Динамика материальной точки

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Динамика

1.1 Динамика материальной точки

Динамика - раздел физики, изучающий связь кинематических параметров движения с причинами вызывающими это движение.

Начиная с Аристотеля, на протяжении почти двух тысячелетий все были убеждены, что для поддержания движения тел с постоянной скоростью необходимо воздействие извне.

Ньютону, вслед за Галилеем, удалось развеять это одно из глубочайших заблуждений человечества.

В действительности же тело, на которое не действуют другие тела, движется всегда с постоянной скоростью. Говорят, что тело движется по инерции. Только воздействие со стороны способно изменить его скорость. Прилагать усилия, чтобы поддерживать скорость постоянной, нужно только потому, что в обычных условиях всегда существует сопротивление движению со стороны поверхности, воды или воздуха.

В основе динамики лежат три закона Ньютона.

В качестве первого закона Ньютон принял закон инерции, высказанный в частной форме Галилеем. Вот как сам ньютон сформулировал этот закон: « Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».

Ясно, что не во всех системах отсчета это выполняется: если в одной СО точка движется равномерно и прямолинейно, то в СО, движущейся ускоренно относительно первой, эта же точка будет двигаться уже с некоторым ускорением. Поэтому необходимо сделать некоторые оговорки.

В современной трактовке первый закон формулируется так: «Существуют системы отсчета, в которых материальная точка, не подверженная внешним воздействиям, находится в состоянии покоя или равномерного движения». Такие системы отсчета называются инерциальными. В такой трактовке первый закон Ньютона определяет и постулирует существование инерциальных систем отсчета.

Однако данное определение может показаться сомнительным: откуда мы можем знать, что нет сил, действующих на тело? Взаимодействие может осуществляться и на расстоянии, когда поблизости нет других тел. Приведенное определение, данное Ньютоном, основано на предположении, что у нас есть независимая возможность узнать, что в данной системе отсчета не действуют никакие силы. Однако такой возможности нет.

Установилось соглашение, по которому СО, связанная с неподвижными звездами, является инерциальной. Как мы покажем ниже, система отсчета, движущаяся относительно инерциальной с постоянной скоростью, т.е. без ускорения, является также инерциальной. Наше Солнце движется по окружности вокруг оси Галактики с центростремительным ускорением, равным . Это ничтожная величина, и поэтому можно считать, что система отсчета, связанная с Солнцем, будет также инерциальной. Центростремительное ускорение, с которым Земля вращается вокруг Солнца, равно , а ускорение на поверхности Земли, связанное с ее вращением вокруг собственной оси, равно . Если в условиях данной задачи этими величинами можно пренебречь, то систему отсчета, связанную с поверхностью Земли, можно также считать инерциальной.

Основная идея законов движения Ньютона такова: действие тел друг на друга вызывает изменение состояния их движения.

Главное в законах Ньютона - это их точная количественная форма. Мы можем не только говорить о взаимодействии тел, но можем это взаимодействие измерять. Количественная мера взаимодействия тел называется в механике силой. Сила обозначает результат взаимодействия тел и является мерой этого взаимодействия.

Если тело, принятое за материальную точку, неподвижно, то действующие на него силы уравновешивают друг друга. Если же силы не уравновешиваются, то только в этом случае скорость этого тела меняется. Под действием сил тело получает ускорение, величина которого прямо пропорциональна векторной сумме сил, действующих на тело, но совершенно не зависит от происхождения этих сил. Это утверждение и составляет суть второго закона Ньютона.

Изменение скорости тела зависит не только от силы, но и от самого тела. Свойство тела, определяющее быстроту изменения его скорости под действием известной силы, называется в механике инерцией. Под действием одной и той же силы менее массивное тело будет ускоряться больше, нежели более массивное. Говорят, массивное тело обладает большой инертностью. Мерой инерции тела является масса (инертная масса).

Итак, второй закон Ньютона гласит: ускорение w, сообщаемое материальной точке, прямо пропорционально векторной сумме сил , действующих на точку, и обратно пропорционально ее массе m.

