Размещено на http://www.allbest.ru/

Федеральное государственное образовательное бюджетное

учреждение высшего профессионального образования

«Финансовый университет при Правительстве

Российской Федерации»

Кафедра «Прикладная математика»

Домашнее творческое задание

по дисциплине «Уравнения математической физики»

на тему «Уравнение Кортевега - де Фриза»

Выполнил: Студент гр. ПМ 3-1 Шарапов Д. Б.

Проверил: Свирщевский Сергей Ростиславович

Москва 2014

Оглавление

Введение

Основная часть

Дидерик Кортевег

Густав де Фриз

Уравнение Кортевега - де Фриза

Заключение

Список литературы

Введение

Хорошо известно, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить колебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, распространяются в пространстве с определенной скоростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Волны на воде издавна привлекали к себе внимание исследователей. Это связано с тем, что они представляют собой широко известное явление в природе и, кроме того, сопровождают перемещение судов по воде.

Любопытную волну на воде наблюдал шотландский ученый Джон Скотт Рассел в 1834 году. Он занимался исследованием перемещения по каналу баржи, которую тянула пара лошадей. Неожиданно баржа остановилась, но масса воды, которую баржа привела в движение, не остановилась, а собралась у носа судна, а затем оторвалась от него. Далее эта масса воды покатилась по каналу с большой скоростью в виде уединенного возвышения, не меняя своей формы и не снижая скорости.

Работа Рассела, опубликованная в 1844 году как "Доклад о волнах", вызвала осторожную реакцию в среде ученых. Только спустя полвека Дидерик Кортевег и Густав де Фриз смогли внести ясность в результаты экспериментов Рассела.

Основная часть

Дидерик Кортевег

Дидерик Иоханнес Кортевег (нидерл. Diederik Johannes Korteweg, 31 марта 1848, -- 10 мая 1941) родился в семье судьи в городе Хертогенбос. Начинал своё обучение в Делфтской политехнической школе, собираясь стать инженером, однако впоследствии любовь к математике заставила его бросить учёбу и стать школьным учителем математики. В 1878 году получил диплом доктора философии в Амстердамском университете с дипломной работой, посвящённой распространению волн в эластичных трубах.

С 1881 по 1918 годы Кортевег работал в Амстердамском университете в качестве профессора математики, механики и астрономии. В это время совместно со своим студентом Густавом де Фризом им была опубликована его самая известная работа «On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Wave».

Густав де Фриз

Густав де Фриз (также встречается написание де Врис, нидерл. Gustav de Vries, 22 января 1866 -- 16 декабря 1934) родился в Амстердаме. Учился в Амстердамском университете. В 1894 году под руководством Дидерика Кортевега защитил докторскую по теме «Bijdrage tot de kennis der lange golven» («Вклад в знания о длинных волнах»). На следующий год вышла его совместная с руководителем классическая работа «On the Change of Form of Long Waves advancing in a Rectangular Canal and on a New Type of Long Stationary Wave», посвящённая последовательному изучению так называемого уравнения Кортевега -- де Фриза. Эта работа стала крупнейшим достижением учёного.

Впоследствии де Врис работал преподавателем математики в высшей школе в Харлеме. В 1931 году ушёл в отставку. 16 декабря 1934 года скончался.

Уравнение Кортевега - де Фриза

Пусть процесс распространения одномерных волн описывается линейным дифференциальным уравнением в частных производных по пространственной переменной и времени , имеющим вид

(1)

где - линейный дифференциальный оператор с постоянными коэффициентами; функция, описывающая некоторую характеристику волны, например плотность среды или давление.

Будем искать решение уравнения (1) в форме монохроматической волны

. (2)

После подстановки выражения (2) в (1) получим некоторое соотношение между частотой и волновым числом , которое называют дисперсионным соотношением. Очевидно, что существует однозначная связь между дифференциальным уравнением (1) и порожденным им дисперсионным соотношением. В ряде случаев дисперсионное соотношение можно разрешить относительно частоты волны и записать его в виде

.

Заметим, что наличие мнимой части у физически соответствует изменению амплитуды волны (2). В случае , когда амплитуда волны уменьшается, говорят о среде с диссипацией энергии волн. Если же , то среду называют недиссипирующей. При рассмотрении процесса распространения волн в активных средах, например электромагнитных волн в рабочих телах лазеров, возможна реализация условия , когда происходит усиление волны и ее амплитуда с течением времени увеличивается.

Если , то фазовая скорость волны не совпадает с групповой . Такую среду (а иногда и саму волну) называют средой с дисперсией, или деспергирующей средой. При наличии дисперсии монохроматические волны разных частот распространяются с разными скоростями. Так ка любую сложную по форме немонохроматическую волну с произвольным профилем можно представить с помощью разложения в ряд или интеграла Фурье как сумму монохроматических волн, то в диспергирующей среде, где эти монохроматические составляющие распространяются с различными скоростями, их сумма в различные моменты времени будет давать различные профили немонохроматической волны. Дисперсия, как и нелинейность, приводит к искажению профиля распространяющейся волны.

