кВт·ч/ м³

Расчёты для выборки 4

Математическое ожидание:

M(?W)= кВт·ч/ м³

Дисперсия:

D(?W)= (кВт·ч/м³)²

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)=

у(?W)=кВт·ч/ м³

Интервал разброса:

M(?W)-3· у(?W)=3,625-3·=2,745 кВт·ч/ м³

M(?W)+3· у(?W)=3,625+3·=4,504 кВт·ч/ м³

Все значения выборки попали в интервал (2,745 ч4,504) кВт·ч/ м³

Построение итоговой гистограммы

Для построения итоговой гистограммы, необходимо определить какие выборки мы можем объединить. Для выборок с объёмом n?30 для проверки гипотезы о равенстве двух центров распределений воспользуемся следующими формулами:

Наблюдаемое значение критерия:

t_набл.= (1.6)

где M(?W₁) и M(?W₂) - центры распределения (средние значения) соответственно выборок 1 и 2.

Для определения t_крит необходимо определить степень свободы k и б:

где б -уровень значимости, принимаем б=0,05.

После этого в Приложении №3 на ходим t_крит.

Данные по выборкам

Выборка	М(?W), кВт·ч/ м3	D(?W), (кВт·ч/м 3)2	n
1	4,417	0,1342	30
2	3,915	0,1398	30
3	3,444	0,1071	30
4	3,625	0,08597	30

Для выборок 1 и 2

По формуле (1.6) определим наблюдаемое значение критерия

t_набл.=

Определяем по Приложению 3(1.8)

Т.к. t_набл. , гипотеза о равенстве двух центров распределения не подтверждается, т.е. выборки не принадлежат одной генеральной совокупности и их нельзя объединять.

Примечание: для остальных выборок будет применяться одинаковое =2, т.к. б=0,05 одинаково для всех выборок.

Аналогично выполняем проверку для выборок 1-3, 1-4, 2-3, 2-4, 3-4 Результаты расчётов сводим в таблицу.

Проверка гипотезы о равенстве двух центров распределения.

Выборки	Наблюдаемые значения	Критические значения	Вывод по проверке гипотезы
1-2	5,25	2	Условие не выполняется
1-3	10,84	2	Условие не выполняется
1-4	9,245	2	Условие не выполняется
2-3	5,19	2	Условие не выполняется
2-4	3,3428	2	Условие не выполняется
3-4	2,256	2	Условие не выполняется

По результатам расчёта делаем вывод, что гипотезу принимаем для 3-4 выборок. Объединяем 3 и 4 выборки, т.к. у них наблюдаемое значение t_набл. ближайшее t_крит .

Отсортированные значения объединённых выборок

?W, кВт·ч/м3
2,88	3,27	3,43	3,6	3,78
2,92	3,28	3,44	3,61	3,79
3,04	3,28	3,46	3,66	3,83
3,12	3,28	3,47	3,67	3,83
3,12	3,3	3,51	3,68	3,86
3,13	3,35	3,52	3,7	4
3,16	3,35	3,52	3,71	4,02
3,18	3,36	3,52	3,75	4,03
3,19	3,36	3,54	3,76	4,1
3,2	3,37	3,54	3,76	4,24
3,22	3,4	3,59	3,76	4,27
3,23	3,42	3,59	3,78	4,34

Длина разряда

h =(4,34-2,88)/4=0,243кВт•ч/ м³

Интервал ?W, кВт·ч/ м3	2,88-3,123	3,123-3,366	3,366-3,609	3,609-3,852	3,852-4,095	4,095-4,338
Значения ni	10	11	16	15	4	4

Анализ итоговой гистограммы:

1. По форме гистограмма симметрична, островершинная;

2. Интервал наиболее частых значений (3,366ч3,609) кВт•ч/ м³;

3. Диапазон разброса (2,88ч4,388) кВт•ч/ м³;

R=4,388-2,88=1,508 кВт•ч/ м³

Зависимость удельного расхода электроэнергии ?W, кВт·ч/м³ от производительности ДП, м³/ч:

