Спонтанное и вынужденное излучение. Коэффициенты Эйнштейна

Размещено на http://www.allbest.ru/

Спонтанное и вынужденное излучение. Коэффициенты Эйнштейна

Излучение в полости представляет собой совокупность квантов с энергией . Кванты могут поглощаться атомами, которые при этом переходят на более высокий энергетический уровень с энергией , где - исходный энергетический уровень атома. При переходе атома с уровня на излучается квант с энергией . Обозначим эти уровни индексами 0 и 1 (рис.) и назовем соответственно нижним и верхним уровнем.

Между материальными телами (стенками полости) и излучением происходит постоянный обмен энергией. Динамическое равновесие между ними наступает, когда обмен квантами уравновешен для каждой частоты. Поэтому ниже рассмотрена лишь одна частота. Для других частот все рассуждения аналогичны.

С нижнего уровня на верхний переходы возможны только с поглощением кванта энергии, т.е. под влиянием падающего излучения. Такие переходы называются вынужденными. Переходы с верхнего на нижний уровень могут быть как вынужденными, под влиянием падающего на атом излучения, так и спонтанными, происходящими независимо от падающего на атом излучения.

Обозначим вероятность спонтанного перехода 10 в секунду, - концентрацию атомов на верхнем уровне. Тогда частота спонтанных переходов

.

Частота вынужденных переходов пропорциональна числу падающих фотонов или спектральной плотности излучения . Обозначим и вероятности вынужденных переходов 10 и 01 в секунду под действием излучения с ; - концентрацию атомов на нижнем уровне. Тогда для частоты вынужденных переходов можно записать

, .

Условие динамического равновесия имеет вид или

. (1)

В равновесном состоянии выполняется распределение Больцмана, которое для концентраций атомов имеет вид

, , (2)

где A - нормировочная постоянная. Подставляя (2) в (1), находим

. (3)

Величины , и называются коэффициентами Эйнштейна.

Из физических соображений следует, что при должно быть . Тогда из предельного перехода в (3) следует, что

. (4)

Поэтому соотношение (3) может быть записано в виде

, (5)

где . Значение можно найти, если учесть, что (5) при малых частотах должно совпадать с формулой Рэлея-Джинса. При и (5) приобретает вид

.

Сравнивая полученное выражение с формулой Рэлея-Джинса, находим

.

В результате формула (5) приобретает вид

. (6)

Соотношение (6) представляет собой формулу Планка.

Спонтанное излучение имеет случайное направление распространения, случайную поляризацию и случайную фазу. Вынужденное излучение в этом отношении отличается от спонтанного. Направление распространения вынужденного излучения в точности совпадает с направлением вынуждающего излучения. То же самое относится к частоте, фазе и поляризации вынужденного и вынуждающего излучения. Следовательно, вынужденное и вынуждающее излучение оказываются строго когерентными. Эта особенность вынужденного излучения лежит в основе действия усилителей и генераторов света, называемых лазерами.

Лазеры. При прохождении света через среду осуществляется обмен квантами между пучком света и атомами среды посредством вынужденных переходов и спонтанное испускание квантов. Обозначим частоту излучения, концентрацию атомов на нижнем и верхнем уровнях соответственно , и (рис.). Объемную спектральную плотность излучения частоты обозначим . Она изменяется в результате вынужденного поглощения квантов атомами среды, благодаря чему плотность потока уменьшается, и вследствие вынужденного излучения атомов, приводящего к увеличению плотности . Закон сохранения энергии при вынужденных переходах запишется в виде

, (7)

где . С помощью обозначений для коэффициента , где v - скорость света с частотой в среде, и плотности потока энергии уравнение (7) может быть записано в виде

.

излучение квант энергия материальный

В состоянии термодинамического равновесия концентрация атомов описывается распределением Больцмана. Из него следует, что при и поэтому . Это означает, что плотность потока по мере прохождения света в среде уменьшается. Механизм уменьшения плотности состоит в следующем. В результате вынужденных переходов атомов с нижнего энергетического уровня на верхний плотность энергии потока уменьшается.

Если привести систему атомов в неравновесное состояние и тем самым нарушить распределение Больцмана, так чтобы образовалась инверсная заселенность уровней , то коэффициент станет больше нуля . В этом случае пучок при прохождении усиливается, т.е. среда действует как усилитель светового потока.

Это позволяет создать генераторы и усилители волн, основанные на индуцированном излучении. Для светового диапазона подобные генераторы называются лазерами, а для микроволнового - мазерами.

