Теорія теплопровідності твердих тіл

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсова робота

Теорія теплопровідності твердих тіл

Вступ

теплоємність твердий кристалічний теплопровідність

Одним з важливих і складних завдань теорії твердого тіла є розрахунок теплоємності і теплопровідності твердого тіла. В рамках класичної механіки були отримані значень теплоємності, які лише приблизно дорівнювали реальним значенням за нормальних температур. При високих температурах і при температурах близьких до абсолютного нуля значення теплоємності виявились залежними від температури, чого класична теорія пояснити не могла. Лише використання квантової теорії змогло пояснити цю залежність.

Частинки твердого тіла здіснюють коливання біля положень рівноваги у вузлах кристалічної гратки. Саме на основі цього розроблена теорія теплоємності та теплопровідності твердого тіла.

Для знаходження величин теплоємності і теплопровідності твердих кристалічних тіл в широкому температурному діапазоні вводять поняття фононів - квазічастинок, які поширюються в твердому телі. В общем случае перенос тепла в твердому тілі осуществляется двумя типами носителей: электронами проводимости и собственно фононами.

Дана курсова робота присвячена дослідженню теплових властивостекй атомної гратки та теплових властивостей твердого тіла, аналізу основних механізмів поширення тепла в твердих тілах.

1. Коливання атомів кристалічної ґратки. Фонони

Атоми твердих тіл здійснюють теплові коливання біля положень рівноваги. Унаслідок їх сильної взаємодії між собою характер цих коливань виявляється вельми складним і точний його опис представляє величезні труднощі. Тому вдаються до наближених методів і різного роду спрощень у вирішенні цієї задачі.

Замість того щоб описувати індивідуальні коливання частинок, розглядають їх колективний рух в кристалі, як в просторово впорядкованій системі. Таке спрощення ґрунтується на тому, що унаслідок дії могутніх сил зв'язку коливання, що виникло у однієї частинки, негайно передається сусіднім частинкам і в кристалі збуджується колективний рух у формі пружної хвилі, що охоплює всі частинки кристала. Такий колективний рух називається нормальним коливанням гратки. Число нормальних коливань, яке може виникнути в гратці, рівне числу ступенів свободи частинок кристала, тобто 3N (N - число частинок, що утворюють кристал).

На рис. 1а показана одновимірна модель твердого тіла - лінійний ланцюжок атомів, віддалених на відстані а один від одного і здатних коливатися в напрямі, перпендикулярному довжині ланцюжка. Такий ланцюжок можна трактувати як струну. Якщо кінці ланцюжка закріплені, то основне коливання, що відповідає найнижчій частоті wмін, відповідає виникненню стоячої хвилі з вузлами на кінцях (рис. 1б). Очевидно, що найкоротша довжина хвилі, яка може утворитися в такому ланцюжку, рівна подвоєній відстані між атомами ланцюжка (рис. 1в):

(1)



Рис. 1

Їй відповідає максимальна частота w макс, пов'язана з довжиною хвилі мін наступним співвідношенням:

(2)

де v - швидкість розповсюдження хвиль (звуку) в ланцюжку.

Ця частота є константою матеріалу і визначається міжатомною відстанню і швидкістю розповсюдження нормальних коливань.

Для характеристики хвильових процесів зручно користуватися хвильовим вектором q, по напряму співпадаючим з напрямом розповсюдження коливань і по модулю рівним:

(3)

На (рис. 1г) показана залежність частоти нормальних коливань, що виникають в лінійному ланцюжку однорідних атомів, від хвильового вектора q. При зростанні від 0 до р/а частота нормальних коливань збільшується і при q = р/а, тобто при = 2а, досягає максимального значення, рівного wмакс = рv/a. Подібного роду криві, які виражають залежність частоти коливань від хвильового вектора (довжини хвилі), називаються дисперсійними кривими.

Розглянемо тепер ланцюжок, що складається з атомів двох сортів, що правильно чергуються один за одним (рис. 2а). Позначимо масу важчих атомів М, легших т. У такому ланцюжку можлива поява двох типів нормальних коливанні, показаних на (рис. 2б, в.).

Коливання 2б нічим не відрізняються від коливань однорідного ланцюжка: сусідні атоми коливаються практично в одній фазі і при q = 0, wак = 0. Такі коливання називаються акустичними, оскільки вони включають весь спектр звукових коливань ланцюжка. Вони виконують основну роль у визначенні теплових властивостей кристалів - теплоємності, теплопровідності, термічного розширення і т.д. У разі нормальних коливань, показаних на (рис. 2в,) сусідні атоми коливаються в протилежних фазах.

