Оптика

Характер рассеяния зависит от размеров неоднородностей. Если размеры неоднородностей малы по сравнению с длиной волны (не более ~0,1), интенсивность рассеянного света I

.

Эта зависимость носит название закона Рэлея. Ее происхождение связана с характером излучения электрического диполя (интенсивность излучения которого ). Особенностями излучения диполя объясняется также частичная поляризация рассеянного света. Рассеянный свет преимущественно поляризован в направлении, перпендикулярном направлению рассеяния и направлению распространения первичного луча. Полная поляризация наблюдается в направлениях, перпендикулярных пучку.

Рэлеевским рассеянием (на флуктуационных неоднородностях атмосферы) объясняется, например, голубой цвет неба и красноватый цвет Солнца на восходе и заходе. На восходе и заходе наблюдается свет, в котором в результате рассеяния коротковолновая (фиолетовая) часть спектра ослаблена значительно сильнее длинноволновой (красной) части. В результате Солнце воспринимается как красное. Когда Солнце находится в зените и рассеяние невелико (меньше толща атмосферы, проходимой лучами), оно не имеет красного цвета. Однако в рассеянном атмосферой свете преобладает фиолетовая часть спектра, и небо воспринимается голубым.

Тепловое излучение

Первый закон Кирхгофа. Излучение электромагнитных волн (свечение тел) может осуществляться за счет различных видов энергии. Самым распространенным является тепловое излучение, т.е. испускание электромагнитных волн за счет внутренней энергии тел. Все остальные виды свечения, возбуждаемые за счет любого вида энергии, кроме внутренней (тепловой), объединяются под общим названием люминесценция.

Тепловое излучение имеет место при любой температуре, однако, при невысоких температурах излучаются практически лишь длинные (инфракрасные) электромагнитные волны.

Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой имеют температуру T (в ней могут находиться другие тела). Благодаря излучению стенок полость заполнена электромагнитным излучением со всевозможными направлениями распространения, поляризациями и частотами. В равновесном состоянии во всех точках полости устанавливается одинаковая и неизменная плотность энергии излучения , зависящая от температуры T. Более того, стационарность равновесного состояния подразумевает, что в каждой точке полости устанавливается одинаковое распределение энергии по спектру и изотропная направленность излучения, в том числе каждой спектральной составляющей. Это позволяет ввести спектральную плотность энергии , так что произведение дает долю плотности энергии, приходящейся на интервал частот d. Очевидно, между и существует следующая связь

. (1)

Внутренняя энергия излучения связана с объемной плотностью соотношением

. (2)

Легко установить, что спектральная (и объемная) плотность энергии не зависит от свойств стенок полости и представляет собой универсальную функцию частоты и температуры (объемная плотность - только температуры). Данное утверждение составляет содержание первого закона Кирхгофа.

Действительно, пусть две такие полости с разными материалами стенок, но одинаковой температурой имеют хотя бы для одной частоты разные спектральные плотности. Тогда соединяя их с помощью отверстия (возможно со встроенным светофильтром), мы получили бы сначала поток энергии от одной полости к другой при равенстве температур, а затем от полости с более низкой температурой к полости с более высокой температурой, что запрещено принципами термодинамики.

Второй закон Кирхгофа. Поток энергии, испускаемой единицей поверхности излучающего тела по всем направлениям (в пределах телесного угла 2), называют энергетической светимостью тела , которая зависит от температуры. Излучение состоит из волн различных частот . Обозначим через спектральную плотность энергетической светимости (испускательная способность) тела, так что произведение дает долю излучаемой энергии, приходящейся на интервал частот d. Очевидно, между и существует связь следующего вида

. (3)

Пусть на элементарную площадку поверхности тела падает поток лучистой энергии , приходящийся на интервал частот d. Часть этого потока будет поглощена телом. Безразмерная величина

(4)

называется поглощательной способностью тела (). Тело, полностью поглощающее упавшее на него излучение всех частот () называется абсолютно черным. Тело, для которого , называют серым.

Абсолютно черных тел не существует. Сажа, например, имеет поглощательную способность , близкую к единице, лишь в очень ограниченном интервале частот; в далекой инфракрасной области ее поглощательная способность заметно меньше единице. Реализовать абсолютно черное тело можно в виде полости с небольшим отверстием (рис.). Лучи попадающие через отверстие внутрь полости, в результате многократных отражений на внутренних стенках полости практически полностью поглощаются и не выходят наружу. Это обстоятельство наглядно проявляется, например, при взгляде на открытые окна в доме, которые в светлый день кажутся темными. Высокие поглощающие свойства сажи отчасти объясняются ее пористостью, благодаря чему падающий свет испытывает перед последним отражением несколько промежуточных. Излучение, исходящее из отверстия, в свою очередь, может рассматриваться как излучение абсолютно черного тела.

Обозначим через испускательную способность абсолютно черного тела. Согласно второму закону Кирхгофа между испускательной и поглощательной способностью любого тела существует связь

 . (5)

Обосновать закон можно исходя из энергетического баланса на поверхности тела между падающим, отраженным и испущенным излучением. Этот баланс должен выполнятся не только в целом, но и в каждом спектральном интервале.

Вследствие изотропии излучения, из каждой точки полости исходит поток энергии, равномерно распределенный и равный в расчете на единицу телесного угла . На единицу площади поверхности полости за единицу времени под углом к нормали в телесном угле падает поток энергии . Общее количество падающей энергии в единичном интервале частот равно

.

В результате отражения падающего излучения и собственного излучения в полость с единичной поверхности тела идет поток энергии

.