С помощью светового пучка нельзя добиться инверсной заселенности уровней, для которых , где - частота света. Инверсную заселенность уровней можно создать с помощью некоторого воздействия, независимого от усиливаемого света. Создание инверсной заселенности называется накачкой. Наиболее простой метод накачки осуществляется в трехуровневых системах (рис.). На рис. изображено распределение заселенности в равновесном состоянии системы. При воздействии на систему вспомогательным излучением большой мощности с частотой заселенности уровней и практически сравниваются. Допустим, что время жизни атомов на уровне очень мало и они спонтанно переходят на уровень , время жизни на котором у них достаточно велико. Ясно, что атомы на уровне будут накапливаться, в результате чего создается инверсная заселенность между уровнями и (рис.). Переход между этими уровнями может быть использован для усиления света с частотой .

Накачка лазеров может быть самой разнообразной, не только с помощью света. По характеру зависимости накачки от времени она может быть непрерывной и импульсной. Если накачка осуществляется импульсами, то и излучение лазера импульсное. При непрерывной накачке, при выполнении условия генерации, излучение лазера непрерывно (при непрерывной накачке возможен также и импульсный режим излучения).

Рубиновый лазер. Первым квантовым генератором света был рубиновый лазер, созданный в 1960 г. Рабочим веществом является рубин, представляющий собой кристалл оксида алюминия Al2O3 (корунд), в котором при выращивании введен в виде примеси оксид хрома Cr2O3. В решетке кристалла Al2O3 ион Cr+3 замещает ион Al+3. Вследствие расщепления соответствующих энергетических уровней хрома в кристалле возникают две энергетические полосы: одна - в зеленой, другая - в голубой части спектра. Поглощение в этих частях спектра обуславливает красный цвет рубина. Наряду с голубой и зеленой полосами поглощения имеется два узких энергетических уровня и , при переходе с которых на основной уровень излучается свет с длинами волн 694,3 и 692.8 нм.

Рассмотрим работу рубинового лазера в режиме излучения света с 694,3 нм. При облучении рубина белым светом голубая и зеленая части спектра поглощаются, а красная отражается. В рубиновом лазере используется оптическая накачка ксеноновой лампой, которая дает вспышки света большой интенсивности при прохождении через нее импульса тока, нагревающего газ до нескольких тысяч кельвин. Непрерывная накачка невозможна, потому что лампа при столь высокой температуре не выдерживает непрерывного режима работы. Излучение поглощается ионами Cr+3, переходящими в результате этого на энергетические уровни в области полос поглощения. Однако с этих уровней ионы Cr+3 очень быстро переходят на уровни , . При этом излишек энергии передается решетке. Уровни и метастабильны. Поэтому в процессе импульса накачки на этих уровнях накапливаются возбужденные атомы, создавая инверсную заселенность относительно уровня .

Кристалл рубина выращивается в виде круглого стержня диаметром несколько миллиметров и длиной несколько сантиметров с плоскими торцами, тщательно полированными и строго перпендикулярными оси цилиндра. Один из торцов покрывают плотным слоем серебра, имеющего высокий коэффициент отражения. Другой торец рубинового стержня покрывают полупрозрачным слоем того же серебра. В результате образуется оптический резонатор. Если он настроен на 694,3 нм, то при накачке лазера происходит генерация излучения с этой длиной волны.

Рубиновый лазер может давать линейно-поляризованное излучение без помощи какого-либо поляризатора. Если рубиновый стержень лазера вырезан из кристалла рубина таким образом, что оптическая ось кристалла перпендикулярна к оси стержня или составляет с ней угол 60, то излучение будет линейно-поляризовано.

Гелий-неоновый лазер. Активной средой является газообразная смесь гелия и неона. Генерация осуществляется за счет переходов между энергетическими уровнями неона, а гелий играет роль посредника, через который энергия передается атомам неона для создания инверсной заселенности.

На рис. приведена упрощенная схема уровней неона (справа). Излучению с длинами волн 632,8, 1150 и 3390 нм соответствуют переходы , , . Помимо этих переходов возможны переходы на другие уровни, не указанных на рис. Интерес представляет переход, соответствующий видимой части спектра (632,8 нм).

При пропускании тока через гелий-неоновую смесь электронным ударом атомы гелия возбуждаются до состояния с энергией , которое является метастабильным, поскольку переход в основное состояние из них запрещен правилами отбора. При прохождении тока атомы накапливаются на этом уровне. Когда возбужденный атом гелия сталкивается с невозбужденным атомом неона, энергия возбуждения переходит к последнему. Этот переход осуществляется очень эффективно из-за близкого совпадения энергий соответствующих уровней. Вследствие этого на уровне образуется инверсная заселенность относительно уровня . Это обстоятельство может быть использовано для генерации лазерного излучения.