?W	ДП
3,27	43,8
3,04	48,8
3,28	41,8
3,13	39,8
3,19	36,8
3,35	45,8
2,88	45,8
2,92	41,8
3,86	38,8
3,12	48,8
3,51	45
3,28	50
3,52	43
3,37	41
3,43	38
3,59	47
3,12	47
3,16	43
4,1	40
3,36	50

3,75	46,2
3,52	51,2
3,76	44,2
3,61	42,2
3,67	39,2
3,83	48,2
3,36	48,2
3,4	44,2
4,34	41,2
3,6	51,2
3,35	45,8
3,18	41,8
3,54	48,8
3,2	42,8
3,23	45,8
3,22	47,8
3,3	46,8
3,28	41,8
3,79	38,8
3,76	36,8

3,59	47
3,42	43
3,78	50
3,44	44
3,47	47
3,46	49
3,54	48
3,52	43
4,03	40
4	38
3,83	48,2
3,66	44,2
4,02	51,2
3,68	45,2
3,71	48,2
3,7	50,2
3,78	49,2
3,76	44,2
4,27	41,2
4,24	39,2

Математическое ожидание:

M(?W)= кВт·ч/ м³

Дисперсия:

D(?W)= (кВт·ч/м³)²

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)=

у(?W)=кВт·ч/ м³

Интервал разброса:

M(?W)-3· у(?W)=-3·=2,5637 кВт·ч/ м³

M(?W)+3· у(?W)=+3·=4,5053 кВт·ч/ м³

Все значения выборки попали в интервал (2,5637ч4,5053) кВт·ч/ м³

2. Выравнивание статистического распределения СВ ДW итоговой выборки нормальным законом. Проверка справедливости выравнивания с помощью критерия чІ Пирсона

Перед выравниванием выборки нормальным законом определяем: частоты p^* интервалов случайных величин СВ W_i, плотности распределения частот f_i^*(W_i), середины интервалов W_i, математическое ожидание для середин интервалов M(W_i), дисперсию D(W_i), среднеквадратичное отклонение у(W_i).

Закон нормального распределения случайной величины

f(?W_i)= (2.1)

где М(W_i) - математическое ожидание:

M(W_i)=; (2.2)

W_i - значение середины разряда, кВт•ч/тыс•м³.

p_i^* -частота попадания в интервал,

p_i^* = (2.3)

где n_i - количество значений, попавших в интервал; n - объем выборки.

Математическое ожидание:

M(W_i)== 3,5345 кВт•ч/ м³

Дисперсия:

D(?W)= (2.4)

D(?W)=0,104725 (кВт•ч/ м³)²

Среднеквадратическое отклонение:

у(?W)===0,3236 кВт•ч/ м³ (2.5)

Значения нормального распределения случайной величины определяем по формуле (2.1):

для 1-ого интервала

f(?W₁)= =0,316

Плотность распределения частот:

f ^*(?W)= (2.6)

где h - длина разряда

f ^*(?W)=0,687

Вероятность попадания значений в интервал:

p_i (?W) = f(?W)•h (2.7)

p₁ (?W) = 0,316•0,243=0,077

Аналогично рассчитываем для остальных интервалов, результаты заносим в таблицу.

Результаты выравнивания нормальным законом

Разряды	2,88-3,123	3,123-3,366	3,366-3,609	3,609-3,852	3,852-4,095	4,095-4,338
ni	10	11	16	15	4	4
?Wi, кВт•ч/м3	3,0015	3,2445	3,4878	3,7311	3,9744	4,2177
pi*(?W)	0,167	0,183	0,267	0,25	0,067	0,067
f*(?W)	0,687	0,753	1,039	1,029	0,275	0,275
f(?W)	0,315	0,823	1,219	1,025	0,489	0,132
pi(?W)	0,077	0,199	0,296	0,249	0,119	0,032

Определяем координаты вершины:

(М(W); ) (3,5345;1,231) (2.8)

Координаты точек перегиба:

(М(W+у(?W)); ) (3,211;0,746) (2.9)

(М(W-у(?W)); ) (3,859;0,746) (2.10)

Проверяем гипотезу о нормальном распределении СВ ДW, используя критерий ч² Пирсона.

