Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Югорский государственный университет

ИЗМЕРЕНИЕ ОБЪЕМА ТЕЛА ПРОСТОЙ КОНФИГУРАЦИИ

Методические указания к выполнению лабораторной работы для студентов специальностей 020101, 020802, 020804, 032101, 080502, 130100, 190603, 270102, 280102

Орлов А.В., Зеленский В.И.

Введение

Основой любого эксперимента является измерение. Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь анализировать. Это значит, что в физическом практикуме необходимо научиться не только измерять величины, но и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории.

Целью данной работы является получение навыков обработки результатов измерений и измерение объема тела в виде прямоугольного параллелепипеда.

1. Краткая теория

Измерение - это сравнение физической величины с другой, однородной, принятой за единицу измерения (эталон).

Все измерения подразделяют на два вида по способу получения значений физических величин: прямые и косвенные.

При прямых измерениях определяемую величину сравнивают с единицей измерения непосредственно или при помощи измерительного прибора, проградуированного в соответствующих единицах. То есть при прямом измерении значение измеряемой величины считывают непосредственно со шкалы или табло измерительного прибора.

При косвенных измерениях искомая величина измеряется (вычисляется) по результатам прямых измерений других величин, которые связаны с измеряемой величиной определенной функциональной зависимостью.

Если измерять одну и ту же физическую величину X достаточно точным прибором n раз, то получаемые значения X₁, X₂,…, X_i,…, X_n-1, X_n различаются, но группируются около некоторого значения X. Какое же значение будет истинным - X_ист? С чем связан разброс экспериментальных данных? Для удобства восприятия значения физической величины можно отображать на числовой оси (рисунок 1).

Рисунок 1 Разброс значений при измерениях

Оказывается, невозможно абсолютно точно измерить величину X и получить истинное ее значение, так как этому препятствует ряд факторов.

Ошибку в измерения может внести сам экспериментатор, измерительный прибор, условия, при которых происходит измерение и само физическое явление.

Абсолютной погрешностью измерения называется разность между измеренным значением физической величины X и ее истинным значением

(X) = X_изм-X_ист. (1)

Относительной погрешностью измерения называется отношение абсолютной погрешности к истинному значению измеряемой величины

. (2)

Относительная погрешность, по сути, является долей абсолютной погрешности от истинного значения измеряемой величины. Ее часто выражают в процентах, умножая выражение (2) на 100%.

В качестве оценки истинного значения чаще всего принимают среднее арифметическое

(3)

в случае многократных измерений одной и той же величины (при одинаковых условиях), либо измеренное значение в случае однократного измерения физической величины.

Тогда в качестве оценки абсолютной погрешности i-го измерения принимается величина

_i(X) = X_i-X_ср. (4)

Каждое измерение дает значение определяемой величины с некоторой погрешностью _i(X). Это значит, что истинное значение лежит в интервале (рисунок 2)

X_ср - _i(X) X_ист X_ср + _i(X). (5)

В случае, когда одно и тоже измерение проводится несколько раз, в качестве погрешности принимается некоторая усредненная, по всем i-м измерениям, оценка абсолютной погрешности.

Рисунок 2 Доверительный интервал

Все погрешности подразделяют на промахи, систематические и случайные погрешности.

1.1. Промах - грубый просчет экспериментатора. Это чрезмерно большие ошибки, допущенные человеком, в процессе измерений. Такие ошибки могут возникнуть, например, в случае, если экспериментатор неправильно произвел отсчет значения физической величины со шкалы прибора, ошибся при записи результата измерения в таблицу экспериментальных данных. Сюда же относятся ошибки, допускаемые при вычислениях. Результаты измерений, содержащих промахи, следует отбрасывать и проводить повторные измерения.

1.2. Систематические погрешности - это ошибки, которые остаются постоянными или закономерно изменяются при повторных измерениях одной и той же величины. Систематические погрешности можно разбить на два вида - приборные (инструментальные) и методические. Методические погрешности связаны с недостатками метода измерения, с неправильной постановкой эксперимента. Например, если при вычислении дальности полета снаряда, выпущенного из пушки, не учитывать сопротивление воздуха или влияние ветра, то будет допущена методическая ошибка. Если при измерении диаметра сферического тела пользоваться линейкой, то будет допущена методическая ошибка. Измерение в данном случае необходимо проводить штангенциркулем или другим прибором, позволяющим правильно охватить диаметр сферы. Для избавления от таких погрешностей необходимо усовершенствовать методику измерения. Необходимо учесть влияние на процесс измерения факторов, которые вносят значительные погрешности, путем ввода поправок в расчетные формулы.