Рис. 2

Ці коливання можна розглядати як коливання один щодо одного двох підрешіток з однорідних атомів, вставлених одна в іншу. Їх називають оптичними коливаннями, оскільки вони виконують основну роль в процесах взаємодії світла з кристалом.

Оптичні коливання виникають не тільки в ланцюжку, що складається з різнорідних атомів, але і у тому випадку, коли ланцюжок складається з двох і простіших ланцюжків, складених з однакових атомів і вставлених один в одного

Поняття про фонони

Кожне нормальне коливання несе з собою енергію і імпульс. У теорії коливань доводиться, що енергія нормального коливання гратки рівна енергії осцилятора, що має масу, рівну масі атомів, що коливаються, і що коливається з частотою, рівній частоті нормального коливання. Такі осцилятори називаються нормальними. Задача про визначення середньої енергії такої системи зводиться до простішої задачі про визначення середньої енергії нормальних осциляторів.

Слід підкреслити, що нормальні осцилятори не мають нічого спільного з реальними атомами, окрім однакової маси. Кожен осцилятор представляє одне з нормальних коливань гратки, в якому беруть участь всі атоми кристала, скоюючи його з однією і тією ж частотою w.

Енергія квантового осцилятора визначається, як відомо, наступним співвідношенням:

(4)

де w - частота коливань осцилятора, n - квантове число.

Мінімальна порція енергії, яку може поглинути або випустити решітка при теплових коливаннях, відповідає переходу порушуваного нормального коливання з даного енергетичного рівня на найближчий сусідній рівень і рівна:

(5)

Цю порцію, або квант енергії, теплових коливань гратки називають фононом.

Рис. 3.

Швидкість фонона дорівнює груповій швидкості хвилі коливань

(6)

Залежність називається законом дисперсії фонона. Середнє число фононів:

(7)

можна трактувати як рівноважну функцію розподілу фононів i-го сорту в імпульсному p-просторі. Вона співпадає з функції розподілу Бозе - Ейнштейна з хімічним потенціалом m=0. Останнє означає, що фонони є бозонами. Рівність m=0 - уявлення того, що число фононів не зберігається, а в рівновазі залежить від температури.

Залежно від ступеня збудження нормального коливання воно може «випускати» те або інше число однакових фононів. Так, якщо нормальне коливання збуджене до 3-го рівня, то його енергія E_З = (3+1/2) hw; це означає, що дане нормальне коливання «породило» три однакові фонони з енергією Е _ф = hw кожен. На (рис. 3а) показаний графік функції розподілу f(E) фононів по енергіях (частотам). З графіка видно, що при даній температурі T в гратці збуджуються всі нормальні коливання аж до коливань з енергією hw = kT; коливання з вищими частотами, яким відповідають кванти енергій hw > kT, практично майже не збуджуються. Це наочно видно з (рис. 3б). Горизонтальними рисками тут зображені енергетичні спектри нормальних коливань, що мають частоти w₁ = kT/8h, w₂ = kT/4h, w₃ = kT/2h, w₄ = kT/h і w₅ = 2kT/h; пунктиром показаний рівень, що відповідає енергії kT.

Згідно визначенню, функція розподілу f(E) виражає середнє число фононів, що володіють енергією Еф=hw. Тому, перемножуючи формулу на hw, одержимо середню енергію Eн.к збудженого нормального коливання, що має частоту w:

(8)

Залежно від частоти фонони бувають акустичними і оптичними.

Максимальна частота коливань атомів в кристалі називається характеристичною або дебаевской _D частотою. Вона визначає характеристичну або дебаевскую температуру - ту температуру, при якій в зразку збуджуються всі можливі нормальні коливання аж до частоти _D:

_D = _D h / до. (h = h / 2H),_D = _D h / k. (h = h / 2р),

де h - стала Планка, k - стала Больцмана.

Дебаївська температура _D використовується як критерій величини температури тіла: T > _D вважаються высокими, T < _D - низькими. Тобто при T > _D не виникає нових нормальних коливань, а лише збільшується амплітуда тих, що існують.