Так как тепловое равновесие не должно нарушаться, то между энергией падающего и идущего от поверхности излучения должно выполняться равенство. На этом основании приходим ко второму закону Кирхгофа (5) с установлением связи

. (6)

Закон Стефана-Больцмана. Электромагнитным излучением переносится импульс. Если объемная плотность энергии плоской волны равна u, то объемная плотность импульса . По этой причине равновесное излучение оказывает давление на стенки полости. Нетрудно установить (подсчитав импульс падающего и уходящего от стенки излучения), что это давление не зависит от материала стенки и равно одной трети плотности энергии излучения

. (7)

Используя термодинамическое соотношение

и выражения (2) и (7), приходим к уравнению

.

Интегрируя, получаем отсюда для объемной плотности энергии формулу

, (8)

а для энергетической светимости абсолютно черного тела выражение

. (9)

Соотношение (9) носит название закона Стефана-Больцмана, а константа - постоянной Стефана-Больцмана.

Закон смещения Вина. Вин теоретически обосновал второй закон черного излучения из общего характера функции . Он рассмотрел процесс адиабатического сжатия излучения, заключенного внутри идеально зеркального сосуда. Принимая во внимание изменение частоты излучения при отражении от движущегося зеркала (эффект Доплера), Вин пришел к выводу, что испускательная способность черного тела имеет вид

. (10а)

Испускательная способностью , выраженная в шкале длин волн, связана с , выраженной в шкале частот, формулой

(ее легко установить из соотношений и ). Используя формулу (10а), находим общий вид функции

. (10б)

Соотношение (10б) позволяет установить зависимость между длиной волны , на которую приходится максимум функции , и температурой. Представим (10б) в виде . Из него с очевидностью вытекают два закона. Согласно первому - закону смещения Вина

, (11)

где - постоянная Вина. Согласно второму закону Вина максимум испускательной способности абсолютно черного тела возрастает пропорционально пятой степени абсолютной температуры

. (12)

Закон смещения Вина объясняет, почему при нагревании тел они светятся сначала красным светом, переходя затем к белому калению.

Формула Рэлея-Джинса. С точки зрения электромагнитной теории равновесное излучение в полости представляет собой систему стоячих волн с разными частотами , направлениями распространения и поляризациями. Найдем число различных стоячих волн в единице объема с частотами в интервале от до d. Допустим для простоты, что полость представляет собой куб с ребрами длины l, ориентированными вдоль координатных осей (результат, очевидно, не должен зависеть от формы полости).

Уравнение стоячей волны имеет вид

, (13)

где E электрическое поле (аналогичное уравнение имеет место и для магнитного поля), k представляет собой волновой вектор, направление которого совпадает с направлением волны, а модуль равен , - начальная фаза, и A - амплитуда волны. Для поля должны выполняться периодические граничные условия. Физически это связано с тем, что в зависимости отражающих свойств стенок на них должны находиться либо узлы, либо пучности стоячих волн. Отсюда получаются условия

. (14)

Частоты волн принимают, следовательно, квантованные значения

.

Введем пространство чисел , , (рис.). Каждой частоте соответствует в этом пространстве точка. На каждую точку приходится куб, с объемом равным единице. Число точек в сферическом слое с радиусом m и толщиной dm равно с большой точностью объему этого слоя . Учитывая две независимые поляризации (на каждую точку приходится две волны), находим отсюда число стоячих волн в интервале частот от до d

.

Согласно закону равнораспределения энергии по степеням свободы каждая колебательная степень свободы в состоянии равновесия имеет энергию kT. Половина из которой приходится на электрическую, другая на магнитную составляющую энергии волны. В результате получим

. (15)

Равенство (15) называется формулой Рэлея-Джинса. Она дает достаточно хорошее согласие с экспериментом при малых . При больших спектральная плотность значительно превосходит наблюдаемую. Полная объемная плотность излучения, согласно формулам (1) и (15), имеет бесконечно большое значение . Этот недопустимый результат (равновесная величина имеет конечное значение) получил название ультрафиолетовой катастрофы.

Формула Планка. С классической точки зрения вывод формулы Рэлея-Джинса является безупречным. В связи с этим возникла необходимость изменения некоторых положений классической теории.

В 1900 г. Планк предположил, что электромагнитное излучение испускается в виде отдельных порций, величина которых пропорциональна частоте излучения

. (16)

Коэффициент пропорциональности получил впоследствии название постоянной Планка. Если излучение испускается порциями , то его энергия будет кратна этой величине

,

где n - целое неотрицательное число.

В состоянии равновесия распределение энергии стоячей волны (моды колебаний) должно подчиняться распределению Больцмана. Вероятность того, что энергия моды колебаний имеет значение , определяется выражением

.

Тогда средняя энергия данной моды найдется как

.

Проведя суммирование, получим

. (17)

Заменив в (15) kT на полученное выражение , приходим к формуле Планка

. (18)

Формула Планка точно согласуется с экспериментальными данными во всем интервале частот и дает исчерпывающее описание равновесного излучения. При условии (малые частоты или большие длины волн) формула Планка переходит в формулу Рэлея-Джинса. С ее помощью можно также получить законы Стефана-Больцмана и Вина.

Оптическая пирометрия. Основываясь на законах теплового излучения, можно определять температуру раскаленных тел. Если испускающее тело является черным (или достаточно к нему приближается), то для определения его температуры можно воспользоваться законами черного излучения. По существу для сильно нагретых тел этот метод является единственным, другие методы не работают при таких температурах.

1. Радиационная температура. Это температура черного тела , при которой его энергетическая светимость равна энергетической светимости рассматриваемого тела . По закону Стефана-Больцмана вычисляется температура

. (19)

Радиационная температура всегда меньше его истинной температуры T. Покажем это на примере серого тела. Для серого тела

.

Учитывая , получаем

.

Так как , то .

2. Цветовая температура. Для серых тел испускательная способность прямо пропорциональна испускательной способности черного тела. Ее максимум, следовательно, приходится на ту же длину волны, что и для черного тела. Зная длину волны соответствующую максимальной испускательной способности, можно определить температуру

, (20)

которая называется цветовой температурой. Для серых тел цветовая температура совпадает с истинной. Так, для Солнца с учетом поправок на поглощение в земной атмосфере найдено , что соответствует . Для тел, которые сильно отличаются от серых (например, обладающих селективным поглощением), понятие цветовой температуры теряет смысл.

