Оптика

, (12)

где - постоянный множитель, близкий к единице.

Для потенциального барьера произвольной формы, в квазиклассическом приближении (достаточно плавный профиль потенциальной кривой), получается подобная (12) формула

, (13)

где , (см. рис.).

С классической точки зрения прохождение частицы сквозь потенциальный барьер при невозможно, так как, находясь в области барьера, она обладала бы отрицательной кинетической энергией. Т.е. туннельный эффект является специфическим квантовым эффектом, не имеющий аналога в классической механике.

Гармонический осциллятор. Пружинный, физический и математический маятники являются примерами классических осцилляторов. Потенциальная энергия гармонического осциллятора определяется выражением

, (14)

где - собственная частота колебаний осциллятора, m - масса частицы. Амплитуда колебаний классического осциллятора определяется его полной энергией E. Классическая частица совершает движение в пределах (,).

Стационарные состояния квантового осциллятора определяются уравнением Шредингера

, (15)

где E - полная энергия осциллятора. Уравнение (15) имеет конечные и непрерывные решения при собственных значениях энергии

. (16)

Уровни энергии гармонического осциллятора являются равноотстоящими друг от друга. Наименьшее возможное значение энергии равно . Это значение называется энергией нулевых колебаний. Существование минимальной энергии является типичной для квантовых систем и представляет прямое следствие соотношения неопределенностей.

Квантовая механика позволяет вычислить вероятности переходов из одного состояния в другое. Вычисления показывают, что для гармонического осциллятора возможны лишь переходы между соседними уровнями. При таких переходах квантовое число n изменяется на единицу

. (17)

Условие (17) на возможные переходы называется правилом отбора. Таким образом, энергия гармонического осциллятора может изменяться только порциями .

Атом водорода. Рассмотрим систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Ze и движущегося вокруг него электрона. При система представляет собой атом водорода, при - водородоподобный ион.

Потенциальная энергия электрона равна

.

Следовательно, уравнение Шредингера имеет вид

. (18)

Можно показать, что уравнение (18) имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, в следующих случаях: 1) при любых положительных значениях E; 2) при дискретных отрицательных значениях энергии, равных

. (19)

Случай соответствует электрону, пролетающему вблизи ядра, т.е. свободному электрону. Случай соответствует электрону, движущемуся вблизи ядра, т.е. связанному электрону. Самый нижний уровень , отвечающий минимально возможной энергии, называется основным, все остальные - возбужденными. Таким образом, квантование энергии атома является следствием теории, в отличие от теории Бора, в которой квантование вводилось как постулат.

Собственные функции уравнения (18), представленные в сферической системе координат, содержат три целочисленных параметра: главное число n, орбитальное число l и магнитное число m

.

Главное число n определяет энергетический уровень электрона в атоме в соответствии с формулой (19) и может принимать любые положительные целочисленные значения.

Орбитальное число l определяет орбитальный момент импульса электрона. Согласно законам квантовой механики момент импульса квантуется по правилу

. (20)

При заданном n орбитальное число может принимать значения

. (21)

Магнитное число m определяет ориентацию орбитального момента в пространстве. Согласно законам квантовой механики величина проекции момента на некоторое направление z принимает дискретные значения

,

где m - магнитное квантовое число, которое при заданном l может принимать значения

.

Таким образом, вектор момента импульса электрона в атоме может иметь в пространстве возможных ориентаций.

Согласно (19) энергия электрона зависит только от главного квантового числа n. Каждому собственному значению энергии (кроме ) соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что атом водорода может иметь одно и то же значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях.

Состояния с одинаковой энергией называются вырожденными, а число различных состояний с каким-либо значением энергии называется кратностью вырождения соответствующего энергетического уровня.

Кратность вырождения энергетических уровней легко вычисляется путем подсчета возможных значений l и m. Каждому значению квантового числа l соответствует значений квантового числа m. Следовательно, число различных состояний, соответствующих данному n, равно

. (22)

В атомной физике применяется условное обозначение состояний электрона с различными значениями момента импульса. Электрон, находящийся в состоянии с называется s-электроном (соответствующее состояние - s-состоянием), с - p-электроном, с - d-электроном, с - f-электроном и далее по алфавиту. Значение главного квантового числа указывается перед условным обозначением орбитального числа l. Поскольку l всегда меньше n, возможны следующие состояния электрона:

1s,

2s, 2p,

3s, 3p, 3d

и т.д. Схему уровней энергии удобно изображать так, как показано на рис.

Испускание и поглощение света происходит при переходах электрона с одного уровня на другой. В квантовой механике доказывается, что для орбитального квантового числа имеется правило отбора

 . (23)

Это означает, что возможны только такие переходы, при которых l меняется на единицу. Правило обусловлено тем, что фотон обладает собственным моментом импульса (спином s). Его величина вычисляется по общему правилу (20), где вместо l следует использовать . Данное значение определяет максимальную величину проекции спина на избранное направление. Испускание или поглощение фотона, согласно закону сохранения момента импульса, приводит к изменению момента импульса атома, согласно с правилом (23).

На рис. показаны переходы, разрешенные правилом (23). Серии Лаймана соответствует переходам

;

серии Бальмера соответствуют переходы

и ,и т.д.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода дает, что волновая функция электрона в 1s состоянии является сферически-симметричной и имеет вид

,

где есть боровский радиус. Вероятность нахождения электрона в шаровом слое радиуса r и толщиной dr равна

 .

Подставив в формулу волновую функцию, получим

.

График радиальной плотности вероятности изображен на рис. Ее максимум приходится на . Таким образом, в основном состоянии атома водорода наиболее вероятное расстояние между ядром и электроном равно боровскому радиусу.