2. Теплоємність твердого тіла

Теплова енергія твердого тіла Eреш складається з енергії нормальних коливань гратки. Число нормальних коливань, що припадає на спектральну ділянку dw, рівне g(w) dw. Перемноживши це число на середню енергію Eн.к нормального коливання, отримаємо сумарну енергію нормальних коливань, укладених в інтервалі dw:

(9)

Проінтегрувавши цей вираз по всьому спектру нормальних коливань, тобто в межах від 0 до wд, отримаємо енергію теплових коливань гратки твердого тіла:

(10)

Теплоємність Cv твердого тіла при постійному об'ємі виражає зміну теплової енергії при зміні температури тіла на 1 С і знаходиться диференціюванням Eреш по Т:

(11)

Основним питанням теорії теплоємності є залежність Сv від температури. Розглянемо це спочатку з якісної сторони для двох областей температур: для області температур T, значно менших температури Дебая ,

яку називають областю низьких температур, і для області температур вищих температури Дебая

яку називають областю високих температур.

В області низьких температур збуджуються в основному нормальні низькочастотні коливання, кванти енергії яких hw < kT. В цьому випадку наближене значення середньої енергії нормальних коливань можна визначити таким чином. Розкладаємо знаменник виразу (10) в ряд і обмежуємося другим членом розкладу. Тоді одержимо:

(12)

Крім цього, у області низьких температур підвищення температури викликає збудження нових нормальних коливань з вищими частотами. Вважаючи, що при температурі Т збуджуються всі нормальні коливання аж до частоти w kT/h, знайдемо наближене число їх z:

(13)

Як видно, з підвищенням температури число збуджених нормальних коливань росте пропорційно кубу абсолютної температури Т.

Таким чином, у області низьких температур енергія кристала підвищенням з температури збільшується внаслідок дії двох механізмів:

1) зростання середньої енергії Eн.к кожного нормального коливання через підвищення ступеня його збудження.

2) росту числа збуджених нормальних коливань гратки. Перший механізм викликає ріст енергії, пропорційний T, другий: - пропорційний Т⁴.

Тому в цілому з підвищенням температури енергія гратки росте пропорційно Т⁴:

(14)

а теплоємність - пропорційно T³:

(15)

Співвідношення (15) виражає закон Дебая, що спостерігається у області низьких температур.

При температурі Дебая збуджуються всі нормальні коливання гратки, і подальше підвищення температури не може привести до збільшення їх числа. Тому у області високих температур зміна енергії твердого тіла може відбуватися тільки за рахунок підвищення ступеня збудження нормальних коливань, що приводить до збільшення їх середньої енергії Eн.к. Зміна енергії тіла в цілому із зростанням температури повинна відбуватися пропорційно T:

(16)

а теплоємність тіла не повинна залежати від T:

(17)

Співвідношення (17) виражає закон Дюлонга і Пті, що достатньо добре виправдовується на досвіді.

Між областями низьких і високих температур лежить досить широка область так званих середніх температур, в якій відбувається поступовий перехід від закону Дебая до закону Дюлонга і Пті. Це найскладніша для розрахунку область температур.

Таким чином, можна намалювати наступну фізичну картину характеру зміни температурної залежності енергії і теплоємності твердого тіла при підвищенні його температури.

У області низьких температур (Т<<O) енергія тіла із збільшенням температури підвищується, по-перше, унаслідок зростання ступеня збудження кожного нормального коливання, тобто зростання їх середньої енергії Eн.к, пропорційної Т; по-друге, внаслідок включення в роботу все нових і нових нормальних коливань, що викликають підвищення енергії тіла пропорційне Т. Енергія гратки в цілому росте пропорційно Т, а теплоємність - пропорційно Т⁴ (закон Дебая).

У міру наближення до температури Дебая другий механізм поступово з роботи викидається і залежність Егр від Т ослабляється, що викликає відступ від закону Дебая.

При температурі Дебая збуджується вже весь спектр нормальних коливань гратки, тому другий механізм зростання енергії з підвищенням температури викидається повністю; працює лише перший механізм, викликаючи зростання енергії, пропорційне Т, і незалежність від Т теплоємності тіла Сv (закон Дюлонга і Пті).

Якісні закономірності зміни Cv(Т) одержані з розгляду фізичних процесів, що протікають в твердому тілі при підвищенні температури, можна підкріпити більш строгими кількісними розрахунками. Для цього звернемося до співвідношення (14) і спробуємо точніше обчислити енергію гратки, як функцію її температури.