ч² _набл.= (2.11) (2.11)

ч² _набл.==

=6,71

Определяем число степеней свободы:

k=r-н-1 (2.12)

где r-число разрядов, r=4;

н-число параметров проверяемого распределения, н=2.

k=6-2-1=3

уровень значимости б =0,05.

По таблице принимаем ч² _крит. = 7,8

Так как ч² _набл ч² _крит., то гипотеза о том, что СВ ДW распределена по нормальному закону подтверждается.

3. Выравнивание статистического распределения СВ ДW итоговой выборки нормированным законом. Проверка справедливости такого выравнивания с помощью критерия чІ Пирсона

При нормированном нормальном законе с параметрами М(W) и (W) принимают М(W)=0 и (W)=1, тогда соответствующая нормированная СВ W будет равна:

z_i= (3.1)

На основании этого составим таблицу.

f ^*(z)= (3.2)

где ?w-длина разряда,

?z= (3.3)

?z= =0,75

p^*_i - частота попадания в интервал, берем из предыдущего пункта.

f ^*(z)==0,223

f(z)- значения нормированного нормального выравнивающего закона, определяется по таблице в зависимости от середины интервала z_i.

Определяем левую границу первого разряда по формуле 3.1 :

z₁== -2,022

Далее рассчитываем остальные границы разрядов:

z₂=z₁+?z=-2,022 +0,75=-1,272

z₃=z₂+?z=-1,272+0,75=-0,522

z₄=z₃+?z=-0,522+0,75=0,228

z₅=z₄+?z=0,228+0,75=0,978

z₆=z₅+?z=0,978+0,75=1,728

z₇=z₆+?z=1,728+0,75=2,478

Определяем вероятность попадания нормированной величины в данный интервал, она определяется с помощью функции Лапласа Ф_o(z)

P_i(z_i<z<z_i+1)=Ф_o(z_i+1) - Ф_o(z_i) (3.4)

p₁(-2,022<z<-1,272)=Ф₀(-1,272)-Ф₀(-2,022)=-0,398+0,4783=0,0803

p₂(-1,272<z<-0,522)=Ф₀(-0,522)- Ф₀(-1,272)=-0,1985 +0,398=0,1995

p₃(-0,522<z<0,228)=Ф₀(0,228)- Ф₀(-0,522)=0,091+0,1985=0,2895

p₄(0,228<z<0,978)=Ф₀(0,978)- Ф₀(0,228)=0,3365-0,0910=0,2455

p₅(0,978<z<1,728)=Ф₀(1,728)- Ф₀(0,978)=0,4582-0,3365=0,1217

p₆(1,728<z<2,478)=Ф₀(2,478)- Ф₀(1,728)=0,4934-0,4582=0,0352

где Ф_o(z_i), Ф_o(z_i+1) - значения функции Лапласа, соответствующие концу и началу частичного интервала, найденные по таблице значений функции Лапласа.

Ф(z)= (3.5)

Результаты выравнивания нормированным нормальным законом

Разряды ДW	2,88-3,123	3,123-3,366	3,366-3,609	3,609-3,852	3,852-4,095	4,095-4,338
ni	10	11	16	15	4	4
p*	0,167	0,183	0,267	0,25	0,067	0,067
разр. z	-2,022- -1,272	-1,272- -0,522	-0,522- 0,228	0,228- 0,978	0,978- 1,728	1,728- 2,478
сер. разр. z	-1,647	-0,897	-0,147	0,603	1,353	2,103
f*(z)	0,223	0,244	0,358	0,333	0,089	0,089
f(z)	0,1023	0,2685	0,3945	0,3332	0,1604	0,044
p(z)	0,0803	0,1995	0,2895	0,2455	0,1217	0,0352

Для нормированного закона исходя из условия, что M(z)=0 и у(z)=1,

координаты вершины по формулам 2.8 - 2.10:

(0; ) (0;0,3989)

и координаты точек перегиба:

(1; ) (1;0,242)

(-1; ) (-1;0,242)



Проверяем гипотезу о нормированном нормальном распределении СВ z, используя критерий ч² Пирсона.

