Скорость и ускорение

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения

ускорение касательный кинематический

Описание задачи: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории.

Необходимые для решения данные приведены в таблице 1.

Дано:

Таблица 1. Исходные данные

Решение: Уравнения движения (; ) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

Определим траекторию движения точки.

__________________

- уравнение траектории.

Чтобы получить уравнения траектории в координатной форме, исключим время из уравнений.

При (с):

Координаты точки M:

Координаты точки :

Вектор скорости точки:

Вектор ускорения:

Здесь - орты осей - проекции скорости и ускорения точки на оси координат.

Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения:

По найденным проекциям определяем модуль скорости:

(1)

Подставим в формулу (1) найденные значения:

По найденным проекциям определяем модуль ускорения точки:

(2)

Подставим в формулу (2) найденные значения:

Модуль касательного ускорения точки:

(3)

Подставим в формулу (3) найденные значения:

Модуль нормального ускорения точки:

(4)

Если радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке не известен, то можно определить по формуле:

(5)

При движении точки в плоскости формула (5) принимает вид:

(6)

Подставим в формулу (6) найденные значения:

После того, как найдено нормальное ускорение по формуле (5), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения (4):

(7)

Подставим в выражение (7) найденные значения:

Результаты вычислений для заданного момента времени приведены в таблице 2.

Таблица 2. Результаты вычислений

Рисунок 1

2. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при поступательном и вращательном движениях

Описание задачи: Движение груза 1 должно описываться уравнением , где время, с; некоторые постоянные.

В начальный момент времени положение груза определяется координатой , и он имеет скорость . Учесть, что в момент времени координата груза равна .

Определить коэффициенты , при которых осуществляется требуемое движение груза 1. Определить также в момент времени скорость и ускорение груза и точки М одного из колес механизма.

Схема механизма показана на рисунке 2, а необходимые данные приведены в таблице 3.

Дано:

Таблица 3. Исходные данные

Рисунок 2

Решение:

1. Рассмотрим груз 1.

Уравнение движения груза 1 имеет вид:

(8)

Коэффициенты могут быть определены из следующих условий:

При .

Подставляем вышеуказанные значения в уравнение (8):

(9)

Выражаем коэффициент из уравнения (9):

Находим коэффициент из уравнения (8), вычисляя его производную:

(11)

Выражаем коэффициент из уравнения (11):

При : .

Находим коэффициент из уравнения (8), подставляя найденные и известные данные:

Таким образом, уравнение движения груза 1 принимает вид:

Скорость груза 1:

Ускорение груза 1:

Движение груза 1 прямолинейное равноускоренное.

В момент времени :

Уравнение движения груза 1:

Скорость груза 1:

Ускорение груза 1:

Рисунок 3

2. Рассмотрим блок 2.

Скорость в точке равна:

(12)

Выразим из уравнения (12) угловую скорость :

В момент времени угловая скорость и скорость в точке будут равны:

Движение вращательное, нить нерастяжимая.

Рисунок 4

3. Рассмотрим блок 3.

Скорость в точке равна:

(13)

Скорость в точке равная:

(14)

Выразим из уравнения (14) угловую скорость :

Подставим в уравнение (13) получившееся значение:

В момент времени скорости в точках , угловая скорость будут равны:

Рисунок 5

4. Найдем все ускорения в точке .

Угловое ускорение в точке равно:

Вращательное, центростремительное и полное ускорения точки определяются и вычисляются по формулам:

Рисунок 6

Таблица 4. Результаты вычислений для заданного момента времени

3. Кинематический анализ плоского механизма

Описание задачи: Найти для заданного положения механизма скорости и ускорения точек , а так же угловую скорость и угловое ускорение звена, которому эти точки принадлежат. Схемы механизмов помещены на рисунке 7, а необходимые для расчета данные приведены в таблице 5.

Дано:

Таблица 5. Исходные данные

Рисунок 7

Решение: 1. Рассмотри кривошип .

Точка - неподвижный шарнир, , .

Точка - подвижный шарнир.

Находим скорость точки :

Ускорение точки равно:

Находим вращательное и центростремительное ускорения:

С помощью полученных данных находим ускорение точки по формуле:

Рисунок 8

2. Рассмотри звено :

Точка - мгновенный центр скоростей звена , .

Рассмотрим точку , лежащую на данном звене.