3. Яркостная температура. Это температура черного тела , при которой для выделенной длины волны его испускательная способность равна испускательной способности рассматриваемого тела, т.е.

, (21)

где T - истинная температура тела. По закону Кирхгофа

.

Так как , то из двух последних формул следует и, следовательно, . Таким образом, истинная температура тела всегда выше яркостной.

В качестве яркостного пирометра обычно используется пирометр с исчезающей нитью. Накал нити подбирается таким, чтобы изображение нити пирометра стало неразличимым на фоне раскаленного тела, т.е. нить как бы “исчезает”. Используя проградуированный по черному телу миллиамперметр, можно определить яркостную температуру. Зная поглощательную способность тела при той же длине волны, по яркостной температуре можно определить истинную.

Фотоны

Фотоэффект. Фотоэлектрическим эффектом или фотоэффектом называется испускание электронов веществом под действием света. Принципиальная схема для исследования фотоэффекта приведена на рис. Два электрода (катод К из исследуемого материала и анод А) в вакуумной трубке подключены к батарее так, что с помощью потенциометра R можно не только изменять значение, но и знак подаваемого на них напряжения. Ток, возникающий при освещении катода монохроматическим светом (через кварцевое окошко), измеряется включенным в цепь миллиамперметром.

При изучении вольтамперных характеристик разнообразных материалов при различных частотах падающего на катод излучения и различных энергетических освещенностях катода были установлены следующие три закона фотоэффекта.

Из вольтамперной кривой (рис.) видно, что при некотором напряжении фототок достигает насыщения - все электроны, испущенные катодом, попадают на анод. Таким образом,

I. При фиксированной частоте падающего света число фотоэлектронов, вырываемых из катода в единицу времени, пропорционально интенсивности света (сила фототока насыщения пропорциональна энергетической освещенности катода).

Пологий ход кривой указывает на то, что электроны вылетают из катода с различными скоростями. Для отсечки тока нужно приложить задерживающее напряжение . При таком напряжении ни одному из электронов, даже обладающему наибольшей при вылете скоростью , не удается преодолеть задерживающее поле и достигнуть анода. Измерив задерживающее напряжение , по формуле можно определить максимальное значение скорости фотоэлектронов. Было выяснено:

II. Максимальная начальная скорость (максимальная кинетическая энергия) фотоэлектронов не зависит от интенсивности падающего света, а определяется только его частотой .

III. Для каждого металла существует красная граница фотоэффекта, т.е. минимальная частота света (зависящая от химической природы вещества и состояния его поверхности), ниже которой фотоэффект невозможен.

В 1905 г. А. Эйнштейн показал, что все закономерности фотоэффекта легко объяснить, если предположить, что свет поглощается такими же порциями (квантами), какими он, по предположению Планка, испускается. Энергия кванта, по предположению Эйнштейна, усваивается электроном целиком. Часть этой энергии, равная работе выхода A, затрачивается на то, чтобы электрон мог покинуть тело. Остаток энергии переходит в кинетическую энергию электрона. По закону сохранения энергии

. (1)

Уравнение (1) называется уравнением Эйнштейна.

Уравнение Эйнштейна позволяет объяснить II и III законы фотоэффекта. Из (1) следует, что максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов линейно возрастает с увеличением частоты падающего излучения и не зависит от интенсивности последнего. В случае, когда работа выхода A превышает энергию кванта , электроны не могут покинуть металл. Следовательно, для возникновения фотоэффекта необходимо выполнения условия или

. (2)

Частота называется красной границей фотоэффекта.

Число высвобождаемых фотоэлектронов должно быть пропорционально числу падающих на поверхность квантов света. Вместе с тем энергетическая освещенность определяется количеством квантов света, падающих на единицу поверхности в единицу времени. В соответствии с этим ток насыщения должен быть пропорционален освещенности поверхности

. (3)

Эта зависимость также подтверждается экспериментально. Отметим, что лишь малая часть квантов передает свою энергию фотоэлектронам. Энергия остальных кантов затрачивается на нагревание вещества.

Фотоны. Чтобы объяснить распределение энергии в спектре равновесного теплового излучения, достаточно допустить, что свет только испускается порциями . Для объяснения фотоэффекта достаточно предположить, что свет поглощается такими же порциями. Эйнштейн пошел значительно дальше. Он выдвинул гипотезу, что свет и распространяется в виде дискретных частиц. Впоследствии эти частицы получили название фотонов.

Существование фотонов подтверждено экспериментально в опыте Боте. Он показал, что энергия рентгеновских лучей распространяется в виде порций в ту или иную сторону (а не во все стороны одновременно как для электромагнитной волны). Опыт был выполнен при помощи двух счетчиков (рис.), достаточно чувствительных для того, чтобы зарегистрировать действие одного рентгеновского кванта, и достаточно быстро отмечающих его появление. Тоненькая металлическая пленка A, освещаемая сбоку рентгеновскими лучами R, сама становилась источником рентгеновских лучей (рентгеновская флуоресценция). Два счетчика C1 и C2 расположены симметрично. Попадание рентгеновского излучения в каждый из них вызывает немедленное срабатывание, что фиксируется на самописце. Опыт совершенно отчетливо обнаружил беспорядочность срабатываний счетчиков, т.е. доказал, что из A летят кванты то в одну, то в другую сторону.

Так как фотон движется со скоростью света в любой инерциальной системе отсчета, то он согласно принципам теории относительности не обладает массой покоя. Энергия фотона определяется его частотой

.

Для частиц, не обладающих массой покоя, импульс связан с энергией соотношением . Для фотона получаем

 .