По формуле 2.11:

ч² _набл=60•9,005

Определяем число степеней свободы по формуле (2.12):

k=r-н-1

где r-число разрядов, r=6;

н-число параметров проверяемого распределения, н=2.

k=6-2-1=3

уровень значимости б =0,05.

По таблице принимаем ч² _крит = 7,8

Так как ч² _набл > ч² _крит , то гипотеза о том, что СВ ДW распределена по нормированному нормальному закону не подтверждается.



4. Аппроксимация статистического распределения ДW(ДП) функциями вида: ДW(ДП)= a• ДП+ b; ДW(ДП)= a ? ДП^-b; ДW(ДП)= a • e ^b•?П. Определение параметров аппроксимирующих функций

Линейная функция

Аппроксимация расходных характеристик ДW(ДП) линейной функции

ДW(ДП) = a• ДП+ b (4.1)

С помощью следующих формул определим параметры a, b

a = (4.2)

b= (4.3)

Несмещенная оценка дисперсии

S²= (4.4)

Степенная функция

Аппроксимация расходных характеристик ДW(ДП) степенной функцией

ДW(ДП) = a ? ДП^-b (4.5)

Для данной расходной характеристики параметры a,b определяются следующим образом

b= (4.6)

ln a = (4.7)

Несмещенная оценка дисперсии

S²= (4.8)

Экспоненциальная функция

Аппроксимация расходных характеристик ДW(ДП) экспоненциальной функцией:

ДW(ДП) = a • e ^b•?П (4.9)

Исходя из метода наименьших квадратов, параметры a и b находятся по следующим выражениям:

b= (4.10)

ln a = (4.11)

Несмещенную оценку дисперсии экспоненциальной аппроксимирующей функции будем определять:

S²= (4.12)

Результаты расчета заносим в таблицу.

Результаты аппроксимации.

Аппроксимирующие функции	а	b	S2
Линейная	ДW(ДП) = a•ДП+ b	-0,01746	4,289335	0,052883
Степенная	ДW(ДП) = a ? ДП-b	7,927048	0,215267	0,052456
Экспоненциальная	ДW(ДП) = a • e b•?П	4,314415	-0,00467	0,053875

Наилучшей аппроксимирующей функцией является та, у которой несмещенная оценка дисперсии S² минимальна. По результатам вычислений, занесённых в таблицу, видим, что наилучшей аппроксимирующей функцией является степенная функция ДW(ДП) = a ? ДП^-b. Строим полученную функцию.

5. Мониторинг точечной оценки удельного электропотребления ?W по выборкам. Определение оптимального значения ?W_опт(?П) при ?П=?П_ср на каждом этапе мониторинга.

Мониторинг точечной оценки удельного электропотребления ?W cводится к периодической проверке гипотезы Н_о о равенстве средних значений (центров распределений) ?W_i(?П) на интервалах времени Т₁,Т₂,….Т_n. Эта гипотеза предполагает, что неизвестны истинные средние значения характеристик совпадают, а различие наблюдаемых средних значений несущественно.

Определяем аппроксимирующие функции для каждой выборки по формулам 4.1 - 4.12, результаты заносим в таблицу.

Результаты аппроксимации

№ выборки	а	b	S2 (W), (кВтч / м3)2	Аппроксимирующая функция
1	6.448555	0.1170015	0.136065	?W=6.448555•?П-0,117
2	15,239	0,3811	0,11365	?W=15,239•?П-0,3811
3	6,1896	0,15588	0,108079	?W=6,1896•?П-0,15588
4	7,7442	0,2006	0,08394	?W=7,7442•?П-0,2006

Сравниваем выборки за периоды T₁ и T₂.