Спин электрона. Спиновое квантовое число

При классическом движении по орбите электрон обладает магнитным моментом. Причем классическое отношение магнитного момента к механическому имеет значение

, (1)

где и - соответственно магнитный и механический момент. К аналогичному результату приводит и квантовая механика. Так как проекция орбитального момента на некоторое направление может принимать только дискретные значения, то это же относится и к магнитному моменту. Поэтому, проекция магнитного момента на направление вектора B при заданном значении орбитального квантового числа l может принимать значения

,

где - так называемый магнетон Бора.

О. Штерн и В. Герлах в своих опытах проводили прямые измерения магнитных моментов. Они обнаружили, что узкий пучок атомов водорода, заведомо находящихся в s-состоянии, в неоднородном магнитном поле расщепляется на два пучка. В этом состоянии момент импульса, а с ним и магнитный момент электрона равен нулю. Таким образом, магнитное поле не должно оказывать влияние на движение атомов водорода, т.е. расщепления быть не должно.

Для объяснения этого и других явлений Гаудсмит и Уленбек выдвинули предположение, что электрон обладает собственным моментом импульса , не связанным с движением электрона в пространстве. Этот собственный момент был назван спином.

Первоначально предполагалось, что спин обусловлен вращением электрона вокруг своей оси. Согласно этим представлениям для отношения магнитного и механического моментов должно выполняться соотношение (1). Экспериментально было установлено, что это отношение в действительности в два раза больше, чем для орбитальных моментов

.

По этой причине, представление электрона как о вращающемся шарике оказывается несостоятельным. В квантовой механике спин электрона (и всех других микрочастиц) рассматривается как внутреннее неотъемлемое свойство электрона, подобное его заряду и массе.

Величина собственного момента импульса микрочастицы определяется в квантовой механике с помощью спинового квантового числа s (для электрона )

.

Проекция спина на заданное направление может принимать квантованные значения, отличающиеся друг от друга на . Для электрона

,

оптика дифракция интерференция рентгеновский

где - магнитное спиновое квантовое число.

Для полного описания электрона в атоме, таким образом, необходимо наряду с главным, орбитальным и магнитным квантовыми числами задавать еще магнитное спиновое квантовое число.

Тождественность частиц. В классической механике одинаковые частицы (скажем, электроны), несмотря на тождественность их физических свойств, можно пометить, пронумеровав, и в этом смысле считать частицы различимыми. В квантовой механике ситуация кардинально меняется. Понятие траектории теряет смысл, и, следовательно, при движении частицы перепутываются. Это означает, что нельзя сказать, какой из первоначально помеченных электронов попал в ту или иную точку.

Таким образом, в квантовой механике одинаковые частицы полностью теряют свою индивидуальность и становятся неразличимыми. Это утверждение или, как говорят, принцип неразличимости одинаковых частиц имеет важные следствия.

Рассмотрим систему, состоящую из двух одинаковых частиц. В силу их тождественности состояния системы, получающиеся друг из друга перестановкой обеих частиц должны быть физически полностью эквивалентными. На языке квантовой механики это означает, что

,

где , - совокупности пространственных и спиновых координат первой и второй частицы. В итоге возможны два случая

.

Таким образом, волновая функция либо симметрична (не меняется при перестановки частиц), либо антисимметрична (т.е. при перестановке меняет знак). Оба этих случая встречаются в природе.

Релятивистская квантовая механика устанавливает, что симметрия или антисимметрия волновых функций определяется спином частиц. Частицы с полуцелым спином (электроны, протоны, нейтроны) описываются антисимметричными волновыми функциями. Такие частицы называют фермионами, и говорят, что они подчиняются статистике Ферми-Дирака. Частицы с нулевым или целочисленным спином (например, фотоны) описываются симметричными волновыми функциями. Эти частицы называют бозонами, и говорят, что они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Сложные частицы (например, атомные ядра), состоящие из нечетного числа фермионов, являются фермионами (суммарный спин - полуцелый), а из четного - бозонами (суммарный спин целый).

Принцип Паули. Атомные оболочки. Если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два фермиона, входящих в эту систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, так как для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной.

Из этого положения вытекает принцип запрета Паули: любые два фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии.

Состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел:

главного n (,

орбитального l (),

магнитного (),

магнитного спинового ().

Распределение электронов в атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, поэтому два электрона, находящихся атоме, различаются значениями, по крайней мере, одного квантового числа.

Определенному значению n соответствует различных состояний, отличающихся l и . Так как может принимать лишь два значения (), то максимальное число электронов, находящихся в состояниях с данным n, будет равно . Совокупность электронов в многоэлектронном атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, называют электронной оболочкой. В каждой электроны распределяются по подоболочкам, соответствующих данному l. Максимальное число электронов в подоболочке с данным l равно . Обозначения оболочек, а также распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлены в таблице.

Периодическая система элементов Менделеева. С помощью принципа Паули можно объяснить Периодическую систему элементов. Химические и некоторые физические свойства элементов определяются внешними валентными электронами. Поэтому периодичность свойств химических элементов непосредственно связана с характером заполнения электронных оболочек в атоме.

Элементы таблице отличаются друг от друга зарядом ядра и количеством электронов. При переходе к соседнему элементу последние увеличиваются на единицу. Электроны заполняют уровни так, чтобы энергия атома была минимальной.

В многоэлектронном атоме каждый отдельный электрон движется в поле, которое отличается от кулоновского. Это приводит к тому, что вырождение по орбитальному моменту снимается . Причем c увеличением l энергия уровней с одинаковыми n возрастает. Когда число электронов невелико, отличие в энергии с различными l и одинаковыми n не так велико, как между состояниями с различными n. Поэтому, сначала электроны заполняют оболочки с меньшими n, начиная с s подоболочки, последовательно переходя к большим значениям l.