Простейшее дисперсионное соотношение соответствует линейному дифференциальному уравнению

, , (3)

решения которого для различных описывают распространение недиспергирующих волн.

Более сложное дисперсионное соотношение соответствует линейному уравнению с дисперсией

, ; . (4)

Одновременный учет дисперсии и нелинейности приводит к уравнению

, (5)

которое называют уравнением Кортевега - де Фриза (или КдФ).

Впервые уравнение (5) было получено Кортевегом и его учеником де Фризом в 1895 г. при описании распространения длинных волн на воде в прямоугольном канале со свободной поверхностью. В такой гидродинамической модели под следует понимать смещение поверхности жидкости от равновесного уровня.

Важной особенностью уравнения (5) в классе быстроубывающих на бесконечности функций является существование бесконечного набора сохраняющихся величин вида

, ,

где - плотность сохраняющейся величины, зависящая от и ее производных по ; . Приведем несколько первых плотностей:

; ; ;

.

Наличие бесконечного числа законов сохранения позволяет сделать вывод об интегрируемости уравнения КдФ в явном виде.

Приступая к поиску волновых решений уравнения КдФ, можно ожидать, что искажение профиля волны вследствие конвективной нелинейности может быть скомпенсировано изменением профиля распространяющейся волны, вызванным эффектами дисперсии. Предполагая возможность такой компенсации, будем искать решение уравнения КдФ в виде бегущей волны со стационарным профилем. Для этого проведем замену и преобразуем уравнение (5) в уравнение для функции :

, (6)

где ; .

Это уравнение можно проинтегрировать, понизив его порядок. В результате интегрирования получим

, .

Умножая это уравнение на и интегрируя полученное соотношение, находим

, . (7)

Уравнение (7) можно привести к следующей форме:

, (8)

где .

Кубический трехчлен целесообразно записать в виде

, обозначив через , , и корни уравнения . При этом

; ; .

Полагая, что все три корня действительны, причем , запишем уравнение (8) в виде

. (9)

Поскольку выражение в левой части (9) положительно при , то функция может изменяться в интервале .

Предположим сначала, что , а . В этом случае из (9) следует уравнение

,

из которого, разделяя переменные и интегрируя, находим

.

Вычисляя интеграл, получаем

. (10) Arth x - обратный гиперболический тангенс, гиперболический арктангенс, ареатангенс.

Константу положим равной нулю. В этом случае точка будет соответствовать максимуму функции , так как при . Тогда из уравнения (10) находим

Или

. (11) ch x - гиперболический косинус.

Возвращаясь к переменным и , запишем найденное решение уравнения КдФ в виде нелинейной волны неизменной формы

. (12)

Здесь - амплитуда волны; - скорость волны; - параметр, характеризующий эффективный размер области возмущения, где .

Такое решение (12) уравнения КдФ называют уединенной волной, или солитоном.

Рисунок 1 Профиль уединенной волны

Такое возмущение колоколообразной формы, не изменяющейся со временем, распространяется в виде солитона с конечной скоростью , значение которой зависит от амплитуды солитона. Чем больше амплитуда солитона, тем с большей скоростью он движется. Зависимость скорости распространения от амплитуды характерна для всех нелинейных волн, в том числе и для нелинейной уединенной волны (12). Эффективная ширина солитона уменьшается с ростом его амплитуды.

уравнение кортевег фриз волна

Заключение

В настоящее время кажется странным, что открытие Рассела и его последующее подтверждение в работе Кортевега и де Фриза не получили заметного резонанса в науке. Эти работы оказались забытыми на много лет. Один из авторов уравнения, Д. Кортевег, прожил долгую жизнь и был известным ученым. Но когда научная общественность отмечала его 100-летний юбилей, то в списке лучших публикаций работа, выполненная им с де Фризом, даже не значилась. Составители списка сочли эту работу Кортевега не заслуживающей внимания. Только спустя еще четверть века именно эта работа стала считаться главным научным достижением Кортевега.

Однако если поразмыслить, то такое невнимание к уединенной волне Рассела становится понятным. Дело в том, что в силу своей специфичности это открытие долгое время считалось довольно частным фактом. В самом деле, в то время физический мир казался линейным и принцип суперпозиции считался одним из фундаментальных принципов большинства физических теорий. Поэтому никто из исследователей не придал открытию экзотической волны на воде серьезного значения.

Список литературы

1. Л.К. Мартинсон, Ю.И. Малов «Дифференциальные уравнения математической физики», Москва, Издательство МГТУ им. Баумана, 2002 г.

2. Википедия, статья «Уравнение Кортевега - де Фриза».

3. Википедия, статья «Кортевег, Дидерик».

4. Википедия, статья «Врис, Густав де».

5. Википедия, статья «Солитон».

Размещено на Allbest.ru