Определяем число степеней свободы: k=n1+n2-2 (5.1)

где n1, n2-объём 1-ой и 2-ой выборок соответственно

k =30+30-2=58

По таблице определяем квантиль распределения Стьюдента t (,k) = t_кр = 2,00

Сравниваем разность производительности двух выборок за периоды Т₁ и Т₂:

?W(?П,T_i ) - ?W(?П,T_i+1 )= •?^k_j=1(|?W(?П_j,T_i ) - ?W(?П_j,T_i+1 )|), (5.2)

где k - число значений производительности ДП, принимаем k=5.

Производительности двух выборок за периоды Т₁ и Т₂:

?П	?W(?П,T1)	?W(?П,T2)
42	4,1639	3,6672
36,75	4,2298	3,8587
31,5	4,3068	4,0921
26,25	4,3997	4,3866
21	4,516	4,7759

?W(?П,T₁) - ?W(?П,T₂)= •(||+…….

…..+||)=0,271107 кВт•ч/ м³

Для проверки гипотезы воспользуемся критерием t_набл:

t_набл= (5.3)

t_набл=

t_набл =2,353 t_кр =2,00

Следовательно, центры распределения выборок не равны. Поэтому выборку за период T₁ нельзя объединять с выборкой за период T₂ и в качестве рабочей принимается выборка за период T₂. Параметры новой объединённой выборки:

аппроксимирующая функция: ?W(?П)=15,239 •?П^-0,3811;

несмещенная оценка дисперсии: S²(W)=0,11365 (кВтч / м³)².

Производительности выборок за периоды Т₂ , Т₃ и T₄:

?П	?W(?П,T2)	?W(?П,T3)	?W(?П,T4)
42	3,6672	3,4567	3,6734
36,75	3,8587	3,5294	3,7731
31,5	4,0921	3,6152	3,8916
26,25	4,3866	3,7194	4,0365
21	4,7759	3,8511	4,2213

Аналогично сравниваем остальные выборки; если t_набл t_кр, то выборку за период T_i отбрасываем и в качестве рабочей принимается выборку за период T_i+1. Далее определяем среднее значение производительности ?П_ср и оптимальное значение расхода электроэнергии ?W(?П_ср )по формулам:

?П_ср= ?ⁿ_i=1 ?П_i (5.4)

ДW(ДП) = a ? ДП^b (для 1,2-ой и 3-ей выборок)

?W(?П)=a•e^?П•b (для 4-ой выборки)

?П_ср1,2 =м³/ч

?W(?П_ср1)=15,2391 •36^-0,3811=3,889 кВт•ч/м³

Аналогично производим расчёт на других этапах.

Результаты заносим в таблицу.

Результаты мониторинга

Сравнение выборок	t(б,k)=tкр	?W(?П,Ti) - ?W(?П,Ti+1), кВт•ч/тыс• м3	tнабл	Нера-венство	?Пср, м3/ч	?W(?Пср ), кВт•ч/м3
1 и 2	2,00	0,271107	2,353	tнабл tкр	36	3,889
2 и 3	2,00	0,521754	2,449	tнабл > tкр	44	3,4269
3 и 4	2,00	0,284797	2,7082	tнабл > tкр	44,9	3,6245



График ?W(?П)=15,239•?П^-0,3811 за период времени Т₂

График ?W(?П)=6,1896•?П ^-0,15588 за период времени Т₃



График ?W(?П)=7,7442•?П ^-0,20058 - за период времени Т₄

По результатам мониторинга видно, что центры распределения всех выборок не равны, следовательно, их объединять нельзя. В качестве рабочей принимаем выборку за последний период Т₄ .

6. Мониторинг интервальной оценки удельного электропотребления ?W по выборкам. Определение располагаемого диапазона регулируемой активной мощности ?Р_рег(?П), при ?П=?П_ср на каждом этапе мониторинга.

В качестве интервальной оценки принимаем диапазон разброса её значений относительно ?W(?П)±k?у (k=2). Мониторинг интервальной оценки удельного электропотребления ?W сводится к периодической проверке статистической гипотезы о равенстве дисперсий двух выборок.

Гипотезы о равенстве дисперсии выборок проверяем с помощью критерия Фишера.