К методическим погрешностям можно отнести вычислительные погрешности, связанные с округлением чисел при подстановке их в формулы и при последовательных вычислениях. К примеру, если при вычислении физической величины по формуле, в которую входит некоторое иррациональное число (, e или др.), мы подставим ее округленное значение, то результат вычисления получим с ошибкой. Если расчет физической величины совершается по основной формуле, в которую входят величины, найденные по другим формулам, то при округлении последних величин и подстановке их в основную формулу результат измерения получим с ошибкой. Для того чтобы учесть такие ошибки, результат промежуточного расчета округляют, по крайней мере, на один порядок точнее, чем точность исходных данных (см. п. 4). В качестве абсолютной погрешности иррациональных величин, входящих в формулу, у которых погрешность неизвестна, принимается половина известного младшего разряда.

Пример. Число имеет значение =3,141592654…. Если в формулу подставляется =3,14, то допускается погрешность ()=0,005, равная половине одной сотой. Также и с постоянными, погрешности которых неизвестны.

Приборные погрешности - ошибки, вызванные несовершенством изготовления измерительных приборов. Любой измерительный прибор невозможно изготовить абсолютно точно. Рассмотрим рычажные весы (рисунок 3). Если правый рычаг весов больше, чем левый, то в результате измерения значение массы будет получаться всегда меньше, чем в действительности. Такие погрешности присущи всем приборам. Кроме того, все приборы имеют цену деления, ограничивающую точность измерения.

Для характеристики измерительных приборов используется понятие приведенной погрешности (класса точности). Класс точности - это отношение абсолютной погрешности (X) к предельному значению (диапазону) X_д измеряемой величины (т.е. к наибольшему значению, которое может быть измерено по шкале прибора). Приведенная погрешность является по существу относительной погрешностью, выраженной в процентах от диапазона

. (6)

По приведенной погрешности приборы подразделяются на семь классов:

0,1; 0,2; 0,5 - лабораторные приборы;

1,0; 1,5; 2,5; 4 - технические приборы.

Завод, выпускающий прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности.

Зная класс точности прибора, можно определить абсолютную приборную погрешность

(7)

Класс точности указывается на шкале прибора числом, либо в техническом паспорте к прибору. Часто на шкале прибора вместо класса точности указывается абсолютная погрешность с указанием единицы измерения. Если ни на шкале прибора, ни в техническом паспорте нет данных о его погрешности, то за абсолютную приборную погрешность принимается половина цены деления шкалы. Для цифровых приборов, в качестве приборной погрешности принимается шаг дискретного изменения величины.

1.3. Случайные погрешности - погрешности, которые изменяются случайным образом от опыта к опыту при повторных измерениях одной и той же величины при одинаковых условиях. Эти погрешности являются следствием случайных, неконтролируемых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть непосредственно.

Оценку случайных погрешностей проводят методами теории вероятности и математической статистики. Дисциплина, изучающая случайные погрешности, называется теорией погрешностей. Согласно этой теории, случайные погрешности измерений подчиняются закону нормального распределения (закону Гаусса).

Смысл этого закона заключается в следующем. Допустим, мы хотим измерить некоторую физическую величину, истинное значение которой - X_ист. Используя какой-нибудь прибор, мы n раз пытаемся определить эту величину, но из-за случайных погрешностей, возникающих в процессе измерения, вместо X_ист получаем набор значений X₁, X₂,…, X_i,…, X_n-1, X_n. С помощью закона распределения нельзя указать точно, чему равно X_ист, но можно оценить вероятность P того, что X_ист окажется в интервале значений X_ср-(X)X_истX_ср+(X) или [X_ср-(X), X_ср+(X)] (см. рисунок 3). Этот интервал называется доверительным интервалом, а вероятность P - доверительной вероятностью. По закону Гаусса эта вероятность определяется функцией плотности распределения

Рисунок 3 Функция распределения Гаусса

(8)

и равна

(9)

Здесь X - набор значений, которые мы получаем в результате измерений, X_ср - определяется по формуле (3), (X) - среднеквадратичное отклонение

, (10)

где X_i - i-е измерение, n - количество измерений.