Единственный электрон атома водорода находится в состоянии 1s. Оба электрона атома He находятся в состоянии 1s с антипараллельными ориентациями спина. На атоме гелия заканчивается заполнение K-оболочки, что соответствует завершению I периода таблицы Менделеева.

Третий электрон атома Li (Z3) занимает наинизшее свободное энергетическое состояние с n2 (L-оболочка), т.е. 2s-состояние. Так как он слабее других электронов связан с ядром атома, то им определяются оптические и химические свойства атома. Процесс заполнения электронов во втором периоде не нарушается. Заканчивается период неоном, у которого L-оболочка целиком заполнена.

В третьем периоде начинается заполнение M-оболочки. Одиннадцатый электрон первого элемента данного периода Na (Z11) занимает наинизшее свободное состояние 3s. 3s-электрон является единственным валентным электроном. В связи с этим оптические и химические свойства натрия подобны свойствам лития. У следующих за натрием элементов нормально заполняются подоболочки 3s и 3p.

Впервые нарушение обычной последовательности заполнения уровней происходит у K (Z19). Его девятнадцатый электрон должен был бы занять 3d-состояние в M-оболочке. При данной общей конфигурации подоболочка 4s оказывается энергетически ниже подоболочки 3d. В связи с чем, при незавершенном в целом заполнении оболочки M начинается заполнение оболочки N. В оптическом и химическом отношении атом K подобен атомам Li и Na. Все эти элементы имеют валентный электрон в s-состоянии.

С аналогичными отступлениями от обычной последовательности, повторяющимися время от времени, осуществляется застройка электронных уровней всех атомов. При этом периодически повторяются сходные конфигурации внешних (валентных) электронов (например, 1s, 2s, 3s и т.д.), чем обуславливается повторяемость химических и оптических свойств атомов.

Рентгеновские спектры. Самым распространенным источником рентгеновского излучения является рентгеновская трубка, в которой сильно ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют анод. При торможении электронов возникает рентгеновское излучение. Спектральный состав рентгеновского излучения представляет собой наложение сплошного спектра, ограниченного со стороны коротких волн граничной длиной , и линейчатого спектра - совокупности отдельных линий на фоне сплошного спектра.

Сплошной спектр обусловлен излучением электронов при их торможении. Поэтому его называют тормозным излучением. Максимальная энергия кванта тормозного излучения соответствует случаю, когда вся кинетическая энергия электрона переходит в энергию рентгеновского фотона, т.е.

,

где U - ускоряющая разность потенциалов рентгеновской трубки. Отсюда граничная длина волны

. (2)

Измерив коротковолновую границу тормозного излучения, можно определить постоянную Планка. Из всех методов определения данный метод считается самым точным.

При достаточно большой энергии электронов на фоне сплошного спектра появляются отдельные резкие линии. Линейчатый спектр определяется только материалом анода, поэтому данное излучение называется характеристическим излучением.

Характеристические спектры отличается заметной простотой. Они состоят из нескольких серий, обозначаемых буквами K, L, M, N и O. Каждая серия насчитывает небольшое число линий, обозначаемых в порядке возрастания частоты индексами , , … (, , , …; , , , … и т.д.). Спектры разных элементов имеют сходный характер. При увеличении атомного номера Z весь рентгеновский спектр целиком смещается в коротковолновую часть, не меняя своей структуры (рис.). Это объясняется тем, что рентгеновские спектры возникают при переходах внутренних электронов, которые для разных атомов являются сходными.

Схема возникновения рентгеновских спектров дана на рис. Возбуждение атома состоит в удалении одного из внутренних электронов. Если вырывается один из двух электронов K-слоя, то освободившееся место может быть занято электроном из какого-либо внешнего слоя (L, M, N и т.д.). При этом возникает K-серия. Аналогично возникают и другие серии, наблюдаемые, впрочем, только для тяжелых элементов. Серия K обязательно сопровождается остальными сериями, так как при испускании ее линий освобождаются уровни в слоях L, M и т.д., которые будут в свою очередь заполнятся электронами из более высоких слоев.

Исследуя рентгеновские спектры элементов, Г. Мозли установил соотношение, называемое законом Мозли

, (3)

где - частота линии характеристического рентгеновского излучения, R - постоянная Ридберга, (определяет рентгеновскую серию), (определяет линию соответствующей серии), - постоянная экранирования.

Закон Мозли позволяет по измеренной длине волны рентгеновских линий точно установить атомный номер данного элемента; этот закон сыграл большую роль при размещении элементов в периодической таблице.

Закону Мозли можно дать простое объяснение. Линии с частотами (3), возникают при переходе электрона, находящегося в поле заряда , с уровня с номером n на уровень с номером m. Постоянная экранирования возникает из-за экранирования ядра Ze другими электронами. Ее значение зависит от линии. Например, для -линии и закон Мозли запишется в виде

.

Связь в молекулах. Молекулярные спектры

Различают два вида связи между атомами в молекуле: ионную и ковалентную связь.

Ионная связь. Если два нейтральных атома постепенно сближать друг с другом, то в случае ионной связи наступает момент, когда внешний электрон одного из атомов предпочитает присоединиться к другому атому. Атом, потерявший электрон, ведет себя как частица с положительным зарядом e, а атом, приобретший лишний электрон, - как частица с отрицательным зарядом e. Примером молекулы с ионной связью может служить HCl, LiF, и др.

Ковалентная связь. Другим распространенным типом молекулярной связи является ковалентная связь (например, в молекулах H2, O2, CO). В образовании ковалентной связи участвуют два валентных электрона соседних атома с противоположно направленными спинами. В результате специфического квантового движения электронов между атомами образуется электронное облако, которое обуславливает притяжение атомов.