. (7.1)

Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета, определяемых первым законом Ньютона. При этом под силой необходимо понимать выше приведенное определение.

Силы в механике

В природе мы можем наблюдать огромное многообразие взаимодействий. Однако на сегодняшний день все наблюдаемые взаимодействия научились систематизировать.

К настоящему времени в результате обобщения громадной совокупности фактов известны 4 типа взаимодействий.

1. Сильное ядерное взаимодействие. Радиус действия 10-15м.

2. Электромагнитное взаимодействие, которое приблизительно на три порядка меньше ядерного. Радиус действия, по крайней мере, от 10-14м до нескольких километров.

3. Слабое взаимодействие, которое на 15 порядков меньше ядерного. Радиус действия 10-17м.

4. Гравитационное взаимодействие, которое на 40 порядков меньше ядерного. Радиус действия - бесконечность.

Существуют ли еще какие-нибудь взаимодействия, мы не знаем.

Однако в механике достаточно знать величину силы, определить, как она действует, не вникая в природу этой силы. Две силы, независимо от их природы, считаются равными и противоположно направленными, если их одновременное действие на материальную точку не меняет ее скорости. Тем самым открывается возможность для сравнения сил и, если одна из них выбрана за эталон, для измерения сил.

Все силы в механике для удобства их нахождения можно разделить на следующие категории:

I - силы, которые связаны с взаимодействием с особой формой материи, называемой полем.

II - силы, обусловленные взаимодействием соприкасающихся тел - контактные силы.;

Разберем отдельно каждую категорию сил.

I категория сил

Из этой категории сил мы познакомимся с гравитационными силами, а впоследствии с электрическими и магнитными силами.

Величина сил гравитации определяется законом Всемирного тяготения: «Две материальные точки массами m1 и m2 притягивается к друг к другу с силой F, пропорциональной их массам m1 и m2 и обратно пропорциональной квадрату расстояния r ними”.

. (7.2)

Коэффициент пропорциональности называется гравитационной постоянной.

.

Для того чтобы рассчитать гравитационное притяжение между объемными телами, необходимо просуммировать (проинтегрировать) все взаимные силы притяжения между материальными точками, из которых состоят эти тела.

Если притягивающиеся тела массами m1 и m2 обладают сферической симметрией, то можно показать, что сила притяжения между ними будет равна:

,

где rc - расстояние между их центрами масс.

В силу малости величины мы не замечаем гравитационного притяжения между обычными предметами. Например, два человека, сидящие вплотную друг к другу, притягиваются с силой, равной приблизительно 210-6 Н. Такую силу не то что почувствовать, но и измерить чрезвычайно трудно. Другое дело, если одно из тел будет обладать большой массой, например, планета Земля. На тело массы m, расположенное на высоте h от поверхности Земли радиуса Rз, действует сила:

, (7.3)

где - масса Земли.

Нетрудно видеть (II-закон Ньютона), что величина имеет размерность ускорения, и называется ускорением свободного падения на высоте h от поверхности Земли. Если положить h<<Rз и вычислить значение , то оно окажется равным 9,8м/с2. Эта величина обозначается буквой и называется ускорением свободного падения вблизи поверхности Земли.

Это ускорение, которое приобретают тела, находящиеся у поверхности Земли, под действием только сил ее гравитационного притяжения.

Гравитационную силу притяжения часто называют силой тяжести, которую не следует путать с весом тела. Вес тела - это сила реакции подвеса или опоры тела. Вес тела в одной и той же точке пространства может быть различным и, в частности, равен нулю (невесомость), сила же тяжести не меняет своего значения и всегда равна mg.

II категория сил

а) Силы упругости - это силы реакции упруго деформируемых тел. Величина этой силы F определяется законом Гука:

, (7.4)

где k - коэффициент жесткости;

x - вектор удлинения или сжатия упруго деформируемого тела.

Если роль упругого тела выполняет пружина, k - жесткость пружины, а x - удлинение или сжатие пружины.