Как видно из рисунка 3, гауссова кривая, имеющая на графике симметричный колоколообразный вид, характеризуется двумя параметрами: положением вершины X_ср и шириной 2(X) - расстояние между точками перегиба. Значение X_ср обычно и принимается за ту величину, которую надо было измерить, а (X) характеризует степень влияния случайных погрешностей на результаты измерения: чем меньше (X), тем уже гауссова кривая и тем, следовательно, точнее проведено измерение.

Обработка результатов измерений сводится к возможно более точному нахождению параметров гауссовой кривой X_ср и (X). Площадь под кривой Гаусса (рисунок 3) характеризует вероятность того, что при бесконечно большом количестве измерений (при одинаковых условиях) одной и той же физической величины ее истинное значение находится в доверительном интервале (9). Если в качестве доверительного взять интервал [X_ср-(X), X_ср+(X)], то вероятность нахождения истинного значения в этом интервале равна P = 0,683. При больших интервалах будет больше площадь под кривой и больше величина P.

При экспериментальных исследованиях невозможно произвести бесконечно большое количество измерений, поэтому возникает вопрос: как изменяется доверительный интервал в зависимости от числа измерений? В этом случае в качестве оценки среднеквадратичного отклонения принимается величина, называемая стандартным доверительным интервалом

. (11)

Существуют специальные таблицы (коэффициентов Стьюдента), по которым можно определить, во сколько раз надо увеличить стандартный доверительный интервал [S], чтобы при определенном числе измерений n получить требуемую доверительную вероятность P.

Для нахождения случайной погрешности используется выражение

_случ(X)=t_P,nS, (12)

где t_P,n - коэффициент Стьюдента. Этот коэффициент зависит от доверительной вероятности P и от количества измерений n и находится по таблице 1.

Таблица 1

Таблица коэффициентов Стьюдента

При проведении лабораторных работ, следует задавать доверительную вероятность P=0,95 и в зависимости от количества измерений выбирать коэффициент Стьюдента.

Может показаться, что с увеличением количества измерений коэффициент Стьюдента уменьшается (таблица 1), а, следовательно, погрешность опыта можно сколь угодно уменьшить. Но это не так. С увеличением количества измерений в опыте коэффициент Стьюдента меняется очень мало, особенно при больших значениях n. Полностью избавиться от случайных погрешностей невозможно. Надо четко понимать, что увеличением числа измерений можно уменьшить только случайную составляющую погрешности. В то же время систематическая погрешность не уменьшается при увеличении n. Поэтому если систематическая погрешность преобладает, то увеличение числа измерений мало что дает. Если случайная погрешность превышает систематическую, то имеет смысл увеличить количество измерений и предпринять меры по снижению влияния случайных факторов на процесс измерения (если это возможно).

2. Правила обработки результатов измерений

2.1 Обработка результатов прямых однократных измерений

а) Измерение проводится однократно. В качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимается измеренное значение X_изм.

б) В качестве оценки точности измерения принимается систематическая погрешность прибора.

в) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 3).

г) При записи результата измерений указывается доверительный интервал с указанием единицы измерения

X = [X_{изм сист} (X)] ед. изм. (13)

д) Вычисляется относительная погрешность

2.2 Обработка результатов прямых многократных измерений

a) В результате n опытов получается набор значений физической величины X₁, X₂, …, X_i, …, X_n.

б) В качестве оценки истинного значения принимается среднее арифметическое (3).

в) Абсолютная погрешность измерения оценивается по систематической и случайной погрешности

(14)

Случайная погрешность определяется формулами (11-12). В качестве систематической погрешности студентом принимается приборная погрешность.

г) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 3).

д) Результат измерения записывают в стандартном виде, указывая доверительный интервал, единицу измерения и доверительную вероятность

X = [X_ср (X)] ед. изм., P= …. (15)

е) Вычисляется относительная погрешность

.