Молекулярные спектры сложнее атомных спектров, так как кроме движения электронов относительно ядер в молекуле происходят колебательные движения ядер (вместе с окружающими их внутренними электронами) около положений равновесия и вращательные движения молекул.

Молекулярные спектры возникают в результате квантовых переходов между уровнями энергий и молекул согласно соотношению

,

где - энергия испущенного или поглощаемого кванта частоты . При комбинационном рассеянии света равна разности энергий падающего и рассеянного фотона.

Электронному, колебательному и вращательному движениям молекул соответствуют энергии , и . Полная энергия молекулы E может быть представлена в виде суммы этих энергий

,

причем по порядку величины , где m - масса электрона, M - масса молекулы (). Следовательно . Энергия эВ, эВ, эВ.

Согласно законам квантовой механики, эти энергии принимают только квантованные значения. Схема энергетических уровней двухатомной молекулы представлена на рис. (для примера рассмотрены только два электронных уровня -показаны жирными линиями). Электронные уровни энергии далеко отстоят друг от друга. Колебательные уровни расположены значительно ближе друг к другу, а вращательные уровни энергии располагаются еще ближе друг к другу.

Типичные молекулярные спектры - полосатые, в виде совокупности полос различной ширины в УФ, видимой и ИК области спектра.

Спонтанное и вынужденное излучение. Коэффициенты Эйнштейна

Излучение в полости представляет собой совокупность квантов с энергией . Кванты могут поглощаться атомами, которые при этом переходят на более высокий энергетический уровень с энергией , где - исходный энергетический уровень атома. При переходе атома с уровня на излучается квант с энергией . Обозначим эти уровни индексами 0 и 1 (рис.) и назовем соответственно нижним и верхним уровнем.

Между материальными телами (стенками полости) и излучением происходит постоянный обмен энергией. Динамическое равновесие между ними наступает, когда обмен квантами уравновешен для каждой частоты. Поэтому ниже рассмотрена лишь одна частота. Для других частот все рассуждения аналогичны.

С нижнего уровня на верхний переходы возможны только с поглощением кванта энергии, т.е. под влиянием падающего излучения. Такие переходы называются вынужденными. Переходы с верхнего на нижний уровень могут быть как вынужденными, под влиянием падающего на атом излучения, так и спонтанными, происходящими независимо от падающего на атом излучения.

Обозначим вероятность спонтанного перехода 10 в секунду, - концентрацию атомов на верхнем уровне. Тогда частота спонтанных переходов

 .

Частота вынужденных переходов пропорциональна числу падающих фотонов или спектральной плотности излучения . Обозначим и вероятности вынужденных переходов 10 и 01 в секунду под действием излучения с ; - концентрацию атомов на нижнем уровне. Тогда для частоты вынужденных переходов можно записать

, .

Условие динамического равновесия имеет вид или

. (1)

В равновесном состоянии выполняется распределение Больцмана, которое для концентраций атомов имеет вид

, , (2)

где A - нормировочная постоянная. Подставляя (2) в (1), находим

. (3)

Величины , и называются коэффициентами Эйнштейна.

Из физических соображений следует, что при должно быть . Тогда из предельного перехода в (3) следует, что

 . (4)

Поэтому соотношение (3) может быть записано в виде

, (5)

где . Значение можно найти, если учесть, что (5) при малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея-Джинса. При и (5) приобретает вид

.

Сравнивая полученное выражение с формулой Рэлея-Джинса, находим

.

В результате формула (5) приобретает вид

. (6)

Соотношение (6) представляет собой формулу Планка.

Спонтанное излучение имеет случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Вынужденное излучение в этом отношении отличается от спонтанного. Направление распространения вынужденного излучения в точности совпадает с направлением вынуждающего излучения. То же самое относится к частоте, фазе и поляризации вынужденного и вынуждающего излучения. Следовательно, вынужденное и вынуждающее излучение оказываются строго когерентными. Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе действия усилителей и генераторов света, называемых лазерами.

Лазеры. При прохождении света через среду осуществляется обмен квантами между пучком света и атомами среды посредством вынужденных переходов и спонтанное испускание квантов. Обозначим частоту излучения, концентрацию атомов на нижнем и верхнем уровнях соответственно , и (рис.). Объемную спектральную плотность излучения частоты обозначим . Она изменяется в результате вынужденного поглощения квантов атомами среды, благодаря чему плотность потока уменьшается, и вследствие вынужденного излучения атомов, приводящего к увеличению плотности . Закон сохранения энергии при вынужденных переходах запишется в виде

, (7)

где . С помощью обозначений для коэффициента , где v - скорость света с частотой в среде, и плотности потока энергии уравнение (7) может быть записано в виде

.

В состоянии термодинамического равновесия концентрация атомов описывается распределением Больцмана. Из него следует, что при и поэтому . Это означает, что плотность потока по мере прохождения света в среде уменьшается. Механизм уменьшения плотности состоит в следующем. В результате вынужденных переходов атомов с нижнего энергетического уровня на верхний плотность энергии потока уменьшается.

Если привести систему атомов в неравновесное состояние и тем самым нарушить распределение Больцмана, так чтобы образовалась инверсная заселенность уровней , то коэффициент станет больше нуля . В этом случае пучок при прохождении усиливается, т.е. среда действует как усилитель светового потока.

Это позволяет создать генераторы и усилители волн, основанные на индуцированном излучении. Для светового диапазона подобные генераторы называются лазерами, а для микроволнового - мазерами.