Гелий-неоновый лазер может работать в непрерывном режиме. Типичная схема лазера показана на рис. Концы лазерной трубки закрыты прозрачным материалом так, чтобы осевое излучение падало на него под углом Брюстера. Благодаря этому обеспечивается полное пропускание одной из поляризаций света и устранение из пучка другой. Таким образом, излучение гелий-неонового лазера линейно поляризовано. Одно из зеркал имеет коэффициент отражения порядка 0,999, а второе, через которое проходит лазерное излучение, - около 0,990. В качестве зеркал используют многослойные диэлектрики, поскольку более низкие коэффициенты отражения не обеспечивают достижения порога генерации.

Лазеры на красителях. Красители являются сложными молекулами, у которых сильно выражены колебательные уровни энергии. Энергетические уровни располагаются в полосе спектра почти непрерывно. Вследствие внутримолекулярного взаимодействия молекула очень быстро переходит безызлучательно на нижний энергетический уровень каждой полосы. Поэтому после возбуждения молекул через очень короткий промежуток времени на нижнем уровне полосы сосредоточатся все возбужденные молекулы. Они далее имеют возможность совершить излучательный переход на любой из энергетических уровней нижней полосы. Таким образом, возможно излучение практически любой частоты в интервале, соответствующем ширине нулевой полосы. Если молекулы красителя взять в качестве активного вещества, то в зависимости от настройки резонатора можно получить практически непрерывную перестройку частоты лазера. Накачка лазеров на красителях производится газоразрядными лампами или излучением других лазеров.

Элементы квантовой статистики

Фазовое пространство. Функция распределения. Рассмотрим систему из N частиц. Свяжем с ней многомерное пространство всех координат и импульсов частиц системы. Состояние системы определяется заданием переменных 6N, так как состояние каждой частицы определяется тройкой координат x, y, z и тройкой проекций импульса , , . Поэтому размерность многомерного пространства равно 6N. Это пространство называется фазовым пространством. Каждому микросостоянию системы в классическом случае отвечает точка в фазовом пространстве. При квазиклассическом описании движения системы на каждое квантовое состояние системы приходится в этом пространстве элементарный объем .

При взаимодействии с окружающей средой состояние системы меняется. Вероятность dP некоторого состояния системы (p, q) можно представить с помощью функции распределения

(8)

Здесь означает произведение дифференциалов координат и импульсов всех частиц. По определению функции распределения

,

где интегрирование производится по всему фазовому пространству.

При известной функции распределения можно определить макроскопические параметры системы. Любой макроскопический параметр L в смысле статистической физики является средним по микросостояниям

. (9)

Явное выражение функции распределения для системы, находящейся в тепловом контакте с большим тепловым резервуаром было получено Гиббсом. Оно называется каноническим распределением Гиббса и имеет вид

,

где A - нормировочная постоянная, n - совокупность квантовых чисел, определяющих данное состояние.

Статистика Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака. Наиболее простым объектом для изучения является идеальный газ. Реальный газ можно считать идеальным, если взаимодействие частиц несущественно. Состояние системы невзаимодействующих тождественных частиц можно характеризовать с помощью чисел заполнения , определяющих среднее число частиц в i-м квантовом состоянии.

Для систем частиц, образованных бозонами, числа заполнения могут принимать любые целые неотрицательные значения: 0, 1, 2, …. Для систем, образованных фермионами, числа заполнения могут принимать лишь два значения: 0 для свободных состояний и 1 для занятых. Сумма всех чисел заполнения равна числу частиц системы. С помощью канонического (или большого канонического) распределения Гиббса можно определить числа заполнения квантовых состояний.

Числа заполнения идеального газа бозонов - бозе-газа - определяются соотношением

. (10)

Это выражение называется распределением Бозе-Эйнштейна. Здесь - среднее число бозонов в квантовом состоянии с энергией , - параметр, который называется химическим потенциалом. Его величина определяется из условия , где N - число частиц в системе. Химический потенциал по своему определению является функцией числа частиц и температуры .

Распределение фермионов по энергиям имеет вид

. (11)

Смысл входящих в (11) величин тот же, что и в (10). Распределение (11) называется распределением Ферми-Дирака.

Если , то распределения Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана

, (12)

где . Таким образом, при малых числах заполнения () оба квантовых газа ведут себя подобно классическому газу.

Квантовый газ называется вырожденным, если числа заполнения сравнимы с единицей или больше ее (последнее возможно для бозе-газа). Вырожденный бозе-газ и ферми-газ существенно отличаются друг от друга и в свою очередь от идеального газа. Так в вырожденном бозе-газе при понижении температуры происходит бозе-конденсация, когда на нижний энергетический уровень переходит большое число частиц. Бозе-конденсацией объясняются такие явления как сверхтекучесть и сверхпроводимость.

Вырождение газов наступает при понижении температуры и/или повышении плотности газа. В качестве параметра вырождения квантового газа используется температура , при которой . Эта характеристическая температура называется температурой вырождения.

Размещено на Allbest.ru