2.3 Обработка результатов косвенных измерений

Y=f(A,B,C,…). (16)

а) В качестве оценки Y принимается величина

Y_ср=f(A_ср,B_ср,C_ср,…). (17)

б) Для того чтобы определить погрешность (Y) косвенного измерения необходимо обработать результаты прямых измерений (см. п.п. 2.1, 2.2):

A = A_ср (A), P= …,

B = B_ср (B), P= …, (18)

C = C_ср (C), P= …,

……………………..

в) Абсолютная погрешность косвенного измерения (Y) оценивается по формуле

(19)

Или

. (20)

г) Результат измерений округляют по правилам округления (см. п. 3) и записывается в стандартном виде с указанием единицы измерения

Y = [Y_ср (Y)] ед. изм. (21)

д) Вычисляется относительная погрешность

.

Пример. Допустим, измеряется электрическое сопротивление некоторого проводника. При этом используется закон Ома

R=U/I. (22)

Напряжение измеряется вольтметром, сила тока - амперметром. Величина R, полученная путем подстановки значений напряжения и силы тока в закон Ома, будет косвенно измеренной величиной.

В качестве результата измерения принимается величина R_ср= U_ср/I_ср.

Если использовать выражение (20) для нахождения погрешности R, то придем к формуле

. (23)

Найдем частные производные выражения (22)

(24)

и подставим в (23)

(25)

Вычисление частной производной от некоторой функции по некоторой переменной отличается от вычисления обыкновенной производной тем, что все остальные переменные функции считаются постоянными.

Если использовать выражение (20), то необходимо выражение (22) прологарифмировать

ln R = ln U - ln I, (26)

взять частные производные от (26)

(27)

и подставить в выражение (20). При этом получим

.(28)

Получится результат аналогичный (25). Тогда запись результата измерения

R=(R_ср(R)) Ом, _R=….

3. Правила округления результатов измерения

измерение физический погрешность округление

3.1. При записи результата промежуточного расчета его округляют, по крайней мере, на один порядок точнее, чем точность исходных данных.

Пример. Пусть требуется записать результат расчета X=YZ, где Y=0,00785, Z=5492250. В результате расчета получается: X=43114,1625. Исходное число Y записано с точностью до трех значащих цифр, а Z - с точностью до шести значащих цифр. Наибольшая точность в исходных данных - шесть значащих цифры. Результат вычисления должен быть записан на один порядок точнее. Следовательно, результат расчета необходимо округлить таким образом, чтобы в нем присутствовало не менее семи значащих цифр. Ответ: X=43114,16, либо точнее. Все дальнейшие расчеты необходимо проводить с не меньшей точностью.

3.2. При записи результата измерения в первую очередь округляется погрешность. Погрешность округляется до двух значащих цифр, если первая из них единица или двойка. Погрешность округляется до одной значащей цифры во всех остальных случаях.

Значащими называются цифры 1, 2,…, 9, а также 0, если цифра 0 стоит в середине числа или на его конце.

Пример 1. Погрешность (X)=0,05789. Первая значащая цифра - 5. Следовательно, округляем до одной значащей цифры. Ответ: (X)=0,06.

Пример 2. Погрешность (X)=1789. Первая значащая цифра - 1. Следовательно, округляем до двух значащих цифр. Ответ: (X)=1800.

3.3. После округления погрешности округляется оценка измеренной величины. Она округляется до того же разряда, что и погрешность.

Пример 1. X=34,7980,05789. После округления: X=34,800,06. Погрешность округлена до сотых, следовательно, оценка измеренной величины, также должна быть округлена до сотых (до того же порядка). В данном примере ноль в выражении для оценки измерения после округления указывается обязательно.

Пример 2. X=347981789. После округления: X=348001800. Погрешность округлена до сотен, следовательно, оценка измеренной величины, также должна быть округлена до сотен (до того же порядка). Либо X=(34,81,8)10³.

4. Методика измерений

Vп=abc, (29)

где a, b, c - длины граней параллелепипеда.

Измеряются длины граней a, b, c. Каждая длина измеряется 8 раз в разных местах поверхности, ограничивающей указанный размер.

5. Порядок проведения измерений

5.1 Получить принадлежности у преподавателя

5.2. Определить систематическую погрешность прибора сист, которая указана на шкале прибора. Количество измерений n указывается преподавателем. По количеству измерений и доверительной вероятности выбрать коэффициент Стьюдента tn,P (таблица 1). Указанные данные записать в таблицу 2.