Для описания деформаций упругого тела, то вводят еще одно понятие - модуль Юнга, который характеризует материал этого тела. Модуль Юнга E по физическому смыслу - это жесткость единичного куба. Если рассматривать стержень, то его жесткость k будет пропорциональна его площади сечения S и обратно пропорциональна его длине l. Следовательно:

.

Тогда закон Гука мы можем переписать в виде:

Отношение Fx/S называют напряжением , где Fx - сила, действующая перпендикулярно площадке S. Отношение

x/l =

называют относительным приращением длины стержня. В случае растяжения стержня и считаются положительными, а в случае сжатия - отрицательными. Окончательно имеем:

= Е. (7.5)

Подобным образом определяют силу реакции, когда имеется информация об удлинении или его величина играет существенную роль при описании движения тел, например, движение тел, связанных пружиной. Когда же информация о деформации тел отсутствует и ее величиной можно пренебречь по сравнению с размерами самого тела, то, как правило, можно заранее определить только направление сил реакции.

б) Реакция нити всегда направлена вдоль нити в сторону натяжения, так как нить не оказывает сопротивления изгибу и не может толкать тело.

Реакцию поверхности обычно раскладывают на две составляющих: силу нормального давления и силу трения.

в) Сила нормального давления всегда направлена от поверхности по нормали к ней

г) Силы трения - это силы сопротивления, возникающие при попытке сместить друг относительно друга соприкасающиеся поверхности.

Если при стремлении к нулю относительных скоростей соприкасающихся поверхностей силы трения также стремятся к нулю, то такое трение называется вязким. Например, силы трения, возникающие при движении тел в жидкостях. В противном случае трение называют сухим.

Если происходит относительное перемещение двух соприкасающихся поверхностей, то считается, что сила трения принимает максимальное значение, равное

fтр.ск.= мN. (7.6).

Считается также, что эта сила трения fтр.ск., называемая силой трения скольжения, не зависит от скорости относительного движения соприкасающихся тел, а пропорциональна только силе нормального давления N. Коэффициент пропорциональности м называется коэффициентом трения, который зависит от природы и состояния трущихся поверхностей.

Если соприкасающиеся поверхности не смещаются друг относительно друга, то модуль силы трения может принимать любые значения в диапазоне от 0 до мN. В этом случае действует сила трения, называемая силой трения покоя.

д) Сила Архимеда

Если тело покоится в жидкости или газе, то на него действуют силы реакции окружающих его молекул, результирующая которых определяется законом Архимеда.

На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу жидкости (газа), вытесненной этим телом.

В инерциальной системе отсчета сила Архимеда Fарх равна:

Fарх = жg Vж, (7.7)

где ж,Vж - плотность и объем вытесненной жидкости или газа;

g - ускорение свободного падения.

В неинерциальных системах отсчета, в зависимости от ускорения этих систем, сила Архимеда может принимать различные значения, и, в частности, быть равной нулю. Каждый раз ее необходимо вычислять, исходя из условий задачи.

е) Сопротивление движению тел в жидкостях и газах.

При движении тела относительно жидкости или газа помимо силы Архимеда еще возникают силы сопротивления движению тела. Направление этих сил всегда противоположно направлению вектора скорости. Поэтому далее мы будем говорить только о модуле этих сил.

Эти силы сопротивления удобно разделить на две составляющие: силу трения Fтр поверхности тела о жидкость или газ (жидкое трение) и силу сопротивления F, возникающую из-за разности давлений впереди и сзади движущегося тела.

Рассмотрим каждую из этих сил в отдельности.

Согласно эмпирическому (опытному) закону Стокса, сила трения тела о жидкость Fтр пропорциональна скорости движения тела v относительно жидкости (газа), вязкости жидкости (газа) и линейным размерам тела. Кроме этого, сила трения зависит также и от формы тела. Например, при одинаковых размерах миделя (наибольшее поперечное сечение тела) и одинаковой скорости движения сила трения о жидкость шарика, конуса или куба будет различной.

Таким образом, сила трения Fтр будет равна:

,

где: r- линейный размер тела (для шарика это радиус);

-коэффициент формы тела (для шарика );

Чаще всего закон Стокса записывают для шара:

. (7.8)

При малых скоростях v движения тела силы сопротивления обусловлены практически только силами трения.

