Движение одиночных частиц

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сила сопротивления при установившемся движении тела в жидкости может быть определена по формуле Ньютона:

,

где u -- скорость относительного движения, S_M -- площадь миделева сечения (площадь проекции тела на плоскость, нормальную к направлению движения), C -- эмпирический коэффициент, зависящий от формы тела. Многочисленные последующие эксперименты показывали весьма существенную зависимость этого коэффициента от скорости, вязкости и плотности жидкости.

Обтекание шара. Стокс получил аналитическое решение уравнения Навье-Стокса для стационарного обтекания при так называемом ползучем течении, когда Re << 1, где

Формула Стокса

.

Формула Ньютона

Формула Озеена:



Формула Аллена

Формула Островского

Зависимость коэффициента сопротивления шара от критерия Re

Скорость движения частиц под действием сил тяжести

Уравнение движения:

. (а)

Формула Стокса (ламинарный режим, Re<1)



Формула Ньютона (развитый турбулентный режим, Re>1000)

Пример. Найти скорость осаждения шарика плотностью ?₂=2500 кг/м3 и диаметром ?=1 мм в воде.

Применив формулу Стокса, получим u=0.8715 м/сек; Re=817.

Применив формулу Ньютона, получим u=0.216 м/сек; Re=216.

а) Графический способ (с помощью кривой Релея).

Выразим из уравнения (а) зависимость C от Re и построим график:

Ответ - точка пересечения, Re?150,

б) Метод последовательного приближения (итерационный)

Выразим из уравнения (а) зависимость u от C

.



Для определения коэффициента сопротивления воспользуемся какой-либо из приведенных выше аппроксимационных формул, например формулой Островского:

№	u	Re	c
1	0.215924	215.9236	0.777395
2	0.158865	158.8651	0.865573
3	0.150556	150.5559	0.883057
4	0.149058	149.058	0.886385
5	0.148778	148.7779	0.887014
6	0.148725	148.7251	0.887133
7	0.148715	148.7152	0.887155

Коэффициент формы

При обтекании тел, форма которых отличается от шарообразной, вводятся понятия «эквивалентный диаметр» и «коэффициент формы». Эквивалентный диаметр д_Э представляет собой диаметр сферы с объемом, равным объему частицы V:

.

Коэффициент формы _Г представляет собой отношение поверхности частицы неправильной формы S к поверхности шара F_Э, диаметр которого равен _Э:



Тогда сила сопротивления с учетом коэффициента формы примет вид

Движение капель и пузырей

Движение капель и пузырей в жидкости отличается от движения твердых частиц наличием двух основных эффектов: подвижностью поверхности раздела фаз и способностью капель и пузырей изменять свою форму.

Для коэффициента сопротивления жидкой сферической частицы получено следующее выражение (ф-ла Адамара-Рыбчинского):

Для пузырьков значения C, полученные численным методом, уже при Re ? 3050 хорошо совпадают со значениями, рассчитанными по формуле Мура:



Экспериментальные зависимости предельной скорости движения воздушных пузырей в воде от их диаметра.

Для малых размеров пузырей (до 1 мм) их форма практически не отличается от сферической и для расчет скорости движения можно производить по уравнению.

,

Где С - коэффициент сопротивления

При дальнейшем увеличении размера пузырей происходит их сплющивание, что приводит во-первых к увеличению коэффициента сопротивления, а во-вторых к увеличению миделева сечения S_M.

В интервале размеров 1 20 мм скорость движения капель и пузырей под действием силы тяжести может быть оценена как:

где для капель и для пузырей.

При дальнейшем увеличении объема пузырей они приобретают форму, напоминающую сферический колпачок или шляпку гриба. Коэффициент сопротивления пузыря в этом режиме становится постоянным, не зависящим ни от вязкости, ни от поверхностного натяжения, ни от эквивалентного диаметра. Соотношение для определения скорости всплытия пузыря найдено путем решения задачи обтекания сферического сегмента идеальной жидкостью. Коэффициент сопротивления в этом случае равен , а скорость пузыря определяется из соотношения:

.

Неустановившееся движение тела

Сила сопротивления при неустановившемся движении тела отличается от силы при установившемся режиме по двум причинам. Первая из них связана с тем, что вокруг частицы не сформирован тот профиль скоростей, при котором получены уравнения для стационарных условий обтекания. Строго говоря, для частицы, изменяющей скорость обтекания, нельзя определить силу сопротивления в произвольный момент времени, не зная предысторию формирования профиля скорости. Вторая причина связана с изменением количества движения жидкости, обтекающей частицу.