С помощью светового пучка нельзя добиться инверсной заселенности уровней, для которых , где - частота света. Инверсную заселенность уровней можно создать с помощью некоторого воздействия, независимого от усиливаемого света. Создание инверсной заселенности называется накачкой. Наиболее простой метод накачки осуществляется в трехуровневых системах (рис.). На рис. изображено распределение заселенности в равновесном состоянии системы. При воздействии на систему вспомогательным излучением большой мощности с частотой заселенности уровней и практически сравниваются. Допустим, что время жизни атомов на уровне очень мало и они спонтанно переходят на уровень , время жизни на котором у них достаточно велико. Ясно, что атомы на уровне будут накапливаться, в результате чего создается инверсная заселенность между уровнями и (рис.). Переход между этими уровнями может быть использован для усиления света с частотой .

Накачка лазеров может быть самой разнообразной, не только с помощью света. По характеру зависимости накачки от времени она может быть непрерывной и импульсной. Если накачка осуществляется импульсами, то и излучение лазера импульсное. При непрерывной накачке, при выполнении условия генерации, излучение лазера непрерывно (при непрерывной накачке возможен также и импульсный режим излучения).

Рубиновый лазер. Первым квантовым генератором света был рубиновый лазер, созданный в 1960 г. Рабочим веществом является рубин, представляющий собой кристалл оксида алюминия Al2O3 (корунд), в котором при выращивании введен в виде примеси оксид хрома Cr2O3. В решетке кристалла Al2O3 ион Cr+3 замещает ион Al+3. Вследствие расщепления соответствующих энергетических уровней хрома в кристалле возникают две энергетические полосы: одна - в зеленой, другая - в голубой части спектра. Поглощение в этих частях спектра обуславливает красный цвет рубина. Наряду с голубой и зеленой полосами поглощения имеется два узких энергетических уровня и , при переходе с которых на основной уровень излучается свет с длинами волн 694,3 и 692.8 нм.

Рассмотрим работу рубинового лазера в режиме излучения света с 694,3 нм. При облучении рубина белым светом голубая и зеленая части спектра поглощаются, а красная отражается. В рубиновом лазере используется оптическая накачка ксеноновой лампой, которая дает вспышки света большой интенсивности при прохождении через нее импульса тока, нагревающего газ до нескольких тысяч кельвин. Непрерывная накачка невозможна, потому что лампа при столь высокой температуре не выдерживает непрерывного режима работы. Излучение поглощается ионами Cr+3, переходящими в результате этого на энергетические уровни в области полос поглощения. Однако с этих уровней ионы Cr+3 очень быстро переходят на уровни , . При этом излишек энергии передается решетке. Уровни и метастабильны. Поэтому в процессе импульса накачки на этих уровнях накапливаются возбужденные атомы, создавая инверсную заселенность относительно уровня .

Кристалл рубина выращивается в виде круглого стержня диаметром несколько миллиметров и длиной несколько сантиметров с плоскими торцами, тщательно полированными и строго перпендикулярными оси цилиндра. Один из торцов покрывают плотным слоем серебра, имеющего высокий коэффициент отражения. Другой торец рубинового стержня покрывают полупрозрачным слоем того же серебра. В результате образуется оптический резонатор. Если он настроен на 694,3 нм, то при накачке лазера происходит генерация излучения с этой длиной волны.

Рубиновый лазер может давать линейно-поляризованное излучение без помощи какого-либо поляризатора. Если рубиновый стержень лазера вырезан из кристалла рубина таким образом, что оптическая ось кристалла перпендикулярна к оси стержня или составляет с ней угол 60, то излучение будет линейно-поляризовано.

Гелий-неоновый лазер. Активной средой является газообразная смесь гелия и неона. Генерация осуществляется за счет переходов между энергетическими уровнями неона, а гелий играет роль посредника, через который энергия передается атомам неона для создания инверсной заселенности.

На рис. приведена упрощенная схема уровней неона (справа). Излучению с длинами волн 632,8, 1150 и 3390 нм соответствуют переходы , , . Помимо этих переходов возможны переходы на другие уровни, не указанных на рис. Интерес представляет переход, соответствующий видимой части спектра (632,8 нм).

При пропускании тока через гелий-неоновую смесь электронным ударом атомы гелия возбуждаются до состояния с энергией , которое является метастабильным, поскольку переход в основное состояние из них запрещен правилами отбора. При прохождении тока атомы накапливаются на этом уровне. Когда возбужденный атом гелия сталкивается с невозбужденным атомом неона, энергия возбуждения переходит к последнему. Этот переход осуществляется очень эффективно из-за близкого совпадения энергий соответствующих уровней. Вследствие этого на уровне образуется инверсная заселенность относительно уровня . Это обстоятельство может быть использовано для генерации лазерного излучения.

Гелий-неоновый лазер может работать в непрерывном режиме. Типичная схема лазера показана на рис. Концы лазерной трубки закрыты прозрачным материалом так, чтобы осевое излучение падало на него под углом Брюстера. Благодаря этому обеспечивается полное пропускание одной из поляризаций света и устранение из пучка другой. Таким образом, излучение гелий-неонового лазера линейно поляризовано. Одно из зеркал имеет коэффициент отражения порядка 0,999, а второе, через которое проходит лазерное излучение, - около 0,990. В качестве зеркал используют многослойные диэлектрики, поскольку более низкие коэффициенты отражения не обеспечивают достижения порога генерации.

Лазеры на красителях. Красители являются сложными молекулами, у которых сильно выражены колебательные уровни энергии. Энергетические уровни располагаются в полосе спектра почти непрерывно. Вследствие внутримолекулярного взаимодействия молекула очень быстро переходит безызлучательно на нижний энергетический уровень каждой полосы. Поэтому после возбуждения молекул через очень короткий промежуток времени на нижнем уровне полосы сосредоточатся все возбужденные молекулы. Они далее имеют возможность совершить излучательный переход на любой из энергетических уровней нижней полосы. Таким образом, возможно излучение практически любой частоты в интервале, соответствующем ширине нулевой полосы. Если молекулы красителя взять в качестве активного вещества, то в зависимости от настройки резонатора можно получить практически непрерывную перестройку частоты лазера. Накачка лазеров на красителях производится газоразрядными лампами или излучением других лазеров.