Поскольку фотоны обладают импульсом, то свет, падающий на тело, должен оказывать на него давление. Рассчитаем с точки зрения квантовой теории световое давление, оказываемое на поверхность тела потоком монохроматического излучения (частота ), падающего перпендикулярно поверхности. Если в единицу времени на единицу площади падает N фотонов, то при коэффициенте отражения света от поверхности N фотонов отразится, а (1)N - поглотится. Каждый поглощенный фотон передает поверхности импульс , а каждый отраженный - (при отражении импульс фотона меняет направление). Поэтому давление света

.

есть энергия всех фотонов, падающих на единицу поверхности в единицу времени, т.е. энергетической освещенности поверхности, а - объемная плотность энергии излучения. Поэтому

. (4)

Формула (4) совпадает с выражением, получаемым из электромагнитной (волновой) теории Максвелла.

Эффект Комптона. Особенно отчетливо проявляются корпускулярные свойства света в явлении, которое получило название эффекта Комптона. Исследуя рассеяние рентгеновских лучей различными веществами, он обнаружил, что в рассеянных лучах, наряду с излучением первоначальной длины содержатся также лучи большей длины волны . Разность оказалась зависящей только от угла между направлением первичного пучка и рассеянным излучением.

Схема опыта Комптона показана на рис. Узкий пучок монохроматического рентгеновского излучения направлялся на рассеивающее вещество РВ. Спектральный состав рассеянного излучения исследовался с помощью рентгеновского спектрографа, состоящего из кристалла Кр и фотопластинки (или ионизационной камеры) Ф.

Эффект Комптона обусловлен упругим рассеянием рентгеновского излучения на свободных (или слабосвязанных) электронах вещества, которое сопровождается увеличением длины волны. Этот эффект не укладывается в рамки волновой теории, согласно которой длина волны при рассеянии изменяться не должна: под действием периодического поля световой волны электрон колеблется с частотой поля и поэтому излучает рассеянные волны той же частоты.

Все особенности эффекта Комптона можно объяснить на основе квантовых представлений о природе света, рассматривая рассеяние как упругое столкновение рентгеновских фотонов со свободными электронами. При столкновении фотон передает электрону часть энергии и импульса в соответствии с законами сохранения.

Рассмотрим упругое столкновение двух частиц (рис.) - налетающего фотона, обладающего импульсом и энергией , с покоящимся свободным электроном (энергия покоя , - масса покоя электрона). Согласно закону сохранения энергии

. (5)

Согласно закону сохранения импульса

 . (6)

В формулах (5), (6) p - импульс, а - энергия электрона после столкновения, - энергия, а - импульс рассеянного фотона. Преобразуем (6) к виду

(7)

Подставив в (5) и (7) значения величин и обозначив через угол рассеяния фотона (рис.), получим

, (8)

. (9)

Решая совместно уравнения (8) и (9), получим

.

Поскольку и , получим

, (10)

где называется комптоновской длиной волны рассматриваемой частицы, в данном случае электрона. Для электрона .

Как эффект Комптона, так и фотоэффект обусловлены взаимодействием фотонов с электронами. В первом случае фотон рассеивается, во втором - поглощается. Рассеяние происходит при взаимодействии фотона со свободным или связанным электроном, а фотоэффект - со связанным электроном. Можно показать, что при столкновении фотона со свободным электроном не может произойти поглощение фотона, так как этот процесс противоречит законам сохранения энергии и импульса. Поэтому при взаимодействии фотонов со свободными электронами может наблюдаться только их рассеяние, т.е. эффект Комптона.

Корпускулярно-волновой дуализм электромагнитного излучения. Рассмотренные явления - излучение черного тела, фотоэффект, эффект Комптона - свидетельствуют о квантовых (корпускулярных) свойствах света, т.е. свет представляет собой поток световых частиц - фотонов. С другой стороны, такие явления, как интерференция, дифракция и поляризация света, свидетельствуют о волновой природе света. Таким образом, электромагнитное излучение проявляет, казалось бы, взаимоисключающие свойства - свойства волны (непрерывность) и свойства частиц (дискретность).

Ранее были получены соотношения, связывающие корпускулярные свойства электромагнитного излучения (энергия и импульс фотона) с волновыми свойствами (частота и длина волны)

, .

Свет, обладая одновременно корпускулярными и волновыми свойствами, обнаруживает определенные закономерности в их проявлении. Так, волновые свойства света проявляются в процессах, связанных с его распространением: интерференции, дифракции, поляризации, а корпускулярные - в процессах взаимодействия света с веществом. Чем больше длина волны, тем меньше энергия и импульс фотона и в меньшей степени проявляются квантовые свойства света (с эти связано, например, существование красной границы фотоэффекта). Наоборот, чем меньше длина волны, тем больше энергия и импульс фотона и в меньшей степени проявляются волновые свойства света (например, дифракция рентгеновского излучения обнаружена лишь при использовании в качестве дифракционной решетки кристаллов).

С помощью вероятностной (статистической) интерпретации волновой функции можно устранить противоречие между двумя - корпускулярным и волновым - способами описания излучения. Рассмотрим с обеих точек зрения освещенность какой-либо поверхности. Согласно волновым представлениям освещенность в некоторой точке поверхности пропорциональна квадрату светового вектора. С корпускулярной точки зрения освещенность пропорциональна плотности потока фотонов. Следовательно, между квадратом светового вектора и плотностью потока фотонов имеется прямая пропорциональность. Примем, что квадрат светового вектора определяет вероятность попадания фотона в данную точку поверхности

.

Таким путем устанавливается взаимосвязь двух способов описания.