F_набл= (6.1)

Сравниваем выборки за периоды Т₁ и Т₂:

F_набл.= S²_{большая} /S²_{меньшая}=

По таблице находим критическое значение F_кр(б,k₁,k₂)=1,901 для степеней свободы k₁=n₁-1=29 и k₂=n₂-1=29 и коэффициент значимости б =0,05.

Так как F_кр. F_набл, то считаем дисперсии выборок Т₁ и Т₂ равными и эти выборки можно объединять. В качестве рабочей на следующий период оставляем выборку за период Т _1,2 .

Параметры рабочей выборки:

аппроксимирующая функция: ?W(?П)= 13,4824•?П^-0,34499;

несмещенная оценка дисперсии: S²(W)= 0,12946 (кВтч/м³)²;

ДП_ср=31,15 м³/ч.

Определяем потенциал энергосбережения:

дP_эн.сб.=k• S(W)• ?П_ср (6.2)

дP_эн.сб.=2•0,3598•31,15=22,42 кВт

Определяем диапазон регулирования активной мощности при ДП = ДП_ср:

?P_рег=P_мах(ДП_ср)-P_мин(ДП_ср)=2? дP_эн.сб.=k• S(W)• ?П_ср (6.3)

?P_рег=2•2•0,3598•31,15=44,831 кВт;

Сравниваем выборки за периоды Т₁₂ и Т₃:

F_набл.= S²_{большая} /S²_{меньшая}=

Так как F_набл=1,19782<F_кр= 1,7 то считаем дисперсии выборок Т ₁₂ и Т₃ равными и эти выборки необходимо объединять. В качестве рабочей на следующий период оставляем выборку за период Т _{1 2 3} .

Параметры новой объединённой выборки:

аппроксимирующая функция: ?W(?П)=17,53485•?П^-0,42498;

несмещенная оценка дисперсии: S²(W)=0,129213 (кВтч м³)²;

ДП_ср=35,57 м³/ч.

Определяем потенциал энергосбережения:

дP_эн.сб.=2•0,35946•35,57=25,572 кВт;

Определяем диапазон регулирования активной мощности при ДП = ДП_ср2,3:

?P_рег=2•2•0,35946•35,57=51,144 кВт

Сравниваем выборки за периоды Т _1,2,3 и Т₄:

F_набл.= S²_{большая} /S²_{меньшая}=

Так как F_набл=4,026 F_кр= 1,608, то считаем дисперсии выборки Т ₁₂₃ и выборки Т₄ не равными и эти выборки нельзя объединять. В качестве рабочей на следующий период оставляем выборку за период Т_{. 4}.

Параметры новой объединённой выборки:

апроксимирующая функция: ?W(?П)=7,74417•?П^-0,20058;

несмещенная оценка дисперсии: S²(W)=0,08394 (кВтч / м³)²;

ДП_ср=44,9 м³/ч.

Определяем потенциал энергосбережения:

дP_эн.сб.=2•0,28972•44,9=26,017 кВт;

Определяем диапазон регулирования активной мощности при ДП = ДП_ср2,3,4:

?P_рег=2•2•0,28972•44,9=52,034 кВт;

Результаты расчетов заносим в таблицу:

Результаты мониторинга интервальной оценки по годам

Выборки сравнения	S2большая	S2меньшая	Fнабл	Fкр	Результат объединения	?Пср, м3/ч	Ррег, кВт
1 и 2			1,19722	1,901	Объединяем	31	44,831
1,2 и 3		0,10807		1,7	Объединяем	36	51,144
1,2,3 и 4	0,3595	0,0839		1,608	Не объединяем	44,9	52,034

В результате, после проведения мониторинга, рабочей оставляем выборку за период Т₄ .



Литература

1. Гмурман В.Е., Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. Изд.7-е,стер. - М.: Высш. шк.,1999. - 479 с.

2. Герасимович А.И., Математическая статистика: (Учебное пособие для инженерно-технических и экономических специальностей ВТУЗов). - Мн.: Выш. школа.,1983. - 279 с.

3.Козловская, В.Б., Математические задачи энергетики. Учебно-методическое пособие к практическим занятиям. - Мн.: БНТУ, 2005

Размещено на Allbest.ru