Характер обтекания тела жидкостью меняется при увеличении скорости его движения. Позади тела образуются завихрения, и начинается перемешивание между слоями жидкости. Такое обтекание жидкостью тела называется турбулентным, и его характер показан.

В этом случае возникают различные давления впереди и позади шарика, так как скорости движения жидкости в этих областях различны. Разность этих давлений обуславливает дополнительную силу сопротивления F, которую можно определить следующим образом. Сила F, очевидно, пропорциональна разности давлений (P1 -P2) впереди и позади тела и площади миделя S.

.

Можно показать (уравнение Бернулли), что разность давлений (P1-P2) пропорциональна квадрату скорости v2 движения тела и плотности жидкости , а площадь сечения S - квадрату линейных размеров тела. Для шарика S пропорциональна квадрату его радиуса r2. Таким образом,

.

Сила F, также как и сила трения, зависит от формы тела, и этот коэффициент пропорциональности определяется экспериментально. Окончательно имеем:

. (7.9)

Важно отметить, что сила F уже пропорциональна квадрату скорости v2 движения тела. Поэтому при малых скоростях обтекания основную роль играют силы трения (Fтр >>F). По мере увеличения скорости обтекания сила F растет быстрее, чем сила трения Fтр и при некоторой скорости vкр их модули сравниваются. Это происходит, когда осуществляется переход от ламинарного обтекания к турбулентному.

Критерием перехода движения жидкости от ламинарного к турбулентному может служить равенство: . Скорость тела, при которой это равенство выполняется, называется критической скоростью vкр.

.

Отсюда следует: . (7.10)

Отношение коэффициентов называется критическим числом Рейнольдса и обозначается Reкр, а отношение -

. (7.11)

просто числом Рейнольдса Re.

Значения критических чисел Рейнольдса для различных форм тел приведены в соответствующих таблицах. Для шарика, например, Reкр = 0,5.

Вычисления числа Рейнольдса для каждого конкретного случая позволяют определить характер обтекания его жидкостью. Если Re больше критического числа Reкр, то обтекание турбулентное, если много меньше - ламинарное. Например, для определенной формы подводной части судна по критическому числу Рейнольдса можно заранее определить его критическую скорость vкр, т.е. скорость, при превышении которой силы сопротивления быстро возрастают.

1.2 Методика решения задач с помощью законов Ньютона

1. Внимательно прочитать задачу и сделать чертеж.

2. Найти все тела и поля, с которыми взаимодействует рассматриваемое тело, и расставить стрелочками силы, действующие на рассматриваемое тело со стороны найденных.

3. Записать второй закон Ньютона в виде:

.

4. Это векторное равенство проектируют на выбранные оси. Оси координат выбираются произвольно, но чаще удобнее всего:

а) в случае прямолинейного движения одну из осей направляют вдоль ускорения, а вторую ей перпендикулярно. Тогда для первой оси второй закон Ньютона примет вид:

.

Для второй оси -

;

б) в случае криволинейного движения одну из осей направляют по радиусу кривизны к центру, а вторую ей перпендикулярно.

Если траектория движения рассматриваемого тела лежит в координатной плоскости, то для первой оси второй закон Ньютона примет вид:

Сумма, объединенная фигурной скобкой, представляет собой сумму проекций всех действующих на тело сил на направление нормальное к траектории и называется центростремительной силой . На вторую ось второй закон Ньютона примет вид:

Второй закон Ньютона записывается для каждого тела в отдельности, а связи между ними учитываются условиями задачи.

5.Решают систему полученных скалярных уравнений.

Для всех сил есть одно общее свойство, которое составляет третий закон Ньютона: “Всякое действие тел друг на друга носит характер взаимодействия: если тело 1 действует на тело 2 с силой , то и тело 2 в действует на тело 1 с силой , причем ”.

Третий закон Ньютона вполне строго выполняется в случае контактных взаимодействий (сил категории II), а также при взаимодействии находящихся на некотором расстоянии друг от друга покоящихся тел. Силы, подчиняющиеся третьему закону Ньютона, называются ньютоновскими силами.