Підставивши в (14) g (w) і Ен.к, знайдемо

(18)

Зручно перейти до безрозмірної величини х = hw/(kT). Тоді (18) перепишеться таким чином:

(19)

де и - характеристична температура.

У області низьких температур згідно закону Дебая, теплоємність гратки змінюється пропорційно кубу температури.

(20)

В область високих температур маємо закон Дюлонга і Пті

Знаючи температурну залежність енергії гратки, легко встановити, принаймні, якісно, залежність концентрації фононного газу від температури, тобто числа фононів nф_, збуджених в одиниці об'єму кристала.

У області низьких температур, в якій енергія гратки Eгр ~T, а енергія фонона hw kT ~ Т, концентрація фононного газу повинна бути пропорційна Т³:

(21)

В області високих температур, в якій Eгр ~ Т, а енергія фононів досягає граничного значення hw/ кQ, не залежного від Т, концентрація фононного газу повинна бути пропорційна Т:

У металах крім іонів, які утворюють решітку і коливаються біля положень рівноваги, є вільні електрони, число яких в одиниці об'єму приблизно таке ж, як і число атомів. Тому теплоємність металів повинна складатися з теплоємності гратки Сгр, і теплоємності електронного газу Ср:

(22)

Електронний газ в металах є виродженим і описується квантовою статистикою Фермі-Дірака. При підвищенні температури металу тепловому збудженню піддаються не всі електрони, а лише незначна їх частка N, розташована безпосередньо біля рівня Фермі (рис. 6). Число таких електронів визначається наближеним співвідношенням:

 (23)

де Ef - енергія Фермі.

Кожен електрон, що піддається термічному збудженню, поглинає енергію порядку kT, як і частинка звичайного газу. Енергія, що поглинається всім електронним газом, рівна добутку kT на число електронів N, що переносять термічне збудження:

(27)

Теплоємність електронного газу рівна:

(28)

Більш розрахунок приводить до наступного виразу для Се:

(29)

Порівнюючи (23) і (29), знайдемо

(30)

З (30) видно, що теплоємність виродженого електронного газу в металі приблизно в стільки разів менше теплоємності невиродженого одноатомного газу, в скільки разів kT менше Ef. Для нормальних температур відношення ркТ/Еf < 1%, тому

Таким чином, внаслідок того, що електронний газ в металах є виродженим, термічному збудженню навіть у області високих температур піддається лише незначна частка вільних електронів (звичайно < 1%); решта електронів теплоту не поглинає. Тому теплоємність такого газу незначна в порівнянні з теплоємністю гратки і теплоємність металу в цілому практично рівна теплоємності його гратки.

Інакше йде справа у області низьких температур, близьких до абсолютного нуля. У цій області теплоємність гратки з пониженням температури падає пропорційно T і поблизу абсолютного нуля може виявитися такою малою, що основне значення може прийняти теплоємність електронного газу Се, яка з пониженням температури падає значно повільніше, ніж Сгр.

Як приклад на (рис. 6) показана температурна залежність решіткової і електронної теплоємності сплаву (20% V + 80% Сг), що має температуру Дебая в и = 500 К. Із (рис. 6) видно, що поблизу абсолютного нуля теплоємність електронного газу значно вища за теплоємність гратки (Сгр < Се); знак цієї нерівності зберігається аж до температури

T= 8,5 К; при Т > 8,5 К він міняється на зворотний (Сгр> Cе), а сама нерівність різко посилюється із зростанням T і вже при T = 25 К теплоємність сплаву визначається в основному теплоємністю його ґратки.

3. Теплопровідність кристалічної ґратки

Аналіз температурної залежності теплопровідності за допомогою фононного газу

Теплова енергія міститься в коливальних нормальних модах кристала. При низьких температурах дозволені енергії нормальних мод квантовані і передача енергії, супроводжуюча теплопровідність, здійснюється через механізм, що описується в уявленні про фонони.

У ідеальному гармонійному кристалі фононні стани є стаціонарними. Тому, якщо встановився деякий розподіл фононів з направленими в один бік груповими швидкостями, то цей розподіл не мінятиметься з часом, так що потік тепла не затухатиме. Тобто ідеальний гармонійний кристал мав би нескінченну теплопровідність. Окрім недосконалості гратки, що грає роль розсіюючих центрів, теплопровідність реальних діелектриків набуває кінцевих значень через із-за ангармонізм коливань гратки.