Последовательный подход требует отказа от точки зрения на микрочастицу как частицу, движущуюся по определенной траектории и имеющей определенные динамические характеристики. В то же время ее нельзя отождествить с волной или волновым пакетом. Микрочастица является новым - квантовым объектом: при распространении она как бы растворена в некоторой пространственной области, при взаимодействии она коллапсирует и проявляет себя целиком. В настоящее время принята точка зрения, согласно которой не существует какого-либо механизма, предопределяющего место и время проявления частицы. Иными словами вероятностный характер поведения является изначальным, внутренним свойством микрочастиц.

Теория атома водорода по Бору

Модели атома Томсона и Резерфорда. Первая попытка создания на основе накопленных экспериментальных данных модели атома принадлежит Дж. Дж. Томсону. Согласно этой модели, атом представляет собой равномерно заполненный положительным электричеством шар радиусом порядка 10-10 м, внутри которого находится электрон. Суммарный положительный заряд шара равен заряду электрона, так что атом в целом нейтрален. В дальнейшем выяснилась несостоятельность этой модели.

Резерфорд, исследуя прохождение -частиц через вещество (тонкие фольги толщиной примерно 1 мкм), установил, что основная их часть испытывает незначительные отклонения, но некоторые -частицы (примерно одна из 20000) значительно отклоняются от первоначального направления (углы отклонения достигали даже 180). Альфа-частицы возникают при ядерных превращениях и являются ядрами атомов гелия: зарядом 2e и массой примерно 7300me. Скорости -частиц при некоторых превращениях бывают порядка 107 м/с. Так как электроны не могут существенно изменить движение столь тяжелых и быстрых частиц, то столь сильное отклонение -частиц возможно только в том случае, если внутри атома имеется чрезвычайно сильное электрическое поле, которое создается зарядом, имеющим большую массу и сконцентрированном в очень малом объеме. Основываясь на этом выводе, Резерфорд предложил ядерную (планетарную) модель атома. Согласно этой модели в центре атома расположено тяжелое положительное ядро с зарядом Ze, вокруг которого по замкнутым орбитам движутся Z электронов. Ядро имеет размеры, не превышающие 10-14 м, и в котором сконцентрирована практически вся масса атома.

Однако с самого начала ядерная модель оказалась в противоречии с законами классической механики и электродинамики. Электрон в атоме движется с ускорением и согласно классической электродинамике он должен непрерывно излучать электромагнитные волны. Излучение уменьшает энергию электрона, так что он должен достаточно быстро упасть на ядро. Этот результат не соответствует действительности, так как атом является устойчивым образованием. Преодоление возникших трудностей привело к созданию качественно новой - квантовой - теории атома.

Спектр атома водорода. Исследования спектров излучения разреженных газов (т.е. спектров излучения отдельных атомов) показали, что каждому газу соответствует определенный линейчатый спектр, состоящий из отдельных спектральных линий или групп близко расположенных линий. Самым изученным является спектр наиболее простого атома - водорода.

Швейцарский ученый И. Бальмер подобрал эмпирическую формулу, описывающую все известные в то время спектральные линии атома водорода в видимой области спектра

, (11)

где R1,10107 м-1 - постоянная Ридберга. Так как , то формулу (11) можно записать в виде

, (12)

где R2cR2,071016 рад/с - называется также постоянной Ридберга.

Спектральные линии, отличающиеся значениями n, образуют группу линий, называемой серией Бальмера. С увеличением n линии серии сближаются; значение n определяют границу серии, к которой со стороны больших частот примыкает сплошной спектр. В дальнейшем в спектре атома водорода было обнаружено еще несколько серий. В ультрафиолетовой области спектра находится серия Лаймана

.

В инфракрасной области были также обнаружены серия Пашена

,

серия Брэкета и др. Все приведенные выше серии в спектре водорода могут быть описаны одной формулой, называемой обобщенной формулой Бальмера

, (13)

где определяет серию, определяет отдельные линии серии.

Функциональный вид сериальных формул, которые сводятся к одной обобщенной формуле (13), свидетельствует о наличии закономерности, объяснить которую в рамках классической физики оказалось невозможным.

Постулаты Бора. Опыты Франка и Герца

Первая попытка создать новую - квантовую - теорию ядра была осуществлена Н. Бором. Он поставил цель связать в единое целое эмпирические закономерности линейчатых спектров, ядерную модель атома Резерфорда и квантовый характер излучения и поглощения света. В основу новой теории Бор положил два постулата.

Первый постулат Бора (постулат стационарных состояний). В атоме существуют стационарные (не изменяющиеся со временем) состояния, в которых он не излучает энергии. Стационарным состояниям атома соответствуют стационарные круговые орбиты, по которым движутся электроны. Движение электронов по стационарным орбитам не сопровождается излучением электромагнитных волн.

В стационарном состоянии атома электрон имеет дискретные значения момента импульса, удовлетворяющие условию

, (1)

где - масса электрона, v - его скорость по n-й орбите радиуса .

Второй постулат Бора (правило частот). При переходе электрона с одной стационарной орбиты на другую излучается (поглощается) один фотон с энергией

, (2)

где и - соответственно энергии стационарных состояний атома до и после излучения (поглощения). Набор возможных дискретных частот квантовых переходов и определяет линейчатый спектр атома.

Существование дискретных энергетических уровней атома подтверждается опытами Франка и Герца. Схема их установки приведена на рис. В трубке, заполненной парами ртути под небольшим давлением (~1 мм рт. ст.), имелись три электрода: катод К, сетка С и анод А. Термоэлектроны, вылетевшие из катода, ускорялись разностью потенциалов U, приложенной между катодом и сеткой. Между сеткой и анодом создавалось слабое электрическое поле (разность потенциалов порядка 0,5 В), тормозившее движение электронов к аноду. В опыте исследовалась зависимость силы тока I в цепи анода от напряжения U между катодом и сеткой. Характерная для таких опытов вольтамперная характеристика приведена на рис.