1.3 Принцип относительности. Преобразования Галилея

Не во всякой системе отсчета выполняется второй закон Ньютона. Рассмотрим, например, поведение чемодана, лежащего на горизонтальной полке в движущемся поезде. Если поезд движется равномерно, то чемодан покоится в системе отсчета, связанной с полкой. Однако, если поезд начинает резко тормозить, то чемодан, без всяких видимых причин, может упасть Вам на голову, доказывая тем самым несправедливость второго закона Ньютона. Действительно, в системе отсчета, связанной с полкой поезда, чемодан покоился, никакие силы в горизонтальном направлении не действовали, и, тем не менее, он начал свое движение относительно полки, т.е. приобрел ускорение. Следовательно, второй закон Ньютона не выполняется.

Система отсчета (CO), в которой выполнятся II закон Ньютона, мы назвали инерциальной CO, и она определяется первым законом Ньютона. Другие системы отсчета называются неинерциальными.

Покажем, что система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью относительно инерциальной, будет также инерциальной.

Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную X,Y,Z, и систему отсчета X,Y,Z, которая движется поступательно относительно первой равномерно и прямолинейно со скоростью v0 =const. Примем для простоты, что в начальный момент времени t = 0 начала О и O обеих систем координат совпадают. Тогда взаимное расположение этих систем в произвольный момент времени t имеет вид, изображенный

Скорость v0 направлена вдоль прямой OO и вектор RO, проведенный из точки О в точку O, равен v0t. Положение произвольной точки М в не штрихованной и штрихованной системах отсчета определяется радиусом вектором r и r соответственно, причем

r = RO + r = r + v0 t или r = r - RO = r - v0 t. (8.1)

Предположим также, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е.

t = t. (8.2)

Продифференцировав выражения (8.1) по времени, получим уравнения для скоростей v и точки М в этих системах отсчета.

или . (8.3)

Продифференцируем выражение (8.3) по времени. С учетом того, что , получим:

. (8.4)

Отсюда следует, что ускорение точки во всех системах отсчета, движущихся друг относительно друга с постоянной по модулю и по направлению скоростью, оказывается одинаковым. Поэтому, если одна из этих систем инерциальная (это значит, что в отсутствии сил w = 0), то и остальные СО будут также инерциальными ().

Все инерциальные системы отсчета равноправны. Это означает, что законы природы (физики), по которым изменяются состояния физических систем, не зависят от того, в какой инерциальной системе отсчета рассматривается данное явление. Это заключение называется принципом относительности.

В разных системах отсчета одни и те же физические характеристики данного физического явления могут быть и различными и одинаковыми. Например, в одной системе отсчета скорость материальной точки может быть равна нулю, а в другой СО отлична от нуля. А вот заряд или масса покоя частицы не зависят от выбора системы отсчета.

Законы физики устанавливают связь между физическими величинами, которые, в принципе, могут быть разными в различных СО.

Что же имеет в виду принцип относительности, утверждая, что законы физики не зависят от того, в какой системе отсчета рассматривается данное явление?

Допустим, что какой-либо физический закон представлен в виде . Если при переходе от одной системы отсчета к другой величины А, В, С не меняют своего значения, то говорят, величины А, В и С и самый закон инвариантны относительно этого перехода. Если при переходе от одной СО к другой, где величины А, В и С не сохраняют своего значения, а становятся равными , но закон выполняется, то говорят, что величины А, В и С не инвариантны, но закон ковариантен относительно этого перехода. Причем, переход от А к ,от В к и от С к происходит всегда по заданным наперед преобразованиям.

Принцип относительности утверждает, что физические законы должны быть инвариантными либо ковариантными при переходе от одной системы отсчета к другой.

Например, рассматриваемый нами второй закон Ньютона () считается инвариантным во всех инерциальных системах отсчета, если только скорости материальной точки m всегда будут оставаться много меньше скорости света (vc).