На відміну від гармонійної, в ангармонічній моделі хвилі можуть взаємодіяти. На квантовій мові - фонони можуть розсіватися з народженням і поглинанням фононів. У процесах 3-го порядку фонон може розпастися на два інших, або два фонони можуть злитися і утворити третій. У процесах 4-го порядку беруть участь 4 фонони. Тобто один фонон може розпастися на три, або три фонони можуть злитися з освітою одного, або два фонони можуть розсіятися один на одному і сформуватися два нових.

Всі ці і аналогічні процеси вищого порядку називаються розсіянням, або переходами фононів. Теплопровідність металів повинна складатися з теплопровідності фононної (теплопровідність гратки) і електронної підсистем: = _lat + _e Проте механізм граткової теплопровідності в металах значною мірою маскується електронним механізмом перенесення тепла.

Отже, теплові коливання в кристалічної гратки є термічним збудженням фононів. Фонон, на відміну від звичайних частинок, може існувати лише в деякому середовищі, яке перебуває в стані теплового збудження. Не можна уявити фонон, який розповсюджувався б у вакуумі, оскільки він описує квантовий характер теплових коливань гратки і є замкнутий в кристалі.

Для опису процесів, пов'язаних з пружними коливаннями, кристалічну гратку представляють у вигляді фононного газу. Збільшення енергії коливань означає збільшення концентрації фононів n_ф. Розсіяння однієї пружної хвилі на іншій - фонон-фонону взаємодію. Розсіяння пружної хвилі на дефектах кристалічної гратки - взаємодію фонона з дефектом.

Модель газу фононів оперує з такими поняттями, як середня довжина вільного пробігу фонона _ph, ефективний час релаксації = _ph/vs, зворотною величиною якого, 1/, є середня частота зіткнень фононів. Величина теплопровідності в моделі фононного газу рівна:

_lat = 1/3 _phvsCv = 1/3 vs2Cv (31)_lat = 1/3 _phv_sC_v = 1/3 v_s²C_v, (31)

де С_v питома теплоємність, пов'язана з коливаннями грат. Величини С_v, або _ph визначають температурну залежність граткової теплопровідності. Залежність від Т виявилася складнішою. Розглянемо два випадки.

а) Т >> _D. Отже, довжина вільного пробігу фонона назад пропорційна температурі. Це узгоджується з експериментом. Зазвичай, _lat ~ 1/Tx, де х = 1-2. Точна теорія _lat(Т) повинна враховувати конкуренцію між процесами.

б) Т<< _D. В цьому випадку фонони матимуть енергію _s(k) kBT << kBD = _D, тобто _{s <}< _D і до << kD. вважати, що як до, так і після розсіяння, енергія як окремого фонона, так і сумарна енергія залишаються << _D, хвилевий вектор << kD. Отже, якщо в початковий момент система фононів мала деякий результуючий імпульс, то цей імпульс зберігатиметься навіть у відсутність градієнта температури, тобто для досконалого нескінченного ангармонічного кристала при низьких температурах теплопровідність нескінченна, точніше вона може бути кінцевою тільки за рахунок невеликої вірогідності процесів перекидання, що порушують закон збереження квазіімпульса, і які зменшують тепловий потік.

Досягши температури, де починаються зростання часу релаксації і, відповідно, довжини вільного пробігу фононів, теплопровідність гратки росте (підтверджується експериментально). При подальшому зниженні Т, довжина вільного пробігу стає співмірною з середньою довжиною вільного пробігу, що характеризує розсіяння фононів на дефектах гратки, домішках або навіть на торцях кінцевого зразка. Для діелектриків при дуже низьких температурах, Т<t_max, теплопровідність ~ T3^, потім T_max < Т <D _~ exp(T₀/T), далі темп зменшення спадає і замінюється повільним спадом ~ 1/T внаслідок збільшення числа розсіюючих фононів.

Механізм електронної теплопровідності твердого тіла

У металах на відміну від діелектриків перенесення теплоти здійснюється не тільки фононами, але і вільними електронами. Тому теплопровідність металів в загальному випадку складається з теплопровідності гратки Тгр (теплопровідності, обумовленої фононами) і теплопровідності Тгр, обумовленої вільними електронами:

(32)

Рис. 9

Теплопровідність електронного газу, можна визначити, скориставшись (22). Підставивши в цю формулу теплоємність електронного газу це, швидкість електронів v і довжину вільного пробіг л, одержимо:

(33)

Підставляючи сюди це з (26), знайдемо:

(34)

Визначимо; якісний характер температурної залежності теплопровідності чистих металів.