Элементы квантовой статистики

Фазовое пространство. Функция распределения. Рассмотрим систему из N частиц. Свяжем с ней многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Состояние системы определяется заданием переменных 6N, так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат x, y, z и тройкой проекций импульса , , . Поэтому размерность многомерного пространства равно 6N. Это пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы в классическом случае отвечает точка в фазовом пространстве. При квазиклассическом описании движения системы на каждое квантовое состояние системы приходится в этом пространстве элементарный объем .

При взаимодействии с окружающей средой состояние системы меняется. Вероятность dP некоторого состояния системы (p, q) можно представить с помощью функции распределения

(8)

Здесь означает произведение дифференциалов координат и импульсов всех частиц. По определению функции распределения

,

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

При известной функции распределения можно определить макроскопические параметры системы. Любой макроскопический параметр L в смысле статистической физики является средним по микросостояниям

. (9)

Явное выражение функции распределения для системы, находящейся в тепловом контакте с большим тепловым резервуаром было получено Гиббсом. Оно называется каноническим распределением Гиббса и имеет вид

,

где A - нормировочная постоянная, n - совокупность квантовых чисел, определяющих данное состояние.

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Наиболее простым объектом для изучения является идеальный газ. Реальный газ можно считать идеальным, если взаимодействие частиц несущественно. Состояние системы невзаимодействующих тождественных частиц можно характеризовать с помощью чисел заполнения , определяющих среднее число частиц в i-м квантовом состоянии.

Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …. Для систем, образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения равна числу частиц системы. С помощью канонического (или большого канонического) распределения Гиббса можно определить числа заполнения квантовых состояний.

Числа заполнения идеального газа бозонов - бозе-газа - определяются соотношением

. (10)

Это выражение называется распределением Бозе-Эйнштейна. Здесь - среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией , - параметр, который называется химическим потенциалом. Его величина определяется из условия , где N - число частиц в системе. Химический потенциал по своему определению является функцией числа частиц и температуры .

Распределение фермионов по энергиям имеет вид

. (11)

Смысл входящих в (11) величин тот же, что и в (10). Распределение (11) называется распределением Ферми-Дирака.

Если , то распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, (12)

где . Таким образом, при малых числах заполнения () оба квантовых газа ведут себя подобно классическому газу.

Квантовый газ называется вырожденным, если числа заполнения сравнимы с единицей или больше ее (последнее возможно для бозе-газа). Вырожденный бозе-газ и ферми-газ существенно отличаются друг от друга и в свою очередь от идеального газа. Так в вырожденном бозе-газе при понижении температуры происходит бозе-конденсация, когда на нижний энергетический уровень переходит большое число частиц. Бозе-конденсацией объясняются такие явления как сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Вырождение газов наступает при понижении температуры и/или повышении плотности газа. В качестве параметра вырождения квантового газа используется температура , при которой . Эта характеристическая температура называется температурой вырождения.

Фотонный газ

Согласно квантовым представлениям тепловое излучение можно рассматривать как равновесный газ фотонов. Спин фотона равен единице, и поэтому, фотоны являются бозе-газом и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Так как фотоны непрерывно излучаются и вновь поглощаются стенками полости, то полное число фотонов не фиксировано. Это означает, что химический потенциал фотонов равен нулю и распределение фотонов по энергиям имеет вид

.

Для определения внутренней энергии и полного числа фотонов требуется определить плотность состояний. Воспользуемся общим правилом, согласно которому число одночастичных квантовых состояний - орбиталей, приходящихся на шестимерный фазовый объем , равно

.

Для фотонов и . Число орбиталей, приходящихся на частотный интервал d, очевидно равно , где - спектральная плотность орбиталей. Множитель 2 учитывает две поляризации фотона. Для спектральной плотности энергии излучения найдем

. (1)

Соотношение (1) есть формула Планка. Таким образом, статистика Бозе-Эйнштейна для фотонного газа приводит к законам теплового излучения (формуле Планка и др.).

Фононы. Теплоемкость кристалла. Тепловое движение кристаллов во многих отношениях напоминает равновесное электромагнитное излучение. Это связано с тем, что движение атомов при малых отклонениях от положения равновесия может рассматриваться как набор гармонических колебаний. Так как колебания атомов являются, благодаря сильному взаимодействию, связанными, то тепловое движение решетки кристалла представляет собой суперпозицию упругих монохроматических волн с разными частотами и направлениями распространения.

Как и для электромагнитной волны, импульс и энергия упругой волны связаны соотношением , где c - скорость звука. Однако между ними есть и различия. Электромагнитные волны поперечны и обладают двумя независимыми поляризациями. Волны в кристалле могут быть как поперечными, с двумя независимыми поляризациями, так и продольными. Кроме того, набор электромагнитных волн не ограничен по частотам и существуют волны со сколь угодно большими частотами. Для волн в кристалле из-за дискретности решетки длина волны не может быть меньше минимального расстояния между атомами. Следовательно, частоты колебаний решетки ограничены сверху и общее число различных волн в кристалле конечно.

Полное число различных колебаний равно , так как из полного числа степеней свободы 3N надо вычесть три поступательные и три вращательные степени свободы твердого тела как целого; здесь N - атомов в кристалле. Классическая теория для внутренней энергии и теплоемкости твердого тела дает простые предсказания. Согласно закону равнораспределения каждая степень свободы колебательного движения вносит вклад, равный kT. Тогда для одного моля

и, следовательно,

. (2)

Это утверждение называется законом Дюлонга и Пти и для ряда веществ хорошо выполняется при комнатных температурах. Однако для некоторых кристаллов (например, для алмаза), закон Дюлонга и Пти нарушается уже при комнатных температурах, а при низких температурах теплоемкость любых кристаллов становится существенно меньшей, чем 3R.