Инвариантность означает, что значения сил F, действующих на материальную точку, значение ее массы m и ее ускорения w будут равны во всех инерциальных СО, т.е. , , .

Закон равнопеременного движения

считается ковариантным, т.е.

,

причем переход от не штрихованных величин к штрихованным происходит по правилам (8.18.4), которые называются преобразованиями Галилея. Эти преобразования справедливы в случае, если скорости точки много меньше скорости света. Если скорости движения частиц сравнимы со скоростью света c, то закон равнопеременного движения по-прежнему ковариантен, но преобразования координат, времени, скоростей и ускорений при переходе от одной СО к другой происходят по другим выражениям, отличным от (8.18.4). Это преобразования Лоренца, которые для малых скоростей (vc) переходят в преобразования Галилея.

1.4 Движение в неинерциальных системах отсчета

Мы отмечали, что второй закон Ньютона справедлив в инерциальных системах отсчета. Тем не менее, второй закон Ньютона можно использовать и в неинерциальных СО.

Ускоренное движение неинерциальной системы отсчета относительно инерциальной приводит к появлению дополнительных сил, называемых силами инерции. Рассмотрим два случая.

а) Неинерциальная система отсчета движется поступательно относительно инерциальной с постоянным ускорением w0

Это означает, что штрихованные оси координат сохраняют свое направление в инерциальной системе отсчета.

Рис. 1 Штрихованная система отсчета движется поступательно относительно не штрихованной с постоянным ускорением w0. Пояснения в тексте

Запишем связь линейных кинематических параметров точки М в обеих системах отсчета. По-прежнему будем полагать, что t = t.

Положение точки М в инерциальной СО r связано с ее положением в неинерциальной СО соотношением

r = r + RO. (9.1)

Продифференцируем это выражение по времени. Получим:

v = v + vO. (9.2)

В этом случае приняты следующие названия скоростей.

v = vабс - скорость точки в инерциальной СО называется абсолютной скоростью.

v = vотн - скорость точки в СО, движущейся относительно первой, называется относительной скоростью.

vO = vпер - скорость движения точки М, связанная с движением неинерциальной СО, называется переносной скоростью. В данном случае это движение, обусловленное поступательным движением неинерциальной СО.

Таким образом имеем:

vабс = vотн + vпер.

Дифференцируя выражение (9.2) по времени, получим связь между ускорениями точки М в обеих системах:

w = w + w0. (9.3)

В этих выражениях w, w и w0 - ускорения точки М в инерциальной СО, ускорение точки М в неинерциальной СО и ускорение неинерциальной СО, соответственно.

Умножив (9.3) на массу материальной точки М, получим:

mw = mw - mw0. (9.4)

Это выражение является уравнением движения материальной точки в неинерциальной СО, движущейся поступательно. Правая часть этого уравнения формально представляет собой сумму сил, действующих на материальную точку в неинерциальной СО.

Первое слагаемое mw - это произведение массы т материальной точки на ее ускорение w в инерциальной системе отсчета, которое по второму закону Ньютона равно сумме всех сил взаимодействия, действующих на нее:

mw = .

Второе слагаемое (-mw0) - это произведение массы т материальной точки на ускорение w0 неинерциальной системы отсчета, движущейся поступательно, взятое с обратным знаком. По размерности эта величина является силой, которая называется поступательной силой инерции Fин.

Fин_ = - mw0.

Первое слагаемое является суммой «настоящих сил» в том смысле, что они есть результат взаимодействия тел. Поскольку эти силы зависят только от разностей координат и разностей скоростей взаимодействующих точек, эти силы являются инвариантными в нерелятивистском случае при переходе от одной СО к другой.

Сила инерции Fин не является результатом взаимодействия, а возникает в результате ускоренного движения неинерциальной системы отсчета. При переходе к другой системе отсчета меняются и силы инерции. Очевидно, что они не является инвариантами. И еще одна особенность сил инерции - у нее нет «партнера». К силам инерции в принципе не применим третий закон Ньютона.