Для чистих металів при не дуже низьких температурах визначається розсіянням електронів на фононах і за інших однакових умов обернено пропорційна концентрації фононів nф.

У області високих температур, nф ~ Т. Підставляючи це в (33), одержимо:

Таким чином, у області високих температур теплопровідність чистих металів не повинна залежати від температури, що підтверджується експериментально. Як приклад на (рис. 10) показаний графік залежності (T) для міді, одержаний експериментально. З графіка видно, що при температурах вище 80-100 К. До теплопровідність міді від температури практично не залежить.

Рис. 10

У області низьких температур концентрація фононів nф ~ Т³, тому

(35)

Підставляючи це в (26), одержимо:

(35)

Отже, у області низьких температур, де виконується закон Дебая, теплопровідність металів повинна бути обернено пропорційна квадрату абсолютної температури, що також в основному підтверджується дослідами (рис. 10).

Поблизу абсолютного нуля концентрація фононів в металі стає настільки невеликою, що для процесів розсіювання електронів основне значення приймають домішкові атоми, які завжди містяться в металі, яким би чистим він ні був. В цьому випадку довжина вільного пробігу електронів пропорційна:

(36)

що підтверджується дослідами.

У чистих металах електронна теплопровідність більше фононної в 20 разів.

Ця картина може, проте, різко змінитися при переході до металевих сплавів, в яких переважаючим механізмом розсіяння електронів є розсіяння на домішкових атомах. У сплавах фононна і електронна теплопровідності приблизно рівні.

Довжина вільного пробігу електронів, обумовлена цим розсіянням, обернено пропорційна концентрації домішок і при високому значенні Nn може бути порівнянна з довжиною вільного пробігу фононів. Природно, що внесок в теплопровідність електронів в цьому випадку може по порядку величини бути таким же, як і внесок фононів, тобто. Це також підтверджується дослідами. Наприклад, берилій Ве з низькою електропровідністю володіє теплопровідністю в 5 разів більшою, ніж у сталі. Ве входить до складу теплопроводящих паст та підкладок для потужних підсилювачів і генераторів.

Досліди показуюють, що теплопровідність константана значно нижче, ніж у нікелю і міді. Це свідчить про те, що за розсіяння електронів в константані відповідальні головним чином за спотворення гратки, викликані домішковими атомами.

Висновки

Теорія теплопровідності твердого тіла на сьогоднішній день розроблена недостатньо. Вона чудово справилася з поясненням теоретичних питань теплопровідності, її залежності від температури в різних температурних діапазонах, але вона не може поки що дати можливість обчислити теплопровідність різних матеріалів з достатньою точністю. Найбільшу складність для обчислення теплопровідності становлять діелектричні матеріали, адже теплопровідності кристалічних і аморфних тіл значно відрізняються між собою. Це пов'язано з відсутністю в аморфних тілах симетрії трансляції («дальнього порядку»). Тому теорія теплопровідності у наш час активно розвивається.

У даній роботі розглянуті явища коливань кристалічної гратки твердого тіла, у відповідність яким поставлено квазічастинки - фонони. Для одновимірних ланцюжків атомів проведений математичний аналіз коливань і розглянуто оптичну і акустичну складову коливань. Оптичні і акустичні фонони відповідають за різні властивості кристалів. Оптичні коливання (фонони) грають основну роль в процесах поглинання взаємодії світла з кристалом. Акустичні коливання грають основну роль у визначенні теплових властивостей кристалів - теплоємності, теплопровідності, теплового розширення.

Також в роботі розглянуто та проаналізовано знаходження теплоємності тіл за різних температур, особливості теплопровідності кристалічної ґратки твердого тіла.

Список літератури

1. Дущенко В.П., Кучерук И.М. Общая физика. - К.: Высшая школа, - 1995. - 430 с.

2. Ансельм А. І. Введение в теорию напівпровідників. - М.: Мир, - 1965. - 588 с.

3. Басс Ф.Г. Електрони і фонони в обмежених напівпровідниках. - М.: Наука, -1984. - 287 с.

4. Кухлинг Х. Справочник по физике: Пер. с нем. - М.: Мир, - 1983. - 520 с.

5. Харрісон У. Теорія твердого тіла. - М.:Мир. - 1978. - 616 с.

6. Шалімова К.В. Фізіка напівпровідників. М.: Енергія, - 1976, - 417 с.

Размещено на Allbest.ru