Ход кривой можно объяснить следующим образом. При столкновении электрона с атомами ртути возможно взаимодействие двух типов: 1) упругое столкновение, в результате которого энергия электронов практически не изменяется, изменяется только направление движения; 2) неупругое столкновение электрона с атомом ртути. При этом энергия электронов уменьшается, за счет передачи ее атому ртути.

В соответствии с постулатами Бора атом ртути может поглотить энергию в виде порции и перейти в возбужденное состояние на выше расположенный энергетический уровень. Первому возбужденному состоянию атома ртути соответствует энергия 4,9 эВ. При U < 4,9 В электроны испытывают только упругое взаимодействие с атомами ртути и, поэтому, с увеличением напряжения анодный ток возрастает.

При достижении U 4,9 В энергия электронов сравнивается с энергией первого возбужденного уровня атома ртути. Происходят неупругие столкновения электронов с атомами ртути, которые получают порцию энергии 4,9 эВ и переходят в возбужденное состояние. Электрон, потерявший энергию, не может преодолеть задерживающий потенциал. Поэтому при U 4,9 В происходит уменьшение анодного тока. Аналогичное явление наблюдается при U 2?4,9 В, U 3?4,9 В?и т.д., когда электроны могут испытывать два, три и т.д. неупругих столкновений с атомами ртути. Потеряв всю (или почти всю) энергию, электрон не сможет достичь анода, задерживающее поле отбросит его к сетке. В результате наблюдается падение тока при этих напряжениях и общий пилообразный ход вольтамперной характеристики.

Атомы паров ртути, получив энергию от электронов, переходят в возбужденное состояние, из которого спустя 10-8 с самопроизвольно возвращаются в основное состояние. При этом должен излучается фотон с длинной волны 255 нм. В опыте действительно обнаруживается одна ультрафиолетовая линия с такой длиной волны. Таким образом, опыты Франка и Герца экспериментально подтверждают постулаты Бора.

Теория водородоподобного атома по Бору. Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных ионов, состоящих из ядра Ze и одного электрона, и теоретически вычислить постоянную Ридберга.

Рассмотрим движение электрона в поле атомного ядра. Уравнение движения электрона имеет вид

. (3)

Исключив v из уравнений (1) и (3), получим выражение для радиусов допустимых орбит

. (4)

Для атома водорода (Z1) радиус первой орбиты называется боровским радиусом. Его значение равно

. (5)

Полная энергия электрона в водородоподобном атоме складывается из его кинетической энергии и потенциальной энергии взаимодействия с ядром

(при ее получении использована формула (3)). Учитывая квантование радиусов (4), получим, что энергия электрона принимает дискретные значения

. (6)

Согласно второму постулату Бора при переходе атома водорода из состояния n в состояние m излучается фотон

,

откуда частота излучения

.

Таким образом, теория Бора приводит к обобщенной формуле Бальмера, причем для постоянной Ридберга получилось значение . При подстановке в это выражение значений универсальных постоянных получается величина, превосходно согласующаяся с экспериментальным значением постоянной Ридберга.

Теория Бора была крупным шагом в развитии теории атома. Она отчетливо показала, что процессы в микромире описываются не классическими, а иными, квантовыми законами.

Элементы квантовой механики

Волновые свойства вещества. В результате развития представлений о природе света выяснился его двойственный характер (дуализм). Одни явления могут быть объяснены в предположении, согласно которому свет представляет собой поток частиц - фотонов (фотоэффект, эффект Комптона). Другие - в предположении, согласно которому свет является волной (интерференция, дифракция).

В 1924 г. Луи де Бройль, предполагая наличие в природе симметрии, выдвинул гипотезу, что дуализм не является особенностью одного света, что он свойственен всей материи (электронам и любым другим частицам). Согласно де Бройлю, с каждой микрочастицей связывается, с одной стороны, корпускулярные характеристики - энергия E и импульс p, а с другой стороны - волновые характеристики - частота и волновой вектор k (). Количественные соотношения, связывающие корпускулярные и волновые характеристики, принимаются для частиц такими же, как для фотонов

, . (7)

Гипотеза де Бройля вскоре была подтверждена экспериментально. Дэвиссон и Джермер исследовали в 1927 г. отражение электронов от монокристалла никеля, принадлежащего к кубической системе (рис). Рассеяние электронов проявляет отчетливый дифракционный характер. Положение дифракционных максимумов соответствовало формуле Вульфа-Брегга, если длину волны электрона вычислить согласно (7).

В дальнейшем идея де Бройля была подтверждена опытами Г. Томсона и П.С. Тартаковского. В опытах пучок электронов, ускоренный электрическим полем, проходил через тонкую металлическую фольгу и попадал на фотопластинку. Полученная таким образом картина сопоставлялась с полученной в аналогичных условиях рентгенограммой. В результате было установлено полное сходство двух картин.

Так как дифракционная картина исследовалась для потока электронов, необходимо было доказать, что волновые свойства связаны с электроном, а не являются коллективным эффектом. Это экспериментально установил В.А. Фабрикант. Он показал, что и в случае слабого электрического пучка, когда каждый электрон проходит прибор поодиночке, дифракционная картина при достаточной экспозиции ничем не отличается от картины, какая наблюдается при обычной интенсивности пучка.

Гипотеза де Бройля и ее экспериментальное подтверждение требует качественно нового взгляда на природу микрочастиц - микрочастицу нельзя считать ни частицей, ни волной в классическом понимании. Необычные свойства микрочастиц можно понять, если предположить, что вакуум является особым состоянием материи, а микрочастицы ее относительно неустойчивыми локальными состояниями. Неустойчивым в том смысле, что микрочастица регулярно растворяется в вакууме и через мгновенье вновь возникает где-то рядом. Аналогией вакууму может служить насыщенный раствор какого-либо вещества, а микрочастице имеющиеся в растворе кристаллики этого вещества. В состоянии динамического равновесия кристаллики в растворе хаотично растворяются и возникают. На характер растворения-возникновения микрочастицы влияет ее окружение. Несмотря на сложность и элемент случайности всего происходящего, поведение микрочастицы, как выяснится позже, можно успешно описать с помощью так называемой волновой функции.