Таким образом, в нашем случае ускорение материальной точки в неинерциальной системе отсчета w можно вычислить из уравнения:

w = . (9.5)

б) Силы инерции при ускоренном движении начала отсчета и равномерном вращении системы отсчета

Рассмотрим, к каким силам инерции приводит равномерное вращение осей координат штрихованной СО.

По-прежнему выполняется соотношение (9.1) r = r + RO.

В случае б) оси координат штрихованной системы отсчета не сохраняют своего направления в пространстве, как в предыдущем случае. Это необходимо учесть при взятии производной . Запишем r в координатном виде и возьмем от нее производную:

. (9.6)

При выводе этого соотношения мы учли (2.13), что

= еi.

Таким образом,

v = v + r +vO. (9.7)

Возьмем производную от абсолютной скорости v (9.7).

;

;

;

.

Таким образом, .

При взятии производной мы учли, что = const и (9.6).

Двойное векторное произведение rможно легко раскрыть, представив вектор r как сумму векторов r и , где r и - составляющие радиус-вектора вдоль оси вращения и перпендикулярно к ней соответственно (см. рис 1). Тогда

r = r + = ,

т.к. вектора и r параллельны. Используя теперь правило раскрытия двойного векторного произведения (2.12), получим:

r = = -2.

Окончательно имеем:

w = w +2v - 2 + wO. (9.8)

Для названий ускорений в этом выражении приняты следующие термины:

w = w абс - ускорение точки в инерциальной системе отсчета - абсолютное ускорение.

w = wотн - ускорение этой же точки в неинерциальной системе отсчета - относительное ускорение.

2v = -2v = wкор - кориолисово ускорение.

wO- 2 = wпер - переносное ускорение.

Обратимся теперь к написанию уравнений движения в нашей неинерциальной системе отсчета. Поступим точно так же, как и в предыдущем случае: во второй закон Ньютона (7.1) подставим выражение (9.8) и перенесем все члены в правую часть за исключением члена, содержащего относительное ускорение. Получим:

w = . (9.9)

Таким образом, для написания уравнения движения в неинерциальных системах отсчета необходимо добавить к силам взаимодействия две силы инерции: переносную силу инерции и силу Кориолиса.

Переносная сила инерции в нашем случае состоит из двух слагаемых.

Первое слагаемое (- тwO) знакомо нам по предыдущему случаю и называется поступательной силой инерции. Эта сила возникает из-за ускоренного движения начала О неинерциальной системы отсчета. Эти силы мы постоянно ощущаем, пользуясь городским транспортом.

Второе слагаемое т2 называется центробежной силой инерции. Центробежные силы вызывают перегрузки у летчиков, исполняющих фигуры высшего пилотажа. Они используются в центробежных сушилках, сепараторах.

Сила Кориолиса т2v, возникает только тогда, когда неинерциальная система отсчета вращается со скоростью , а материальная точка движется относительно этой системы со скоростью v. Поскольку Земля вращается, система отсчета, связанная с ней не является инерциальной, и, следовательно, мы должны ожидать различные проявления сил инерции. Так при строгом рассмотрении движения тел относительно Земли мы должны учитывать центробежные силы инерции, равные т2Rcos, где т - масса тела, - угловая скорость суточного вращения Земли, R - радиус Земли, - широта. При расчете движения снарядов на большие расстояния необходимо учитывать влияние на траекторию полета сил Кориолиса. Важным проявлением действия сил Кориолиса является изменение положения плоскости качаний маятника Фуко, что послужило еще одним доказательством суточного вращения Земли.

Еще раз напомним, что все написанные уравнения движения материальных точек применимы только когда скорости движения много меньше скорости света.

Примеры. ньютон механика неинерциальный кориолис

Поезд массы т =2000т движется на северной широте = 60.

а) Определить модуль и направление силы бокового давления поезда на рельсы, если он движется вдоль меридиана со скоростью v = 54км/час;

б) Как должен двигаться поезд, чтобы результирующая сил инерции, действующая в системе отсчета Земля, была равна нулю?

Отв. а) f = 3,8кН; б) по параллели с востока на запад со скоростью v 420км/час.

Размещено на Allbest.ru