Общую силу, действующую на частицу в условиях нестационарного обтекания, можно представить в виде

,



где P -- сила сопротивления при установившемся обтекании тела, P_m -- сила инерции присоединенной массы жидкости, P_Б -- нестационарная сила, вызванная формированием пограничного слоя (сила Бассе).

Учет влияния предыстории движения на поведение частиц через силу Бассе существенно усложняет решение задач. Однако для слабо нестационарных процессов, которые преобладают в технологии, этой силой можно пренебречь.

Сила инерции присоединенной массы для частицы объемом V в общем случае одновременного движения частицы и жидкости определяется уравнением

,

где k -- коэффициент присоединенной массы, а 1 и 2 -- индексы, относящиеся к жидкости и частице соответственно.

Коэффициент присоединенной массы зависит от формы тела и его ориентации относительно вектора относительной скорости. Для шара k ? 0,5.

Решение задач при нестационарном движении частиц часто требует применения численных методов. Однако для стоксовского режима обтекания возможна оценка целесообразности использования нестационарной модели движения. Для этого используют такую величину, как время релаксации:

. или

, где



Время релаксации - время, в течении которого частица движущаяся под действием силы тяжести достигнет скорости, равной 0.633 от скорости стационарного движения.

Влияние градиента давления в потоке на движение частиц

В потоке сплошной среды всегда существует градиент давления, который может быть обусловлен гравитацией, торможением или ускорением потока либо потерей энергии, связанной с трением потока о стенки аппарата или канала. Во всех этих случаях на частицу будет действовать сила, обусловленная градиентом давления, величина которой находится интегрированием нормальных напряжений по ее поверхности.

Для шара

Если частица находится в покоящейся в гравитационном поле жидкости, то при направленности координаты против действия ускорения свободного падения

,

а сила, обусловленная градиентом давления, тождественна силе Архимеда, т. е.

.



Рис. Обтекание частицы в конфузоре или диффузоре

Уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2:

откуда

Несимметричное обтекание частиц

Рис. 2. К определению поперечной силы, вызванной несимметричным обтеканием частицы потоком: а) несимметричное положение частицы в потоке; б) вращающаяся частица; в) обтекание частицы потоком со сдвигом скорости сопротивление скорость давление



При малых числах Рейнольдса силу Магнуса можно найти из выражения

,

где при Re_v << 1 и Re << 1; при Re_v >> 1 и Re >> 1.

В потоке со сдвигом скорости частица вовлекается во вращательное движение. При стационарном режиме обтекания на частицу действует аналогичная сила, которая стремится переместить ее в поперечном направлении. Полученное Сафманом уравнение для плоского сдвигового течения имеет вид

.

В уравнении при положительной скорости сдвига сила Сафмана направлена в сторону оси y при положительной относительной скорости и противоположно направлена -- при отрицательном ее значении.



Обтекание частицы у стенки

1) Ламинарный режим течения в щелевых каналах и трубах (Re<2300)

Параболический профиль скорости:

В пристенном слое y = R-r

2) Турбулентный режим течения в щелевых каналах и трубах (Re>2300)

Универсальный профиль скоростей:



Где - безразмерная скорость,

- безразмерная координата,

y -- расстояние от стенки,

u_*-- динамическая скорость,

?₀ - касательные напряжения на стенке.

В щелевых зазорах и трубах касательные напряжения могут быть найдены через коэффициент гидравлического трения

- для круглых труб,

- для плоских щелей.

где

Толщина пограничного слоя может быть оценена, как



Пример. Определите скорость жидкости с плотностью с₁=1000 кг/м³ и вязкостью м=10^-3 ПаМс, при которой частицы плотностью с₂=870 кг/м³, коэффициентом трения k=0.7 и размером д=500 мкм, осевшие на пластину тонкослойного отстойника (см. рис), будут оставаться неподвижными. Дано H = 4 см, в = 25⁰.

Решение

1. Условия равновесия частицы:

Для ламинарного режима обтекания:

Решая систему уравнений равновесия частицы находим:



2. Предположим, что в зазоре - ламинарный режим течения. Тогда из предположения параболического профиля скорости в плоском щелевом зазоре:

Находим:

С учетом того, что гидравлический диаметр щелевого зазора D_Г=2H, проверяем:

Вывод - предположение о ламинарном режиме неверно.

3. Турбулентный пограничный слой.

турбулентный пограничный слой
UCP =	0.0558	м/с
	4464	-
	0.0386594	-
	0.0150464	Па
	0.0038789	м/с
	9.70E-01	-
при ?<11.6	9.70E-01
V=?·u*	3.76E-03	м/с
V треб=	3.756E-03	м/с

Ответ: скорость жидкости, при которой частицы, осевшие на пластину тонкослойного отстойника, будут оставаться неподвижными, равна U_CP =0.0558 м/с

Размещено на Allbest.ru