Принцип неопределенности. В классической механике состояние материальной точки определяется заданием значений координат, импульса, энергии и т.д. Перечисленные величины называются динамическими переменными. Так как микрочастица не является частицей в классическом понимании, то ей, строго говоря, не могут быть приписаны указанные динамические переменные.

Данное обстоятельство проявляется в том, что не для всех переменных получаются при измерениях определенные значения. Так, например, электрон не может иметь одновременно точных значений координаты x и компоненты импульса . Неопределенности значений x и удовлетворяют соотношению

. (8)

Соотношение, аналогичное (8), имеет место и для y и , для z и , а также для ряда других пар величин (называемых канонически сопряженными). Соотношение (8) и подобные ему называются соотношением неопределенностей Гейзенберга. Энергия и время являются канонически сопряженными величинами. Поэтому для них также справедливо соотношение неопределенностей

. (9)

Это соотношение означает, что если время перехода системы из одного состояния в другое характеризуется временем t, то неопределенность энергии системы равна . Процесс измерения энергии сопровождается изменением состояния. Поэтому, неопределенность результата измерения E связана с длительностью измерения t (т.е. временем перехода системы из одного состояния в другое) соотношением (9).

Соотношение неопределенностей вытекает из волновых свойств микрочастиц (строгий формальный расчет лежит вне рамок данного курса). Поясним его на следующем примере. Пусть поток электронов проходит через узкую щель шириной x, расположенную перпендикулярно к направлению их движения. При прохождении электронов за щелью наблюдается дифракционная картина, как в случае плоской световой волны. Основная доля электронов приходится на область центрального максимума.

До прохождения электроны двигались вдоль оси y, поэтому , а координата являлась совершенно неопределенной. Прохождение щели сопровождается изменением состояния электрона. В новом состоянии неопределенность положения по оси x задается шириной щели. Вследствие дифракции частица будет обладать импульсом, распределенным с близкими вероятностями в пределах угла 2, где - угол, соответствующий первому дифракционному минимуму. Таким образом, появляется неопределенность

.

Первому минимуму при дифракции от щели соответствуют угол , для которого

,

где длина волны де Бройля. Отсюда с учетом (7) получается соотношение

согласующееся с (8).

Основные понятия квантовой механики. Экспериментальное подтверждение идеи де Бройля об универсальности корпускулярно-волнового дуализма стимулировали развитие квантовой теории, которое привело к созданию законченной теории.

Прежде всего, следует дать физическую интерпретацию волн де Бройля. С этой целью сравним дифракцию световых волн и микрочастиц. Дифракционная картина световых волн образуется в результате интерференции вторичных волн. В свете волновых представлений, интенсивность дифракционной картины пропорциональна квадрату амплитуды световой волны. По представлениям корпускулярной теории, интенсивность определяется числом фотонов, попадающих в данную точку дифракционной картины. Если принять, что число фотонов в данном месте (а для одного фотона вероятность обнаружения) пропорционально квадрату светового вектора, то два способа описания становятся согласованными и дополняющими друг друга.

Дифракционная картина для микрочастиц имеет сходный вид с дифракционной картиной световых волн. Наличие максимумов с точки зрения волновой теории соответствуют наибольшей интенсивности волн де Бройля. Интенсивность волн де Бройля коррелирует с числом частиц в данной точке пространства. Таким образом, напрашивается вероятностная, как для световых волн, трактовка волн де Бройля: вероятность обнаружения микрочастицы пропорциональна интенсивности волны де Бройля (квадрату модуля волновой функции).

Необходимость вероятностного подхода к описанию микрочастиц является принципиальным положением квантовой теории. Постулируется, что состояние квантовой системы может быть максимально полно описано с помощью волновой функции, в общем случае комплексной. В случае микрочастицы, не имеющей внутренних степеней свободы, эта функция имеет вид . Вероятность dP обнаружения микрочастицы в пределах объема dV

.

В квантовой механике принимается, что волновые функции, отличающиеся только множителем, описывают одно и то же состояние. Это обстоятельство позволяет ввести условие нормировки на пси-функцию

.

Для нормированной пси-функции квадрат ее модуля дает плотность вероятности нахождения частицы в соответствующем месте пространства

 .

По своему смыслу, волновая функция должна удовлетворять ряду так называемых стандартных условий. Она должна быть однозначной, непрерывной (вероятность не может изменяться скачком), конечной (требование условия нормировки). Подобные условия накладываются и на производные волновой функции.

Одним из основных положений квантовой механики является принцип суперпозиции состояний. Если система может находиться в состояниях, описываемых волновыми функциями , , …, , то она также может находиться в состоянии

, (10)

где - произвольные комплексные числа.

Волновая функция содержит в себе полную информацию о микрообъекте. Поэтому, зная , можно вычислить вероятности значений, которые получаются при измерении какой-либо физической величины (а значит и их средние) в этом состоянии. Например, среднее значение координаты x вычисляется по формуле

. (11)

В квантовой механике принимается, что измерение физической величины q даст некоторое значение . Совокупность или спектр возможных значений называются собственными значениями величины q. Обозначим волновую функцию системы в состоянии, в котором величина q всегда имеет определенное значение , через . Волновые функции называются собственными функциями данной величины q. Каждая из этих функций предполагается нормированной

.

Если система находится в некотором произвольном состоянии с волновой функцией , то в соответствии с принципом суперпозиции, она должна представлять собой комбинацию собственных функций в виде (10). Утверждается, что квадраты модулей дают вероятности того, что при измерении будет получено соответствующее значение величины . Последовательно рассуждая, можно установить, что собственные функции взаимно ортогональны

.

Зная вероятности различных значений величины q, ее среднее значение в состоянии вычисляется по формуле

.