Для описания тепловых колебаний в решетке используется идея особых квантовых частиц - фононов. Так же как для фотонов, число фононов на орбитали не ограничивается. Следовательно, фононы подчиняются распределению Бозе-Эйнштейна. Фононы непрерывно излучаются и поглощаются кристаллической решеткой, и поэтому химический потенциал фононного газа следует положить равным нулю.

Запишем распределение Бозе-Эйнштейна и выражение для внутренней энергии идеального фононного газа

,

, (3)

где и суммирование ведется по всем фононным состояниям. Для вычисления энергии надо знать спектр частот кристаллической решетки . Его нахождение представляет нетривиальную задачу даже для сравнительно простых решеток.

Используем для расчета внутренней энергии и теплоемкости кристалла так называемую непрерывную модель. Кроме этого, предположим, что скорости всех упругих волн одинаковы. Такое предположение не вполне корректно, но оно позволяет упростить вычисления и получить основные результаты. В результате оказывается, что спектральная плотность фононных орбиталей отличается от фотонной плотности множителем (у фотона две поляризации, у фонона - три). Поэтому, для фононов

.

и формула (3) переходит в интеграл

. (4)

Верхний предел интегрирования в (4) равен дебаевской частоте , а не бесконечен, как в случае фотонов. В теории Дебая она определяется соотношением

.

В итоге получаем

.

Введем в (4) новую переменную интегрирования и определим характеристическую температуру Дебая формулой . Тогда выражение для внутренней энергии примет вид

. (5)

При высоких температурах формула (5) приводится к виду

.

В этом случае в согласии с законом Дюлонга и Пти.

При низких температурах верхний предел интегрирования в (5) можно положить равным бесконечности (соответствующее значение интеграла равно ). В результате получаем для энергии

,

для теплоемкости

. (6)

Этот результат известен как закон Дебая.

Вырожденный электронный газ в металле. Электроны проводимости в металле можно рассматривать как идеальный газ, подчиняющийся распределению Ферми-Дирака. Рассмотрим вначале электронный ферми-газ при температуре абсолютного нуля - полностью вырожденный ферми-газ. При распределение электронов по состояниям ведет себя как ступенчатая функция

(7)

В формуле (7) величина - предельное значение химического потенциала при , а - ступенчатая функция. Физический смысл (7) очевиден. При фермионы заполняют самые низкие энергетические уровни. По принципу Паули каждое состояние может быть занято только одним электроном. Поэтому уровни до при являются занятыми, причем для этих уровней , а вышележащие уровни свободны . Максимальная энергия электронов , равная предельному значению химического потенциала, называется энергией Ферми.

В импульсном пространстве электроны также заполняют все состояния с импульсами от нуля до максимального импульса . Число квантовых состояний в интервале импульсов от p до pdp равно , где множитель 2 учитывает кратность спинового вырождения. Число электронов с импульсами от нуля до максимального импульса равно

.

Отсюда для граничного импульса - импульса Ферми - имеем

( - концентрация электронов проводимости), а для энергии Ферми находим

.

Наконец, полная энергия газа равна

.

Согласно уравнению состояния идеального газа находим давление ферми-газа при

.

Таким образом, даже при температуре абсолютного нуля давление электронного газа отлично от нуля. Для см-3 имеем атм. Это обстоятельство является следствием того, что электроны не находятся в покое даже при .

При температурах, отличных от нуля, часть электронов переходит с уровней, лежащих ниже уровня Ферми , на уровни, лежащие выше этой границы. В результате ступенька расплывается и превращается в пунктирную линию (рис.). Из формулы распределения Ферми-Дирака легко видеть, что полуширина распределения . Поэтому температуру естественно назвать температурой вырождения электронного газа (ступенька полностью расплывается). При более высоких температурах вырождение снимается, - электронный газ ведет себя как классический. Численная оценка приводит к значению К. Следовательно, электронный газ в металлах при любых температурах вплоть до точки плавления остается вырожденным.

Вычисления внутренней энергии для температур меньших температуры вырождения приводят к формуле

.

Отсюда теплоемкость электронного газа

. (8)

Если рассматривать электроны проводимости в металле как классический электронный газ, то согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы эти электроны должны были бы дать добавочный вклад в теплоемкость, равный . Согласно (8) вклад электронов в теплоемкость металла оказывается меньше этого значения на два порядка, в соответствии с опытом.

Элементы ядерной физики

Атомное ядро. Ядро атома состоит из нуклонов: протонов и нейтронов. Общее число нуклонов в ядре называют массовым числом А. Число протонов в ядре равно порядковому номеру в системе элементов Менделеева Z (числу протонов в ядре или числу электронов в атоме), число нейтронов - . Ядро обозначают символом .

Ядра могут иметь несколько изотопов, характеризующимися одним и тем же порядковым номером Z, но различными А и N. Например, - ядро водорода - протон; - ядро дейтерия - дейтрон (d); - ядро трития - тритон (t).

Электрический заряд ядра равен числу положительно заряженных протонов в ядре. Размеры ядер зависят от числа нуклонов в ядре, и как у всякой квантовой системы у атомного ядра нет четко выраженной границы.

Эффективный радиус ядра , где константа м близка к радиусу действия ядерных сил (значение зависит от того, в каких физических явлениях измеряется размер ядра).