Скорость точки равна:

Угловая скорость точки равна:

Рисунок 9

Находим ускорение точки :

Проектируем ускорения на ось :

• (15)
• Находим центростремительное ускорение звена :

• С помощью полученных данных находим ускорение точки по формуле (15):
• Проектируем ускорения на ось :
• Находим вращательное ускорение звена :
• Находим угловое ускорение:
• Находим ускорение точки :

• Рисунок 10
• 4. Кинематический анализ многозвенного механизма
• Описание задачи: Кривошип вращается с постоянной угловой скоростью . Определить для заданного положения механизма:
• скорости точек механизма с помощью плана скоростей;
• скорости этих же точек механизма и угловые скорости звеньев с помощью мгновенных центров скоростей;
• ускорения точек и угловое ускорение звена .
• Необходимые для расчета данные приведены в таблице 6.
• Дано:
• Таблица 6. Исходные данные

, град	Расстояния, см	Длина звеньев, см	, рад/с
180	35	15	38	7	10	16	15	50	33	16	45	33	2

• Решение:
• Определение скоростей точек и с помощью плана скоростей
• Назначаем масштаб:
• Скорость в точке равна:

• На плане:
• Составим систему:
• ,
• C плана:
• Из подобия:
• Составим систему:
• ,
• C плана:

• Из подобия:
• Составим систему:
• ,
• C плана:
• Определение скоростей точек и угловых ускорений звеньев механизма с помощью мгновенных центров скоростей.
• Рассмотрим точку .
• Скорость в точке будет равна:
• Угловая скорость звена равна:

• Рассмотрим точку .
• Скорость в точке будет находиться по формуле:
• (16)
• Составим систему:
• Выразим из уравнения (16) угловую скорость звена :
• Рассмотрим точку .
• Скорость в точке будет находиться по формуле:
• (17)
• Составим систему:
• Выразим из уравнения (17) угловую скорость звена :

• Рассмотрим точку .
• Скорость в точке будет находиться по формуле:
• (18)
• Составим систему:
• Выразим из уравнения (18) угловую скорость звена :
• Рассмотрим точку .
• Скорость в точке будет находиться по формуле:
• (19)
• Составим систему:
• Выразим из уравнения (19) угловую скорость звена :

• Рассмотрим точку .
• Составим систему:
• Ускорения звена .
• Назначаем масштаб: ; w - полюс плана.
• На плане:
• ,
• На плане:
• С плана:

• Угловые ускорения:
• 5. Определение кинематических характеристик движения твердого тела и его точек по уравнению Эйлера
• Описание задачи: Заданы уравнения сферического движения твердого тела , где - углы Эйлера.
• Определить для момента времени угловую скорость и угловое ускорение тела, а так же скорость и ускорение точки , координаты которой в подвижной системе, жестко связанной с телом,
• Необходимые данные приведены в таблице 7.
• Дано:
• Таблица 7. Исходные данные

№ варианта	Уравнения движения тела	Координаты точки , см	, см
	, рад	, рад	, рад
29				7	6	10	3

• Решение:
• Найдем производные заданных уравнений движения тела:

• 1. Определение угловой скорости тела.
• Проекции угловой скорости тела на подвижные оси координат определяются по следующим формулам:
• ;
• ;
• Используя исходные данные, находим:
• Проекции угловой скорости на неподвижные оси координат:
• ;
• ;
• ,
• или в данном случае
• ;

• ;
• Для определения угловой скорости тела при предварительно вычисляем:
• ;
• ;
• ;
• ;
• Находим проекции угловой скорости тела на подвижные оси координат при :
• Находим проекции угловой скорости на неподвижные оси координат при :
• ;

• ;
• .
• Модуль угловой скорости
• ,
• или
• .
• Направление угловой скорости, а, следовательно, и мгновенной оси вращения тела можно определить направляющими косинусами. В подвижной системе координат:
• В неподвижной системе координат:

• 2. Определение углового ускорения.
• Проекции углового ускорения тела на подвижные оси координат определяются следующим образом:
• ;
• ;
• .
• Проекции углового ускорения на неподвижные оси координат:
• ;
• ;
• .
• При находим проекции углового ускорения на подвижные оси координат:
• ;
• ;
• На неподвижные оси координат:
• ;
• ;
• =
• .
• Модуль углового ускорения:

• или
• .
• .
• Направление углового ускорения определяется направляющими косинусами. В подвижной системе координат:
• В неподвижной системе координат:
• 3. Определение скорости точки . Проекции скорости точки на подвижные оси координат определяются по формулам

• ; ; .
• Для момента времени и с заданных значений имеем:
• ;
• ;
• .
• Модуль скорости точки равен:
• Направляющие косинусы:
• 4. Определение ускорения точки . Проекции ускорения точки на подвижные оси координат определяются по формулам:

• В момент времени имеем:
• Модуль ускорения точки
• Направляющие косинусы:
• Размещено на Allbest.ru