В квантовой механике вводится понятие оператора. Так называется математическая операция, с помощью которой одной функции ставится в соответствие другая

,

где - символическое обозначение операции (оператора). Оператор физической величины определяется посредством соотношений

(для всех n),

где -собственное значение q. Свойство ортогональности собственных функций позволяет записать

.

Формула (11) является выражением такого типа. Можно доказать, что оператор является эрмитовым

.

Уравнение Шредингера

Состояние микрообъекта или какой-либо квантово-механической системы в результате внутренних и внешних взаимодействий с течением временем меняется. Это символически можно выразить с помощью оператора эволюции

. (1)

При ничего не должно произойти, так как мы вправе ожидать плавных изменений. Таким образом . Кроме того, можно предположить, что при малых t отличается от единичного оператора на величину, пропорциональную t, так что можно записать

. (2)

Множитель выделяется в (2) по историческим причинам. Подставляя в (1) этот вид приходим к операторному уравнению

. (3)

Оператор носит название гамильтониана системы. В соответствии со своим смыслом, нормировка волновой функции не меняется со временем. Исходя из этого, можно показать, что гамильтониан является эрмитовым оператором. Возникает задача определения гамильтониана.

Для начала рассмотрим свободно движущуюся частицу, имеющей импульс p и энергию . Согласно де Бройлю ей сопоставляется плоская волна . Если учесть, что и , то волновая функция частицы выглядит как

. (4)

В квантовой механике показатель экспоненты берут со знаком минус. Поскольку физический смысл имеет только , то это оказывается несущественным. Из данного вида волновой функции можно получить соотношения

; .

Откуда, используя связь между энергией и импульсом частицы, получим уравнение

.

Если частица движется в силовом поле, обладающем потенциальной энергией U, то полная энергия . Проводя аналогичные рассуждения, приходим к уравнению Шредингера

, (5)

где - оператор Лапласа (). Приведенные рассуждения не есть вывод уравнения Шредингера. Они поясняют, каким путем уравнение могло быть получено. Уравнение Шредингера, как основное уравнение нерелятивистской квантовой механики, постулируется.

Уравнение (5) является общим уравнением Шредингера. Если силовое поле, в котором движется частица, стационарно , то в этом случае решение уравнения Шредингера распадается на два множителя

,

где E имеет смысл полной энергии частицы. Подставив это выражение в (5) и после несложных преобразований, придем к дифференциальному уравнению для

. (6)

Уравнение (6) называется уравнением Шредингера для стационарных состояний (или просто уравнением Шредингера).

Уравнение Шредингера позволяет найти пси-функцию данного состояния (6) и, следовательно, получить полную информацию о системе. В уравнение (6) в качестве параметра входит полная энергия E частицы. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что уравнения вида (6) имеют решения, удовлетворяющие стандартным и граничным условиям, не при любых значениях параметра, а лишь для некоторых из них. Эти значения называются собственными значениями гамильтониана (энергии). Решения, соответствующие собственным значениям E, называются собственными функциями гамильтониана.

Таким образом, квантование энергии является следствием основных положений квантовой механики. Нахождение собственных значений и собственных функций, как правило, является нетривиальной математической задачей.

Потенциальная яма с бесконечно высокими стенками. Рассмотрим одномерный случай. Потенциальная энергия имеет вид

где l - ширина ямы, а энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний запишется в виде

. (7)

По условию задачи (бесконечно высокие стенки), частица не проникает за пределы ямы, поэтому вероятность ее обнаружения за пределами ямы равна нулю. Следовательно, на границах ямы волновая функция должна обращаться в ноль

. (8)

В пределах ямы () уравнение Шредингера сводится к уравнению

. (9)

Общее решение уравнения (9) имеет вид

,

где , A и - произвольные постоянные.

Граничные условия (8) будут выполнены при и , где n - целое число. Отсюда следует, что энергия частицы принимает квантованные значения

.

Значения энергии называются уровнями энергии, а число n, определяющее энергетические уровни частицы, называется главным квантовым числом.

Собственные волновые функции частицы имеют вид

.

Постоянная A найдется из условия нормировки

.

В результате интегрирования получим , а собственные волновые функции будут иметь вид

(10)

Туннельный эффект. Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы для одномерного (по оси x) движения частицы

Классическая частица, обладая энергией E, либо беспрепятственно пройдет над барьером (при ), либо отразится от него (при ), т.е. она не может проникнуть сквозь барьер. Для микрочастицы же, даже при , имеется отличная от нуля вероятность отразиться от барьера. При имеется также отличная от нуля вероятность прохождения частицей барьера. Подобные выводы следуют из решения уравнения Шредингера.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний для каждой из выделенной на рис. области имеет вид

для областей 1, 3 , ,

для области 2 , .

Общее решение этих дифференциальных уравнений

(для области 1); (11а)

(для области 2); (11б)

(для области 3). (11в)

В выражениях для областей 1 и 3 (k - действительное число) первый член представляет собой правую плоскую волну (соответствует частице, движущейся в положительном направлении x), а второй - левую волну (соответствует частице, движущейся в отрицательном направлении x). Коэффициент следует положить равным нулю, поскольку из физического смысла в области 3 имеется только волна, прошедшая сквозь барьер и распространяющаяся слева направо. Интерес представляет случай, когда полная энергия частицы меньше высоты барьера, поскольку при законы классической физики не разрешают частице проникнуть через барьер. В этом случае , где , является чисто мнимым числом.

Для описания туннельного эффекта вводится понятие коэффициента прозрачности D потенциального барьера. Он равен отношению плотности потока прошедших частиц к плотности потока падающих

.

Условие непрерывности волновой функции и ее производных позволяют найти связь между коэффициентами в уравнениях (11а)-(11в) и определить коэффициент прозрачности. Для малых значений коэффициента получается зависимость