В экспериментах по рассеянию электронов и протонов на ядрах установлено, что в каждом ядре отчетливо различается внутренняя область (керн), в которой плотность ядерного вещества практически постоянна, и поверхностный слой, в котором эта плотность падает до нуля. Распределение концентрации нуклонов в ядре в зависимости от расстояния r до центра ядра приведено на рис., где - радиус ядра, а r - толщина поверхностного слоя. Радиус ядра определяется как расстояние от центра ядра, на котором концентрация нуклонов падает в два раза, по сравнению с концентрацией в центре ядра. Радиусы ядер находятся в пределах от 21015 м до 101015 м.

По объему ядро занимает малую часть атома. Однако в ядре сосредоточено 99,9 % всей массы атома, поэтому плотность ядерного вещества 21017 кг/м3.

Размеры протона и нейтрона примерно одинаковы и равны l7,81015 м. Размер электрона l1019 м. Плотность вещества в нуклоне 7,51017 кг/м3. Время жизни протона t1032 лет. Время жизни нейтрона в свободном состоянии t11,7 минут, в ядре он стабилен.

Ядро характеризуют барионным зарядом В. Под барионами понимают группу элементарных частиц с полуцелым спином и массой не меньше массы протона, т.е. это протон, нейтрон, гипероны, часть резонансов и “очарованных” частиц и др. Барионный заряд протона В1, нейтрона - В0. Для существующих в природе атомных ядер барионное число изменяется от 1 (водород) до 110 для соответствующего элемента в периодической системе элементов Менделеева. Барионное число нейтронных звезд В1057, а для всей Вселенной - В1078.

Ядра характеризуются электрическим и магнитным моментами. В различных состояниях ядро может иметь разные по величине магнитные и электрические моменты. В СИ ядерный магнетон

,

где и - заряд и масса протона. В единицах магнитный момент протона , нейтрона , т.е. магнитный момент нейтрона ориентирован против его спина.

Магнитные моменты ядер измеряют, используя явление магнитного резонанса, которое заключается в резонансном поглощении энергии высокочастотного электромагнитного поля, которое происходит при переориентации магнитных моментов, предварительно выстроенных в направлении постоянного магнитного поля.

Ядра могут вращаться, что обусловлено не сферичностью ядер в основном состоянии. Это следует из универсального квантового закона: вращаться может только такая микроскопическая система, которая не обладает сферической симметрией.

Атомные ядра могут находиться в определенных дискретных квантовых состояниях, отличающиеся друг от друга энергией и другими характеристиками, сохраняющимися во времени. Важнейшими квантовыми характеристиками ядерных состояний являются спин ядра I и четность Р. Спин - целое число у ядер с четным А (бозоны) и полуцелое при нечетном А (фермионы). Спин ядра равен сумме спинов составляющих его нуклонов.

Четность состояния Р 1 указывает на изменение знака волновой функции ядра при зеркальном отражении пространства, т.е. как изменяется квантовое состояние при обращении знаков у координат всех частиц. Это преобразование называют пространственной инверсией, при инверсии правый винт становится левым.

Ядерные состояния характеризуются также другими квантовыми числами, например, изотопической инвариантностью ядерных сил. Она приводит к появлению у легких ядер (Z 20) квантового числа Т, называемого изотопическим спином (изоспином). Т - целое число при четном А и полуцелое при нечетном, так как изотопический спин нуклона равен . Для различных квантовых состояний ядра

.

Изоспины основного состояния минимальны и равны

.

Изоспин характеризует свойства симметрии волновой функции состояния ядра относительно замены . Кроме I, P и T ядерные состояния могут характеризоваться другими квантовыми числами, связанными с конкретной моделью ядра.

Структуру сложных ядер исследуют с помощью моделей: капельной, оболочечной, ротационной, обобщенной и др. Например, согласно оболочечной модели многие ядра даже в невозбужденном состоянии имеют форму эллипсоида вращения и даже трехосного эллипсоида. Не сферичность основного состояния ядра - внутреннее его свойство.

Ядерные силы

Силы, удерживающие нуклоны в ядре, являются проявлением одного из самых интенсивных, известных в физике взаимодействий - сильного (ядерного). Эти силы по интенсивности превосходят электромагнитные в 100 раз. Ядерные силы характеризуются следующими свойствами:

1) Ядерные взаимодействия самые сильные в природе. Например, энергия связи дейтрона 2,23 МэВ, а энергия связи атома водорода 13,6 эВ.

2) Радиус действия ядерных сил конечен 1015 м.

3) Ядерные силы не имеют центральной симметрии. Эта особенность ядерных сил проявляется в их зависимости от взаимной ориентации спинов нуклонов. Взаимодействие между нуклонами имеет обменный характер. В опытах по рассеянию нейтронов на протонах регистрируются случаи “отрыва” от протонов их электрических зарядов и присоединения зарядов к нейтронам, в результате нейтрон превращается в протон.

4) Ядерные силы обладают изотопической инвариантностью, которая проявляется в одинаковости сил взаимодействия нуклонов в системах n-n, n-p, p-p при одном и том же состоянии относительного движения частиц в этих парах.

5) На расстояниях 1015 м ядерные силы являются силами притяжения. На много меньших расстояниях они становятся силами отталкивания, что было обнаружено в опытах по рассеянию протонов на протонах при высоких энергиях выше 400 МэВ.

6) Ядерные силы обладают свойством насыщения, которое проявляется в независимости удельной энергии связи атомных ядер от их массового числа А.

7) Ядерные силы зависят от скорости относительного движения нуклонов. Например, при столкновениях нуклонов при увеличении энергии от 500 МэВ до 1 ГэВ сечение рассеяния нейтрона на протоне уменьшается на порядок.

Таким образом, характер ядерных сил свидетельствует о сложной структуре нуклонов.

Энергия связи ядер. Энергия связи ядра - энергия, которую необходимо затратить, чтобы разделить ядро на составные части (нуклоны). Она равна разности суммарной массы входящих в него нуклонов и массы ядра, умноженной на скорость света в квадрате (с2), т.е.